Le origini dell`algebra commutativa in Italia

Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino
Vol. 48, 4 (1990)
ACGA - 1990
P. Salmon**)
LE O R I G I N I D E L L ' A L G E B R A C O M M U T A T I V A
IN ITALIA
Abstract.
The article contains historical comments on algebraic geometry
and the origin of commutative algebra in Italy around 1960.
1. A l c u n e difficolta per la geometria algebrica in Italia agli inizi
degli anni '50
II Convegno organizzato a Torino nel settembre 1991, in occasione del
sessantesimo compleanno d.ello scrivente, ha implicato festeggiamenti ed onori
molto superiori ai modesti meriti di una persona che si e trovata, agli inizi degli
anni 60, in una situazione particolarmente propizia per favorire la promozione
di qualche studio di algebra commutativa in Italia.
I cultori italiani di algebra commutativa e geometria algebrica sono
attualmente molto numerosi; in particolare, la geometria algebrica ha
riacquistato in Italia l'antico prestigio e la grande forza di attrazione sui
giovani ricercatori. Piio quindi sembrare sorprendente che vi sia stato un
decennio, a partire dai primi anni '50, durante il quale difficolta, sconcerto e
scoraggiamento hanno talvolta prevalso sulla capacita di aggiornarsi, capire e
operare.
La difficolta a lavorare nell'ambito della geometria algebrica in quel
periodo e stata palese a livello intern azionale. La rifondazione proposta da
A. Weyl negli anni '40, colle sue famose "Foundations", non aveva trovato
'*JLavoro eseguito nell'ambito delle ricerche finanziate dal M.P.I.
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continuatori e divulgatori su larga scala. E nei contributi di Zariski, piu
o meno contemporaiiei a quelli di Weyl, non era facile discernere quanto
afTeriva piu probabilmente alia teoria degli ideali, nella scia del solco tracciato
da Krull, e quanto invece era da considerarsi indispensabile per un'adeguata
comprensione dei fondamenti algebrici della geometria algebrica. Cosi, molti
erano i motivi che potevano allontanare i cultori di geometria algebrica da un
aggiornamento in direzione algebrica.
D'altra parte, vi erano anche difTicolta analoghe, se non superiori, ad
intraprendere un tentativo di adeguamento culturale nella direzione analiticotopologica, dove bisognava misurarsi coi contributi di Hodge, De Rahm,
Kodaira e Spencer che convolgevano tra, l'altro strumenti basilari di geometria
differenziale. La crisi della geometria algebrica agli inizi degli anni '50 e
stata parti col armente sofferta in Italia, dove non si era ancora spento il
retaggio del periodo glorioso associato ai tre nomi famosi di G. Castelnuovo,
F. Enriques e F. Severi. La speranza che i metodi tradizionali della scuola
italiana potcssero dare ancora frutti copiosi si scontrava con una relata che
trasformava sovente il desiderio in illusione; non puo sorprendere, dunque,
che talvolta rammirazione e il gusto per la geometria algebrica venissero
sopraffa.tti da rimpianto o nostalgia. Quando non vi era rassegnazione e
abbandono, si era spesso indotti a ripiegare su qualche tematica marginale.
Talvolta potevano anche non mancare idee notevoli, come quelle contenute
in un lavoro di B. Segre del 1953 apparso negli Annali di Matematica; ma
erano assenti le condizioni favorevoli a una loro adeguata comprensione, che
consentisse rapidamente ulteriori elaborazioni e sviluppi. Si puo senz'altro
asserire che le ricerche effettuate cogli strumenti tradizionali della geoemtria
classica dovevano far fronte in quel periodo a situazioni di relativo isolamento
con apprezzamenri ran o tardivi per i contributi apportati. D'altra parte,
un eventuale tentativo di allargare l'orizzonte, ricercare nuove aperture e
confrontarsi con altri approcci alia geometria algebrica, incontrava in Italia
un'ulteriore difTicolta che si aggiungeva a quelle di carattere generale gia
descritte: non poteva esservi un'atmosfera favorevole alia circolazione delle
nuove idee, laddove 1'orgoglio e il rimpianto per le antiche glorie facevano
tardare il riconoscimento dei limiti della vecchia scuola e Tesigenza di una
revisione critica.
