F isica generale L-A – Domande stravaganti
Quanto segue è una raccolta di quesiti degni di interesse estratti dai compiti d'esame del prof. Maurizio Piccinini alla
Seconda Facoltà di Ingegneria di Cesena. Le soluzioni sono personali dell'autore e solo in pochi casi hanno trovato
un riscontro da cultori della materia (in ogni caso mai dal prof. Piccinini, quindi non hanno alcuna aura di ufficialità).
Nella maggior parte delle situazioni è rilevante l'approccio da utilizzare per la soluzione, piuttosto che il risultato in sé.
Indice
Compito del 22/06/2006 ...................................................................................................................................................... 2
Compito del 05/07/2006 ...................................................................................................................................................... 2
Compito del 26/09/2006 ...................................................................................................................................................... 3
Compito del 16/11/2006 ...................................................................................................................................................... 4
Compito del 15/12/2006 ...................................................................................................................................................... 5
Compito del 26/03/2007 (A) ............................................................................................................................................... 5
Compito del 26/03/2007 (B) ............................................................................................................................................... 6
Compito del 14/07/2008 ...................................................................................................................................................... 7
Compito del 08/09/2008 ...................................................................................................................................................... 8
Compito del 24/09/2008 ...................................................................................................................................................... 9
Compito del 08/01/2009 .................................................................................................................................................... 10
Compito del 10/02/2009 .................................................................................................................................................... 11
Compito del 24/02/2009 .................................................................................................................................................... 12
Compito del 22/04/2009 .................................................................................................................................................... 13
Compito del 18/06/2009 .................................................................................................................................................... 14
Compito del 15/07/2009 .................................................................................................................................................... 15
Compito del 10/09/2009 .................................................................................................................................................... 16
Compito del 19/11/2009 .................................................................................................................................................... 17
Compito del 23/12/2009 .................................................................................................................................................... 18
Compito del 12/01/2010 .................................................................................................................................................... 18
Compito del 12/04/2010 .................................................................................................................................................... 19
Compito del 30/04/2010 .................................................................................................................................................... 19
Compito del 14/06/2010 .................................................................................................................................................... 21
Compito del 13/07/2010 .................................................................................................................................................... 21
Compito del 08/11/2010 .................................................................................................................................................... 22
Compito del 12/01/2011 .................................................................................................................................................... 23
Compito del 15/02/2011 .................................................................................................................................................... 25
Compito del 12/04/2011 .................................................................................................................................................... 26
Compito del 12/05/2011 .................................................................................................................................................... 26
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
1/27
Compito del 22/06/2006
L'affermazione è VERA. Derivando la definizione geometrica di centro di massa se ne ottiene la velocità:
v CM
∑ m v ∑ m v
=
=
M
∑m
i i
i
i
i i
i
i
Tale scrittura indica che la velocità del centro di massa è la media pesata delle velocità delle varie parti mi che
compongono il sistema meccanico; i “pesi” della media pesata sono proprio le masse mi.
Compito del 05/07/2006
∑ m v
1
T= ∑ m v
2
La quantità di moto totale di un sistema meccanico è: Q=
L'energia cinetica totale di un sistema meccanico è:
∑ m v =0
a) FALSO: se Q=
i
i i
i i
i
i
2
i i
.
.
significa che o tutte le velocità vi sono nulle, oppure si compensano vettorialmente;
nel primo caso (particolare) l'energia cinetica sarà nulla perché i moduli delle velocità sono nulli, mentre nel secondo (più
generale) l'energia cinetica non è nulla perché si considerano i quadrati dei moduli delle velocità.
1
mi v 2i =0 significa che tutte le velocità hanno modulo nullo, quindi la quantità di moto è nulla
b) VERO: se T = 2
i
perché annullandosi i moduli si annullano anche i vettori velocità.
∑
ωspin
ωpalla
La piattaforma circolare è già in rotazione in senso antiorario , per cui appoggiando e
spingendo in avanti la palla questa (in assenza di attrito) tende a muoversi di moto
rettilineo uniforme rispetto a un SdR inerziale, mentre devia la traiettoria verso destra (in
senso orario) rispetto al SdR non inerziale della piattaforma. Si tratta del tipico
comportamento di un oggetto sottoposto alla forza di Coriolis all'interno di un SdR non
inerziale, che si muove di moto rotatorio.
Il fatto che alla palla venga impresso un effetto non sembra rilevante ai fini del moto
(l'effetto verso destra accentua il fatto che la palla curvi proprio verso destra), infatti per
quanto possa essere elevata la forza impressa per effetto, non sarebbe tale da giustificare
una rivoluzione della palla attorno all'individuo, ma solo a deviare la traiettoria (altrimenti
rettilinea) verso destra.
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
2/27
vf
In un urto completamente elastico si conserva l'energia meccanica del sistema
1
1
m v 2i = m v 2f perché le velocità della palla prima e
(palla+muro), infatti
2
2
dopo l'impatto hanno modulo uguale. Invece non si conserva la quantità di moto,
perché il muro è vincolato alla Terra, dunque il sistema palla+muro non è isolato.
Limitatamente alla palla, dato che essa da sola non è un sistema isolato, non si
conserva la quantità di moto e non si conserva l'energia meccanica.
vfx
vfy
a) FALSO
b) FALSO
c) VERO: supponendo ragionevolmente che dopo l'urto la palla mantenga la
propria velocità, variandone la direzione dopo l'impatto per simmetria, si può
verificare la conservazione della quantità di moto componente per componente:
vix vi
y
x
m v i=m v f ⇒
viy
{
{
v ix=−v fx
m v ix=m⋅−vfx
⇒
v iy =v fy
m v iy =m vfy
Quindi si conserva la componente verticale della quantità di moto.
