ELEMENTI BASILARI DI TEORIA DEGLI ERRORI ( ) ( ) ( ) ( )

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TORINO
CORSO DI LAUREA IN CHIMICA
Dispense ad esclusivo uso introduttivo per il modulo di Fisica C
ELEMENTI BASILARI DI TEORIA DEGLI ERRORI
1. VALOR MEDIO, DEVIAZIONE STANDARD E VARIANZA
N
Si definisce valor medio di un insieme di N dati x1,x2,… ,xN la quantità: x =
∑x
i =1
i
∑ (x − x )
N
Si definisce varianza empirica dell’insieme precedente la quantità: σ x2 =
(1)
N
i =1
2
i
(2)
N− 1
Si definisce deviazione standard empirica o scarto quadratico medio empirico la quantità:
∑ (x − x )
N
σx =
2
i
i =1
(3)
N− 1
Si definisce varianza della media aritmetica dell’insieme precedente la quantità:
∑ (x − x )
N
σ x2 =
i =1
2
i
(4)
N ( N − 1)
Si definisce deviazione standard della media aritmetica o scarto quadratico medio della media
∑ (x
N
aritmetica la quantità: σ x =
i =1
i
− x
)
2
N ( N − 1)
(5)
1. INCERTEZZA SULLE MISURE
Misurare una grandezza vuol dire determinare un valore quantitativo con l'aiuto di tecniche ed
apparecchi sperimentali. Non esistono misure perfette; ogni valore sperimentale è affetto da
un'indeterminazione ("errore") che dipende:
- dalla natura della grandezza da misurare
Una grandezza può essere più o meno ben definita, per esempio a causa del rumore di fondo,
di fluttuazioni statistiche, ecc.
- dalla qualità delle tecniche e degli strumenti utilizzati
La qualità di uno strumento o dispositivo di misura è determinata dall' insieme delle tre
seguenti proprietà:
a) sensibilità: attitudine a dichiarare deboli variazioni della grandezza da misurare
b) fedeltà:
costanza nella riproducibilità dei risultati (se si misura la stessa grandezza
nelle stesse condizioni)
c) precisione: valore dello scarto tra il risultato fornito dal dispositivo di misura ed il
valore vero della grandezza misurata
- dall' operatore
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L'operatore puo' essere fonte di errori sia sistematici sia accidentali (vedi qui di seguito).
2. TIPI DI ERRORE
a) Errori sistematici
Questi errori sono dovuti ad un difetto dell'apparecchio o al "modus operandi" adottato. Sono
caratterizzati, in generale, da un valore fisso in segno e grandezza, e di conseguenza sono
difficilmente rivelabili con una semplice ripetizione delle misure.
L'unica maniera per prevenire questo genere di errori consiste in una taratura periodica degli
strumenti di misura e in uno studio critico dei metodi sperimentali utilizzati. Quando possibile,
può anche essere istruttivo ripetere la misura con un altro apparecchio e/o un altro "modus
operandi".
b) Errori aleatori
Gli errori aleatori sono caratterizzati da una distribuzione casuale dei risultati sperimentali attorno al
valore vero della grandezza misurata.
Possono provenire da caratteristiche dell'apparecchiatura utilizzata, o anche dal fenomeno fisico
stesso (vedi il caso della radioattività, per esempio). Si può ridurre questo genere di errori
aumentando il numero di misure e prendendo la media dei risultati ottenuti.
c) Errori accidentali
Questi errori possono essere dovuti a cause molto diverse, difficili da scoprire: inesperienza,
negligenza, fenomeni esterni perturbatori, ecc.
Ripetendo una misura, gli errori di questo tipo non conservano sistematicamente lo stesso segno o la
stessa grandezza per cui, in generale, si possono evidenziare confrontando fra loro i risultati di
