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L’Interazione tra Due Particelle Puntiformi
Cariche in Movimento
Fisica Generale B
•! Se 2 cariche puntiformi sono entrambe in quiete (rispetto a un SdR
inerziale), la forza che la carica q1 esercitata sulla carica q2 è
espressa dalla legge di Coulomb:
!
F12 =
!
r12
1 q1 q2
!
,
r
=
P
#
P
,
r̂
=
r̂
!
12
2
1
12
4!" 0 r122 12
r12
•! Se una carica è in quiete mentre l’altra è in movimento (rispetto a
un SdR inerziale) la forza presente tra di esse è ancora espressa
dalla legge di Coulomb.
6. La Forza Magnetica
•! Se entrambe le cariche sono in movimento (rispetto a un SdR
inerziale) la legge di Coulomb non esprime più la forza osservata.
http://campus.cib.unibo.it/2476/
•! Alla legge di Coulomb va aggiunto un termine.
Domenico Galli
March 29, 2011
Digitally signed by Domenico Galli
DN: c=IT, o=INFN, ou=Personal Certificate, l=Bologna, cn=Domenico Galli
Date: 2011.03.29 16:01:41 +02'00'
!
v1
q1
!
r12
!
v2 q
2
2!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
L’Interazione tra Due Particelle Puntiformi
Cariche in Movimento (II)
!
F12 =
µ qq !
1 q1 q2
!
r̂12 + 0 1 2 2 v 2 # v1 # r̂12
2
4!" 0 r12
4! r12
"$
$#$$
% "$$$
#$$$%
(
forza elettrica
)
L’Interazione tra Due Particelle Puntiformi
Cariche in Movimento (III)
•! Oppure definita l’unità di misura dell’induttanza elettrica (vedremo in
seguito il significato), chiamata Henry (simbolo: H), come:
(legge di Ampère-Biot-Savart)
1H = 1! 1s
forza magnetica
potremo chiamare l’unità di misura di µ0 nel Sistema Internazionale:
H/m (Henry/metro).
•! La costante µ0 è detta permeabilità magnetica del vuoto. Le
dimensioni di µ0 nel Sistema Internazionale si trovano da:
•! In questa unità di misura il valore numerico di µ0 risulta:
! Q2 #
! I 2T 2 # ! L2 #
!" F #$ = !" µ0 #$ % 2 & !"v 2 #$ = !" µ0 #$ % 2 & % 2 & = !" µ0 #$ !" I 2 #$
"L $
" L $ "T $
!F #
! R # !T #
!" µ0 #$ = " 2 $ = !" MLT '2 I '2 #$ = " $ " $
!" L #$
!I #
" $
•! L’unità di misura di µ0 nel Sistema Internazionale
è, di conseguenza, !s/m.
µ0 =
!" R #$ = !" ML2T %3 I %2 #$
!
v1
q1
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
!
r12
4! H
107 m
!
v2 q
2
!
v1
q1
3!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
!
r12
!
v2 q
2
4!
La Forza Magnetica
La Forza Magnetica (II)
•! La forza magnetica non è centrale. Per rendersene conto è
sufficiente sviluppare il triplo prodotto vettoriale con la regola:
•! Come la forza elettrica, anche la forza magnetica è inversamente
proporzionale al quadrato della distanza, come è evidente dalla sua
espressione:
!
!e
!m
F12 = F12( ) + F12( ) =
! !
!
! ! ! ! ! !
a ! b ! c = aic b " aib c
(
µ qq !
1 q1 q2
!
r̂12 + 0 1 2 2 v 2 # v1 # r̂12
2
4! r12
4!" 0 r12
"$
$#$$
% "$$$
#$$$%
(
forza elettrica
)
•! Si ha, per la componente magnetica esercitata dalla carica q1 sulla
carica q2:
forza magnetica
•! Questa caratteristica è l’unica analogia con la forza elettrostatica.
!
)
0
(
(
(
)
)
)
6!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
µ qq !
•! La forza magnetica vìola il principio di azione e reazione. Infatti,
essendo r̂21 = ! r̂12, si ha:
m
F12( ) = 0 1 2 2 v 2 " (v1 " r̂12 )
q1 q2 ! !