Compito del 26/09/2006
3
Per la terza legge di Keplero:
v
h
a=g
2
a1
T1
=
a2
T2
a=g
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
3
2
T1
a1
⇒
=
T2
a2
=
6 00⋅106
200⋅106
3
2
3
2
= 3 =5,196 .
Entrambi i proiettili hanno:
• componente verticale della velocità nulla
(cambia la componente orizzontale: 100 m/s
per il primo, nulla per il secondo);
• accelerazione identica (accelerazione di
gravità, diretta verticalmente).
Dato che interessa solo il moto lungo l'asse verticale,
avendo simili caratteristiche si avrà la stessa legge
oraria lungo l'asse verticale, per cui i due proiettili
toccheranno terra assieme.
3/27
M
m
Trattandosi di un sistema isolato, si conserva la quantità di moto:
m
v =mM V ⇒ m v=−mM V ⇒ V =−
m
v
mM
Quindi, mentre m sale, il sistema pallone+ragazzo scende (le velocità sono di verso opposto)
con velocità V .
v
m
V
Compito del 16/11/2006
v
v
a
a
Per analogia tra il moto armonico
semplice e il moto circolare uniforme:
a) FALSO
b) FALSO
c) VERO
Un corpo di massa m ha peso nullo quando non è sottoposto ad alcuna accelerazione di gravità, infatti il peso in generale
è p =mg (e la massa m non può mai annullarsi). L'affermazione può avere senso, infatti l'assenza di accelerazione di
gravità è presente nel vuoto o in tutte le situazioni che simulano il vuoto (cioè in cui sono presenti forze che bilanciano
l'attrazione gravitazionale, annullandone l'effetto).
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4/27
Compito del 15/12/2006
Un punto che ruota di moto circolare uniforme è soggetto alla forza centripeta, diretta dal punto radialmente verso l'asse
di rotazione. La forza centripeta è conservativa, infatti essendo sempre perpendicolare allo spostamento non compie mai
lavoro, quindi l'integrale di lavoro su una circonferenza chiusa è sempre nullo:
S =
L=
F⋅d
F⋅cos
dS =
0 dS =0
2
∫
∫
∫
a) VERO: durante il moto si conserva sempre la quantità di moto.
b) VERO: il tuffatore è un sistema isolato (trascurando la resistenza dell'aria) e in esso si conserva il momento angolare:
infatti, se il tuffatore modifica il proprio momento d'inerzia (ad esempio raggruppandosi), per mantenere inalterato il
momento angolare aumenterà la velocità angolare attorno all'asse di rotazione.
c) FALSO: il momento d'inerzia dipende dalle figure assunte dal tuffatore, quindi sia dalla posizione delle masse rispetto
all'asse di rotazione (testa, braccia, gambe), sia dall'asse di rotazione stesso (a seconda del tipo di tuffo).
d) VERO: il tuffatore è un sistema isolato (trascurando la resistenza dell'aria) quindi si conserva l'energia meccanica: tutta
l'energia potenziale gravitazionale dovuta alla quota di partenza al trampolino viene trasformata in energia cinetica
durante il lancio. Oltretutto, al salto dal trampolino il tuffatore urta elasticamente il trampolino, per cui in quell'istante si
conservano ulteriormente energia meccanica e quantità di moto.
Compito del 26 / 0 3 /200 7 (A)
Un corpo pesante e un corpo leggero cadono allo stesso modo perché nello studio dinamico del moto di caduta si usa la
mM
=m a , per
=m
Seconda legge della dinamica F
a , eguagliandola alla forza di attrazione gravitazionale −
2
R
cui il moto è indipendente dalla massa del corpo che sta cadendo.
M
In particolare: a=− 2 =cost. a seconda del pianeta (di raggio R e massa M).
R
y v=cost.
Rn=-pn
x
Nel caso in esame il corpo non è in equilibrio, ma si muove di
moto rettilineo uniforme in salita. Il moto stesso causa una forza
di attrito dinamico, così determinata:
∣R t∣=⋅∣Rn∣=⋅∣−p n∣=⋅∣−m
g cos ∣=⋅m g cos
pt=mg sen α
α
|Rt|=μ∙|Rn|
pn=mg cos α
α
mg
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
5/27
Compito del 26/ 0 3/2007 (B)
L'affermazione è FALSA. L'energia potenziale è l'opposto del potenziale, che è definito a meno di una costante e, quindi,
può assumere tutti i valori possibili.
Per il teorema di König (utilizzando la componente traslatoria o rotatoria nei due casi):
1
2
a) T trasl= M vG
2
v G= ⇒ M e I determinano quale caso abbia T maggiore
1
2
b) T rit= I
2
}
In generale I =
∑mr
i
2
i i
e M=
∑m
i
i
, per cui alla fine della sommatoria si avrà I M e T rotT trasl , cioè
è maggiore l'energia cinetica del moto rotatorio rispetto al moto traslatorio, a parità di condizioni.
L'attrito non è una forza conservativa, quindi sicuramente non si conserva l'energia meccanica. Proprio perché agisce una
forza dissipativa, l'energia di B sarà minore dell'energia di A perché la differenza di energia è dissipata in calore per effetto
Joule.
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
6/27
Compito del 14/07/2008
che sposta nella sua stessa direzione per una distanza L un punto materiale,
Una forza F
L=F⋅L
senza attrito, compie lavoro: L=F⋅
.
F
m
che sposta nella sua stessa direzione per una distanza L un corpo rigido
Una forza F
sferico, che rotola senza strisciare, compie lavoro secondo il teorema delle forze vive:
L=T fin−T iniz . Dato che la sfera inizialmente era ferma, la sua energia cinetica
2m
iniziale è nulla, quindi il lavoro è l'energia cinetica che ha dopo uno spostamento di L
1
1
2
2
secondo il teorema di König: L=T fin= 2 m⋅vG I .
