Analisi delle serie storiche
parte III Medie mobili
a.a. 2016/2017
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1
Metodo delle medie mobili
• Obiettivo: Stimare una componente della serie (tipicamente il
ciclotrend (TC)) attraverso trasformazioni (“filtri”) lineari della serie,
che hanno lo scopo di annullare l’effetto delle altre componenti;
• La “trasformazione” di una serie temporale Yt in un’altra, che
possiamo denominare Zt, avviene mediante una operazione lineare
del tipo:
• In questo caso si dice che la serie Zt è stata ottenuta da Yt mediante
un filtro lineare con coefficienti ws. Le serie Yt e Zt vengono
usualmente chiamate l’input e l’output del filtro. Il valore della
nuova variabile al tempo t, Zt, è quindi funzione dei valori della serie
originaria al tempo t, Yt, dei valori relativi a m1 periodi precedenti a
t, Yt-1, .., Yt-m1 , e dei valori relativi a m2 periodi successivi , Yt-+1, ..,
Yt+m2 .
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Definizione di media mobile
• Se la somma dei coefficienti ws è pari a 1, la Zt è la
media aritmetica degli m1+m2+1 valori Yt, media
semplice se sono tutti uguali, ponderata se diversi.
Possiamo pertanto stabilire la seguente definizione:
• Data una serie temporale Yt, possiamo definire media
mobile un filtro lineare in cui la somma dei pesi è
uguale a 1:
con 0< αs<1, Σαs =1.
La media mobile viene calcolata su un numero di termini
pari a L = m1 + m2 +1. L viene chiamato ordine o periodo
della media mobile.
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Definizione di media mobile
Si può quindi definire media mobile di ordine (o
periodo) L una serie di medie aritmetiche (semplici
o ponderate) di sequenze consecutive di L valori
della serie temporale originaria.
Si noti che se la serie originaria Yt, con t=1, … T,
comprende T osservazioni, nella media mobile
MMt, l’indice t può variare solo tra m1 +1 e T-m2.
Pertanto la media mobile ha un numero di
osservazioni minore rispetto alla serie originaria, di
cui si perdono le prime m1 e le ultime m2
osservazioni.
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Effetto delle medie mobili
L’effetto di una media mobile è quello di ridurre
la variabilità della serie, smorzandone i picchi ed
innalzandone le valli. La media mobile svolge
un’azione spianante, ossia rende più “liscia” la
serie originale (smoothing = lisciamento).
Maggiore è il numero dei termini su cui si calcola
la media mobile maggiore sarà l’effetto lisciante,
ma anche maggiore la perdita di osservazioni
rispetto alla serie originaria.
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Serie originaria
90
80
70
60
50
40
MM3
30
20
80
10
70
0
60
0
5
10
15
20
25
30
50
40
30
MM5
20
10
70
0
60
0
5
10
15
20
25
30
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
30
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Esempi di medie mobili
Media mobile semplice
1 m2
MM t =
∑ Yt + s
L S = − m1
Se m1 = m2 = m si ha una Media mobile centrata
- semplice
1
m
MM t =
∑ Yt + s
2m + 1 S = − m
- ponderata
• Si noti che nelle medie mobili centrate l’ordine della
media mobile è in genere dispari e il valore MMt si
riferisce all’istante centrale dell’intervallo su cui la media
mobile è calcolata, ossia al tempo t. Se invece l’ordine
fosse pari, il valore calcolato andrebbe a collocarsi “a
cavallo” di due periodi.
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Quindi, se L è dispari, la media mobile centrata
di ordine L è data da:
1 ( L −1) / 2
MM ( L)t = ∑ Yt + i
L i = − ( L −1) / 2
ad es. per L=3 (m=1), si ha:
Yt −1 + Yt + Yt +1
1 1
MM (3)t = ∑Yt + i =
3 i = −1
3
Se invece L è pari per ottenere una media
mobile centrata occorre applicare la cosiddetta
“composizione” di media mobili
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Composizione di medie mobili
Se, dopo aver calcolato la serie delle medie
mobili MMt si riapplica l’operazione di media
mobile alla serie ottenuta il risultato è ancora
una media mobile.