!
4! r12
#
%
v
i
v
"
v
"
r̂
=
1
12 &
r122 2 $ 2
!m !
q1 q2 ! !
!
v 2 " v 2 i v1 " r̂12 = 0 ' F12( ) ( v 2
2
$#
$
%
r12 "
!
!
)(
)
La Forza Magnetica (IV)
•! La forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità della carica
su cui agisce, per cui non compie mai lavoro sulla carica elettrica su
cui agisce. Infatti:
(
(
5!
La Forza Magnetica (III)
)
)
(
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
(
$ scalare
'
scalare
"#
$ $
%
"#%
)
! ( m) µ0 q1 q2 !
µ0 q1 q2 & !
! !
!
!
&
)
F12 =
#
v
v
v
"
v
"
r̂
=
i
r̂
i
v
v
r̂
1
12
2 12
2
12
'$
(1 &$
'1$
(
4! r122 2
4! r122 & &$
)
componente
!
)( !
&% componente
non centrale
centrale
v1
v2
!
!
•! Si noti anche che il vettore forza
v 2 i v1 r̂12
!
q2
magnetica sta nel piano individuato
!
r12
!
v1
dai vettori v1 e r̂12 .
!
!
q1 ! ( m)
v 2 i r̂12 v1
F12
(
!
v2 q
2
!
r12
!
v1
q1
! !m µ
v 2 i F12( ) = 0
4!
µ
= 0
4!
) ( ) ( )
)
! !
v 2 i v1 r̂12
!
!
r
12
v1
q1 ! ( m)
F12
!
v2
!
v1
)
(
)
(
)
!m µ q q !
µ q q !
!
!
! !
F21( ) = 0 2 2 1 v1 " v 2 " r̂21 = 0 2 2 1 $% v1 i r̂21 v 2 # v1 i v 2 r̂21 &' =
4! r21
4! r21
(
)
(
)
(
)
µ0 q1 q2
!
! !
!
$ # v1 i r̂12 v 2 + v1 i v 2 r̂12 &
2 %
'
4! r12
(
)
(
)
•! Per cui:
)
!
!
v 2 i r̂12 v1
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
(
=
q2
(
!m µ qq !
µ qq !
!
! !
!
F12( ) = 0 1 2 2 v 2 " v1 " r̂12 = 0 1 2 2 $% v 2 i r̂12 v1 # v 2 i v1 r̂12 &'
4! r12
4! r12
7!
!m !m µ qq !
!
!
!
!
F12( ) + F21( ) = 0 1 2 2 #$ v 2 i r̂12 v1 " v1 i r̂12 v 2 %& ' 0
4! r12
(
)
(
)
!
! v1
F21
q1
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
!
r12
!
! F12
v2
q2
8!
La Forza Magnetica (V)
La Forza Magnetica (VI)
•! Se il III principio della dinamica è violato segue che la quantità
totale di moto delle 2 cariche non si conserva, anche in assenza di
forze esterne.
•! Vedremo più avanti che effettivamente le cose stanno in questo modo
e che tale entità è il campo elettromagnetico:
–! La somma delle quantità di moto delle cariche e della quantità di moto
del campo elettromagnetico si conserva in assenza di forze esterne.
•! Poiché la conservazione della quantità di moto di un sistema isolato è
uno dei princìpi fondamentali della dinamica (III principio) tale
violazione costituirebbe un grave problema per la coerenza della
fisica.
•! Si può uscire dal paradosso supponendo che una parte della quantità
di moto sia trasportata da un’entità diversa dalle cariche, in modo
che la quantità di moto totale (cariche + entità) si conservi.
!
!
! v1
F21
!
r12
q1
! F
v 2 12
q2
!
! v1
F21
9!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
La Forza Magnetica (VII)
!
(
)
= µ0" 0v1v 2 =
! ( e)
"
# F12
v1v 2
c2
"
#1
v "c
10!
•! Si osservi che la forza magnetica introduce una velocità di
riferimento: la velocità della luce nel vuoto c:
!