2
2
1
2
L
Una sfera di massa 2m e raggio r ha momento d'inerzia I = 2 m⋅r e velocità angolare
2
vG
, quindi:
=
r
v2
1
1 1
m 2 3
2
2 G
L=T fin= 2 m⋅vG ⋅ 2 m⋅r ⋅ 2 =m⋅v 2G
v = m v2G
2
2 2
2 G 2
r
ω
F
t2
=L .
2
F2
2 L2 m FL
2L 2 m
2
2 2
2
⋅
=
Per la dinamica: F =2 maG , quindi: t =
e v G=aG t =
2
F
m
F
2 m
3
3
FL
3
2
= FL .
In conclusione: L=T fin= m vG = m⋅
2
2
m
2
2
2 2
Per la cinematica: v G=aG t , s=a
3M
3M
v
v
4M
M
vf M
.
In un urto perfettamente anelastico i due corpi procedono solidali dopo l'urto (es.
per conficcamento), quindi hanno la medesima velocità finale; la velocità avrà la
direzione del corpo che aveva la quantità di moto maggiore prima dell'impatto. In
tale tipo di urto non si conserva l'energia meccanica ma si conserva solo la
quantità di moto:
v
3M
v −M v =3 M M vf ; 2 M v =4 M vf ; vf =
2
della Terra,
La risposta c) è VERA, infatti all'equatore la velocità vR del pendolo è parallela alla velocità angolare
Fco =−2 m ×
vR =0
quindi si annulla la forza di Coriolis:
.
0
Inoltre, il periodo di rotazione del pendolo di Foucault dipende dalla latitudine , che all'equatore è 0°:
24h
24h
T f=
=
∞
0
sen
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
7/27
Compito del 08 /09/200 8
Se la forza è conservativa, allora si conserva la sua energia meccanica, cioè la somma tra energia cinetica ed energia
potenziale: E=T V =cost. .
Per mantenere costante E, nota l'energia cinetica T, è sufficiente valutare l'energia potenziale:
E=T V =cost. =T min V MAX =T MAX V min quindi V MAX =T MAX −T min V min =10JV min .
Se l'energia potenziale minima del punto in movimento è 0 (ragionevolmente), si ha: V MAX =10 J .
In realtà, in generale ci è nota solo la differenza di energia potenziale.
Quando la ruota piccola 2 ha percorso un giro ( 2 R ), la ruota
grande 1 ha percorso comunque la distanza 2 R , che però è
solo una frazione della sua circonferenza:
s2
t2
2 ⋅R
1 giro della ruota grande 1
=
=
s1 2⋅2 R 2
2R
R
A parità di velocità e tempo, la 2 copre angoli doppi rispetto alla 1,
ω1
ω2
quindi:
2 =2 1 cioè 2 1
Quindi la velocità angolare della ruota posteriore è minore della
velocità angolare della ruota anteriore.
La velocità tangenziale sul bordo della ruota è v t =⋅r perché
vt
:
=
r
v t1 =1⋅2 R mentre v = ⋅R= 2 ⋅2 R= ⋅2 R=v
t2
2
1
t1
2
Quindi il modulo della velocità di un punto sul bordo della ruota posteriore è uguale al modulo della velocità di un punto
sul bordo della ruota anteriore.
vt1
1
v
2
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
8/27
Compito del 24/09/2008
Eguagliando le forze gravitazionali: −
m1 M
R 21
=−
m2 M
R 22
quindi
m1
R1
=
m2
R2
2
.
Eguagliando la forza centripeta del moto circolare con la forza gravitazionale si trova il periodo:
2
m1 M
2
M
4 2 R 31
2
2
−m1 21 R1 =−
= 3 ; T =
; 1 =
1
T1
R 21
R1
M
Analogamente sarà T 22 =
cioè
T1
T2
=
4 2 R 32
M
3
1
2
2
, quindi si può rapportare:
R2
3
2
=
m1
m2
4 2 R 31
3
T1
R1
M
=
=
T2
R2
4 2 R 32
M
[ ]
R1
2
=
4
m1
3
m2
equivalente a:
m1 3 T 1
=
m2
T2
4
.
La forza è conservativa perché è definita in un dominio semplicemente connesso , la qual cosa è una condizione necessaria
affinché esista il potenziale della forza ed essa sia, quindi, conservativa.
Le costanti b e c (presenti nelle componenti Fy e Fz) sono ininfluenti, anche nel termine −by j perché bisogna calcolare
∂ F1
∂F 2
le derivate incrociate del tipo
oppure
: quindi Fy viene derivata o rispetto a x, o rispetto a z.
∂ x1
∂x 2
a
r
Trascurando le costanti, le componenti sono quelle di
3 :
∥r∥
1
2 2
r∥= x y z = x y z
r = x; y ;z ⇒ ∥
È un campo radiale che dipende dall'inverso del quadrato della distanza, quindi si tratta di una forza conservativa.
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
2
2
2
2
2
9/27
Compito del 08/01/2009
L'affermazione a) è VERA: le masse presenti in F =−
=m
espressione deriva dalla F
a , sono le masse inerziali.
u
x
m
m
R
mg
ω
vt
mg
mM
R
2
, essendo misurate dinamicamente dato che tale
Il sistema è isolato, quindi si applicano i principi di
conservazione.
Prima di lasciar cadere le sfere, il momento della quantità di
moto rispetto all'asse di rotazione u è:
.
K
iniz = K uomo 2⋅ R× Q palla = K uomo 2⋅ R×m vt
Quando le sfere cadono, esse sono accelerate verso il basso
dall'attrazione gravitazionale, ma mantengono la velocità
trasversale vt costante: quindi anche la componente
orizzontale della quantità di moto è costante, e così il momento
angolare rispetto all'asse di rotazione u (contribuisce solo la
componente orizzontale della velocità).