Questa operazione si chiama “composizione” o
“prodotto” di medie mobili. L’ordine in cui
vengono applicate le due medie mobili non
incide sul risultato.
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Immaginiamo allora di avere delle medie mobili
semplici di ordine L, con L pari. Consideriamo le due
medie mobili
L / 2 −1
MM ( L ) t , t − 1 =
e
MM ( L ) t , t
1
Y
∑
t+i
L i = − L / 2
1 L/2
Y
+1 =
∑ t+i
L i = − L / 2 + 1
Per ottenere una media mobile centrata occorre
applicare una media mobile a 2 termini alle due medie
mobili a L termini, ottenendo:
1 L / 2 −1
MMc ( L ) t = ∑ Yt + i + 0,5(Yt − L / 2 + Yt + L / 2 )
L i = − L / 2 +1
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Ad es. per L=4 possiamo definire due serie di
medie mobili semplici non centrate
e
Yt −2 + Yt −1 + Yt + Yt +1
MM(4)t − 1, t =
4
Yt −1 + Yt + Yt +1 + Yt +2
MM(4)t, t + 1 =
4
Applicando alle due medie mobili una media
mobile a 2 termini (“centratura”) si ottiene la
media mobile centrata a 5 termini:
1 1
0,5Yt − 2 + Yt −1 + Yt + Yt +1 + 0,5Yt + 2
MMc(4)t = ∑ Yt − i + 0,5(Yt − 2 + Yt + 2 ) =
4 i = −1
4
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Stima del trend-ciclo
• La componente stagionale si compensa nell’arco di 12 mesi,
per cui una media di 12 valori mensili consecutivi non ne è più
influenzata;
• la componente accidentale, tende a compensarsi in una
media di un congruo numero di termini successivi della serie.
• una stima dei valori attribuibili al trend-ciclo può allora essere
ottenuta calcolando medie mobili centrate di 13 termini:
con
6
MM (13)t = (TC ) = ∑α sYt + s , t = 7,...,T − 6
s = −6
αs
1 12 s = − 5 , − 4 ,..., 4 , 5
=
1
s = − 6 ,+ 6
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13
Stima del trend-ciclo
• Se la frequenza della serie originaria è trimestrale invece di
mensile, la stima dei valori attribuibili al trend-ciclo può
essere ottenuta calcolando medie mobili centrate di 5 termini:
con
2
MM (5)t = (TC ) = ∑α sYt + s , t = 3,...,T − 2
s = −2
1 4 s = − 1 , 0 ,1
αs =
1
s = − 2 ,+ 2
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Applicazione in finanza (analisi tecnica)
• Le medie mobili trovano applicazione in finanza,
per ridurre al minimo le fluttuazioni dei prezzi dei
titoli al fine di depurare le quotazioni dalle
distorsioni derivanti dal nervosismo dei mercati,
rendendo la tendenza più regolare e, quindi, di
più chiara interpretazione.
• L’utilizzo delle medie è estremamente semplice:
viene, infatti, generato un segnale di acquisto nel
momento in cui i prezzi del titolo sfondano al
rialzo la linea della media mobile; viene,
viceversa, generato un segnale di vendita quando
la linea della media viene perforata dall’alto verso
il basso.
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11 Feb 2013:
FTSEMIB.MI 16529,90
SMA(50) 16.703,37
17 mia
16 mia
15 mia
14 mia
13 mia
© 2013 Yahoo! Inc.
2012
Apr
Mag
Giu
Ago
Lug
1g
1997
1999
2001
2003
5g
1m
Set
YTD
3m
2005
Ott
6m
1a
2a
Nov
5a
2007
Max
Dic
Feb
2013
DA: 9 Mar 2012
A: 8 Mar 2013
2009
2011
Mar
-1,67%
2013
Applicazione in finanza (analisi tecnica)
• La cosa importante da decidere è la "velocità" della media (il dominio L).
