8 Integrazione numerica.pptx

Integrazione numerica dell’equazione del moto
per un sistema lineare viscoso a un grado di libertà
Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture
1
Introduzione
1/2
L’equazione del moto di un sistema viscoso a un grado di libertà non può essere risolta analiticamente se l’eccitazione varia con legge arbitraria, oppure se il sistema non è lineare. In questi casi la risposta può essere calcolata integrando numericamente l’equazione del moto. Il carico applicato p(t) viene descritto da un insieme di valori discreti pi = p(ti),
con
i = 0, 1, 2, …, N. Di solito, gli intervalli di tempo
Δti+1 = ti+1 − ti
detti passi di integrazione, si assumono di ampiezza costante, indicata con Δt .
p(t)
pi
p1 p2
p3
p0
t0 t1 t2 t3
!t
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ti
tN
t
2
Introduzione
2/2
Per ogni passo di integrazione, il procedimento di integrazione numerica consente di calcolare la risposta all’istante finale ti+1, nota la risposta all’istante iniziale ti. Applicando il procedimento in sequenza si ottiene la risposta ui = u(ti) per tutti gli istanti di tempo ti considerati.
Poiché, a differenza del metodo dell’integrale di convoluzione, non è necessario ricorrere al principio di sovrapposizione degli effetti, il procedimento di integrazione numerica può essere impiegato anche per sistemi non lineari. Un metodo di integrazione numerica deve possedere due importanti requisiti: (i) convergenza: al diminuire dell’ampiezza degli intervalli la risposta deve convergere a quella esatta; (ii) stabilità: la soluzione numerica deve essere stabile nei confronti degli errori di arrotondamento.
p(t)
pi
p1 p2
p3
p0
t0 t1 t2 t3
!t
ti
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tN
t
3
Il metodo di Newmark
Il metodo di Newmark si basa sulle seguenti equazioni integrali
ui+1 = ui + ∫
Δti +1
0
u(τ ) dτ
ui+1 = ui + ∫
Δti +1
0
u (τ ) dτ
che consentono di calcolare la velocità e lo spostamento al termine del passo di integrazione, sommando ai loro valori iniziali un’espressione integrale. La variazione di velocità dipende dall’integrale dell’accelerazione, mentre la variazione di spostamento dipende dall’integrale della velocità. Queste relazioni possono essere utilizzate se si assume arbitrariamente nota la legge di variazione dell’accelerazione ü(τ) all’interno del passo di integrazione. Una tale ipotesi, infatti, permette di definire anche la legge di variazione della velocità, consentendo di passare così al successivo intervallo di integrazione. Nella formulazione di Newmark le relazioni assumono la forma
ui+1 = ui + ⎡⎣(1− γ ) Δt ⎤⎦ ui + (γΔt ) ui+1
(
)
ui+1 = ui + ( Δt ) ui + ⎡⎣( 0.5 − β ) Δt 2 ⎤⎦ ui + βΔt 2 ui+1
in cui l’ampiezza del passo di integrazione, Δt, è stata assunta costante. I parametri β e γ definiscono la variazione dell’accelerazione all’interno del passo e controllano le caratteristiche di stabilità del metodo. Di solito si pone
1
1
1
≤β≤
e
γ =
6
4
2
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4
Accelerazione costante nel passo
Se si assume che l’accelerazione sia costante nel passo e pari alla media dei valori iniziale e finale
