Facoltà di Ingegneria

Facoltà di Ingegneria
Prova scritta di Fisica I (a. a. 2004-2005)
20 Settembre 2005
Esercizio n. 1
Un corpo puntiforme di massa m è appoggiato,
fermo, nel punto A, sulla sommità di una
semisfera rigida e liscia di raggio R, come
mostrato in figura e, all’istante iniziale t=0,
viene fatto scivolare verso il basso..
Con l’ausilio delle leggi della dinamica note si
studi il moto del corpo lungo la superficie del
vincolo e si risponda alle seguenti domande,
tenendo conto di questi dati numerici:
g = 9.81 m s-2, M=2 kg, R=2 m.
A
m
P
R
1. Il modulo della velocità vP raggiunta dal
corpo nella posizione P, quando la sua quota si è abbassata di (1/4)R rispetto a quella iniziale:
A. 9.81 m/s
B. 3.13 m/s
(*)
C. 4.4 m/s
D. 77.1 m/s
2. Il modulo dell’accelerazione normale aP del corpo nella posizione P vale:
A. 9.81 m/s2
B. 3.13 m/s2
C. 4.9 m/s2
(*)
D. 77.1 m/s2
r
3. Il modulo della reazione vincolare normale N esercitata dalla superficie rigida sul corpo quando
questo si trova nella posizione P vale:
A. N = 4.9 N
(*)
B. N = 2.4 N
C. N = 1.2 N
D. N = 18.8 N
4. la proiezione della forza peso, nella posizione P, lungo la direzione della reazione vincolare
r
normale N , vale:
A. 10.1 N
B. 14.7 N
(*)
C. 4.9 N
D. 9.81 N
5. la posizione iniziale del corpo in A risulta essere di:
A. Equilibrio stabile
B. Equilibrio instabile
(*)
C. Equilibrio indifferente
giustificare, brevemente, attraverso le leggi della meccanica note, la risposta data.
Esercizio n. 2
In figura è rappresentato un sistema costituito da 2 masse approssimabili a punti materiali, M1 e M2,
una fune ideale e 3 carrucole, di cui due, C1 e C2, ideali e fisse ed una
terza realizzata con un disco rigido omogeneo di massa M e raggio R,
C2
libero di ruotare attorno ad un asse fisso, perpendicolare al piano della
figura, passante per il centro del disco.
Nell’ipotesi che lungo l’asse di rotazione, del disco si eserciti un
r
R
momento frenante τ , costante nel tempo, e che all’istante iniziale t=0 le
masse M1 e M2 siano lasciate libere di muoversi, rispondere alle seguenti
domande, tendendo conto di questi dati numerici: g = 9.81 m s-2,
M2
M1=(1/2)M, M2=(1/3)M, R=0.5m, τ = 1 Nm, M=5 kg.
C1
6. L’equazione del moto del cilindro vale:
A. (T1-T2)R-τ= I0α (*)
B. TR= I0ω
C. (T-τ)R= I0
D. T+Mg=Ma
M1
7. L’accelerazione a della massa M1 vale:
(*)
A. a = 0.93 m s 2
B. a = 44.3 m s 2
C. a = 0.16 m s 2
D. a = 2.6 m s 2
8. Il modulo della velocità angolare ωdel disco all’istante in cui la massa M1 si è spostata di un
tratto h=1m, lungo la direzione verticale, rispetto alla sua quota iniziale, da cui parte con
velocità iniziale nulla:
A. ω = 0 rad / s
B. ω = 11.5 rad / s
C. ω = 1.33 rad / s
(*)
D. ω = 2.73 rad / s
Esercizio 3
Ad un generico istante t il vettore posizione di un punto materiale di massa m ha la seguente
rappresentazione cartesiana:
r
r (t ) = x(t )iˆ + y (t ) ˆj + z (t )kˆ
dove x(t)=Acos(ωt+φ)+Bt2-Ct+D, y(t)=kt, z(t)=0 e iˆ, ˆj, kˆ sono i versori degli assi x, y e z,
rispettivamente.
Determinare al tempo iniziale la posizione e la velocità del punto, e la risultante delle forze agenti su di
esso allo stesso istante t=0.