La vigorosa ripresa di interessi per la geometria algebrica nella seconda
meta degli anni '50, legata soprattutto ai nomi di Hirzebruch, J.P. Serre e
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A. Grothendieck ha lasciato all'inizio l'ltalia sensibilmente emarginata da
quel processo innovativo: si era costretti a partire con un forte ritardo.
Ma I'esigenza di un aggiornamento a vasto giro di orizzonte si rendeva
sempre pin evidente., specialmente dopo il corso estivo di Varenna del 1955
sul teorema di Riemann-Roch, i cui docenti principali erano F. Severi e
F. Hirzebruch. L'alternanza alia cattedra dei due maestri., distanziati in eta
da quasi cinquant'anni, dava l'impressione netta di due mondi contrapposti
ed ormai non si poteva piu dire che il mondo nuovo era soltanto agli albori.
2. Aldo A n d r e o t t i rinnovatore e maestro
Tra i cultori italiani di geometria algebrica, A. Andreotti, professore
ordinario a Torino dal 1951 al 1956, e stato tra i piu convinti assertori della
necessita di un adeguamento e di un rinnovamento.
Un lungo periodo di permanenza negli Stati Uniti intorno agli anni
'49/'50 gli aveva gia dato una profonda scossa, portandolo a iniziare
velocemente un primo tentativo di colmare le lacune culturali da lui avvertite
nei piu svariati settori: algebra, topologia, analisi, geometria difFerenziale.
E' da mettere in risalto l'interesse di Andreotti per alcuni argomenti
di algebra che riguardavano soprattutto gli anelli di polinomi (in particolare
la teoria deU'eliminazione) e la teoria degli ideali, cosi come era stata
sviluppata da D. Hilbert (teoremi della base e delle sizige), E. Lasker,
F. Macaulay, E. Nother e W. Krull.
Cosi, quando apparve nel 1949
il volumetto di W. Grobner "Moderne Algebraische Geometrie" (alias: i
fonda- menti algebrici della geometria algebrica), Andreotti ritenne opportuno
abituarsi a familiarizzare col linguaggio della teoria degli ideali, adottato
sistematicamente nel libro in oggetto, anche se sovente circoscritto all'ambito
degli anelli di polinomi a coeflicienti in un campo. Non erano certo numerosi
in quel momento in Italia i conoscitori del libro di Grobner: oltre ad Andreotti,
vi erano pochissimi cultori di geometria algebrica a lui legati, che subivano
l'influsso della sua straordinaria personal!ta.
L'insegnamento di algebra, adesso fondamentale per il primo anno di '
corso di laurea in Matematica, e stato introdotto a livello nazionale nel 1960;
ma Andreotti ne e stato un antico ed autentico precursore, in quanto fin dai
primissimi anni del suo insegnamento a Torino nel secondo corso di geometria
(che veniva etichettato ancora come "geometria descrittiva"), il contenuto era
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presentato subito senza ipocrisie come "teoria degli ideali". La sostituzione,
non soltanto nominale, veniva giustificata ricorrendo al "programma di Klein"
che non poteva consentire di riguardare in alcun modo la geometria descrittiva
come una efFettiva geometria.
Andreotti era titolare anche in un altro corso, a livello piu avanzato, in
cui trattava argomenti meno elementari e piu decisamente orientati verso altri
aspetti della geometria algebrica, ad esempio: topologia generale ed algebrica,
teoria di Hodge degli integrali armonici.
In effetti, col passare degli anni, Andreotti si stava sempre piu
orientando verso studi di carattere analitico-topologico ed era portato a
riguardare P algebra e la teoria degli ideali come p strumenti indispensabili da
utilizzare per studi geometrici, piuttosto che come oggetti di indagine per le
proprie ricerche.