1
u(t)
u(τ ) = ( ui + ui+1 )
! = 1/4
2
ui+1
sostituendo nelle relazioni precedenti e integrando due volte si ha
τ
τ
u (τ ) = ui + ∫ u(τ ) dτ = ui + ( ui + ui+1 )
0
2
τ
τ2
u (τ ) = ui + ∫ u (τ ) dτ = ui + τ ui + ( ui + ui+1 )
0
4
ui
0
ti
ti+1
t
da cui si ottengono i seguenti valori finali della velocità e dello spostamento
Δt 2
Δt
ui+1 = ui + ( Δt ) ui +
ui + ui+1 )
ui+1 = ui + ( ui + ui+1 )
(
4
2
Confrontando queste relazioni con quelle di Newmark, si può osservare che assumere una variazione costante dell’accelerazione nel passo corrisponde a porre in queste ultime β=
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1
4
e
γ =
1
2
5
Accelerazione lineare nel passo
Se si assume che l’accelerazione sia lineare nel passo di integrazione τ
(ui+1 − ui )
Δt
sostituendo nelle relazioni precedenti e integrando due volte si ha
u(t)
u(τ ) = ui +
! = 1/6
ui+1
τ2
u (τ ) = ui + ∫ u(τ ) dτ = ui + τ ui +
ui+1 − ui )
(
0
2Δt
τ
τ2
τ3
u (τ ) = ui + ∫ u (τ ) dτ = ui + τ ui + ui +
(ui+1 − ui )
0
2
6Δt
τ
ui
0
ti
ti+1
t
da cui si ottengono i seguenti valori finali della velocità e dello spostamento
1
Δt
⎛1
⎞
ui+1 = ui + ( Δt ) ui + Δt 2 ⎜ ui + ui+1 ⎟
ui + ui+1 )
(
⎝3
⎠
6
2
Confrontando queste relazioni con quelle di Newmark, si può osservare che assumere una variazione costante dell’accelerazione nel passo corrisponde a porre in queste ultime ui+1 = ui +
β=
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1
6
e
γ =
1
2
6
Il metodo di Newmark in forma esplicita
1/6
Così come è stato formulato, il metodo di Newmark è implicito. Infatti, i valori della velocità e dello spostamento al termine del passo di integrazione dipendono dal valore finale dell’accelera-
zione, inizialmente incognito. Di conseguenza, il calcolo deve essere effettuato iterativamente a partire da un valore iniziale di tentativo. Dal punto di vista computazionale è preferibile trasformare le relazioni di Newmark in modo da rendere esplicito il metodo. In questo caso, poiché la risposta finale dipende solo dai valori iniziali, non sono richieste iterazioni ed è possibile passare direttamente da un passo di integra-
zione al successivo. Le relazioni di Newmark possono essere convertite in forma esplicita nel caso di sistemi lineari. A tale scopo si considerino le equazioni del moto al termine e all’inizio del passo di integrazione
m
ui+1 + cui+1 + kui+1 = pi+1
m
ui + cui + kui = pi
Sottraendo membro a membro si ha
m ( ui+1 − ui ) + c ( ui+1 − ui ) + k ( ui+1 − ui ) = pi+1 − pi
che si può scrivere nella forma incrementale
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Il metodo di Newmark in forma esplicita
…
in cui
2/6
mΔ
ui + cΔui + kΔui = Δpi
Δ
ui = ui+1 − ui ,
Δui = ui+1 − ui ,
Δui = ui+1 − ui ,
Δpi = pi+1 − pi
Anche le relazioni
ui+1 = ui + ⎡⎣(1− γ ) Δt ⎤⎦ ui + (γΔt ) ui+1
(
)
ui+1 = ui + ( Δt ) ui + ⎡⎣( 0.5 − β ) Δt 2 ⎤⎦ ui + βΔt 2 ui+1
possono essere scritte in forma incrementale. Si ha
Δt 2
Δui = ( Δt ) ui + (γΔt ) Δ
ui
Δui = ( Δt ) ui +
ui + βΔt 2 Δ
ui
2
Dalla seconda si può ricavare l’incremento di accelerazione
(
Δ
ui =
)
1
1
1