Quindi, dato che deve conservarsi la quantità di moto:
=K
K
fin
uomo 2⋅ R× Q palla = K iniz ⇒ K uomo =cost.
cost.
Per cui il moto della persona non cambia, visto che il proprio
momento della quantità di moto è invariato.
R
m
m
ω
mg
vt
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mg
10/27
Compito del 10/02/2009
1
Dato che gli angoli sono molto piccoli, si tratta di
pendoli alle piccole oscillazioni, per cui vale la
2
g
relazione sul periodo: =
.
=
T
l
Sapendo che T 1 =2 T 2 si può già scrivere:
2
T 1=
α
2α
l1
cost.
m2
T1=2T2
T2
d) VERO: con la relazione sui periodi:
T 1=
2
2
⋅ l 1 =
⋅2⋅ l2 ⇒
g
g
cost.
cost.
a) FALSO: in un pendolo semplice alle piccole
oscillazioni il periodo è indipendente dalla massa.
b) FALSO: in un pendolo semplice alle piccole
oscillazioni il periodo è indipendente dall'angolo di
oscillazione.
1
c) VERO: dato che la frequenza è f =
, si ha:
T
f2
1
1
T 1 =2 T 2 ⇒
=2⋅
⇒ f 1=
f1
f2
2
l2
m1
2
2
⋅ l1 =
⋅2⋅l 2
g
g
l1= 4⋅l2
⇒ l 1 =4⋅l 2
.
cost.
e) FALSO.
vi
v
v2
2m
m m
M
v1 M
v1
m
Trattandosi di un'esplosione, cioè di un urto anelastico, non si conserva
l'energia meccanica ma si conserva la quantità di moto (vettoriale):
M =mmm2 mm=6 m
M ∣vi∣=m∣v1∣−m∣v1∣m∣2 v2∣−2 m∣v2∣m∣v∣=m∣v∣
Quindi: v i=
m
m
m
v
v=
v=
M
6m
6
.
2v2
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
11/27
vastr=v
vpalla=v
aastr
apalla
•
SdR:
•
•
Terra: inerziale
astronave: non inerziale (si muove di
moto circolare attorno alla Terra,
quindi è un moto accelerato)
Prima del lancio:
• la palla si muove di moto circolare
uniforme rispetto alla Terra (è solidale
con l'astronave), quindi è sottoposta
alla forza centripeta;
• la palla rimane in quiete rispetto
all'astronave (è solidale con essa)
perché nel SdR non inerziale la forza
centripeta è compensata dalla forza
centrifuga.
Dopo il lancio:
• la palla si muove di moto rettilineo
F
uniformemente accelerato (
)
a=
m
lungo la tangente all'orbita nel punto di
lancio, rispetto al SdR inerziale terrestre: dalla Terra si vede la palla allontanarsi lungo la retta tangente;
la palla si muove di moto curvilineo (parabolico), a partire dal punto di lancio, rispetto al SdR non inerziale
dell'astronave: da essa il moto inerzialmente rettilineo è visto come curvilineo per effetto della forza apparente di
Coriolis, che “devia” la traiettoria.
Compito del 24/02/2009
L'astronave in orbita non è attirata dalla forza gravitazionale della Terra, perché è in assenza di gravità e dunque è in
equilibrio rispetto al pianeta. L'astronauta, a sua volta, è soggetto alla stessa situazione, dunque anch'egli è in equilibrio
con la Terra, anche separatamente dall'astronave.
L'astronave si muove di moto circolare attorno alla Terra, quindi è un sistema accelerato. L'astronauta al suo interno si
trova in un sistema non inerziale, per cui è sottoposto alla forza centripeta del moto che è compensata dalla forza
centrifuga, per cui nessuna forza agisce sullo stesso che non cade verso le pareti dell'astronave.
La forza centrifuga è una forza apparente presente in un SdR non inerziale che sta ruotando. Essa si manifesta sui corpi
che si trovano solidali al SdR, rispetto al quale devono essere fermi, mentre invece il SdR sta ruotando ed è quindi esso
stesso soggetto ad una forza dovuta all'accelerazione centripeta.
La forza centrifuga è apparente perché deve compensare la forza centripeta:
F c=−m 2 P −O (centripeta) si annulla con F ;c=m 2 P −O (centrifuga)
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
12/27
Compito del 22/04/2009
a) FALSO: l'energia meccanica si conserva solo per le forze conservative in presenza di vincoli ideali, invece il teorema
delle forze vive vale per tutte le forze.
b) FALSO: vale per tutte le forze, anche quelle di attrito (anch'esse compiono lavoro).
c) VERO: il teorema delle forze vive si esprime come LAB =T B −T A cioè il lavoro compiuto tra due stati è pari alla
differenza di energia cinetica tra quei due stati.
=
P −O ×Q
=
P −O
P −O
k
?
KG G−O × Q
P −G×QG−O×
Q
?
=
=
P −G G−O
P −O
All'equilibrio (solo componente verticale):
m
g = F1 F2
mg=k⋅ l2k⋅l=3k⋅l=3⋅F 1
2k
Δl
F1
?
KO
Quindi: F 1 =
mg
2
; F 2= mg .
3
3
F2
m
mg
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
13/27
Compito del 18/06/2009
v
M
v2 M/2 M/2
v
M
z
Un'esplosione corrisponde ad un urto anelastico, per il quale non si conserva
l'energia meccanica ma si conserva la quantità di moto:
i=M v k = Qf = M v i M v2
Q
2
2
i
v2 =2 v k−v
v 2 =∣v2∣= 4 v 2v2 = 5 v
x
g
m
m
G
m
l
L
Il momento d'inerzia è I =
∑
n
i=1
mi r2i .
[
]
L
Rispetto alla retta g passante per il centro di massa G: I g =2⋅ 2 m⋅
2
2
=mL2 .