Vi e stata un'unica eccezione: il lavoro di A. Andreotti e P. Salmon
"Anelli con unica dccomponibilita in fattori primi ed un problema di
intersezioni complete", ultimato a Torino nel 1956. Questo lavoro, iniziato
personalmente da Andreotti in anni precedenti ed ispirato da un'idea di
Grobner, presentava nella prima stesura delle lacune (evidenziate dallo stesso
Grobner) che Andreotti non riusciva a colmare (anche per il suo diminuito
interesse verso argomentazioni molto algebriche). L'idea di Andreotti di
associare il secondo autore al lavoro, nella speranza di portarlo a termine, ha
in effetti consentito il varo di un articolo che oggi puo considerarsi senz'altro
il primo lavoro di algebra commutativa apparso in Italia.
Purtroppo,
oltre alle lacune scoperte da Grobner e alia fine riempite, ve ne erano
altre (ben piii gravi) che hanno limitato fortemente la validita dei risultati
geometrici piu importanti. Ma il lavoro ha avuto ugualmente risonanza
intern azionale per la novita della presentazione. E compariva per la prima
volta (sia pure per l'anello dei polinomi) la caratterizzazione ora ben nota:
un dominio noetheriano e fattoriale se e solo se ogni ideale primo di altezza
1 e principale. Quel lavoro ha inoltre ispirato una congettura di Samuel,
dimostrata successivamente da Grothendieck, relativa alia fattorialita di certi
anelli intersezioni complete.
3. La nuova situazione all'inizio degli anni '60
Dopo vari anni trascorsi all'estero (Francia e Stati Uniti), Andreotti
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aveva ripreso stabilmente l'insegnamento in Italia dal 1959, trasferendosi
da Torino a Pisa e cercando di creare in quel luogo un centro attivo di
ricerche avanzate. E. Vesentini fu professore a Pisa dal 1958 e I. Barsotti
venne chiamato nel 1961, dopo una precedente presenza a Pisa in qualita di
visit at ore.
La contemporanea presenza a Pisa dei piu validi cultori di algebra e
geometria pareva dovesse assicurare ai giovani ricercatori pisani condizioni
ottimali per la ricerca. Tuttavia, per vari motivi, la "scuola pisana" stentava
a decollare.
Anzitutto, si avvertiva a Pisa un distacco marcato tra maestri ed allievi,
che portava ad una forte insofferenza dei primi per i progressi troppo lenti e
deboli dei secondi. Poi, si aveva l'impressione di dover fare, a priori, una
scelta di campo (in senso davvero letterale!): se si voleva lavorare su un
campo di caratteristica 0, in pratica sul campo complesso, allora i maestri
erano Andreotti e Vesentini; se si sceglieva invece di lavorare su un campo di
caratteristica p, si doveva entrare nel regno di Barsotti. Tertium non datur!
Nel frattempo, a livello nazionale, si era creata una situazione molto
favorevole ad intraprendere studi nell'ambito delle geometrie finite. Era
stato soprattutto B. Segre, prestigioso docente all'Universita di Roma e
nei corsi dellTstituto Nazionale di Alta Matematica, ad additare ai giovani
quel settore di ricerca, destinato in Italia ad un'espansione notevole negli
anni successivi. L'eventualita di lavorare nelle geometrie finite poteva allora
apparire ben allettante a un cultore o aspirante cultore di geometria algebrica,
dove occorreva in ogni modo acquisire una mole cospicua di cognizioni varie
prima di poter muovere i primi passi. Un'alternativa altrettanto attraente per
chi aveva gusto algebrico-geometrico o anche soltanto algebrico era costituito
dalla teoria dei gruppi che aveva trovato in G. Zappa una guida magistrale al
cui seguito si muoyevano gia allievi brillanti e desiderosi di continuare l'opera
del maestro.
