a. garbasso su lo spettro normale di una vibrazione smorzata

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A. GARBASSO
SU LO SPETTRO NORMALE DI UNA VIBRAZIONE SMORZATA
§ 1Secondo una teoria classica di Lord KELVIN, la corrente di scarica in un circuito,
fornito di autoinduzione, di resistenza e di capacità, è sinussoidale e smorzata (1).
Questo risultato trovò più tardi, per opera del BJERKNES, una verifica sperimentale (*).
LUDWIG ZEHNDER dimostrò a sua volta che un oscillatore di Hertz fornisce
per diffrazione uno spettro continuo (3) ; e la stessa cosa fu riconosciuta, nel caso
delia rifrazione prismatica, da ASCHKINASS e da me (4).
Cercai di rendermi conto di codesti fenomeni, rappresentando la funzione
e~at sin bt
con un integrale di
(1)
FOURIER,
secondo la formola (5)
a
a
tr« sin bt = M sin at. da \—
TV J
[_(a — by-\-a*
(a + b)2 +
1 .
a2J
La (1) deriva immediatamente, sebbene a suo tempo io l'avessi dedotta per
altra via, dall'espressione consueta del teorema di FOURIER, vale a dire dalla
f(t) = 1 \ da \ f(X) . cosa(X — t).dX ,
^
0
*-/—oo
(x) W. THOMSON, On transient electric currents (Math, and physical Papers, I, 534, 1882).
(a) V. BJERKNES, Heber die Dämpfung schneller elektrischer Schwingungen
(Wied. Ann.,
XLIV, 74, 1891).
(3) L. ZEHNDER, Messungen mit Strahlen elektrischer Kraft (Wied. Ann., LIII, 162, 1894).
(4) A. GARBASSO und E . ASCHKINASS, Ueber Brechung und Dispersion der Strahle
elektrischer Kraft (Wied. Ann., LIII, 534, 1894).
(5) A. GARBASSO, Sulla luce bianca (Atti R. Acc. d. Se. di Torino, XXX, 186, 1894).
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Se la rappresentazione si limita ai valori positivi della t, e si pone, come è perfettamente lecito,
f{-t)
=
-f{t),
risulta infatti
f(t) = — l sin at. da l f(X) sin aX . dX ;
e nel caso nostro, sostituendo per f(t) il suo valore, si ottiene appunto la (1).
Codesta equazione fa vedere chiaramente che una vibrazione smorzata risulta
in fondo dalla sopraposizione di infinite vibrazioni semplici, i cui periodi variano
con continuità; e cioè possiede uno spettro continuo nel comune significato ottico
della parola.
Cercai del resto più tardi, insieme a mio fratello Alberto, di dimostrare la
stessa cosa per altra via (l).
Le nostre conclusioni furono contestate dal sig. E. CARVALLO, in una sua Nota,
vecchia già di parecchi anni, della quale conobbi però l'esistenza, casualmente, solo
in questi ultimi tempi. Il CARVALLO scrive (2) :
«
Je réfuterai d'abord le travail de MM. GARBASSO. Il repose sur une
« faute materielle,
La faute est que les auteurs admettent pour formule de
« FOURIER
.-»GO
f(t) = \dx.
<f(x). sin —
« oubliant ainsi la phase, fonction de la variable x, comme l'amplitude y(x), et
u qui doit figurer sous le signe sinus. Cette faute est le fondement de la méthode ».
All'egregio A. è manifestamente sfuggito che la vibrazione smorzata ha un senso
fisico solo a partire da un istante determinato. La vibrazione comincia a un certo
tempo, con una certa ampiezza ; e il prolungarla fino a t = — oo può essere comodo
per il calcolo, ma fisicamente non significa nulla o anzi è un errore. Bisogna limitarsi invece ai valori positivi della variabile e allora la (1) è legittima, come ho
fatto osservare.
Questa svista del sig. CARVALLO diventa subito appresso « le fondement de
sa méthode ». Egli prende infatti la funzione
e~at sin bt,
0) A. et A. GARBASSO, Sur la forme de la perturbation dans un rayon de lumière solaire
(Arch, des sc. phys. et nat., (4), IV, 105, 1897).
