COMPORTAMENTO TERMICO DEI CAVI
1 - RISCALDAMENTO
Quando un cavo è percorso da corrente si riscalda. A causa delle perdite per effetto Joule che in
esso si verificano, la sua temperatura aumenta salendo dal valore iniziale (pari alla temperatura ambiente se il cavo è rimasto “inattivo” per un tempo sufficientemente lungo) a quello finale (corrispondente alla temperatura a regime).
Il comportamento termico di un cavo può essere analizzato prendendo in considerazione il bilancio
energetico fra il calore prodotto dal passaggio della corrente (Wp), il calore immagazzinato nel cavo
(Wi) e il calore ceduto all’ambiente circostante (Wc).
In ogni intervallo di tempo infinitesimo dt il calore prodotto dovrà evidentemente essere uguale
alla somma del calore immagazzinato e di quello ceduto. Dovrà cioè essere:
dW p dW i dW c
(1)
Le quantità di calore che compaiono nell’espressione (1) valgono:
dW p Pp dt
dW i m c d(∆)
dW c A ∆ dt
dove:
- Pp = potenza ceduta nel cavo per effetto Joule [W]
- m = massa del cavo [Kg]
- c = calore specifico del cavo [J/(Kg °C)]
- ∆θ = sovratemperatura del cavo rispetto all’ambiente [°C]
- d(∆θ) = variazione della sovratemperatura nell’intervallo di tempo dt [°C]
- = coefficiente globale di trasmissione del calore (per convezione e irraggiamento) [W/(m2 °C)]
- A = superficie termica di scambio (superficie attraverso la quale il calore passa dal cavo all’ambiente)
[m2]
Tenendo conto delle espressioni precedenti la (1) diventa:
Pp dt m c d(∆) A ∆ dt
2
Pp cm d(∆) A ∆
A
A
dt
Dove la costante di tempo vale = cm / A
E la soluzione nel caso di Pp costante
∆= Pp (1- e-t/)
A
Riportando in un sistema di assi cartesiani la sovratemperatura ∆θ in funzione di t/T, si ottiene il
grafico di fig. 1. Da esso si nota come la sovratemperatura tenda asintoticamente al valore ∆θr che
viene raggiunto, teoricamente, dopo un tempo infinito. In pratica, però, la sovratemperatura di regime
viene raggiunta (come la stessa figura evidenzia) dopo un periodo di tempo pari a 4÷5 volte la costante di tempo.
Fig. 1 - Curva di riscaldamento di un cavo
2 - RAFFREDDAMENTO
In maniera analoga a quanto fatto in precedenza si può analizzare il comportamento termico di un
cavo in fase di raffreddamento, nelle condizioni cioè in cui, dopo aver raggiunto una certa sovrtemperatura di regime ∆θr , la corrente si annulla. In tali condizioni è nulla la quantità di calore prodotta ( dWp
= 0 ) e la relazione (1) diventa:
dW i dW c 0
(6)
cioè:
m c d(∆) A ∆ dt 0
m c d(∆) ∆ 0
A
dt
che, risolta, fornisce:
t
∆ ∆r e T
(7)
Nella relazione precedente ∆θr e T hanno lo stesso significato già visto in precedenza, con l’unica
differenza che ora ∆θr rappresenta la sovratemperatura iniziale.
L’andamento della sovratemperatura del cavo durante il raffreddamento, riportato nel grafico di fig.
2, evidenzia come, anche in questo caso, ∆θ raggiunga il valore 0 (cioè la temperatura finale, pari a
quella ambiente) teoricamente dopo un tempo infinito; in pratica, però, si può vedere come il cavo si
“raffreddi” dopo un periodo di tempo pari a 4÷5 volte la costante di tempo T.
