Grandezze scalari e vettoriali

Grandezze scalari e vettoriali
Esiste una differenza evidente fra le grandezze fisiche
alcune:
massa
temperatura
volume
lunghezza
.....
altre
velocità
accelerazione
forza
.....
sono pienamente caratterizzate da un solo numero
sono identiche comunque si girino (invarianza per rotazione)
sono grandezze scalari
non sono pienamente caratterizzate con un numero, ma
possiedono anche una direzione (e un verso)
cambiano se vengono ruotate
sono grandezze vettoriali (*)
sono rappresentate matematicamente mediante vettori
In 1D il carattere vettoriale si riduce al segno. In 2D o 3D una trattazione soddisfacente
richiede l’uso di vettori.
(*) le grandezze che si trasformano a causa di una rotazione si dicono in generale «tensoriali»: il concetto di vettore
riguarda, a rigore, quelle grandezze che si trasformano secondo una certa legge, ma ciò esula dal presente corso.
Descrizione del moto in un piano (2D). Coordinate cartesiane.
E’ possibile descrivere il moto in un piano (e nello spazio) senza utilizzare esplicitamente
il formalismo vettoriale, ma solo le coordinate cartesiane.
P
Posizione.
La posizione del punto P è individuata da
yP
P = ( xP , y P )
O
xP
yB
B
A
O
Spostamento da A a B è individuato da
∆x = xB − xA
yA
xA
coordinate cartesiane
xB
∆y = yB − y A
Moto in 2D. Trattazione con coordinate cartesiane.
Una completa conoscenza del moto equivale a conoscere
istante per istante
 x (t )

 y (t )
E’ possibile applicare le definizioni note alle singole coordinate
x2 − x1 ∆x
=
=
∆t
∆t
∆x dx
v X = lim
=
∆t->0 ∆t
dt
vX 2 − vX1 ∆vX
=
aX =
∆t
∆t
∆v X dv X
a X = lim
=
∆t- > 0 ∆t
dt
vX
e analogamente per la coordinata Y:
dy
vY (t ) =
dt
dvY
aY (t ) =
dt
Il moto di P nel piano si riduce al moto delle sue proiezioni sugli assi X e Y
(qual è il significato di vX, vY,
aX, aY ?)
Esempio: moto di un proiettile. 1
y
L’osservazione/ipotesi di Galileo:
vy
- il moto è piano
- i moti lungo l’orizzontale (X) e la
verticale (Y) sono indipendenti
x
vx
lungo la verticale: moto unif. accelerato verso
il basso (g)
v X (t ) = v0 X

vY (t ) = v0Y − gt
lungo l’orizzontale (x) il moto è uniforme
Legge oraria:
 x (t ) = x 0 + v 0 X t


g 2
y
(
t
)
=
y
+
v
t
−
t
0
0Y

2
Questa è la soluzione completa del problema.
Si tratta solo di definire di volta in volta i
valori iniziali (x0, y0) e (v0X, v0Y)
r
v0
h
Esempio.
Noti h e v0, a che distanza cade la palla?
Con che velocità? Angolo di impatto?
Moto di un proiettile 2. (senza resistenza dell’aria)
Legge oraria
y
hmax
 x (t ) = x 0 + v 0 X t


