RELATIVITA’ RISTRETTA
La velocità della luce in diversi riferimenti
Prima di enunciare il principio di relatività di Einstein e introdurre le trasformazioni di Lorentz
occorre convincersi, da quanto appena detto, che deve essere abbandonato il concetto di tempo
assoluto ossia si deve aggiungere all’ordinaria terna di coordinate spaziali una quarta coordinata, il
cui valore è legato al particolare sistema di riferimento ed individuato come il tempo segnato da
un orologio solidale con l’origine del sistema spaziale. Nelle trasformazioni da un sistema ad un
altro dovrà essere individuata una legge anche per la trasformazione della coordinata TEMPO
assumendo un valore unico per il t iniziale, ossia operando la sincronizzazione degli orologi e
caratterizzando ciascun punto nel sistema di riferimento con quattro coordinate (x,y,z,t).
Ciascun riferimento ha un suo tempo proprio, quello segnato dall’orologio solidale con il
sistema.
All’insieme dei quattro valori (x,y,z,t) ci si riferisce con il termine EVENTO PUNTUALE, PUNTO dello
SPAZIO-TEMPO o più comunemente semplicemente EVENTO.
Principio di relatività di EINSTEIN e trasformazioni di LORENTZ
Basandosi su questi principi il fisico olandese Lorentz scrisse per primo le trasformazioni che sono
alla base della teoria della RELATIVITA’ RISTRETTA e che da lui prendono nome di trasformazioni
di Lorentz
0.6 108 m/s = 2.16 108 Km/h
INVARIANZA (relatività) GALIEIANA valido per tutti i fenomeni in Meccanica e a piccole velocità
Tutte le leggi della fisica (meccanica classica) sono invarianti (hanno la stessa formulazione) in
qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Le leggi di trasformazione da un riferimento ad un altro
in moto uniforme sono quelle note come trasformazioni di Galileo ed investono le sole coordinate
spaziali (ossia il tempo viene considerato un parametro assoluto non legato ad un particolare
riferimento).
RELATIVITA’ (EINSTENIANA) RISTRETTA
Tutte le leggi della fisica (quindi meccanica, elettromagnetismo, ….) sono invarianti (hanno la
stessa formulazione) in qualsiasi sistema di riferimento inerziale.
Esiste un limite superiore alle velocità che è un invariante (stesso valore=c in ogni riferimento)
Le leggi di trasformazione da un riferimento ad un altro in moto uniforme sono le trasformazioni
di Lorentz ed investono 3 coordinate spaziali ed il tempo t che non può più essere considerato un
parametro assoluto, ma è legato al particolare riferimento e quindi anch’esso soggetto a
trasformazione.
OGNI FORMULA RICAVATA E VALIDATA CON LA RELATIVITA’ RISTRETTA DEVE RICONDURRE NEL
LIMITE di v/c 0 ALLA ANALOGA FORMULA DELLA MECCANICA PRERELATIVISTICA
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L’effetto DOPPLER riguarda diversi tipi di segnale che si propagano come onde ad una determinata
frequenza ed era noto e ben spiegato, per esempio per le onde sonore, ben prima della formulazione
della teoria di Einstein.
EFFETTO DOPPLER ACUSTICO = differenza di frequenza tra segnale acustico emesso e quello ricevuto
quando la sorgente è in moto rispetto al ricevitore
Questo fenomeno è in accordo con la relatività galileiana.
Non vi è simmetria tra i casi che si osservano in natura, ossia formule differenti a secondo che il
ricevitore sia in moto rispetto alla sorgente o sia la sorgente a muoversi rispetto all’osservatore. Da notare
che tale asimmetria è data essenzialmente dal mezzo di propagazione di cui si servono le onde acustiche
per propagarsi e il fatto che, come è noto, la velocità di propagazione dei segnali acustici non è una
costante universale. (a 0 gradi in aria 343 m/s ossia 1234 K/h)
Trattando l'effetto Doppler per le onde elettromagnetiche tale asimmetria lascia il posto alla simmetria,
in quanto tali onde non necessitando di un mezzo in cui propagarsi e presentano una velocità di
propagazione costante universale e di conseguenza il moto della sorgente o quello del ricevitore sono
perfettamente equivalenti.
Tale fenomeno è ovviamente in accordo con la relatività ristretta
EFFETTO DOPPLER ACUSTICO
1. Osservatore fermo e sorgente in moto:
fo=fsv/(v−vs)
in questo caso le onde vengono ricevute dall'osservatore alla velocità v.
2. Sorgente ferma e osservatore in moto:
fo=fs(v+vo)/v
in questo caso le onde vengono ricevute dall'osservatore alla velocità
v+vo.
3. Osservatore e sorgente in moto (lungo la stessa retta):
fo=fs/(v+vo)/(v−vs)
con fo,fs rispettivamente le frequenze di ricezione dell'osservatore e di trasmissione dalla sorgente, v la
velocità del segnale acustico, vs,vo<<v rispettivamente le velocità della sorgente e dell'osservatore,
negative se di "allontanamento" e positive se di "avvicinamento".