Rispondere poi alle seguenti domande, tenendo presente questi valori numerici :
A=1m; φ=(π/2) rad; ω= 3 rad/s; B=4.9 m/s2; C=2m/s; D=0.1m; m=0.01 kg; k=0.5 m/s.
9. A t=0 la componente lungo iˆ del vettore posizione vale:
A. 1 m
B. 4.9 m
C. 0.5m
D. 0.1 m
(*)
10. A t=0 la componente lungo iˆ del vettore velocità vale
A
B
C
D
1 m/s
4.9 m/s
0.5m/s
0.1 m/s
(*)
11. A t=0 la componente lungo ĵ del vettore velocità vale
A 1 m/s
B 4.9 m/s
C 0.5m/s
(*)
D 0.1 m/s
12. A t=0 il modulo della risultante delle forze agenti sul punto vale
A. 9.8 N
B. 0.198 N
C. 0.5 N
D. 0.098 N
(*)
13. A t=0 la risultante delle forze agenti sul punto e’ un vettore diretto
A. lungo iˆ
(*)
ˆ ˆ ˆ
B. lungo i + j + k
ˆ ˆ
C. lungo i + j
D. lungo ĵ
Esercizio 4
Un aeroplano si muove orizzontalmente a velocità costante Vx sorvolando il mare alla quota Y=1050
m. Quando l’aeroplano si trova a una distanza orizzontale di X= 1679 m da un naufrago in mare,
sgancia un salvagente che cade verso il mare raggiungendo la persona in difficoltà.
Calcolare con quale velocità Vx deve viaggiare l’aeroplano quando sgancia il salvagente affinché
questo raggiunga esattamente posizione della persona in mare.
Vx
Inoltre calcolare la velocità con cui il salvagente raggiunge il
naufrago. Si trascuri la resistenza dell’aria e si consideri il salvagente
assimilabile ad un punto materiale.
Y
Rispondere quindi alle seguenti domande:
14. L’intervallo di tempo impiegato dal salvagente per
raggiungere il naufrago vale
A. 1.7 s
B. 14.6 s (*)
C. 0.1 s
D. 1050 s
15. La velocità Vx dell’aeroplano quando sgancia il salvagente vale
X
A. 115 m/s (*)
B. 10.50 m/s
C. 0.1 m/s
D. 1207 m/s
16. Il modulo della velocità con cui il salvagente raggiunge la persona in mare vale
A. 1679 m/s
B. 15 m/s
C. 0.1 m/s
D. 184 m/s (*)
17. Il vettore velocità del salvagente immediatamente prima di raggiungere il naufrago forma con la
direzione orizzontale un angolo, in valore assoluto, pari a
A. 16°
B. 1°
C. 51.1° (*)
D. 30°
Altre domande
18. In presenza di forze di attrito, l’energia meccanica di un sistema di particelle che evolve da una
configurazione iniziale A ad una configurazione finale B
A. rimane costante (E A = E B )
B. aumenta (E B > E A )
C. diminuisce (E B < E A ) (*)
D. raddoppia (E B = 2E A )
19. Una ruota omogenea ha massa M, raggio R e momento d’inerzia I rispetto all’asse passante per
il suo CM. Se la ruota compie un moto di puro rotolamento, con il CM che si sposta con
velocità di modulo v CM , l’energia cinetica della ruota risulta
1
2
Mv CM
2
1 I 2
1
2
v CM (*)
B. Mv CM
+
2 R2
2
1 I 2
v CM
C.
2 R2
1
1 2
2
D. Mv CM
+ Iv CM
2
2
A.
20. Il periodo di oscillazione di un pendolo semplice non dipende
A. dall’ampiezza dell’oscillazione (*)
B. dalla lunghezza del filo
C. dalla massa del pendolo
D. dall’accelerazione di gravità
21. Un moto rettilineo (posizione x, velocità v, accelerazione a) è armonico quando l’accelerazione
è
A. a = costante
B. a = −kx con k=costante (*)
C. a = −kx 2 con k=costante
D. a = −kv con k=costante
22. Il centro di massa di un sistema di particelle è quel punto individuato dal vettore
r
∑m r
r
r=
∑m r
i i
A.
i
i i
i
r
∑r
r
r=
∑m
i
B.
i
i
i
r
∑m r
r
r=
∑m
i i
C.