2
2
2
Rispetto alla retta l passante per un lato L: I l =2 m⋅0 2 m⋅L =2 mL .
Ig
mL2
1
=
=
Quindi il rapporto tra i momenti d'inerzia è:
.
I l 2 mL2 2
m
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
14/27
Compito del 15/07/2009
MM =P −M ×
v
MM
i j−2 k
P −M =i3 j− 4 i2 j2 k=−3
= −3 i j −2 k ×6 i j −15 k=
,
j −6 k −15 i−12 j 2 i=
=−3 k−45
=−13 i −57 j −9 k
vaf=(-)2 m/s
vai=(-)3 m/s
a
x
vbf=2 m/s
b
vbi=(-)2 m/s
}
}
1
m
m v 2ai= ⋅9
2
2
1
m
2
T af = m v af = ⋅4
2
2
diminuisce
1
m
m v 2bi = ⋅4
2
2
1
m
2
T bf = m v bf = ⋅4
2
2
resta uguale
T ai=
T bi =
Per il teorema delle forze vive:
La =T af −T ai=
m
m
m
m
m
m
⋅4− ⋅9=− ⋅5 0 ; Lb =T bf −T bi= ⋅4− ⋅4=0
2
2
2
2
2
a) Il momento d'inerzia del sistema disco-bimbo
diminuisce:
I 0 =I disco md 21 I 0 =I disco md 22 perché d1>d2
1
m
O
d1
R
O
M
d2
R
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
M
2
b) Il sistema è isolato, quindi si conserva la quantità di
moto, quindi anche il relativo momento angolare (della
quantità di moto) è costante.
c) Dal punto b) segue che:
Q1 = mv 1Mv 1
Q2 = mv2 Mv 2
=
= mM v1
=mM v 2
per cui v 1 =v2 =v .
v
v
Allora: bimbo 1= d bimbo 2= d aumenta;
1
2
v
v è costante.
disco =
disco =
1
2
R
R
15/27
Compito del 10 /09/2009
m
vs
h
Rn
m
vx
pn α
R
p
α
M
v
Il sistema semisfera+punto è isolato, quindi vi si conserva l'energia
meccanica. Su di esso agiscono le forze vincolari e la forza peso, che
però è ESTERNA al sistema, quindi si conserva solo la componente
orizzontale della quantità di moto. Dato che la massa del punto
materiale è trascurabile rispetto alla massa della semisfera si ha:
vs
m
m v x =M v s ⇒
=
0
M
vx
Quindi la velocità della semisfera, conseguente al moto del punto
materiale su di essa, è trascurabile.
Sul punto materiale agiscono le seguenti forze:
• componente della forza peso, perpendicolare alla semisfera;
• reazione vincolare perpendicolare alla semisfera, nel punto di
contatto;
• forza centripeta del moto circolare lungo la semisfera.
Durante il moto, finché il punto materiale appoggia sulla semisfera, la
differenza tra peso e vincolo determina la forza centripeta:
2
=F
⇒ m g cos−R =m v
p n− R
n
c
n
R
Quando il vincolo si annulla ( R n =0 ) il punto materiale si stacca. È possibile calcolare l'angolo di distacco sapendo la
velocità, che si ottiene dalla conservazione dell'energia meccanica:
{
2
v
m g cos−R
n=m R
0
1
m gR0=m gR cos m v 2
2
;
{
v2
gR
;
2
v =2 gR 1−cos
cos =
{
2 gR 1−cos
gR
;
2
v =2 gR 1−cos
cos =
{
2
⇒ =48,1o
3
v 2=2 gR1−cos
cos =
Quindi la risposta c) è VERA: il punto si stacca dalla semisfera poco dopo la metà del percorso, prosegue la sua
traiettoria per la tangente verso il piano e si allontana dalla semisfera.
v
P
O Fc
Un tipico esempio di forza di modulo costante, con verso perpendicolare alla velocità del suo
punto di applicazione, è la forza centripeta (o anche la centrifuga nei SdR non inerziali) di un moto
circolare uniforme:
F c=−m 2⋅P −O=−m 2⋅r⋅n
Il modulo è costante perché prodotto di fattori costanti (massa m, velocità angolare costante 2 ,
raggio r).
=m
Impostando la F
a si trova l'accelerazione:
2
2
2
v2⋅ t⋅t
v
v
v
ac =−2⋅P −O = 2 ⋅r⋅n= ⋅n= ⋅n=
⋅n
r
r
r
r
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
16/27
È possibile scrivere in tale modo il numeratore perché la velocità del moto circolare è tangenziale:
v =v⋅t .
componenti una terna ortogonale destrorsa, è dimostrato che la forza centripeta ha direzione
Essendo i versori t ; n
perpendicolare alla velocità di spostamento del suo punto di applicazione.
Il vincolo della corda è la forza centripeta. Essendo il moto circolare, forza (centripeta) e spostamento (tangenziale) sono
perpendicolari, dunque il lavoro è nullo perché prodotto scalare tra vettori normali.
L
Essendo la potenza W =
, anch'essa è nulla.
dt
Compito del 19 /11/2009
a. FALSO: l'accelerazione ha due componenti (tangenziale e normale) mentre la velocità è sempre tangente alla
traiettoria. Se è costante il modulo della velocità sarà nulla la componente tangenziale dell'accelerazione, ma nulla è
specificato per quanto riguarda quella normale (il moto potrebbe essere circolare uniforme).
b. VERO: accelerazione nulla significa che nessuna delle due componenti (tangenziale e normale) provoca una
variazione di modulo e/o verso della velocità, quindi il modulo della velocità resta costante.
c. VERO: accelerazione nulla significa che nessuna delle due componenti (tangenziale e normale) provoca una variazione
di modulo e/o verso della velocità, quindi la velocità resta costante in modulo, direzione e verso.
d. FALSO: la costanza del vettore velocità implica che siano costanti sia il modulo sia il verso della velocità, quindi
nessuna accelerazione sta modificando questi due parametri. Quindi l'accelerazione deve essere nulla.
a. e b. La distanza di valutazione è inferiore al raggio del guscio, quindi non si può applicare il teorema di Gauss sui
campi gravitazionali o l'analogo, per questo caso:
P =0 .
