APPLICAZIONI DELLA DERIVATA – VARIAZIONI ISTANTANEE, PROBLEMI DI OTTIMO
1. La carica elettrica q che attraversa la sezione di un conduttore è data dalla relazione:
𝑞 = 𝑒 −3𝑡+2 .
Calcolare l’intensità della corrente nel conduttore all’istante t = 6 s.
2. Una resistenza R = 20 ohm viene percorsa da una corrente i variabile nel tempo secondo la relazione :
𝑖(𝑡) =
3𝑡
. Determinare l‘istante in cui la potenza dissipata nella resistenza R è massima e poi il
𝑡 2 +1
valore della potenza massima [W = Ri2].
3. Un generatore, avente una resistenza interna r = 4 ohm e una f.e.m. V = 280 volt, è collegato ad un
circuito esterno dotato di una resistenza R. Determinare il valore della resistenza R su cui il generatore
dissipa la potenza W massima, mantenendo costanti V e r. Calcolare poi il valore di tale potena massima
dissipata.
4. Un circuito elettrico è costituito da un consensatore di capacità C = 250 F collegato ai morstti di un
generatore di f.e.m. alternata V = V0sin t. La carica q in movimento nel circuito è data dalla relazione
q = CV = CV0 sin t. Calcolare l’intensità della corrente all’istante t = 4s, essendo noti la pulsazione
= 100 rad/s e la tensione V0 = 100V.
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5. La carica elettrica che attraversa la sezione di un conduttore al variare del tempo segue la legge
𝑞(𝑡) = 3𝑒 −𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑡. Determina l’intensità della corrente in funzione del tempo.
6. Una corrente alternata attraversa la sezione di un conduttore. La carica q al variare del tempo segue la
legge 𝑞(𝑡) = 2cos(2𝜋𝑡 + 1).
Determina l’intensità della corrente in funzione del tempo.
7. La velocità v (in m/s) di un corpo in moto rettilineo dopo t secondi dalla partenza è espressa dalla
funzione 𝑣(𝑡) = 2𝑡 3 − 36𝑡 2 . Dopo quanti secondi dalla partenza l’accelerazione del corpo diventa
nulla?
8. Un’automobile inizia a frenare mentre si avvicina a un incrocio. Dopo aver frenato per t secondi
l’automobile ha percorso dal punto in cui si trovava quando ha iniziato a frenare una distanza s(t) (in
metri) espressa dalla funzione 𝑠(𝑡) = −𝑡 2 + 18𝑡. Quale distanza percorre l’automobile dal momento
in cui viene azionato il freno fino a quando si ferma?
9. Il numero di componenti meccanici assemblati durante un ciclo di lavorazione di 8 ore è ben
modellizzato dalla funzione
𝑁(𝑡) =
400𝑡 2
12+𝑡 2
, dove N(t) rappresenta i numero di componenti
assemblati e t è il tempo, misurato in ore, con 0 ≤ 𝑡 ≤ 8. In quale momento del ciclo di produzione la
velocità con cui i componenti vengono assemblati è massima?
10.Un’azienda produce dei sacchi. Si indichi con x il numeri di centinaia di sacchi prodotti in u anno
dall’azienda. Il costo di fabbricazione di x centinaia di sacchi , espresso in migliaia di euro, è ben
1
𝑥
approssimato dalla funzione 𝐶(𝑥) = 2𝑥 + 𝑒 2 .
Il ricavo, in migliaia di euro, ottenuto dalla vendita di x centinaia di sacchi, è espresso dalla funzione:
R(x) = 10x.
a) determina l’espressione analitica della funzione G(x) che esprime il guadagno (in migliaia di euro)
derivante dalla vendita di x centinaia di sacchi.
b) qual è i massimo guadagno che l’azienda può realizzare in un anno e in corrispondenza di quale valore
di x si ottiene?
11.La numerosità di una popolazione di insetti è ben modellizzata dalla funzione 𝑃(𝑡)
=
8000
1+40∙𝑒 −0.2𝑡
,
dove P(t) rappresenta il numeri di insetti della popolazione e t è il tempo misurato in mesi. Stabilisci
dopo quanto tempo dall’inizio dell’osservazione (t = 0) la velocità di crescita della popolazione inizia a
diminuire.
12.In una ditta i costi di produzione sono suddivisi in costi fissi (1000 euro) e costi variabili a seconda della
quantità q di merce prodotta. I costi variabili seguono la legge 𝐶(𝑞) = 12𝑞 2 − 960𝑞 . Il ricavo rispetto
alla merce venduta v è dato da R(v) = 10v2. Supponendo cha la quantità di merce prodotta e la quantità
di merce venduta siano uguali , trova il quantitativo di merce per il massimo guadagno.