g 2
 y (t ) = y 0 + v 0Y t − 2 t
r
v0
θ
R
x
t = x v 0 X

v 0Y
g

2
y
(
x
)
=
x
−
x

v0 X
2 v 02 X

x0 = 0
posto 
 y0 = 0
è tutto quello
che ci serve
vX 0 = v0 cosθ

vY 0 = v0 sinθ
⇒
Traiettoria parabolica
⇒

g
y ( x ) = tan θ ⋅ x −  2
2
2
v
cos
θ
 0
 2
 x

alcuni parametri della traiettoria
Gittata R =
2
0
2 v0 X v 0 Y v
= sin( 2θ )
g
g
Altezza massima
hMAX
v 02Y (v 0 sin θ )
=
=
2g
2g
2
1200
v0=200m/s
θ=45°
1000
Effetto della resistenza dell’aria
800
600
vuoto
Obice 155/40 FH70
ogiva di calibro 155mm
e massa 44 kg
400
aria
200
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
18.000
v0=817m/s
θ=45°
16.000
14.000
12.000
10.000
8.000
vuoto
6.000
aria
4.000
2.000
0
0
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
60.000
70.000
80.000
ds = Rdθ
s = Rθ
R
θ>0
dθ
E’ naturale individuare la posizione sulla circonferenza
mediante un angolo. Fissato un angolo “zero” e un verso
di percorrenza l’angolo può essere positivo o negativo
θ:
φ<0
(v. Cap.11)
Moto circolare
∆θ=θ2-θ1:
posizione angolare
spostamento angolare
In analogia con velocità e accelerazione lineari si definiscono le quantità:
ω =
θ 2 − θ1
t 2 − t1
velocità angolare media
α =
ω2 − ω 1
t 2 − t1
accelerazione angolare media
∆ θ dθ
ω = lim
=
∆ t →0 ∆ t
dt
[ω] = rad = s−1
s
velocità angolare istantanea
dω
d 2θ
=
α =
dt
dt 2
accelerazione angolare istantanea
[α ] = rad2
s
= s −2
Moto circolare uniforme (in coordinate cartesiane)
r
v
ω = cost
θ
r
a
θ (t ) = θ0 + ω t
P
θ
T=
periodo
O
frequenza
2π
ω
1
ν=
T
 2πR 
=

v 

[ν] = 1 = Hz
s
è una “nu”
 x (t ) = OP X = R cos θ (t )

 y (t ) = OPY = R sin θ (t )
θ (t ) = ω t
scegliamo l’origine degli angoli (e dei tempi)
in modo che
θ0 = 0
Moto circolare uniforme
r
v
θ
r
a
P
θ
O
 x (t ) = R cos ω t

 y (t ) = R sin ω t
 v X (t ) = − ω R sin ω t

 v Y (t ) = ω R cos ω t
 a X (t ) = − ω 2 R cos ω t

 a Y (t ) = − ω 2 R sin ω t
si verifica inoltre che
r = x2 + y2 = R
v = ωR
2
v
a = ω 2R =
R
• la velocità del punto è tangente alla circonferenza.
• l’accelerazione è diretta verso il centro (normale o centripeta)
Moto circolare uniformemente accelerato
r
v
1 2
(
)
θ t = θ0 + ω0 t + αt
θ
r
a
poniamo per semplicità
θ0=0, ω0=0
2
P
ω (t ) = ω0 + αt
θ
(
(
 x (t ) = R cos α t 2 2

 y (t ) = R sin α t 2 2
O
)
)
(
 v X (t ) = −α t R sin α t 2 2

 v Y (t ) = α t R cos α t 2 2
(
(
(
) − (α t ) R cos (α t
) − (at ) R sin (α t
 a X (t ) = − α R sin α t 2 2