All'interno del corpo i contributi del guscio si annullano, quindi il campo gravitazionale è nullo: G
c. La distanza di valutazione è superiore al raggio del guscio, cioè al suo esterno, quindi si può calcolare il campo di forza
gravitazionale, supponendo tutta la massa concentrata nel centro di massa della sfera (il suo centro):
2
1
M
300 kg
−11 N⋅m
G P =
F P =− 2 =−6,67⋅10
=3,20⋅10−9 N/kg
2
2 2
m
d
kg
2,5 m
d. Le unità di misura della costante gravitazionale G sono:
[ ][
N⋅m
kg2
2
=
2
][
2
][ ]
3
N m
m m
m
⋅
= 2⋅
=
kg kg
kg
s
kg⋅s2
.
=m
v =cost. ⇒
a=0 ⇒ F
a=0
=0 ⇒ K
=cost. per la Seconda equazione
Una forza nulla non ha momento, quale che sia il braccio: F =0 ⇒ M
cardinale della dinamica.
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
17/27
Compito del 23 / 12 /2009
a=g .
In tutti i casi i corpi hanno v 0=0 e
I casi si differenziano per l'effetto dell'attrito dell'aria nei confronti degli oggetti:
1. il foglio di carta non appallottolato oppone la massima resistenza all'avanzamento;
2. il foglio di carta appallottolato, non essendo una sfera perfetta, oppone maggiore resistenza rispetto alla pallina,
ma quasi nulla rispetto al foglio non appallottolato;
3. dentro al tubo a vuoto, non essendoci attrito dovuto alla resistenza dell'aria, quale che sia la forma della carta i
due oggetti non saranno mai frenati e arrivano assieme a terra.
Compito del 12 / 01 /2010
a. FALSO:
• la forza centripeta non compie lavoro perché è perpendicolare alla direzione di spostamento;
• la forza peso compie lavoro perché c'è una variazione di quota (si considera solo un quarto di giro).
b. VERO: per il teorema delle forze vive:
1
1
L TOT =T f −T i= m v2f − m v 2i =0 perché v=cost.
2
2
c. FALSO: agiscono la forza centripeta e la forza peso.
d. VERO: il moto circolare è sempre un moto accelerato (accelerazione centripeta).
F
m1
Fc
m2
a
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
=m
È sufficiente impostare la F
a e osservare che i due corpi, quando
sono spinti, si muovono a contatto per cui hanno la stessa accelerazione:
F =m1 m2 a
m2
1
F c =m2 a=
⋅F = ⋅3 N=1 N
m1 m2
3
{
18/27
Compito del 12 / 04 /2010
Sui punti materiali agisce solo la forza peso, che è conservativa. Essendo le quote uguali, sono uguali i lavori:
LA =L B =mg⋅ h
1
1
1
LA =L B =T f −T i= mv 2f −
mv 2i = mv2f ⇒ v f =vf
A
B .
2
2
2
Per il teorema delle forze vive:
0 perché v i= 0
Dato che le guide sono lunghe uguali e vengono percorse alla stessa velocità, i due punti raggiungono il termine della
rispettiva guida nel medesimo istante.
Compito del 30 / 04 /2010
l1
k1
k2
k1
l2
F
a) FALSO: quando la molla k1 è sola, la legge di Hooke si scrive
F =k1⋅l 1 . Quando le molle sono in coppia, invece, la legge di
Hooke diventa F =k1⋅l1 =k2⋅l 2 perché la molla k1, tirata, tira a sé
la molla k2. Quindi, se k1=k2, saranno uguali anche gli allungamenti.
b) VERO: per quanto detto sopra, la molla k1 si tende di pari
allungamento, essendo soggetta a pari forza. Le due costanti allora
stanno tra loro in proporzione:
F =k1⋅1 cm=k2⋅0,5 cm ⇒ k2 =2 k1
2
c) FALSO: l'energia potenziale della molla k1 da sola è U e1=k 1 l1
mentre l'energia potenziale delle due molle assieme è la somma:
U e =k1 l21 k2 l 22 U e
12
F
F
1
d) FALSO: (vedi punto e)).
e) VERO:
l 21
2
2
2
U e12 =k1 l1 k2 l 2 =k1 l 12 k1
4
=k1 l 21 1
1
2
.
f) FALSO: (vedi punto e)).
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
19/27
Bisogna eguagliare l'espressione della forza centripeta del moto circolare con la forza di attrazione gravitazionale, in
condizioni iniziali (caso reale) e finali (massa del Sole quadruplicata).
a) FALSO: è vero che l'accelerazione quadruplica, ma il periodo non è quattro volte minore (vedi risposta d)).
b) FALSO: è vero che il periodo dimezza (vedi risposta d)), ma l'accelerazione non raddoppia, infatti:
mM
m⋅4 M
F iniz =−
=4⋅F iniz , dunque per la F
=m
e F fin=−
a si ha che afin=4⋅ainiz .
