ERRATA CORRIGE
pag.2) nella Proposizione 2.5: “per il complemento rispetto a X si ha:
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c e Ac ∪ B c = (A ∩ B)c .”
pag.9) nella Proposizione 6.8:
3) f T ◦ f = idA ;
4) f ◦ f T = idB .
pag.9) nell’Esempio 6.9d): “d) f : {x ∈ R|x 6= π/2 + kπ, k intero} → R, f (x) = tg x;
Le funzioni trigonometriche su R non sono biiezioni. Sono però invertibili opportune loro restrizioni:
per esempio agli intervalli I1 = {0 ≤ x ≤ π} per cos x, I2 = {−π/2 ≤ x ≤ π/2} per sin x e
I3 = {−π/2 < x < π/2} per tg x. Si ottengono le funzioni trigonometriche inverse:
arccos x : {−1 ≤ x ≤ 1} → {π ≤ x ≤ 0};
arcsin x : {−1 ≤ x ≤ 1} → {−π/2 ≤ x ≤ π/2};
arctg x : R → {−π/2 < x < π/2}.”
pag.12) prima riga: “Z0 non è un gruppo moltiplicativo.”
pag.12) nella Def. 8.7: “Se A è un gruppo, B è sottogruppo di A se è chiuso rispetto all’operazione
gruppale e ∀b ∈ B, B contiene il simmetrico b0 di b. Se K è un campo, B è sottocampo di K se è
un sottogruppo rispetto alla somma, e B 0 è un sottogruppo rispetto al prodotto.”
pag.15) nell’esercizio 16 g) “f (n) = 2n.”
pag.16) nell’esercizio 27) “c) Sia ∗ associativa: se per ogni elemento a ∈ A esiste a0 tale che
a ∗ a0 = u, si ha anche a0 ∗ a = u. (Si dice che il simmetrico a destra lo è anche a sinistra, e
viceversa).”
pag.16) nell’esercizio 28) “Verificare accuratamente le affermazioni contenute negli esempi 8.5.”
pag.17) nell’esercizio 33) “b) Q0 è sottogruppo moltiplicativo di R0 ;
pag.25) nella dimostrazione del Teorema: “quindi tutti i complessi non nulli hanno inverso.”
pag.34) quarta riga: “una funzione f : K × V → V , detta prodotto esterno”
pag.34) nona riga: “Proprietà distributiva del prodotto esterno rispetto alla somma di scalari”
pag.38) in alto:
P
x1 = i ti ai1
P
x2 = i ti ai2
..
..
.
.
P
xn = i ti ain
(ti ∈ K)
pag.38) in fondo: “Diremo che la somma è diretta se U ∩ W = {0}.”
pag.41) esercizio 10): “Dimostrare che l’insieme dei vettori x ∈ Rn , tali che x1 + x2 = 5, non è uno
spazio vettoriale rispetto alle operazioni definite in Rn .”
pag.52) nell’esercizio 2): “ax + by = c, con (a, b) 6= (0, 0)”
e “ax + by + cz = d, con (a, b, c) 6= (0, 0, 0)”
pag.54) esercizio 15):“a) Il vettore (1, 1, 0) è combinazione lineare dei vettori
(1, 2, 1), (−1, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)?”
1
2
Errata corrige
pag.60) nella Prop.4.2.2: “Si considerino le due matrici A, B, le cui righe sono rispettivamente le
n-uple
(a1 , . . . , ai , . . . , an ), (a1 , . . . , kai , . . . , an ).
Si ha det B = k det A.”
pag.69) esercizio 5):
·
cos α
sin α
− sin α
cos α
¸
(α reale),
che rappresenta una rotazione del piano di angolo α intorno all’origine.
pag.70)
pag.71)
pag.72)
2 3 0
esercizio 9): “Calcolare una fattorizzazione LU per la matrice A = 0 1 0 .”
2 5 1
ultima riga: “Sia x un vettore colonna di Rn , n > 1. Dimostrare che det(xxT ) = 0.”
1 2 1
esercizio 22.1): “essendovi la sottomatrice M = 1 1 1 , con det M = −1.”
0 0 1
terza riga: “Per t 6= 0, 1/2 vi sono infinite soluzioni, dipendenti da un parametro.”
esercizio 30b): “Sia S = {v1 , v2 , v3 , v4 }, v1 = (1, 1, 3), v2 = (2, 2, 6), v3 = (1, 2, 1), v4 =
pag.73)
pag.75)
(1, 5, 6).
Determinare quali vettori di S sono generatori indipendenti di W = hv1 , v2 , v3 , v4 i, ed esprimere
gli altri vettori come combinazione lineare di quelli indipendenti.”
pag.82) dimostrazione del Teorema 5.2.7: “Per la Proposizione 5.2.3, rimane solo da stabilire che..”
pag.86) esercizio 14): “Dimostrare che i punti soddisfacenti l’equazione ax + by + cz = 0 formano
un sottospazio di dimensione 2. ”
pag.96) esercizio 7): “Sia M ∈ Mn (K), n > 1. Mostrare che T : Mn (K) → K, T (M ) = det M non
è lineare.”
pag.106) dimostrazione del Teorema 7.2.4: “..sono linearmente indipendenti per il Lemma 7.2.3..”
pag.108) dimostrazione del Teorema 7.3.3: “..
Id =
h
X
qi (T ) e (T − λi Id)qi (T ) = ai rT (T ) = 0.
i=1
Ph
Se v ∈ V n (K), v = Id(v) = i=1 qi (T )(v). Ma (T − λi Id)qi (T )(v) = ai rT (T )(v) = 0 e quindi..”
pag.108) dopo il teorema 7.3.3:“Nel caso in cui gli autovalori siano noti, la dimostrazione fornisce un
metodo per il calcolo degli autovettori: una base dell’immagine di qi (T ) è una base dell’autospazio
E(λi ).”
n
P
pag.109) nell’enunciato del teorema 7.4.1: “di centro aii e raggio ρi =
|aij |, i = 1, . . . , n.”
j=1
j6=i
pag.112) esercizio 16): “b) Sia A2 = −In . Dimostrare che A possiede solo gli autovalori complessi
i e −i, e ha ordine pari.”
pag.121) definizione 8.1.6: “Il vettore
prw (v) =
è la proiezione ortogonale del vettore v su w.”
pag.123) settima riga: “da cui e3 =
3
7 (2,4,1)
k 37 (2,4,1)k
(v, w)
w
kwk2
q
=
1
21 (2, 4, 1).”
pag.149) esercizio 12): “Dimostrare che l’endomorfismo associato a una matrice ortogonale di
ordine 3, di determinante 1, ha sempre una retta fissa (per l’origine), luogo di punti fissi, corrispondente a un autovettore di autovalore 1.