•! Infatti la forza magnetica è massima quando v1 " v 2 ! r̂12 . In tale
condizione si ha:
!
! !
v1 ! r̂12 = v1 v 2 = v1v 2
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
La Forza Magnetica (VIII)
•! La forza magnetica ha intensità molto inferiore a quella
elettrostatica se la velocità delle cariche è molto minore della
velocità della luce nel vuoto.
!
v2 !
!m
F12( )
!e
F12( )
!m
F12( )
q1
!
r12
!
! F12
v2
q2
q1
q2
µ0! 0 =
r̂12
!
v1
!
v2
1
1
"
c 2 9 # 1016 m 2 s 2
–! una velocità si può dire piccola se è trascurabile rispetto a c, mentre si
può dire grande se è confrontabile con c.
•! Infatti il rapporto tra forza magnetica e forza elettrostatica è
regolato dal rapporto tra la velocità della carica elettrica e la velocità
della luce nel vuoto.
•! In meccanica, al contrario non esiste una velocità di riferimento.
v "c
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
11!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
12!
Distribuzioni Continue di Carica in
Movimento
Distribuzioni Continue di Carica in
Movimento (II)
•!
•! Abbiamo visto, l’espressione della forza magnetica presente tra 2
cariche puntiformi
•! Da essa si può ricavare l’espressione della forza magnetica
!
esercitata da una distribuzione continua di carica ! r ",t in
movimento su di una carica puntiforme q:
( )
(! )
(
si ottiene:
V
( )
! !
( )
–! A t fissato, la distribuzione spaziale delle
cariche e delle velocità al tempo t;
!
–! A r ! fissato, l’andamento
temporale di carica e
!
velocità nel punto r ! .
! !
v r !,t
dV
! ! !
r ! r" w
!
q
r!
!
r
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
)
( ) (
)
! !
! !
! ( m) !
µ0 ! %%% ! r #,t " r $ r '
F r ,t =
qw " '''
dV
! ! 3
'''
4!
r
$
r
#
&&&
( )
V
( )
•! Se introduciamo la densità di corrente:
( )
( ) ( )
! ! !
! !
! r ,t = ! r ,t v r ,t
!
v dt
V
! !
v r !,t
dV
! ! !
r ! r" w
!
q
r!
!
r
( )
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
14!
–! La carica elettrica totale di un sistema si conserva sempre;
–! Tale conservazione è di tipo locale:
)
e, integrando nel volume V:
! ! ( )
( r!#,t ) ) rr! (( rr!#' / =
.
( )
! !
( ) ( ) ( r ( r ') dV
!
! ( m) !
µ0 $% " r #,t dV &' q ! * !
dF r ,t =
! ! 2 w ) ,v
4!
+
r# ( r
! ! !
µ ! " r #,t v r #,t )
= 0 qw )
! ! 3
4!
r ( r#
)
!
v
dS
•! Sperimentalmente si osserva che:
! !
! ! !
! ( m) !
µ0 ! # r $,t v r $,t " r % r '
dF r ,t =
qw "
dV =
! ! 3
4!
r % r$
! !
! !
µ0 ! ! r $,t " r % r '
=
qw "
dV
! ! 3
4!
r % r$
( ) (
(
!
Conservazione della Carica Elettrica
•! Abbiamo:
( ) ( ) (
1 ! dV
1
e
=
=
dS dt dS dt
1 ! dS v dt
= !v
=
dt
dS
j=
)
13!
Distribuzioni Continue di Carica in
Movimento (III)
( )
( )
a specifici punti dello spazio e istanti temporali. Dall’espressione
per cariche puntiformi:
dq
!m
µ qq !
!
F12( ) = 0 1 2 2 v 2 " v1 " r̂12
4! r12
–! Semplicemente considerando ogni elemento di volume dV contenente la
carica dq come una carica puntiforme.
•! ! r ",t e v r !,t definiscono:
( )
!
! !
! r ",t e v r !,t sono associati, non già a cariche specifiche, bensì
V
! !
v r !,t
dV
! ! !
r ! r" w
!
q
r!
!
r
( )
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
15!