2
R
R2
c) FALSO (per esclusione delle altre risposte)
d) VERO:
mM
m⋅4 M
F iniz =−
=4⋅F iniz ;
•
e F fin=−
2
R
R2
4 2
mM
2
4 2 R 3 1
F
=−m
R
=−m
R=−
•
da cui T iniz =
, mentre
iniz
⋅
2
2
T iniz
R
M
4 2
m⋅4 M
2
4 2 R 3
1
1
F fin=−m R=−m 2 R=−
da
cui
T
=
⋅
= T iniz
2
fin
T fin
R
2M 2
Le affermazioni sono entrambe FALSE.
a)
MO =P −O×ℜ=0
b)
ℜ=m
a=0
non può implicare che
perché vale
=P −O ×Q=0
(impossibile)
K
=P −O ×Q=cost.
per la Seconda eq. card. dinamica
K
=P −O ×Q=0
non può implicare che
(impossibile)
K
perché con
a=0 ⇒
v =cost. ⇒ Q=cost. consegue K≠0 per la Prima eq. card. dinamica
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
20/27
Compito del 14 / 06 /2010
Forze che dipendono da velocità o tempo non sono conservative, perché non sono posizionali.
a. FALSO: una legge del moto che affermi che v ∝T è assurda (se aumenta la velocità non può aumentare il tempo di
percorrenza).
b. FALSO: sarebbe un moto uniforme a velocità costante, ma ciò non esiste su orbita ellittica.
1 P −O×
v =cost. . Essendo la massa costante, si ha una formula
c. VERO: è costante la velocità areolare A=
2
=P −O ×m
analoga e costante per il momento della quantità di moto: K
v =cost. per analogia.
Compito del 13 / 07 /2010
v0
α
h
Per la conservazione dell'energia meccanica (il sistema è isolato) vale:
1
1
mgh m v 20 = m v2fin
2
2
2
Quindi v fin= 2 ghv0 non dipende dall'angolo di lancio.
y
x
Si eguaglia la forza di attrazione gravitazionale con la forza centripeta del moto circolare del satellite:
F grav =F centr
mM
−
=−m 2 R il raggio R non dipende dalla massa m del satellite (risposta a. FALSA)
2
R
3 M
R=
il raggio R è proporzionale alla radice cubica della massa M della Terra (risposta b. VERA)
2
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
21/27
C ompito del 08 /11 /2010
In assenza di attrito, se un corpo appoggiato su di un altro in movimento è in quiete rispetto al SdR solidale all'oggetto in
moto, significa che questo moto è rettilineo uniforme, per il Primo principio della dinamica.
[Se vi fosse stato attrito, invece, pur valendo ancora il Primo principio della dinamica si avrebbe potuto avere anche il
caso di corpo fermo per alcuni casi di accelerazione del SdR, cioè per i valori di forza legata all'accelerazione inferiori
alla forza di attrito statico che vincola il corpo al SdR: in questo caso l'oggetto non è in quiete per inerzia, ma per cause
vincolari.]
In completa assenza di attrito, gli oggetti si muovono istantaneamente rispetto al SdR del camion non appena questi
accelera, trasformando così il proprio SdR da inerziale a non-inerziale: gli oggetti sono così sottoposti all'accelerazione di
trascinamento aT =−acamion (di verso opposto nel SdR del camion). Dato che tutti gli oggetti sono ugualmente
accelerati, tutti hanno la stessa legge oraria e si muovono verso il retro del pianale identicamente: le masse non
influiscono nel moto.
a. FALSO:
E=T V =
1
m v 2
2
mgh
≠cost.
varia con la quota
cost.
b. FALSO: essendo v=cost. sarà a=0 e F =ma=0 , però agisce sempre la forza peso ed eventualmente la forza
centripeta nei tratti curvilinei.
c. FALSO: il lavoro è nullo solo al termine di un giro completo, quando i potenziali iniziale e finale della forza peso sono
uguali.
d. FALSO: l'attrito delle guide può solo concorrere a diminuire la velocità, perché con esso si dissipa energia termica.
v ).
e. VERO: Q=mv=cost. in modulo (varia in direzione con
L'affermazione c) è VERA: dato che all'interno di una superficie sferica non esistono effetti del campo di forza
gravitazionale generato dalla sfera stessa, la massa m non è soggetta ad alcuna forza, quindi il suo moto non può essere
accelerato e deve essere rettilineo uniforme.
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
22/27
Compito del 12 / 01 /2011
a. FALSO: tutte le forze possono compiere lavoro.
b. FALSO: per il teorema delle forze vive LAB =T B −T A = T , quindi dato che le forze conservative compiono
lavoro anche l'energia cinetica cambia.
c. FALSO: il lavoro compiuto da una forza conservativa è uguale alla variazione dell'energia meccanica (potenziale e
cinetica) associata a quella forza.
d. FALSO:
m
g
V=-U
V=-U
aumenta perché di
verso opposto
diminuisce perché
di stesso verso
x
r
e. VERO:
x
F=∇U
F=∇U
aumenta con x
aumenta con x
v
Per il teorema delle forze vive (supponendo che all'inizio il cilindro fosse fermo):
L=T finale−T
iniziale
0
Per il teorema di König, applicato al corpo rigido: L=T finale=
1
I 2 .
2 c
1
m r2 . Questo cilindro però ruota attorno al punto di contatto,
2
quindi bisogna ricalcolare il relativo momento d'inerzia col teorema di Huygens3
2 1
2
2
2
Steiner: I c =I g mr = m r m r = m r .
2
2
2
v
2
Il fattore di velocità angolare è =
.
r
2
3
2 v
L=T
=
m
r
⋅
=20250 J .
In definitiva:
finale 2
2
r
c
Per un cilindro: I g =
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
23/27
Considerazioni generali per lo svolgimento.
1
2 .
• La velocità angolare totale è la somma vettoriale delle due velocità angolari presenti: =
• La velocità angolare
1 ha asse di rotazione e direzione variabili rispetto a un SdR inerziale (es. Terra),
mentre invece ha l'asse di rotazione fisso rispetto a un SdR non inerziale solidale col disco rotante.
2 è rispetto ad un asse fisso, quindi
• Sempre considerando il SdR solidale col disco rotante, la sua velocità
non dà contributo all'accelerazione angolare.
