APPLICAZIONI DELLA DERIVATA – VARIAZIONI ISTANTANEE, PROBLEMI DI OTTIMO 1. La carica elettrica q che attraversa la sezione di un conduttore è data dalla relazione: π = π −3π‘+2 . Calcolare l’intensità della corrente nel conduttore all’istante t = 6 s. 2. Una resistenza R = 20 ohm viene percorsa da una corrente i variabile nel tempo secondo la relazione : π(π‘) = 3π‘ . Determinare l‘istante in cui la potenza dissipata nella resistenza R è massima e poi il π‘ 2 +1 valore della potenza massima [W = Ri2]. 3. Un generatore, avente una resistenza interna r = 4 ohm e una f.e.m. V = 280 volt, è collegato ad un circuito esterno dotato di una resistenza R. Determinare il valore della resistenza R su cui il generatore dissipa la potenza W massima, mantenendo costanti V e r. Calcolare poi il valore di tale potena massima dissipata. 4. Un circuito elettrico è costituito da un consensatore di capacità C = 250 οF collegato ai morstti di un generatore di f.e.m. alternata V = V0οsin ο·t. La carica q in movimento nel circuito è data dalla relazione q = CV = CV0ο sin ο·t. Calcolare l’intensità della corrente all’istante t = 4s, essendo noti la pulsazione ο· = 100ο° rad/s e la tensione V0 = 100V. _________________ 5. La carica elettrica che attraversa la sezione di un conduttore al variare del tempo segue la legge π(π‘) = 3π −π‘ β πππ π‘. Determina l’intensità della corrente in funzione del tempo. 6. Una corrente alternata attraversa la sezione di un conduttore. La carica q al variare del tempo segue la legge π(π‘) = 2cos(2ππ‘ + 1). Determina l’intensità della corrente in funzione del tempo. 7. La velocità v (in m/s) di un corpo in moto rettilineo dopo t secondi dalla partenza è espressa dalla funzione π£(π‘) = 2π‘ 3 − 36π‘ 2 . Dopo quanti secondi dalla partenza l’accelerazione del corpo diventa nulla? 8. Un’automobile inizia a frenare mentre si avvicina a un incrocio. Dopo aver frenato per t secondi l’automobile ha percorso dal punto in cui si trovava quando ha iniziato a frenare una distanza s(t) (in metri) espressa dalla funzione π (π‘) = −π‘ 2 + 18π‘. Quale distanza percorre l’automobile dal momento in cui viene azionato il freno fino a quando si ferma? 9. Il numero di componenti meccanici assemblati durante un ciclo di lavorazione di 8 ore è ben modellizzato dalla funzione π(π‘) = 400π‘ 2 12+π‘ 2 , dove N(t) rappresenta i numero di componenti assemblati e t è il tempo, misurato in ore, con 0 ≤ π‘ ≤ 8. In quale momento del ciclo di produzione la velocità con cui i componenti vengono assemblati è massima? 10.Un’azienda produce dei sacchi. Si indichi con x il numeri di centinaia di sacchi prodotti in u anno dall’azienda. Il costo di fabbricazione di x centinaia di sacchi , espresso in migliaia di euro, è ben 1 π₯ approssimato dalla funzione πΆ(π₯) = 2π₯ + π 2 . Il ricavo, in migliaia di euro, ottenuto dalla vendita di x centinaia di sacchi, è espresso dalla funzione: R(x) = 10x. a) determina l’espressione analitica della funzione G(x) che esprime il guadagno (in migliaia di euro) derivante dalla vendita di x centinaia di sacchi. b) qual è i massimo guadagno che l’azienda può realizzare in un anno e in corrispondenza di quale valore di x si ottiene? 11.La numerosità di una popolazione di insetti è ben modellizzata dalla funzione π(π‘) = 8000 1+40βπ −0.2π‘ , dove P(t) rappresenta il numeri di insetti della popolazione e t è il tempo misurato in mesi. Stabilisci dopo quanto tempo dall’inizio dell’osservazione (t = 0) la velocità di crescita della popolazione inizia a diminuire. 12.In una ditta i costi di produzione sono suddivisi in costi fissi (1000 euro) e costi variabili a seconda della quantità q di merce prodotta. I costi variabili seguono la legge πΆ(π) = 12π 2 − 960π . Il ricavo rispetto alla merce venduta v è dato da R(v) = 10v2. Supponendo cha la quantità di merce prodotta e la quantità di merce venduta siano uguali , trova il quantitativo di merce per il massimo guadagno.