 a Y (t ) = α R cos α t 2 2
r
aT
aT = α R
)
r
aC
2
2
2
2
)
)
2)
2
v2
aN = ω R =
R
2
v = ωR
r
v tangente
r r
r
a = aT + a N
Descrizione vettoriale del moto in un piano)
123
yP
O
P
r
rP
Posizione.
La posizione del punto P è individuata da
123
xP
P = ( xP , y P )
coordinate cartesiane
r
OP = rP
vettore posizione
r
modulo di un vettore: OP = rP =
B
A
r
rB
r
rA
O
xP2 + y P2
Spostamento da A a B è individuato da
r r
AB = OB − OA = rB − rA
r r r
∆r = rB − rA
vettore
spostamento
∆rX = ∆x = xB − x A
∆rY = ∆y = y B − y A
Cinematica del punto. 2D / 3D
Descrizione del moto:
z
r
r (t )
P(t)
Vettore posizione
z(t)
y
O
r
OP (t ) = r (t )
x(t)
y(t)
x
r r
r
∆r = r (t + ∆t ) − r (t )
r
r (t )
r
r (t + ∆t )
Velocità media:
r
r
r
r r (t + ∆t ) − r (t ) ∆r
=
v =
∆t
∆t
vX =
x2 − x1 ∆x
=
∆t
∆t
ecc.
Velocità istantanea
Velocità (vettoriale) istantanea:
r
r
r
∆ r dr
=
v = lim
∆t →0 ∆t dt
r
dr
r
r (t)
le cui componenti cartesiane sono:
vX (t ) =
dx
dt
vY (t ) =
dy
ecc.
dt
traiettoria
r
r (t + dt)
si vede che per intervalli molto piccoli lo spostamento diventa parallelo alla traiettoria
quindi la velocità è tangente alla traiettoria
Formalmente
r ds r
r
r
r
v
=
τ
=
v
τ
dr = ds τ ⇒
dt
distanza
Si può definire anche una velocità scalare:
risulta che
r
u= v =v
∆s ds
u = lim
=
∆t → 0 ∆t
dt
Accelerazione.
esempio di moto con
Accelerazione media.
r r
r
r
v 2 − v1 ∆ v
< a >=
=
∆t
∆t
∆vX
∆t
r
v
ecc.
y
aX =
r
a = cost
r r
a=g
Accelerazione istantanea
r
r dv
a=
dt
dv X
aX =
dt
ecc.
x
• In generale, l’accelerazione NON E’ tangente alla traiettoria
• il più generale moto uniformemente accelerato in 3D è un moto parabolico
• il più generale moto uniforme in 3D è un moto rettilineo
Accelerazione.
(continua e derivabile q.b.)
cerchio osculatore
r
aN r
a
R
Localmente, un tratto di curva si può approssimare
(al 2° ordine) con un arco di cerchio detto “osculatore”
r
aT
r
v
Come con una circonferenza, in generale l’accelerazione
ha una componente tangente e una componente centripeta
r r
r
a = aT + a N
con
dv
aT =
dt
v2
aN =
= ω 2R
R
derivata del modulo della velocità
o della velocità scalare
a = a N2 + aT2
Relazione fra grandezze angolari e lineari
in un moto circolare
s = Rθ
arco:
R
s= Rθ
θ>0
velocità:
ds
dθ
v=
=R
= Rω
dt
dt
v = Rω
accelerazione tangente:
ma nel caso dell’accelerazione c’è anche
una componente centripeta (o “normale”)
v2
aC =
= ω 2R
R
l’intensità o modulo dell’accelerazione vale
a = aC2 + aT2
aT = Rα
Dimostrazione generale che
r
r
v = vτ
da
si ricava
versore tangente
r
∆τ
τ (t )
r
r
r
r
dv
dv r
dτ
=
τ +v
dt
dt
dt
come si calcola?
un breve tratto del percorso, è approssimabile
con un arco del cerchio osculatore. Si vede che
per ∆θ → 0
R
∆θ
e dunque
(non richiesta)
derivata del modulo
della velocità
τ (t + ∆t )
d’altronde,
r r
r
a = aT + a N
∆τ → dθ
r
r
dτ dθ r
=
n =ωn
dt dt
r
r
∆τ diventa ortogonale a τ
e diretto verso il centro di curvatura
r
r
si può allora scrivere ∆τ → ∆τ ⋅ n
n è un versore diretto verso il centro (centripeto)
sostituendo:
r dv r v 2 r
a= τ + n
dt
R
r
aT
r
aN
Domande sui moti in più dimensioni
r
1) E’ possibile che in un certo istante sia v = 0 e
1b) E’ possibile che sia
r
v =0 e
r
a≠0 ?
r
a ≠ 0 in un dato intervallo di tempo?
2) In un certo istante, la velocità di un aereo è verso Est. E’ possibile che l’accelerazione
sia diretta verso Sud?
3) Il tachimetro di un’automobile segna un valore costante. Si può dire che a=0?
4) Si consideri il moto parabolico di un proiettile. Quanto vale l’accelerazione alla
partenza e nel punto più alto della traiettoria?
5) E’ possibile un moto curvilineo con accelerazione nulla?
Moti relativi. 1D
2 osservatori descrivono il moto dello stesso punto P. Uno di essi è in moto rispetto all’altro
x
xo′
O
O’
osservatore
“fisso”
definiamo:
P
osservatore mobile:
sistema di riferimento mobile
x
x′
xo '
coordinata di P rispetto ad O
coordinata di P rispetto ad O’
vale la relazione
x = x o ′′ + x ′
coordinata di O’ rispetto ad O
e derivando:
⇒
x = x o ′′ + x ′
v = vo′ + v ′
a = a o′ + a ′
Leggi del moto relativo in 1D
Moti relativi in 2D
O’
r
ro′
r
r′
r r r
r = ro′ + r ′
P
r
r
posizioni relative
O
Derivando rispetto al tempo si ottiene la velocità istantanea:
velocità relative
r r
r
v = vo′ + v ′
v
v’
vo’
Derivando ancora rispetto al tempo si ottiene l’accelerazione istantanea:
accelerazioni relative
r r
r
a = ao′ + a′