Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1
29-Analisi della potenza statistica
vers. 1.0 (12 dicembre 2014)
Germano Rossi1
[email protected]
1 Dipartimento
di Psicologia, Università di Milano-Bicocca
2014-2015
G. Rossi (Dip. Psicologia)
ElemPsico
2014-2015
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Introduzione
Ogni volta che si inizia a fare una ricerca ci si trova ad affrontare
diversi problemi
uno di questi è l’ampiezza del campione
Devo raccogliere almeno 100 soggetti? o ne bastano 30?
La ragione di questa domanda è duplice
Più piccolo è il campione, meno tempo (e fatica) è necessario per
raccogliere i dati
Più grande è il campione, più probabilità abbiamo di ottenere
risultati significativi
A questa domanda ci sono diverse risposte comuni (si ricordi che
la statistica ipotizza un campione casuale)
1
2
3
Almeno 30 per ogni gruppo formato dalle variabili indipendenti
Un campione il più grande possibile
Non si sa esattamente quanto dev’essere grande
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Grandezza di un campione
La prima risposta fa riferimento alla teoria campionaria, per cui
con campioni di 30 o più osservazioni, la distribuzione
campionaria tende a distribuirsi normalmente anche se la
variabile non è normale
La seconda risposta dipende dall’idea che se il campione è molto
grande sia più facile trovare un risultato significativo
L’ultima risposta non è accettabile, salvo:
quando non si conosce assolutamente nulla sull’argomento di
ricerca
2 si hanno molte variabili indipendenti e molte dipendenti
3 si è interessati più ad una ricerca esplorativa che ad una ricerca
inferenziale vera e propria
1
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Grandezza di un campione
La grandezza del campione dovrebbe quella che permette di
rispondere alle ipotesi di ricerca, considerando che:
il risultato dipende dalla dimensione dell’effetto che si studia (un
effetto “grande” verrà rilevato anche con poche osservazioni,
mentre uno “piccolo” necessita di più casi)
dal rischio di sbagliare la nostra decisione (cioè dall’errore di I e di
II tipo che utilizziamo); un α elevato produrrà più rifiuti di H0 e uno
più piccolo più rifiuti di H1
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Relazioni fra errori e ipotesi
Risultato
ricerca
Accetto H0 ; rifiuto H1
Rifiuto H0 ; accetto H1
Realtà
H0 - Vera
H0 - Falsa
H1 - Falsa
H1 - Vera
Corretta
Errore II tipo
1−α
β
Errore I tipo
Corretta
α
1−β
Se α è la probabilità di rifiutare H0 quando è vera, 1 − α sarà la
probabilità di accettare H0 quando è vera
Analogamente se β è la probabilità di accettare H0 quando è falsa,
1 − β sarà la probabilità di rifiutare H0 quando è falsa
1 − β è chiamata potenza di un test e corrisponde alla probabilità di
rilevare una relazione veramente esistente nella realtà
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Analisi della potenza
La potenza statistica di un test è la sua capacità di rifiutare un
ipotesi nulla falsa, perché noi, in genere, verifichiamo un’ipotesi
nulla rispetto ad una “gamma” di ipotesi alternative (ad es.
H1 : µ1 6= µ2 )
Come ricercatori, facciamo molti sforzi per organizzare e fare una
ricerca che ci dia conoscenze “sicure” e “affidabili”. Ma i nostri
sforzi sono vani se non riusciamo a trovare i risultati che ci
aspettiamo, o meglio, se non riusciamo a falsificare con maggior
sicurezza la nostra ipotesi.
Per molti anni, i ricercatori si sono focalizzati sul rischio di rifiutare
H0 quando è vera (atteggiamento conservatore)
Di recente ha acquisito importanza anche l’errore opposto.
Riassumiamo un momento le procedure di verifica d’ipotesi
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Verifica d’ipotesi
All’inizio di una ricerca, partiamo generalmente da un’ipotesi che
è espressa a parole. Ad es. “A causa delle nuove tecnologie di
comunicazione veloce (e-mail, sms, chat, cellulari) gli studenti
passano meno tempo a stabilire relazioni personali dirette fra di
loro”.
Siccome qualcuno ha raccolto dati sul tempo trascorso in relazioni
personali negli anni precedenti (M=6 ore alla settimana; s=2),
posso raccogliere un nuovo campione da confrontare con il
precedente
Possiamo trasformare la nostra ipotesi verbale in ipotesi statistica:
H0 : µ = 6.0
H1 : µ < 6.0
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Verifica d’ipotesi
Ricordiamo che noi verifichiamo l’ipotesi nulla confrontandola con
un’ipotesi alternativa.
L’ipotesi nulla è ciò che è noto o che si assume in base alla teoria
o alle ricerche precedenti.