•! Non è possibile che una certa quantità di carica elettrica scompaia in un luogo
e istantaneamente riappaia in un altro luogo senza che nulla avvenga nello
spazio interposto;
•! Quando la carica elettrica in un dato volume cambia, deve esserci un flusso di
carica entrante o uscente.
•! Il principio di conservazione della carica elettrica è fondamentale
anche dal punto di vista macroscopico e deve essere incorporato nelle
leggi fondamentali dell’elettromagnetismo.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
16!
Conservazione della Carica Elettrica. Carica
in Quiete
•! Supponiamo che nello spazio sia presente una certa distribuzione di
!
carica ! r ,t , in quiete, prendiamo una superficie chiusa S, anch’essa
in quiete, e indichiamo QV(S) la carica contenuta al suo interno:
•! Poiché inoltre la superficie S è arbitraria, e con essa è arbitrario il
volume di integrazione V, l’integrale può essere nullo soltanto se è
nullo l’integrando:
( )
QV ( S ) =
""" ! ( r ,t ) dV = """ ! ( x, y, z,t ) dx d y dz
!
( )
### !" !
r ,t dV = 0 &S '
%%%
$$$ !t
( )
( )
V S
V S
( )
V S
•! Se la carica si conserva localmente deve essere:
!" !
!
r ,t = 0 #r
!t
( )
d
Q =0
dt V ( S )
•! Poiché anche la superficie S è in quiete, e dunque il volume di
integrazione V non cambia nel tempo, si ha:
d
d
!
$$$ #! !
r ,t dV = 0
Q =
! r ,t dV = &&&
dt V ( S ) dt V"""
#t
%
%
%
S
( )
V (S )
( )
( )
V
QV ( S )
( )
( )
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
!
v dt
19!
( )
! !
dQS = "
"" ! r !,t i n̂ dS dt
S
dS
!
v
n̂
!
!
v cos! dt
S
V
per cui:
( )
18!
Conservazione della Carica Elettrica. Carica
in Moto (II)
( ) v! ( r!",t ) dt cos# dS =
( )v! ( r!",t ) i n̂ dS dt =
( ) i n̂ dS dt
S
!
dQS ! r ,t
V
2
QV ( S )
( )
!
! r ,t
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
!
d 2QS = ! r ",t
!
= ! r ",t
! !
= ! r ",t
•! Tuttavia, se la carica si conserva localmente, la carica che viene
meno nel volume V deve avere attraversato la superficie S.
Chiamando dQV(S) la variazione di carica nel volume V e dQS la carica
che attraversa la superficie S verso l’esterno, si deve avere:
QV ( S )
QV ( S )
•! La carica d2QS che esce nel tempo dt attraverso la
superficie dS è quella contenuta nel volume del
!
parallelepipedo di base dS e spigolo laterale v dt,
!
!
parallelo a v , avente un volume pari a v dt cos ! dS,
ovvero:
•! Di conseguenza, anche se la carica si conserva localmente, può
variare nel tempo anche QV(S).
!
! r ,t1
V
17!
(! )
V
(equazione di continuità – carica in quiete)
!
! r ,t
•! Se invece la carica è in moto, ! r ,t , può variare nel tempo anche se
la carica si conserva localmente, a causa di uno spostamento della
carica stessa.
dQS
( )
S
Conservazione della Carica Elettrica. Carica
in Moto
S
!" !
!
r ,t = 0 &r
!t
S
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
dQV ( S ) = !dQS
"
dQV ( S ) + dQS = 0
Conservazione della Carica Elettrica. Carica
in Quiete (II)
!
r!
QV ( S )
n̂
!
! !
v r !,t
dS
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
( )
20!
Conservazione della Carica Elettrica. Carica
in Moto (III)
•! Poiché la superficie S è in quiete, e dunque il volume di integrazione V
non cambia nel tempo, si ha:
•! Si deve avere perciò:
dQV ( S ) + dQS = 0
! !
$$$ !" !
r #,t dV + "
! r #,t i n̂ dS = 0 (equazione di continuità
&&&
'
'
%%% !t
forma integrale)
S
( )
$
'
!
! !