In conclusione: la frequenza ricevuta si scarta rispetto a quella emessa dalla sorgente di un fattore
correlato con il rapporto tra la velocità del suono e quella del moto relativo
EFFETTO DOPPLER PER LA RADIAZIONE ELETTROMAGNETICA
LEGGI DI COMPOSIZIONE DELLE VELOCITA’
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Contrazione delle lunghezze e dilatazione del tempo
Come conseguenza delle trasformazioni di Lorentz si dimostrano due effetti tipici della relatività
che possono a prima vista apparire strani, ma solo perché contrastano con osservazioni quotidiane
di fenomeni così lenti da rientrare sempre nell’ambito delle trasformazioni galileiane.
La contrazione delle lunghezze indica che una lunghezza in moto, posta parallelamente alla
direzione del moto relativo tra due sistemi, risulta contratta quando misurata da un osservatore
non solidale con essa. Ossia detta L’ la lunghezza misurata in R’ in moto con velocità u rispetto ad
2
R ed L quella misurata in R, risulta L= 1 u c L’ = L’/γ; gli oggetti in moto appaiono più corti
nella direzione del moto.
La dilatazione del tempo porta invece alla relazione T=T’ γ tra un intervallo di tempo T misurato da
un osservatore fermo e l’analogo intervallo segnato da un orologio in moto. L’orologio più lento è
sempre quello fermo rispetto all’osservatore
I muoni, sono particelle prodotte dallo scontro delle radiazioni cosmiche quando entrano in contatto con
l'alta atmosfera terrestre, i muoni creati hanno una vita molto breve perché decadono, cioè muoiono
trasformandosi in un elettrone e un neutrino muonico, questo decadimento è stato misurato accuratamente
con le particelle ferme, che corrisponde a circa 2.10 secondi. I muoni in natura vanno ad una velocità
prossima a quella della luce; per la loro breve durata dovrebbero percorrere circa 600 metri e per questo
non dovrebbero mai arrivare sulla superficie terrestre, invece da esperimenti eseguiti sulla Terra di muoni ne
arrivano molti, il motivo addotto dal punto di vista dei fisici relativistici è proprio la loro grande velocità,
questa per loro è la conferma della dilatazione dei tempi, che riesce a far percorrere distanze maggiori.
Vedremo che nello spazio-tempo questa quantità definisce l’intervallo tra l’evento origine
(0,0,0,0) ed un generico evento (x,y,z,ct) ma quanto appena detto vale per un qualsiasi intervallo
tra due eventi, ossia l’intervallo tra due eventi è un invariante sotto trasformazioni di Lorentz
LINEE DI UNIVERSO E CONO DI LUCE
CONO DI LUCE
Si può facilmente vedere che passando da un riferimento ad un altro nello spazio-tempo due eventi contemporanei possono non esserlo più e
viceversa, ossia il concetto di simultaneità deve essere riferito ad un sistema perché non è più un concetto assoluto.
INVARIANZA DELL’INTERVALLO NELLO SPAZIO-TEMPO
Le espressioni
dell’intervallo tra due eventi nel cronotopo (4spazio) sono analoghe a quelle che esprimono la
distanza euclidea l tra due punti nell’ordinario spazio tridimensionale. Differiscono per due motivi
il cronotopo ha 4 dimensioni invece di 3 e quindi ci sono 4 addendi;
l’addendo che contiene x4 (variabile temporale) è negativo.
Questo comporta che s212 (o ds2) può essere positivo, negativo o nullo.
L’invarianza dell’intervallo e del suo genere (spazio, tempo e luce) può essere usata per
comprendere il perché il concetto di simultaneità in relatività perde di significato assoluto e
diventa relativo al particolare sistema cui è riferito. Per esempio dato un evento P2 non
contemporaneo ed esterno al cono dell’evento P1 per cui si ha sempre s212>0, si può sempre
trovare un sistema di riferimento in cui i due eventi sono contemporanei (x’24-x’14=0) essendo
s212=l’2 ancora maggiore di 0.
E’ l’equivalente del dV=dxdydz dello spazio 3d e vale cdtdV=dΩ --------------------------30/2017
Componenti controvarianti e covarianti - Indici muti e convenzione di Einstein sulla somma
QUADRIVELOCITA’ E QUADRIACCELERAZIONE
La quadrivelocità è adimensionale, le sue prime tre componenti sono le componenti del vettore 3d velocità moltiplicate per
ϒ/c mentre la quarta è pari a ϒ. Il modulo quadro di ui è sempre uguale a -1 e quindi è di tipo tempo.
La quadriaccelerazione ha le dimensioni dell’inverso di una lunghezza, le sue componenti sono funzioni di velocità e
accelerazione 3d ed ha sempre modulo quadro positivo (tipo spazio) ed è sempre perpendicolare alla quadrivelocità.