Fig.2 - Curva di raffreddamento di un cavo
5 - COMPORTAMENTO TERMICO DI UN CAVO IN REGIME VARIABILE
Il comportamento termico di un cavo, analizzato in precedenza, si riferisce alla situazione di “regime permanente”, vale a dire o al caso in cui il cavo è percorso sempre dalla stessa corrente, oppure al
caso in cui, a partire da un certo istante, la corrente cessa definitivamente di circolare.
Si vuole ora analizzare il comportamento termico di un cavo in “regime variabile”, cioè quando la
corrente che lo percorre assume valori diversi in tempi diversi. E’ evidente che anche le sovratemperature che esso raggiungerà nei vari intervalli di tempo saranno diverse e dipenderanno sia dal valore della corrente che dalla sua durata.
Il fenomeno rimane sostanzialmente identico a quello del regime permanente, tenendo però presente che il comportamento termico del cavo in ogni intervallo di tempo dipenderà dalle condizioni finali
raggiunte nell’intervallo di tempo precedente. In altre parole, la sovratemperatura iniziale ∆θi, in ogni
intervallo di tempo, non sarà più nulla (come invece avveniva in regime permanente in cui la temperatura iniziale risultava uguale alla temperatura ambiente), ma coinciderà con il valore della sovratemperatura finale ∆θf raggiunta nell’intervallo di tempo precedente, e così via per tutti i periodi di tempo
successivi.
Se la corrente nel cavo passa da un valore inferiore ad uno superiore, la sovratemperatura tenderà
ad aumentare secondo un andamento riportato in fig. 3.
Fig. 3 - Curva di riscaldamento di un cavo in regime variabile
La sovratemperatura ∆θc , corrispondente alla corrente “di carico” Ic , che il cavo tende ad assumere dopo un tempo sufficientemente lungo, può essere calcolata applicando due volte la relazione (8);
una prima volta con i valori della portata Iz e della corrispondente sovratemperatura ∆θz:
La sovratemperatura ∆θf , che il cavo raggiunge alla fine dell’intervallo di tempo t di durata della
corrente Ic , può essere calcolata con la relazione (5), nella quale si ponga
∆θ = ∆θf - ∆θi e ∆θr = ∆θc - ∆θi :
e con semplici passaggi:
t
∆θf = ∆θc − (∆θc − ∆θi e T
(11)
Nel caso in cui la corrente passa da un valore più alto ad uno più basso, la sovratemperatura tenderà a diminuire secondo un andamento riportato in fig. 4.
Fig. 4 - Curva di raffreddamento di un cavo in regime variabile
A NALOGIE
Due sistemi sono detti analoghi quando sono regolati dallo stesso modello matematico, cioè, quando le equazioni differenziali che li descrivono
sono identiche.
C OMPONENTI
ELETTRICI E MECCANICI
I circuiti elettrici possono essere schematizzati come costituiti da componenti ideali:generatori, condensatori, resistenze ed induttori. I generatori
di tensione e di corrente possono essere intesi come componenti attivi, gli altri sono invece componenti passivi. Indicando con v(t) e con i(t) la
corrente e la tensione che li attraversa, valgono le seguenti relazioni:
Resistore
Induttore
Condensatore
Ricordando sempre che il resistore è un componente dissipativo mentre induttore e condensatore sono elementi conservativi.
come nei sistemi elettrici, anche nei sistemi meccanici (ad un solo grado di libertà) si possono individuare gli elementi ideali che li costituiscono,
infatti a parte i generatori di forza o di velocità si hanno:
- Lo smorzatore; elemento di attrito dissipativo avente simbolo β dato che il suo parametro caratteristico è il coefficiente di attrito viscoso
[Forza/Velocità].
- La massa, elemento conservativo con simbolo m con dimensioni [Forza/accelerazione].
- La molla, anch'essa elemento conservativo con simbolo k, coefficiente di elasticità con dimensioni [Forza/Spostamento].