! r ",t i n̂ dS dt = 0
d & ### ! r ",t dV ) + "
#
#
&% V ( S )
)( S
( )
( )
( )
( )
che rappresenta la conservazione della carica elettrica in forma
integrale.
( )
d
!
! !
! r ",t dV + "
! r ",t i n̂ dS = 0
###
#
#
dt V ( S )
S
S
( )
V
!
r!
QV ( S )
n̂
•! Utilizzando il teorema della divergenza:
!
! !
v r !,t
dS
( )
( )
( )
V S
dQS
QV ( S )
S
( )
!
! r ,t1
S
dQS ! r! ,t
V
2
QV ( S )
( )
22!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
Campo Magnetico
•! La forza magnetica esercitata dalla carica Q sulla carica q al tempo t
è data da:
•! Poiché la superficie S è arbitraria, e con essa è arbitrario il volume di
integrazione V, l’integrale può essere nullo soltanto se è nullo
l’integrando:
! !
! ( m) !
µ0 Q q !
!
! # µ0 Q w " r &
F r ,t =
v " w " r̂ = qv " %
(
4! r 2
$ 4! r 3 '
( )
! ! !
!" !
r #,t + $i ! r #,t = 0 (equazione di continuità-forma locale)
!t
( )
V
( )
•! Consideriamo una carica Q che, al tempo t, si trova nell’origine di una
terna cartesiana e una carica q che, al""""""
tempo
! t, si trova nel punto P
!
descritto dal vettore posizionale r = P ! O.
! ! ! (
+++ % !" !
--- '& !t r #,t + $i ! r #,t *) dV = 0
,,,
•! Questa equazione
rappresenta, in
forma locale,
la conservazione
locale della carica
elettrica.
( )
21!
Conservazione della Carica Elettrica. Carica
in Moto (V)
( )
! ! !
$$$ !" !
r #,t dV + ((( 'i ! r #,t dV = 0
&&&
%%% !t
V (S )
V (S )
V
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
( )
( )
V S
'
d$
!
! !
! r ",t i n̂ dS dt = 0
& ### ! r ",t dV ) dt + "
#
#
)(
dt &% V ( S )
S
( )
Conservazione della Carica Elettrica. Carica
in Moto (IV)
dQS
S
( )
!
QV ( S ) ! r ,t1
S
!
dQS ! r ,t
V
2
QV ( S )
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
( )
(
)
•! Possiamo anche pensare che la presenza di una carica elettrica Q,
!
posta nel punto O con velocità w, alteri le proprietà
!
v
dello spazio, introducendo in esso un campo magnetico
e che la carica q subisca gli effetti della presenza di
!
!
w
tale campo magnetico.
Q
23!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
q
r
24!
Campo Magnetico (II)
Campo Magnetico (III)
•! In questo modo l’azione magnetica della carica Q sulla carica q viene
separata in due fasi distinte:
•! Possiamo perciò definire campo magnetico di una carica puntiforme
Q il campo vettoriale:
! !
–! La creazione, da parte della carica Q, di un campo magnetico B r
in ogni punto dello spazio;
! !
!
–! L’accoppiamento nel punto r del campo magnetico B r con la carica q:
()
! !
! !
µ0 Q w " r
B r ,t =
4! r 3
( )
()
•! La forza osservata sulla carica q si stabilisce per effetto dell’accoppiamento
locale carica-campo magnetico.
e scrivere la forza magnetica agente su di una carica q situata nel
!
!
punto di raggio vettore r, con velocità v, come:
!m !
! ! !
F ( ) r ,t = q v ! B r ,t
( )
( )
•! Le dimensioni del campo magnetico nel Sistema Internazionale si
possono trovare a partire dall’espressione della forza di Lorentz:
(Forza di Lorentz)
!
v q
!
w
Q
!
r
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
!" B #$ = !" F #$ !"C %1 #$ !"v %1 #$ = ! M LT %2 # ! I %1 T %1 # ! L%1 T #
"
$"
$"
$
!" B #$ = !" MT %2 I %1 #$
25!
Campo Magnetico (IV)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
26!
Campo Magnetico (V)
•! Dall’espressione:
•! Poiché si può scrivere:
! !
! !