misure (della stessa grandezza nelle stesse condizioni).
d) Errori associati alle misure
L’errore associato ad una misura è funzione dello strumento che effettua la misura, dell’osservatore
e del metodo di misura. La teoria statistica è in grado di esaminare il comportamento degli errori
accidentali, mentre si suppone che gli errori compiuti dallo sperimentatore e quelli sistematici, che
non possono essere interpretati statisticamente, siano eliminati grazie all’abilità dello
sperimentatore stesso.
Nel caso di una misura singola, si assume che l’errore sia pari alla sensibilità dello strumento,
ossia la minima unità apprezzabile dallo strumento.
Nel caso di poche misure (N≤5), si assume come errore associato al valor medio della misura (eq.
1) il valore massimo tra la sensibilità strumentale e l’errore massimo, quest’ultimo definito come la
differenza tra le misure con valore maggiore e minore.
Nel caso di più misure (N>5), si assume come errore associato al valor medio della misura (eq. 1)
il valore massimo tra la sensibilità dello strumento e lo scarto quadratico medio della media
aritmetica (eq. 5).
2
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3. STIMA DEGLI ERRORI
Utilizzando le informazioni appropriate sulle caratteristiche individuali delle apparecchiature usate,
e l'analisi del dispositivo sperimentale impiegato, è possibile stimare il margine di errore (teorico)
connesso ad ogni misura. Un risultato sperimentale perde ogni significato se non è
accompagnato da una stima dell'errore commesso.
a) Errori assoluti
L'errore assoluto è l'incertezza sul risultato della misura provocato dalle imperfezioni
dell'apparecchio utilizzato.
Nel caso in cui la precisione dell'apparecchio sia superiore o uguale alle fluttuazioni della grandezza
misurata, conviene effettuare diverse misure e prendere la media aritmetica dell'insieme dei risultati
ottenuti; l'errore assoluto può, allora, essere stimato calcolando il più grande scarto tra i valori
misurati e la media.
Nel caso in cui la precisione dell'apparecchio sia inferiore alle fluttuazioni della grandezza misurata,
è inutile ripetere le misure (al massimo si possono mettere in evidenza errori aleatori); l'errore
assoluto è unicamente determinato dalla precisione dell'apparecchio.
b) Errori relativi
L'errore assoluto non dà una visione immediata del grado di perfezione di una misura: la misura di
una lunghezza con un errore assoluto di ± 1 cm assume un significato ben diverso se la lunghezza
da determinare è dell'ordine del metro o di centinaia di Km!
Per tener conto di questo fatto, si definisce l’errore relativo ∆ry il rapporto tra l’errore associato ad
δy
un dato (δ
y) ed il dato stesso (y):
∆r y =
y
(6)
Tale grandezza è ovviamente adimensionale, caratterizza la precisione della misura.. Il prodotto di
∆ry per 100 costituisce l’errore relativo percentuale.
c. Errori indipendenti e casuali
Nel caso più generale, la grandezza da misurare y è determinata attraverso la misura di un certo
numero di parametri indipendenti. Nel caso in cui una grandezza y sia funzione di altre N variabili
x1,x2,… ,xN, cioè y = f ( x1 , x2 ,..., xN ) , e la misura delle N variabili sia soggetta ad una serie di errori
indipendenti tra loro e casuali δ
xi (i=1,2,… ,N), l’errore sul risultato di y è dato dalla seguente
formula (di propagazione degli errori o di Gauss):
2
 ∂f  2
δy = 
∂x 
 δx1 +
 1
Si noti che, nel caso
2
2
 ∂f  2
 ∂f  2