Per questi tre componenti, indicando con F(t) la forza ad essi applicata e con w(t) la velocità, valgono le seguenti relazioni:
Smorzatore
Massa
Molla
Nel caso della massa si ricorda che
mentre per la molla si ha
con
essendo
Di seguito è disegnato un sistema meccanico dove la massa m è mobile lungo la retta x; è soggetta ad una forza F(t) alla quale si oppongono la
forza elastica di richiamo -kx e lo smorzamento viscoso -βw.
I tre componenti sono rigidamente collegati fra loro e hanno la stessa velocità w:
Deve essere applicato il principio di D'Alembert per ottenere l'equazione del moto
ordinando
chiamando ovviamente w la velocità.
Notiamo la completa analogia con i casi elettrici:
analogia forza/flusso
analogia passante/traversa:
La prima scelta (forza/tensione, velocità/corrente) è nota come analogia forza/flusso, mentre la seconda scelta (forza/corrente,velocità/tensione) è
chiamata analogia passante/traversa.
Pur essendo il modello forza/flusso più intuitivo, l'analogia più usata è quella passante/traversa dalla quale è poi possibile ottenere uno schema
forza/flusso applicando il principio di dualità.
Per entrambe le analogie, il sistema fisso di riferimento corrisponde alla terra in senso elettrico, inoltre la posizione della massa è sempre
misurata rispetto ad un, sistema di riferimento, per cui il condensatore o l'induttore equivalenti devono sempre avere un morsetto collegato a
terra (si deduce che ci possono esistere circuiti elettrici a cui non corrisponde nessun sistema meccanico analogo).
S IST E M A
M O LLA - S M O R ZA T O R E
Al punto A equivale un nodo
elettrico in cui confluisce un
generatore di corrente di valore F,
una induttanza di valore 1/k ed una
resistenza di valore 1/β. Tutti e tre i
bipoli sono collegati con un
terminale di terra.
S IS T E M A MA S SA - SMOR Z A T OR E
La massa m equivale ad una capacità
connessa con un estremo a terra in parallelo
ad un generatore di corrente di valore F e ad
una resistenza di valore1/β.
S IS T E M A MA S SA - M OL L A - S M OR Z A T OR E
Il punto A equivale ad un nodo in cui
confluiscono il generatore di corrente
associato alla forza F, una capacità di valore
m, una resistenza 1/β ed una induttanza 1/k.
Tutti i bipoli hanno il secondo terminale
collegato a a terra.
S IS T E M A A R T I C OL A TO
In presenza di più elementi, ad ogni massa del sistema meccanico, corrisponde un nodo della rete elettrica equivalente, per cui si avranno soltanto
i nodi (1) e (2) associati rispettivamente alle masse m1 ed m2.
La massa m1 e la forza F corrispondono ad una capacità di valore m1 e ad un generatore di corrente F connessi fra il nodo (1) e la terra. La massa
m2 e la molla k2 equivalente equivalgono ad una capacità di valore m2 e ad una induttanza di valore 1/k2 tra il nodo (2) e la terra.
Infine la molla di costante k1 e lo smorzatore equivalgono ad una induttanza 1/k1 e a una resistenza 1/β connessi tra i due nodi (1) e (2). Pertanto:
S IS T E M I I D R AU L I C I
I sistemi idraulici sono dei particolari sistemi meccanici, ma in questo caso preferiamo considerarli una categoria a se stante. Gli elementi
fondamentali di un sistema idraulico sono le condotte, i serbatoi e le valvole.
C ON D OT T E
Supponiamo che le condotte siano a sezione costante, fatta eccezione per qualche tratto dove si ammette una riduzione di sezione dovuta ad una
valvola. Le condotte possono anche non essere orizzontali e presentare tratti in salita o in discesa. Per questo motivo si preferisce descrivere il
moto del fluido usando un'altezza invece che la pressione.
Si suppone Q=costante in ogni sezione della condotta.
Se Q=0 l'altezza, misurata in tutti i tubi piezometrici è la stessa.
Se Q>0, la differenza delle altezze piezometriche hi ed hj relative a due tubi Ti e Tj è funzione della variabile Q.