Tutto sembrava dunque scoraggiare una ripresa della geometria
algebrica propriamente detta. Iniziavano ad apparire in quel periodo i primi
volnmi E.G.A. di Grothendieck-Dieudonne e una loro lettura sistematica
poteva apparire irrealizzabile, data la mole e la generality della trattazione.
Persino Andreotti non era incline a incoraggiare i giovani a muoversi in
quel momento verso la geometria algebrica ed indicava loro come migliore
alternativa il filone degli spazi analitici dove, a titolo personale, aveva ottenuto
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risultati brillanti che gli avevano dato ampia notorieta.
Un esempio significative) della situazione ancora difficile della geometria
algebrica italiana e costituito dagli atti del convegno organizzato a Torino del
1961 da E. Marchionna e D. Demaria.
I contributi scientifici di parte italiana al convegno sono stati dati
da B. Segre (geometrie finite), M. Baldassarri (proprieta di estensione),
Andreotti-Vesentini (annullamento della coomologia di varieta non compatte),
G. Dantoni (ideali e varieta algebriche), V.E. Galafassi (geometria reale),
U. Morin (analisi diofantea).
A ben vedere erano assenti le tecniche
tradizionali tipiche della geometria algebrica, coltivate ormai raramente in
Italia. Facevano per Tappunto eccezione i promotori del convegno che, per
discrezione, non apparivano tra i conferenzieri; ma l'importanza della loro
opera e stata ben riconosciuta negli anni seguenti.
Pur nei limiti evidenziati, quel convegno si e rivelato salutare. Ha
lasciato in molti l'impressione che non era giusto demordere e che forse sarebbe
stato possibile risalire la china. In particolare gli interventi di Baldassarri e
Dantoni, assieme a quelli di Van der Waerden, Zariski, Samuel, Grobner ed
altri, metteva.no in luce la possibility ormai matura di introdurre a questo
punto in Italia un contenuto effettivo di algebra commutativa.
4. II rilievo di Pierre Samuel
Dopo l'apparizione dei due volumi di Zariski e Samuel, la denominazione
"algebra commutativa" sostituiva con maggior precisione la "teoria degli
ideali", ancora mantenuta da D.Northcott nel suo aureo librettto del 1953
(nel testo del 1957, Serre introduceva la terminologia "algebra locale" per
sottolineare l'importanza degli anelli locali gia ben evidenziata nei lavori di
Zariski).
L'algebra commutativa giocava altresi un ruolo primario nell'impostazione
dei volumi E.G.A di Grothendieck, dove occupava per intero il Capitolo 0.
Ben presto sarebbero poi apparsi in successione i vari capitoli dall'"Algebra
Commutativa" di N. Bourbaki ed i "Local rings" di M.Nagata.
La situazione appariva quindi molto favorevole per intraprendere anche
in Italia i primi studi di algebra commutativa. Ma ci voleva la buona occasione,
accompagnata anche da quel tanto di fortuna che talvolta favorisce il varo e
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il buon proseguimento di un'impresa.
L'evento propizio si presento a Firenze nel settembre 1961 ad un
convegno a Firenze dei matematici di espressione latina: Samuel, invitato
a parlare, voleva esporre i suoi recenti risultati sulla fattorialita e discutere
colla coppia Andreotti-Salmon la sua congettura sulle intersezioni complete
ispirata da certi risultati inclusi nel lavoro comune gia descritto. Ma il primo
autore delego completamente al secondo il compito richiestogti: l'interesse
di Andreotti era, in quel momento, lontanissimo dall'algebra commutativa
e, soprattutto, dalla fattorialita. Lo scrivente, particolarmente desideroso di
uscire da un lungo periodo di crisi nell'attivita scientifica, si trovava invece
aperta la possibilita di lavorare su argomenti prediletti colla persona piu
adatta. Cosi, un eventuale (ma estremamente incerto) superamento della
crisi, auspicato da Andreotti sotto la guida di Serre e Grothendieck, si verifico
a Parigi qualche mese dopo, col varo di una prima nota sui "Comptes R.endus"
in cui si risolveva un problema posto da Samuel.