µ Qw"r
B r ,t = 0
4! r 3
!F #
!" B #$ = !" F #$ !"C %1 #$ !"v %1 #$ = !" F #$ ! I %1 T %1 # ! L%1 T # = " $
$ ! I # ! L#
"
$"
" $" $
( )
segue che il campo magnetico generato da una carica puntiforme in un
punto P è sempre perpendicolare sia alla velocità della carica, sia al
vettore che congiunge la carica con P.
l’unità di misura del campo magnetico nel Sistema Internazionale è
il Tesla (simbolo: T), definito come:
1T =
!" F #$ = !"C #$ !"v #$ !" B #$
•! Le linee di campo del campo magnetico generato da una carica
puntiforme risultano pertanto curve chiuse di forma
circolare orientate in modo tale da soddisfare la
regola della mano destra.
!
1N
1A ! 1m
!
B
! B
w
!
r ! P !
B
B
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
27!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
28!
Campo Magnetico (VI)
Forza Magnetica Agente su di una
Distribuzione Continua di Carica in Moto
•! Per estendere le considerazioni precedenti al caso di distribuzioni
continue di carica è sufficiente considerare ogni elemento di volume
dV contenente la carica dq come una carica puntiforme.
•! Possiamo ora scrivere la forza complessiva tra due cariche
puntiformi in funzione dei campi elettrico e magnetico:
!e
!m
! !
! !
! ! !
F r ,t = F ( ) + F ( ) = qE r ,t + q v ! B r ,t
!
$! !
1 Qr
E
r
,t
=
&
4"# 0 r 3
&
%
! !
µ0 Q w ! r
&! !
B
r
,t
=
&'
4" r 3
( )
( )
( )
•! Dall’espressione della forza esercitata da un campo magnetico B su di
una carica puntiforme:
( )
!m !
! ! !
F ( ) r ,t = q v ! B r ,t
( )
si ottiene l’espressione della forza dF(m) esercitata da un campo
magnetico B sulla carica ! dV contenuta nel
! !
volumetto dV:
v r ,t dV ! !
( )
!
v q
%! 0 = 8.85 " 10 F m
'
&
4$
' µ0 = 7 H m
10
(
#12
!
w
Q
!
r
( ) (
)
! !
! !
! !
µ0 ! r ",t # r $ r "
dV
dB r ,t =
! ! 3
4!
r $ r"
! !
w r !,t
dV
! !
! r ! r"
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
30!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
dV
S n̂
!
r
!
!
dl
!
per cui la forza esercitata da un! campo magnetico B su di un
elemento di circuito filiforme dl percorso dalla corrente i è data da:
( )
!
r!
V
!
!
!
!
! dV = ! S dl = j n̂ S dl = j S dl = idl
V
)
!
r
( )
•! In questo caso:
si ottiene l’espressione del campo magnetico dB generato dalla
carica in moto ! dV contenuta nel volumetto dV:
( ) (
( )
•! In molte applicazioni dell’elettromagnetismo la carica è vincolata a
muoversi lungo circuiti filiformi (fili elettrici) con spostamenti
trasversali che possono essere trascurati.
( )
( )
( )
Circuiti Filiformi
!
! !
µ Q w " r̂
B r ,t = 0
4! r 3
( )
( )
( ) ( )
•! Dall’espressione del campo magnetico B generato da una carica
puntiforme in moto:
( )
( )
( )
B r ,t
!
!m !
! !
! !
dF ( ) r ,t = ! r ,t ! B r ,t dV
Campo Magnetico Generato da una
Distribuzione Continua di Carica in Moto
"$#$%
! !
!
! !
! !
µ0 " r #,t dV w r #,t $ r % r #
dB r ,t =
! ! 3
4!
r % r#
( )
q
"$#
$
%
! ( m) !
! !
!
! !
dF r ,t = ! r ,t dV v r ,t " B r ,t
29!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
Q
( )
!
dB
! !
!m !
! !
! !
dF ( ) r ,t = ! r ,t ! B r ,t dV = idl ! B
( ) ( )
! !
!m !
dF ( ) r ,t = idl ! B
( )
31!
( )
(II formula di Laplace)
!