Questa funzione, oltre ad essere nulla per Q=0 è sempre crescente all'aumentare di Q. Si può dunque scrivere:
Dove R è la resistenza idraulica; questa resistenza si intende distribuita sui tratti lineari della condotta, mentre è detta concentrata in prossimità
di una strozzatura della sezione dovuta ad esempio alla presenza di una valvola.
Nel seguito metteremo questa formula in analogia con la legge di Ohm ai capi di un bipolo resistivo.
S E R B A T OI
In figura è disegnato un serbatoio di sezione S mantenuta costante lungo la sua altezza.
dalla definizione di portata volumetrica
𝑸=
𝒅𝑽
𝒅𝒕
e poiché V=S h
se la sezione S del serbatoio è costante, portando la relazione in termini infinitesimali:
è qui evidente l'analogia con la relazione fra tensione e corrente ai capi di un condensatore:
V A LV OL E
Nel disegno sopra riportato, nel tratto di tubazione fra T3 e T4 è presente una valvola per tale tratto è prevista la forma :
Con R resistenza idraulica concentrata dovuta alla valvola. ma questa è valida solo nel caso che l'apertura della valvola rimanga costante; al
variare di tale apertura, R varia. La forma precedente, deve essere corretta come :
con δ costante di proporzionalità ed a il grado di apertura della valvola.
Ovviamente deve essere 0 a 1 con a=0=valvola chiusa e a=1=valvola completamente aperta.
Per a=0 deve essere Q=0 ed hi-hj può assumere valori diversi a secondo di condizioni imposte dall'esterno, mentre per a=1 la caduta di pressione è
trascurabile e deve risultare hi-hj=0.
L'equazione linearizzata ottenuta può essere ritenuta accettabile per variazioni contenute abbastanza lontane dagli estremi della corsa.
Il grado di apertura può essere rappresentato come una opportuna funzione crescente della posizione angolare dell'albero meccanico che
comanda la valvola.
imponendo una proporzionalità
l'equazione precedente diventa:
con
Tra le grandezze idrauliche e quelle elettriche si possono stabilire le corrispondenze:
Grandezza idraulica
Grandezza elettrica
portata Q
corrente i
altezza h
potenziale v
resistenza idraulica R
resistenza elettrica R
sezione serbatoio S
capacità C
Nella tabella non appare l'induttanza in quanto il suo analogo idraulico è rappresentato dall'inerzia delle masse dei liquidi nelle condotte che
nella maggior parte dei casi pratici è trascurabile.
Per rappresentare il circuito elettrico di un sistema idraulico, bisogna tener presente che un circuito elettrico è sempre chiuso su se stesso, mentre
il percorso di un fluido può non esserlo. Risulta dunque conveniente rappresentare l'analogo elettrico di ciascuno degli elementi idraulici come
un quadripolo; si hanno i seguenti circuiti equivalenti.
Condotta
Serbatoio
Valvola
Come si vede nell'ultimo caso è presente un generatore di tensione dipendente dall'angolo di apertura della valvola.
Ad esempio, per determinare il circuito elettrico analogo di un serbatoio con valvola di accesso
Si collegano in serie i doppi bipoli
elettrici relativi al serbatoio e alla
valvola, ottenendo il circuito elettrico
analogo riportato.
Un altro esempio consiste nel determinare il circuito elettrico equivalente del seguente sistema
si considerano i due serbatoi S1 es S2 assimilabili a due capacità, mentre i due tratti di tubo equivalgono a due resistenze R1 ed R2.
La portata del tubo Q1 del fluido convogliata nel serbatoio di ingresso diventa un generatore di corrente che alimenta il circuito elettrico.
Poiché il riferimento di livello a partire dal quale si misurano le altezze piezometriche è arbitrario, esso si può sempre scegliere in modo da porre
h3=0.
In questo modo i due morsetti di uscita del circuito elettrico possono essere collegati da un corto.