Samuel, appena trasferitosi da Clermont-Ferrant a Parigi, era in quel
momento assai disponibile al colloquio. Ed era particolarmente propizia la
possibilita di lavorare sulla fattorialita di anelli e sottoanelli di serie formali
perche non era troppo difficile ottenere talvolta un risultato non banale,
addirittura sorprendente, con un bagaglio contenuto di nozioni tecniche.
, Un altro argomento di ricerca particolarmente felice, suggerito un anno
prima da Samuel a A. Micali, riguardava il confronto tra l'algebra simmetrica
e l'algebra di Rees di un ideale collegate da un omomorfismo canonico. Micali
era gia riuscito ad ottenere piuttosto presto un risultato notevole (l'integrita
dell'algebra simmetrica. di un anello locale regolare) e conversava volentieri
dei suoi argomenti di ricerca, anche nella speranza di ottenere stimoli per il
lavoro ulteriore.
Le frequenti conversazioni a Parigi con Micali e Samuel negli anni '62 e
'63, a complement© di un intenso lavoro personale, hanno consentito progressi
costanti ed una migliore possibilita di profittare dei tanti corsi e seminari
(di Serre, Grothendieck, Cartan, dello stesso Samuel ed altri) tenuti allora a
Parigi.
Dopo il biennio 1961/63 trascorso in Francia, rientrava dunque in
Italia una persona che, tramite un accostamento graduale a temi attuali
e molto abbordabili di algebra commutativa, poteva parzialmente colmare
una lacuna culturale allora molto avvertita in Italia. In un certo senso, vi
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era I'uomo giusto nel momento giusto. A questi apparve allora del t u t t o
naturale offrire il proprio aiuto a chi ne aveva bisogno o comunque lo gradiva.
Silvio Greco e stato il primo, in una lunga serie di collaborator!, allievi o
persone comunque aiutate, ad usufruire di una circostanza eccezionalmente
favorevole. Seminari periodici venivano tenuti prima a Pisa e poi a Genova,
anche colla partecipazione di amici padovani e romani. In particolare gli anelli
di Macaulay ed i loro legami cogli ideali perfetti, cosi ben illuminati nel lavoro
di D.Rees "On the grade of an ideal or module", sono stati al centro di una
diffusa attenzione.
A Genova vi e stata poi una collaborazione feconda con D. Gallarati
e V. Villani; in particolare, l'intuito e la sensibilita geometrica di Gallarati
hanno suggerito indagini su tematiche di notevole interesse.
Come si vede, i meriti del pioniere sono stati molto circoscritti, anche
se la fatica e stata notevole.
H piccolo gruppo iniziale delle persone
interessate all'algebra commutativa si e poi sensibilmente allargato ed i
contributi scientifici sono stati numerosi, talvolta anche significativi; il merito
va attribuito alle doti e all'impegno rilevante dei tanti che hanno raccolto
il messaggio, interpretandolo con capacita, originalita e innovazioni varie.
Forse i contributi avrebbero potuto essere anche piu consistenti, se maggiore
armonia, consapevolezza e reciproca comprensione avessero sempre sorretto
vivacita di interessi, volonta di affermazione e proliferazione di iniziative.
A distanza di piu di venticinque anni, altri problemi e un diverso tipo di
diflicolta hanno sostitnito gli antichi scogli. Ma i nuovi ingegni comparsi sulla
scena, l'entusiasmo crescente e il salto di qualita consentono di ben guardare
al futuro, rivolgendo ai sempre piu numerosi ricercatori del settore algebrageometria i migliori auspici per il loro lavoro.
Paolo SALMON, Dipartimento di Matematica,
Piazza di Porta San Donato, 5. 40127 Bologna, Italy.
Lavoro pervenuto in redazione il 22.7.1991.