Δu
−
u
−
ui
i
i
2
βΔt
βΔt
2β
Sostituendo nella prima si ottiene
Δui =
⎛ γ
⎞
γ
γ
Δui − ui − Δt ⎜
− 1⎟ ui
⎝ 2β ⎠
βΔt
β
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Il metodo di Newmark in forma esplicita
3/6
Sostituendo le relazioni
Δ
ui =
1
1
1

Δu
−
u
−
u
βΔt 2 i βΔt i 2 β i
Δui =
⎛ γ
⎞
γ
γ
Δui − ui − Δt ⎜
− 1⎟ ui
⎝ 2β ⎠
βΔt
β
nell’equazione del moto in forma incrementale
mΔ
ui + cΔui + kΔui = Δpi
dopo alcuni passaggi si ha
⎡ 1
⎛ 1
⎞
⎛ 1
⎛ γ
⎞ ⎤
γ
γ ⎞

m
+
c
+
k
Δu
=
Δp
+
m
+
c
u
+
m
+
Δt
−
1
c ⎥ ui
⎢
i
i
i
⎜⎝ βΔt 2
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝ βΔt
⎝ 2β ⎠ ⎦
βΔt
β ⎠
⎣ 2β
Ponendo
k̂ =
1
γ
m
+
c+k
2
βΔt
βΔt
⎡ 1
⎛ 1
⎛ γ
⎞ ⎤
γ ⎞
Δp̂i = Δpi + ⎜
m + c⎟ ui + ⎢ m + Δt ⎜
− 1⎟ c ⎥ ui
⎝ βΔt
⎝
⎠ ⎦
β ⎠
2
β
2
β
⎣
si ottiene
k̂Δui = Δp̂i
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Il metodo di Newmark in forma esplicita
…
4/6
k̂Δui = Δp̂i
da cui si ricava l’incremento di spostamento nel passo di integrazione
Δp̂i
k̂
Noto Δui, gli incrementi di velocità e di accelerazione nel passo possono essere calcolati mediante le relazioni
Δui =
Δui =
⎛ γ
⎞
γ
γ
Δui − ui − Δt ⎜
− 1⎟ ui
⎝ 2β ⎠
βΔt
β
Δ
ui =
1
1
1

Δu
−
u
−
ui
i
i
2
βΔt
βΔt
2β
La risposta al tempo ti+1 può infine essere determinata attraverso le relazioni ui+1 = ui + Δui
ui+1 = ui + Δui
ui+1 = ui + Δ
ui
In alternativa, l’accelerazione può essere anche ottenuta dall’equazione del moto scritta al tempo ti+1, cioè 1
ui+1 = ( pi+1 − cui+1 − kui+1 )
m
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Il metodo di Newmark in forma esplicita
…
ui+1 =
5/6
1
pi+1 − cui+1 − kui+1 )
(
m
Per iniziare il procedimento, questa relazione deve essere utilizzata per la valutazione dell’accelerazione iniziale in funzione delle condizioni iniziali del moto, cioè
u0 =
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1
p0 − cu0 − ku0 )
(
m
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Il metodo di Newmark in forma esplicita
6/6
Stabilità e convergenza
Si può dimostrare che il metodo di Newmark è stabile se risulta
Δt
1
≤
T π 2
1
γ − 2β
in cui T è il periodo naturale di vibrazione del sistema. Ponendo β = 1/4 e γ = 1/2, risulta
Δt
<∞
T
che implica che il metodo dell’accelerazione costante nel passo è incondizionatamente stabile. Inoltre, ponendo nella β = 1/6 e γ = 1/2, si ha che il metodo dell’accelerazione lineare nel passo è stabile se risulta
Δt
≤ 0.551
T
Questa condizione è poco rilevante perché, al fine di ottenere una rappresentazione sufficiente-
mente accurata dell’eccitazione e della risposta, è necessario scegliere un intervallo di integra-
zione sicuramente più piccolo di 0.551T. Il metodo dell’accelerazione lineare nel passo è preferibile a quello dell’accelerazione costante per la sua maggiore velocità di convergenza.
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Il metodo di Newmark: sommario del procedimento
Note le condizioni iniziali in termini di spostamento e di velocità, si determina l’accelerazione iniziale attraverso la relazione
1
u0 = ( p0 − cu0 − ku0 )
m
Scelti i valori da assegnare a β e γ, e assegnata l’ampiezza Δt dell’intervallo di integrazione, si calcolano le costanti
1
γ
1
γ
⎛ γ
⎞
1
k̂ =
m
+
c
+
k
a
=
m
+
c
b
=
m
+
Δt
−
1
⎜⎝ 2 β ⎟⎠ c
βΔt 2
βΔt
βΔt
β
2β
Per ogni intervallo di integrazione si calcolano le quantità
Δp̂
Δp̂i = Δpi + aui + b
ui
Δui = i
k̂
⎛ γ
⎞
γ
γ
1
1
1

Δui =
Δui − ui − Δt ⎜
− 1⎟ ui
Δ
ui =
Δu
−
u
−
ui
i
i
2
⎝ 2β ⎠
βΔt
β
βΔt
βΔt
2β
da cui si ottiene
ui+1 = ui + Δui
ui+1 = ui + Δui
ui+1 = ui + Δ
ui
Sostituendo i con i+1, si ripete il procedimento per il successivo intervallo di integrazione, e così via.
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