B
!m
dF ( )
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
i !
dl
32!
Circuiti Filiformi (II)
Circuiti Filiformi (III)
!
•! Analogamente si può trovare il campo! magnetico dB generato
dall’elemento di circuito filiforme dl situato nell’origine di una terna
cartesiana e percorso dalla corrente di intensità i:
( ) (
•! Si osservi che la circuitazione del campo magnetico lungo una
circonferenza perpendicolare al filo non è nulla:
–! Il campo magnetico è sempre tangente alla circonferenza, con lo stesso
verso.
)
! !
! !
! !
µ0 ! r ",t # r $ r "
dV
dB r ,t =
! ! 3
4!
r $ r"
! !
! !
µ0 idl " r
(I formula di Laplace)
dB r ,t =
4!
r3
( )
•! Dunque il campo magnetico non è conservativo:
! ! !
!" B#0
( )
!
dl
O
!
i r
!
dB
!
dl
!
r
P
33!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
Campo Magnetico Generato da un Filo
Elettrico Rettilineo Indefinito
•! Consideriamo un filo elettrico rettilineo indefinito:
z
–! Infinitamente lungo, o, meglio, di lunghezza molto
maggiore della distanza R che consideriamo;
l
!
dl
–! Percorso da una corrente di intensità costante.
!!
r
•! Dalla I formula di Laplace si ha:
! !
! !
µ0 idl " r
dB r ,t =
4!
r3
!
!
!
µ0 i dl r sin # µ0 i dl sin #
dB =
=
4!
4!
r3
r2
( )
!
B
!
B
34!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
z
•! Osservando la geometria, si trova che:
!
B!
"
R
$$r = sin !
& #
$l = R cos!
$%
sin !
2
!
dl
' sin ! ' cos 2 !
R
d! = R
d! = 2 d!
dl =
d!
sin !
sin 2 !
"r 2 = R 2 + l 2
$
# R = r sin !
$l = r cos!
%
y
R
!
!
B
P
!
! B
dl
!
r !
B P
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
!
B
Campo Magnetico Generato da un Filo
Elettrico Rettilineo Indefinito (II)
z
x
!
B
!
dl
!!
r
!
i
d" sin "
!
µ0 i dl sin " µ0 sin 2 "
dB =
=
=
4!
4!
r2
R2
y
!
B
µ isin "
d"
= 0
4! R
35!
!
B!
y
R
!
!
B
P
z
R
!
B
l
sin "
2
x
!
! B
dl
!
r !
B P
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
!
B
y
!
B
36!
Campo Magnetico Generato da un Filo
Elettrico Rettilineo Indefinito (III)
Campo Magnetico Generato da una Spira
Circolare
•! Se il filo è infinitamente esteso (l >> R), nell’integrazione
su tutto
!
il filo l’angolo ! varia tra 0 e ", mentre il vettore dB mantiene
sempre la stessa direzione, per cui:
z
(
!
µi
B = 0
2! R
!
dl
!
dl
)
z
(legge di Biot e Savart)
z
!
!
r
l
!
µ i
!
i
sin " d" = 0 %& $ cos" '(0 =
#
R0
4! R
i
1+ 1
R
!
µ
B = 0
4!
µ
= 0
4!
!
dl
l
!
B
!
P
!
r
x
•! Il calcolo del campo magnetico in tutto lo spazio è complicato: ci
limitiamo a calcolarlo nei punti appartenenti all’asse di simmetria del
sistema (la retta normale al piano su cui giace la spira e passante per
il centro di questa).
!
B!
y
!
B
•! dB ha
! un orientamento diverso a seconda
di dl .
!
•! La componente di dB parallela alla spira,
dB cos ", si annulla nell’integrale lungo la
spira (per simmetria).
y
37!
Campo Magnetico Generato da una Spira
Circolare (II)
!
!
µ
iR
B = " d Bsin ! = 0
4# R 2 + z 2
l
(
R2 + z 2
!
! !
!
!
dl # r̂
$
d
l
"
r
d
l
"
r̂
µ0
µ0
µ0 dl r̂
µ dl
dB =
i
=
i
=
i
= 0i 2 =
3
2
2
4!