Calcoliamo uiui
Calcoliamo wi
Calcoliamo uiwi
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Calcoliamo wiwi modulo quadro della 4-accelerazione. Abbiamo trovato che
𝛾2
𝛾4
𝑐
𝑐4
wi=( 2 𝑤
⃗⃗ +
(𝑤
⃗⃗ . 𝑢
⃗ )𝑢
⃗;
𝛾4
𝑐3
(𝑤
⃗⃗ . 𝑢
⃗ ))
Si ottiene Il modulo quadro della quadriaccelerazione sempre positivo e nel sistema proprio della particella dove u=0 il
quadrivettore wi=(u/c2,0)
Tensori nello spazio quadridimensionale
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Analogo del rotore
Notare che gli indici i e k non sono indicimuti, bensì indici liberi , uguali a destra esinistra dell’equazione e
variabili entrambi sulla quaterna1,2,3,4 individuando le 16 quantità F11,F12,F13,F14,
F21, F22,F23,F24
F31,F32,F33,F34
F41,F42,F43,F44
dove p. e. F21=
A1
x
2
A2
x1
che definiscono il tensore, elemento a due indici.
Poiché Fik è antisimmetrico, (se scambio i con k trovo il valore opposto) le quattro componenti ad indici uguali
sono nulle ed intotale il tensore conta solo 6 componenti indipendeti.
LEGGI DITRASFORMAZIONE DELLE COMPONENTI DI UN TENSORE SIMMETRICO (10) E ANTISIMMETRICO (6)
Per il simmetrico
Per l’antisimmetrico le componenti diagonali sono nulle le altre sono identiche e cambia solo la
t34’=γ2(t34 -0 - 0 –β2t34) = γ2(1- β2)t34
vi(γv/c, γ)
Definizioni relativistiche (nel 4 spazio ) di grandezze fondamentali della meccanica
Ricordare E=p4c=m0γc2
____________________________________________________________________________________________________________fine 36/2017
____________________________________________________________________________________________________________38/2017
7_4_17 lezioneinsostituzionedi G.Martinanon svoltapermancanzastudenti segnata sulregistro_________________________fine 38/201
Avendo definito pi = m0c vi quadrivettore quantità di moto – energia definiamo ora la quadriforza e
scriviamo le equazioni relativistiche del moto
inomogenee d’onda nei potenziali
dΩ
______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
fine 40
A proposito della differenza tra vettori polari ed assiali. I vettori polari hanno le componenti che cambiano di segno se si esegue
un’inversione degli assi. Qando si costruisce un vettore dal prodotto vettoriale tra due vettori polari questo non gode di questa proprietà
e si chiama vettore assiale. In effetti questo vettore è assimilabile ad un tensore di rango 2 antisimmetrico ossia per c=axb (c1=)c23=c32=a2b3-a3b2 (c2=)c31=-c13=a3b1-a1b3 (c3=)c12=-c21=a1b2-a2b1 c11=c22=c33=0
i
Fine 42/17______________________________
Equazioni di Maxwell in forma covariante
Infatti se applichiamo ad entrambi i membri la derivata covariante sommata sull’indice i
(= quadridivergenza)
𝜕 𝜕
𝐹 𝑖𝑘
𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑘
𝜕 1
𝜕
𝜕
= 𝜕𝑥 𝑖 𝜀 𝐽𝑖 = 0 perché al I membro l’operatore 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑘 è simmetrico
0
mentre Fik è antisimmetrico ed il risultato può solo essere 0; quindi sarà
𝜕 𝑖
𝐽
𝜕𝑥 𝑖
= 0.
E per la seconda coppia di eq di Maxwell
Trasformazioni di Lorentz per il campo e.m. (tensore antisimmetrico F ik)
Fine 44/17____________Fine 22
ui= (γu/c, γ)
Il quadrivettore fi è ottenuto moltiplicando l’invariante q per il quadrivettore F ikuk, quest’ultimo
risultante dal prodotto scalare (indice k di sommatoria) tra il tensore Fik ed il quadrivettore uk.
Infatti calcolando f1ρ=F11J1+ F12J2+ F13J3 +F14J4 =0*Jx/c+cBzJy/c-cByJz/c+Ex ρ=fρx e analoghe per f2,3ρ
mentre f4ρ=F41J1+ F42J2+ F43J3 +F44J4 =ExJx/c+EyJy/c+EzJz/c-0*ρ= E• J/c
Verifichiamo per esempio quanto valgono le componenti di Tik
A proposito di FlmFml , che è richiesto per il calcolo delle componenti ad indice uguale, c’è da dire che è esso un
invariante relativistico del campo em e vale 2(E2-c2B2)
___________________fine 46/17
Dal’elettrodinamica classica tridimensionale
Queste integrate su un volume τ danno per i=4 quanto trovato nel bilancio energetico di un
volume contenente cariche e campo elettromagnetico
e per la Quantità di Moto per i = α = 1,2,3
Essendo Rα=∫fρ dτ ,
D x B = S/c2 il vettore densità di QdM associato al campo em e
Tαβ il tensore degli sforzi
RIEPILOGO
LEGGI ELETTRODINAMICA: Formulazione covariante
Avendo definito ji = (J/c, ρ)
φi = (cA,V)
Fik = ∂Ak/∂xi - ∂Ai/∂xk
ↄ