(7)
∂x 
 δx2 + ..... + 
∂x 
 δxN
 2
 N
di una semplice somma o differenza di variabili, cioè nel caso
y = x1 ± x2 ±... ± xN , l’eq. 7 si semplifica in:
δy = δx12 + δx22 + ..... + δxN2
(8)
mentre, nel caso di un prodotto o rapporto tra le variabili, cioè ad esempio nel caso
y = x1±1 x2±1... x N±1 , l’eq. 7 si semplifica nella radice quadrata della somma dei quadrati degli errori
2
relativi:
2
2
δxN 
δx1  δx2 
δy


+ ..... + 
= 
+ 




x 

y
 x1   x2 
 N 
(9)
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Valgono cioè le semplici regole:
• l'errore assoluto su una somma o una differenza è uguale alla somma quadratica degli errori
assoluti su ognuno dei termini;
• -l'errore relativo su un prodotto o un quoziente è uguale alla somma quadratica degli errori
relativi a ognuno dei termini.
d. Errori non indipendenti e casuali
Nel caso in cui, invece, la misura delle N variabili sia soggetta ad una serie di errori che però non
possono essere considerati indipendenti tra loro e casuali δ
xi (i=1,2,… ,N), l’errore associato alla
misura è maggiore del precedente, e le formule precedentemente viste (eqq. 7-9) divengono
rispettivamente:
∂f
∂f
∂f
+ ... +
+
δy =
(10)
∂xN
∂x1 ∂x2
δy = δx1 + δx2 + ... + δxN
(11)
δy δx1 δx2
δxN
=
+
+ ..... +
(12)
y
x1
x2
xN
Si noti bene:
- i calcoli dell'errore sono approssimati (si tratta di stime); non ha, dunque, alcun senso dare i
risultati con più di una o due cifre significative;
- è perfettamente inutile far comparire, in un calcolo di errore, termini che siano di un ordine
di grandezza o più inferiori agli altri;
- -per convenzione, quando l'incertezza su un valore di una grandezza fisica non è
esplicitamente precisata, si assume che essa sia al più uguale ad un'unità sull'ultima cifra
significativa fornita (es. se il valore di una costante è 9.809 si assume che l'errore sia di
0.001).
4. METODO DEI MINIMI QUADRATI E CURVE DI REGRESSIONE
Detti yi i dati, i punti della curva yf(xi) che meglio approssima l’andamento dei dati (curva di
regressione) avranno la proprietà che la somma dei quadrati delle distanze tra yi e yf(xi) per ogni
2
punto D = ∑ yi − y f ( xi ) dovrà essere minima (metodo dei minimi quadrati). I coefficienti della
curva in questione yf si calcolano uguagliando a zero la derivata di D rispetto ai coefficienti stessi.
[
a. Retta di regressione
]
y= a + b x
Se yf=a+bx è l’equazione della retta, i valori che rendono minima la quantità
dati dalle equazioni:
∑ ( yi − a − bxi )= 0
∑ xi yi − axi − bxi2 = 0
da cui si ricava:
N ∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi
∑ yi ∑ xi2 − ∑ xi ∑ xi yi
a=
b=
2
N ∑ xi2 − ∑ xi ∑ xi
N ∑ xi − ∑ xi ∑ xi
(
)
∑ [y −
i
y f ( xi )
] sono
2
(13)
(14)
mentre il coefficiente di correlazione ( r ≤1 ) è dato da:
4
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r=
N ∑ xi yi −
[N ∑ x −
2
i
∑ x∑ y
(∑ x ) ][N ∑ y − (∑ y ) ]
i
2
i
2
i
i
b. Curva esponenziale
(15)
2
i
y = a exp ( b x )
Se y = a exp ( b x ) è l’equazione della curva, chiamando c=exp(b) e linearizzando l’espressione in
ln(y) = ln(a) + b x = c + b x, si ricava:
N ∑ xi ln yi − ∑ xi ∑ ln yi
ln yi ∑ xi2 − ∑ xi ∑ xi ln yi
∑
c = ln(a) =
b=
(16)
2
N ∑ xi2 − ∑ xi ∑ xi
N ∑ xi − ∑ xi ∑ xi
y = a xb
c. Curva di potenza
Procedendo come sopra, se y = a xb è l’equazione della curva, linearizzando l’equazione in ln(y) =
ln(a) + b ln(x) = c + b ln(x), si ottiene:
N ∑ ln xi ln yi − ∑ ln xi ∑ ln yi
∑ ln yi ∑ ln xi − ∑ ln xi ∑ ln xi ln yi
c = ln(a) =
b=
(17)
2
N ∑ ln xi − ∑ ln xi ∑ ln xi
N ∑ ln 2 xi − ∑ ln xi ∑ ln xi
d. Curva logaritmica
y = a + b ln(x)
Se y = a + b ln(x) è l’equazione della curva, si ricava:
N ∑ (ln xi ) yi − ∑ ln xi ∑ yi
∑ yi ∑ ln xi − ∑ ln xi ∑ (ln xi ) yi
a=
b=
2
N ∑ ln xi − ∑ ln xi ∑ ln xi
N ∑ ln 2 xi − ∑ ln xi ∑ ln xi
(18)
Per tutte le curve di regressione, l’errore standard della stima, cioè l’errore associato al punto
yf(xi) vale:
1
2
Sy =
yi − y f ( xi )
(19)
∑
N
[
]
D) PRESENTAZIONE GRAFICA DEI RISULTATI
Sovente è molto più utile dare un risultato di una misura in forma grafica piuttosto che sotto forma
di tabelle o con lunghe descrizioni. Un buon disegno vale più di un lungo discorso.
In un grafico, è fondamentale scegliere un tipo di rappresentazione che metta in evidenza in maniera
corretta le caratteristiche principali del fenomeno studiato. Ciò significa, ad esempio, scegliere il
tipo di scala più adeguato (lineare-lineare, lineare-logaritmico, logaritmico-lineare, ecc.), scegliere
opportunamente gli assi e le scale più opportune (in modo da utilizzare tutto il grafico e non solo
una parte), non dimenticando d'indicare chiaramente su ognuno degli assi il nome della grandezza
fisica e la corrispondente scala utilizzata.
E' inoltre importante riportare, per tutti i punti misurati, i margini d'incertezza corrispondenti, sotto
forma di barre d'errore o rettangoli di errore. Anche il modo di rappresentazione deve essere
valutato con attenzione. Spesso è conveniente, se possibile, scegliere una rappresentazione che
corrisponda ad una relazione lineare tra le grandezze fisiche riportate sugli assi, utilizzando magari
rappresentazioni lin-log o log-log. È infatti relativamente semplice verificare se i dati misurati si
dispongono lungo un retta o no.
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