i
(*)
i
i
r
D. r =
∑m
∑m r
i
i
i i
i
r
r
23. Un punto materiale
di massa m ha posizione r rispetto ad un polo O e velocità v . Su di esso
r
agisce una forza F . Il suo momento angolare rispetto ad O è
r r
A. r ⋅ mv
r r
B. r ⋅ F
r
r
C. r ∧ mv
r r
D. r ∧ F (*)
24. Il teorema di Koenig dell’energia cinetica dice che
A. L’energia cinetica di un sistema di particelle è sempre nulla
B. L’energia cinetica di un sistema di particelle è uguale all’energia cinetica del CM del
sistema
C. L’energia cinetica di un sistema di particelle è uguale all’energia cinetica del CM del
sistema più l’energia cinetica del sistema rispetto al sistema del centro di massa (*)
D. L’energia cinetica di un sistema di particelle è uguale all’energia cinetica del sistema
rispetto al sistema del centro di massa
25. Un punto materiale descrive una traiettoria circolare con velocità angolare costante ω . Sul
punto agisce una forza
A. nulla perché ω è costante
B. proporzionale ad ω
C. inversamente proporzionale ad ω
D. proporzionale ad ω 2 (*)
26. In un urto anelastico si conserva:
A. La quantità di moto (*)
B. L’energia cinetica
C. L’energia meccanica
D. Nessuna grandezza fisica
27. Un oggetto viene sollevato da terra fino ad un’altezza di 10 m e poi abbassato all’altezza di 1m.
La forza di gravità compie un lavoro complessivo
A. Nullo
B. Positivo
C. Negativo (*)
D. Di segno dipendente dal cammino seguito
P
r
m, v
28. Nell’urto anelastico di un punto materiale contro un corpo rigido sospeso ad un perno
orizzontale intorno a cui può ruotare (vedi figura) si conserva:
A. Il momento angolare rispetto ad un punto sul perno (*)
B. La quantità di moto
C. L’energia cinetica
D. L’energia meccanica
29. Un sasso viene lanciato orizzontalmente da una torre. Il suo moto è
A. uniforme in direzione orizzontale ed uniformemente accelerato in direzione verticale (*)
B. uniformemente accelerato in direzione orizzontale ed uniforme in direzione verticale
C. uniformemente accelerato sia in direzione orizzontale che verticale
D. uniforme sia in direzione orizzontale che verticale.
Soluzioni
Esercizio 1
Il modulo della velocità vP raggiunta dal corpo nella posizione P, quando la sua quota si è abbassata di
(1/4)R rispetto a quella iniziale si può calcolare dalla conservazione dell’energia meccanica tra A e P:
mgR= (3/4)mgR +(1/2)mv2
gR
2
Quindi la velocita nel punto P vale
2
L’accelerazione normale vale aN=v /R quindi nel punto P vale g/2.
Dall’equazione di Newton lungo la direzione normale al moto, ¾ mg -N = m g/2
si ottiene la reazione normale N=(1/4) mg.
vP =
Esercizio 2
L’equazione del moto del cilindro e’ (T1-T2)R-τ= I0α
momento di inerzia del cilindro. Da cui
( M 1 − M 2) g − τ
R = 0.93 m
a=
M 1 + M 2 + (1 / 2) M
s2
1
ω=
2ah
R
dove T1 e T2 sono le tensioni del filo, I0 il
Esercizio 3
Il vettore velocità si trova immediatamente derivando rispetto al tempo il vettore posizione.
La risultante F delle forze agenti all’istante t=0 e’ il prodotto della massa per l’accelerazione, dove
l’accelerazione e’ valutata all’istante t=0 e quindi vale a= 2B i.
Esercizio 4
Il salvagente si muove di moto parabolico, con velocita iniziale orizzontale Vx, e velocità iniziale
verticale nulla. Quindi il tempo impiegato per raggiungere il mare sara’ T = 2Y / g e lo spostamento
orizzontale X= Vx T.
Quindi si ricava Vx.
Dalla legge oraria del moto parabolico si trova che il vettore velocità del salvagente all’istante T ha
componenti pari a vx= 115 m/s e vy=143 m/s, quindi il modulo della velocità vale v=184 m/s e l’angolo
formato con l’orizzontale vale arctan(1.24) = 51.1°.