Una media veloce (L basso) genererà molti segnali di intervento che
aumentano le probabilità di errore, ma avrà il vantaggio della tempestività
nell’interpretare ogni minima variazione di tendenza. Medie più lunghe
danno meno falsi positivi/negativi ma hanno lo svantaggio di ritardare gli
interventi. A parità di altri fattori il dominio della media mobile dovrebbe
essere tanto più lungo quanto più è alta la volatilità dell’attività finanziaria
analizzata, al fine di ridurre il numero di falsi segnali.
• In alternativa si possono utilizzare due medie semplici, una più "veloce" ed
una più "lenta": quando la media più veloce taglia dal basso verso l’alto
quella più lenta si ha un segnale di acquisto; quando, invece, la media più
veloce taglia dall’alto verso il basso quella più lenta si ha un segnale di
vendita.
• In generale, le medie mobili funzionano bene quando la tendenza del
mercato è chiaramente rialzista o ribassista. Non si possono invece
utilizzare le medie mobili nelle altre fasi perché darebbero luogo a
continui incroci fra di loro e con il grafico dei prezzi generando confusione
e falsi segnali.
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16
4 Dic 2012:
FTSEMIB.MI 16041,50
SMA(50) 15.568,05
SMA(100) 15.126,50
17 mia
16 mia
15 mia
14 mia
13 mia
© 2013 Yahoo! Inc.
2012
Apr
Mag
Giu
Ago
Lug
1g
1997
1999
2001
2003
5g
1m
Set
YTD
3m
2005
Ott
6m
1a
2a
Nov
5a
2007
Max
Dic
Feb
2013
DA: 9 Mar 2012
A: 8 Mar 2013
2009
2011
Mar
-1,67%
2013
Problemi nell’uso delle medie mobili
• L’uso di medie mobili di lunghezza non corrispondente alla
vera durata del ciclo/stagionalità crea cicli spuri (effetto
Slutzky-Yule) e non c’è modo di sapere se i cicli identificati
sono tali.
• Non è possibile calcolare le medie mobili centrate agli
estremi della serie. Pertanto è necessario effettuare
estrapolazioni e/o applicare medie mobili non simmetriche
che utilizzano osservazioni ai tempi t − k.
• Le ipotesi di identificazione, come tali, non possono essere
sottoposte a verifica: ricercatori diversi possono ottenere a
partire da ipotesi diverse (forma del trend, lunghezza del
ciclo, ordine in base al quale si procede alle stime)
scomposizioni diverse in concorrenza ma non confrontabili.
• L’unico modo per valutare la bontà del complesso della
identificazione è la casualità della componente accidentale.
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17
Livellamento esponenziale
Metodi di “smoothing”: sono metodi di previsione basati
su medie mobili (asimmetriche) in cui le osservazioni
utilizzate per la previsione vengono ponderate in modo
da attribuire una maggiore importanza a quelle più
recenti.
• ipotesi di partenza: il valore osservato della serie al
tempo t è formato da un valore di tendenza,
determinato dalla storia passata della serie (valore
perequato), e da una componente irregolare
puramente casuale.
• Il valore di tendenza (o valore perequato) segue una
logica di aggiornamento sequenziale secondo cui il
dato successivo è la risultante di un comportamento
generale (funzione del passato) e di un contributo
specifico fornito dalla nuova osservazione Yt.
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Livellamento esponenziale
Il valore perequato al tempo t è dato da:
ESt = WYt + (1-W)ESt-1
ES1 = Y1
Valori bassi di W hanno un maggior potere di
“lisciamento”, valori alti di W attribuiscono maggior peso
ai movimenti più recenti della serie. In genere W è
compreso tra 0,7 e 0,95.
Per sostituzioni successive, si dimostra che il valore ESt è
una media mobile ponderata di tutte le osservazioni
precedenti della serie originaria Yt.
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19
Livellamento esponenziale
Importante:
• Ciascun valore della serie dipende da tutti i
valori precedenti
• I pesi attribuiti alle osservazioni più lontane
nel tempo sono decrescenti
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Previsione
• La previsione al tempo t per i periodi
successivi è uguale al valore perequato
calcolato al tempo t
• Il metodo dà buoni risultati per serie non
caratterizzate da trend costanti
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21