(a) E. CARVALLO, Sur la nature de la lumière blanche (Journal de physique, (3), IX, 138,1900).
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senza curarsi del campo in cui rappresenta il fenomeno fisico, e dimostra che essa
deve attraversare il reticolo appunto come un'oscillazione semplice, dando dunque
uno spettro normale di righe chiare ed oscure.
§ 3.
Io non sono riuscito per mia parte a trattare il problema in modo rigoroso,
ma mi lusingo di proporne una soluzione più approssimata di quella del CARVALLO.
Se si rappresenta graficamente la
e~at sin bt
si trova un andamento ben noto, e l'area compresa fra la curva e l'asse delle t
ha per valore assoluto (l)
r-j
A=
1-
r°
pr
er« sin bt. di —
J-*f
+
r^j
—
Jo
J-f
-|
J+£
Ma l'integrale indefinito è
C at
e~at
e~ sin bt. dt = — 2» , ,, (a sin bt + b cos bt),
J
a •+• b*
'
e dunque
IT
A-
8
—
' 2
a +*
e"at(a sin bt + b cos bt)
b
^ ( . . . e+°-ba
a* + V
a
+ 2p
+
b
+1) + (l + 2e'h + e~^a + .-.)]
La prima parentesi corrisponde alle aree che stanno a sinistra del punto t = 0, la
seconda alle aree che stanno a destra dello stesso punto.
Ma la seconda soltanto entra in giuoco, ed entra in giuoco tutta intera, se vogliamo calcolare il fenomeno fisico.
Ora io vedo due modi di condurre il calcolo. Il primo, ed è quello del sig. CARVALLO, consiste nel tener conto delle due parentesi, il secondo, ed è quello che in-(*) Se e~at8Ìn bt è un'intensità di corrente, la A è la quantità complessiva di elettricità che
passa, nei due sensi, attraverso alla sezione del conduttore.
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tendo indicare qui, consiste nel limitare la seconda somma ad un numero finito di
termini.
È facile vedere a quali errori si vada incontro nell'uno e nell'altro caso.
Poniamo all'uopo
A = Ax + A 2 ,
A,=
"
Sommando verrà, come è facile verificare
Ai = oo ,
TT
ì
A
*
(2)
b
—
•\\m(l-e
TT
a* + b* 1 — e- - ba
Ä=oo \
b
) ,
/
l + e~a
b
a* + b*
TT
Se ci limitiamo nella seconda somma ad un numero finito k di vibrazioni complete, risulta invece
b
1 +
fl
l —e
TA1-'
)•
e per la (2)
A'
-**T<
— 2 ) t — CI
Ma in un caso pratico è facile verificare che l'esponenziale e
presto (p. e. per A ==50 o 100) dell'ordine di IO*"6 (1).
b
diviene a^sai
(*) Se si ricorda che BJERKNES ha trovato in una misura diretta 0,77 come rapporto fra le
ampiezze della seconda e della prima onda, per un oscillatore di Hertz, e si pone, arrotondando,
S
a
e"- *T = 0,8, risulta
-2hja
Ä
1
20
40
60
80
e
0,8
0,01152921
0,00013292
0,00000153
0,00000002
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E dunque si conclude che col processo del CARVALLO noi portiamo di nostro
arbitrio nel calcolo un termine (kx), che è infinito rispetto a quello (A2), che entra
in giuoco realmente nel fenomeno ; dove considerando k[ in luogo di A2, e facendo k
un po' grande, si trascura invece un termine trascurabile.
TX
Ciò posto, neu' intervallo da zero a 2k —, la funzione e~aX sin bt si potrà svolgere in una serie di soli seni, e apparirà dunque come la sopraposizione di un numero infinito di treni limitati di onde.
Di ciascuno di questi sarà facile dimostrare, col procedimento del SCHUSTER (*),
che gli corrisponde uno spettro continuo, e la stessa cosa risulterà dunque vera per
la vibrazione smorzata.
(*) A. SCHUSTER, On interference phenomena (Phil. Mag., (5), XXXVII, 509, 1894).
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