Nel nostro esempio, la ricerca precedente, ci ha detto che gli
studenti universitari hanno speso circa 6 ore al giorno della
settimana in contatti faccia-a-faccia (più o meno 2 ore).
Così, la nostra ipotesi è che µ = 6.0.
L’errore α ci protegge dal prendere una decisione errata basata su
un campione “particolarmente anomalo” estratto dalla
popolazione corretta
La potenza di un test (1 − β) ci dice la probabilità di aver accettato
correttamente l’ipotesi alternativa
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Concetti chiave della potenza
Ricordiamo che la potenza statistica di un test è la sua capacità di
rifiutare un ipotesi nulla falsa e che è legata al test statistico usato.
Ci sono 3 variabili che legate alla potenza di un test:
1
Il livello di significatività cioè α: più è severo (vicino a 0), più è difficile
rifiutare l’ipotesi nulla (anche quando è falsa). All’aumentare di α
aumenta la potenza del test. Tuttavia non possiamo usare α molto
grandi; un buon criterio (non troppo basso, né troppo alto) è α = 0.05
(per ricerche esplorative possiamo usare anche .10)
2
L’ampiezza del campione cioè N ; quando un campione è grande, è
meno probabile fare errori di campionamento e trovare dati che portino a
stime inaffidabili dei parametri della popolazione. L’errore standard è
sempre basato su N . Quindi all’aumentare di N , aumenta la potenza
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Concetti chiave della potenza
3
La dimensione dell’effetto nella popolazione cioè d o r; ovvero
quanto grande è il risultato che abbiamo ottenuto; possiamo
considerare d o r come una misura di quanto è falsa l’ipotesi
nulla; tanto più d o r è grande, tanto più H0 è falsa, tanto più
aumenta la potenza
4
Possiamo considerare la potenza statistica (cioè 1 − β) come un
quarto elemento
Essendo legati fra loro matematicamente; si può calcolare il
valore del quarto conoscendo il valore degli altri tre
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Concetti chiave della potenza
La potenza (1 − β)
aumenta diminuisce
Riassumendo:
quando α
quando N
quando d o r
aumenta
aumenta
aumenta
diminuisce
diminuisce
diminuisce
La formula che lega i quattro indici è abbastanza complessa
per cui sono state predisposte delle tavole
ed esistono dei software appositi (ad es. G*Power,
http://www.gpower.hhu.de/en.html che free)
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Uso dell’analisi di potenza
L’analisi di potenza viene usata, generalmente, per due obiettivi
1
a posteriori per determinare la potenza di un test: dal momento
che la ricerca viene effettuata su un certo campione (di ampiezza
N) e usando un certo livello α, e dai risultati ottenuti possiamo
calcolare d, ne consegue la possibilità di stimare la potenza di un
test, cioè la probabilità di aver fatto la scelta giusta;
2
a priori per determinare la numerosità del campione: se
vogliamo fare una ricerca che abbia una determinata potenza,
una volta stabilito un determinato α e ipotizzato un determinato d,
quale dev’essere l’ampiezza del campione?
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Calcolare la potenza di un test
Abbiamo raccolto un certo campione su cui abbiamo misurato la
religiosità estrinseca personale (slide 18 del Cap.13)
Abbiamo stabilito un livello α = .05
Calcoliamo d (slide 14 cap.25)
g=q
9.46 − 10.89
(160−1)3.522 +(179−1)2.982
160+179−2
= −.4405
Chiamiamo G*Power, scegliamo Test family = t-tests,
Statistical test = Means: Difference between two
independent means (two groups), Type of power analysis
= post hoc: Compute achieved power
Inseriamo Effect size d = .44, α err prob = .05, Sample
size group 1 = 160, Sample size group 2 = 179
Clicchiamo Calculate
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Videata GPower
La potenza è 0.98
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Numerosità del campione
Ipotizziamo di voler fare una ricerca su un campione patologico
(ad es. pazienti di un servizio mentale confrontati con un
campione di controllo di uguale numerosità)
Possiamo fare una ricerca veloce (in termini di tempo) su un
piccolo campione
oppure una ricerca che duri più tempo per poter raccogliere un
campione più grande
certamente non vogliamo fare una ricerca che non abbia
abbastanza “potenza” e che possa essere criticata
Decidiamo quindi una potenza minima che vogliamo raggiungere
(ad esempio .50), un d che ci aspettiamo (ad esempio, d=.50) e
calcoliamo quanto dev’essere ampio il campione da raccogliere.
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Videata GPower
Chiamiamo G*Power, scegliamo Test family = t-tests, Statistical
test = Means: Difference between two independent means
(two groups), Type of power analysis = A priori: ...
Inseriamo Effect size d = .50, α err prob = .05, Power = .50,
Allocation ratio N2/N1 = 1
Clicchiamo Calculate: ci servono due campioni di 32 casi ciascuno
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