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
24/27
Compito del 15 / 02 /2011
1
vf
v
1
v
2
Dato che i veicoli rimangono incastrati, si tratta di un perfetto caso di urto
anelastico.
a. FALSO: negli urti anelastici non si conserva l'energia meccanica, dunque
neanche l'energia cinetica.
b. FALSO: dato che l'urto è ad angolo retto, l'ammasso si muoverà in una
direzione compresa nel quadrante determinato dalle direzioni delle due
velocità iniziali.
c. VERO: un urto in un caso del genere (in assenza di attrito) avviene in un
sistema isolato, quindi si conserva la quantità di moto:
m1 v1 m 2 v2 =m 1m2 vf
d. FALSO: negli urti anelastici non si conserva l'energia meccanica.
2
=m
Si imposta la F
a :
k⋅D=2 m⋅a ⇒ a=
kD
2m
Per via del moto della molla, le masse partono dal punto iniziale (distante D da O), raggiungono O e lo superando,
raggiungono un punto alla distanza massima D rispetto a O ma sul lato opposto, quindi tornano indietro verso il punto
iniziale. Il moto è armonico. Suddividendo come descritto il moto, è facile vedere che per raggiungere il punto O dal
1
punto di partenza serve
del periodo del moto armonico.
4
=m
Si sa che il moto armonico ha equazione generale ẍ2 x=0 . Impostando la F
a si trova la pulsazione:
k
kD=2 ma ⇒ −kx=2 m ẍ per cui l'equazione del moto in questo caso diventa ẍ
x=0
2m
k
2
T
2 2 m
=
⇒ T=
⇒ t 0= =
=
2m
4
k
4 2
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
25/27
Compito del 12/04/2011
Per avere due vettori perpendicolari tra loro deve annullarsi il prodotto scalare (dove compare il coseno dell'angolo
compreso):
a⋅
b =0 .
Per avere tre vettori complanari si deve annullare il triplo prodotto tra i tre (geometricamente un triplo prodotto nullo è un
parallelepipedo degenere, con altezza nulla e dunque volume nullo): a
×b⋅c =0 .
i−2 j10 k=0
a⋅b =0
x ij0
k⋅y
;
i−2 j10
i jk=0
a ×
b⋅c =0
x ij0
k×y
k⋅
{
{
{
xy −2=0
10−12x−y =0
z
c
a
x
y
axb
b
;
{
−12x 210 x−2=0
y =10−12x
{ {{
{
{
1
3
y1 =6
x1=
1
x2=
2
y 2 =4
;
{
{
;
5
1
x =0
6
6
y=10−12x
x 2−
1
;1 ; 0
3
y 1 = 6 ;−2; 10
a1 =
1
; 1; 0
2
y 2 = 4 ;−2 ;10
x2 =a2 =
Comp ito del 12/05/2011
ωauto
v
ωruota
ωruota
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
a) VERO. Durante il volo, l'automobile non è un sistema isolato (agisce
la forza peso), ma rispetto al centro di massa il peso (tutto lì applicato)
ha momento nullo, quindi si conserva il momento della quantità di
moto.
Al momento della quantità di moto contribuiscono la rotazione della
macchina (il moto è parabolico dunque curvilineo) e la rotazione delle
ruote (tutte con velocità angolare ruota concorde col moto dell'auto).
Se le ruote vengono fermate, il loro contributo al momento angolare
viene a mancare: per conservare il momento angolare deve aumentare la
velocità angolare dell'auto, dato che gli ruota erano concordi. Quindi
l'auto tenderà a ruotare su se stessa, attorno al proprio centro di massa,
più velocemente rispetto a quanto già previsto dal moto curvilineo: si
inclinerà in avanti e punterà il cofano verso il basso.
b) FALSO (vedi punto a))
c) FALSO: la frenatura delle ruote non modifica in alcun modo la
velocità dell'automobile, visto che si è in aria e non è possibile applicare
alcuna forza al proposito.
d) FALSO (vedi punto c))
e) FALSO (vedi punto a))
26/27
La densità è la quantità di massa per unità di volume:
M
kg
=
V
m3
h
[ ]
Bisogna eguagliare le forze di attrazione gravitazionali che
determinano il peso nei due casi, alle due differenti distanze dal centro
di massa (attenzione che nei due casi cambia la massa della Terra):
3
m⋅M
m⋅R−d
−
=−
2
2
Rh
R−d
La massa della Terra in funzione della densità è M =R 3 :
R3
R3
R3
R−d=
=
⇒ d=R−
=195,39 km
2
2
2
Rh
Rh
Rh
R
d
ρ(R-d)3
ρR3=M
a. FALSO: dato un punto materiale esiste sempre almeno un sistema di riferimento inerziale rispetto al quale esso si trova
a riposo oppure si muove di moto rettilineo uniforme.
b. VERO: esistono infiniti SdR inerziali, i quali si muovono tutti di moto rettilineo uniforme vicendevolmente, e nessuno
di questi è privilegiato ma sono tutti ugualmente inerziali.
c. FALSO: non esiste alcun SdR privilegiato; inoltre, non esiste alcun SdR rispetto al quale tutti gli altri si muovano di
moto rettilineo uniforme, altrimenti esso stesso sarebbe un SdR privilegiato.
=m
Perché la molla si tenda serve aA aB . Proiettando le forze lungo il piano inclinato si imposta la F
a , facendo
attenzione ai versi (per il corpo A la molla agisce tirandolo verso l'alto, per il corpo B la molla agisce spingendolo verso il
basso):
mg sen −A mg cos=M a A +
mg sen −B mg cos=M aB --
⇒ B −A 0 ⇒ B A
0−A −B mg
cos
=M
a
−a
A B
{
0
Fisica generale L-A – Domande stravaganti
0
0
27/27