4!
4!
4! r dB sin !
r
r
r
z
µ0
dl
i 2
=
!
2
! !
4! R + z
dB
dB
=
µ0
Rdl
i
2
4" R + z 2
(
R2 + z 2
)
32
=
z
!
dl
r !! r
dl
R
i
!
x dl
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
!
µ
iR 2
B z = 0
2 R2 + z 2
()
(
)
32
k̂
)
32
µ0
" dl = 4#
l
(R
iR
2
+ z2
!
dl
38!
( 2# R )
)
32
(asse della spira)
dB sin !
z
!
! !
dB
dB
•! In particolare, nel centro della spira (z = 0):
!
µ i
B 0 = 0 k̂
2 R
()
y
y
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
•! Integrando:
R
R
!
dl
r !! r
dl
R
i
!
x dl
Campo Magnetico Generato da una Spira
Circolare (III)
•! Rimane soltanto la componente di dB perpendicolare alla spira,
dB sin ". Si ha, per geometria:
µ
dl
dBsin ! = 0 i 2
4" R + z 2
z
!
B
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
R
sin ! = =
r
dB sin !
z
!
! !
dB
dB
!
R
!
B!
P
!
! B
dl
!
r !
B P
y
!
!!
r
•! Consideriamo un filo elettrico di forma circolare percorso da una
corrente di intensità costante.
(centro della spira)
!
B
!
dl
i
39!
z
!
dl
r !! r
dl
R
i
!
x dl
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
y
!
dl
40!
Campo Magnetico Generato da un
Solenoide
Campo Magnetico Generato da un
Solenoide (II)
•! Sia n il numero di spire per unità di lunghezza. Si ha:
z2
"µ
! z2
iR 2
B = ! Bspira ndz = $ 0
$ 2
z1
R2 + z 2
#
(
z1
z2
•! Per eliminare z osserviamo che:
z"
cos ! = $
r & z = r cos ! = R cos !
R#
sin !
sin ! = $
r%
R
! sin 2 " ! cos 2 "
d" = ! 2 d"
dz = R
2
sin "
sin "
z2
µ0 "
R2
ndz
=
in
$
32
2 $ R2 + z 2
#
)
z1
(
)
32
dz =
3
z
(
µ0 in " %
µ0 in 2 3
R
=
dz =
sin + dz
$'
2
2 *
2 R$
2 R z!
#& R + z )
1
!2
z
!
µ0 in 2 3
µ in $ 3
#R
B =
sin ! dz = 0
sin !
d! =
&
"
&
2 Rz
2 R%
sin 2 !
1
z1
ndz
R
i
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!1
z1
P
!
z
z + dz
!2
!
B
z2
z
1
Campo Magnetico Generato da un
Solenoide (III)
(
(
)
(asse di un solenoide ideale)
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!1
z1
P
!
z
z + dz
!2
P
!
z
z + dz
!2
!
B
z2
z
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
42!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
!
µi
B = 0
2! d
ndz
i
!1
z1
•! In un punto P qualunque del secondo filo è presente il campo
magnetico del primo filo, dato dalla legge di Biot e Savart:
(asse del solenoide)
R
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
•! Consideriamo due fili rettilinei paralleli percorsi da due correnti
elettriche, di intensità costante, i1 e i2.
)
•! Se il solenoide è molto lungo ( z2 ! z1 ! R ) allora si può
approssimare ! 2 " 0 e !1 " # , per cui:
!
B = µ0 in
R
Forza tra Due Fili Rettilinei Paralleli Percorsi
da Corrente Elettrica
1
!
µ in
B = 0 cos ! 2 " cos !1
2
µ0 in 2
# sin ! d !
2 !"
41!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
"
!
µ0 in 2
µ in
µ in
"2
B =
! sin " d " = 0 $%cos " &' " = 0 cos " 2 ! cos "1
#
1
2 "
2
2
!
=
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ndz
!1
!
B
z2
z
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
43!
!
•! La forza dF è la medesima su tutti i tratti elementari del secondo
filo, è perpendicolare a entrambi i fili, giace sul piano individuato
dai due fili, è attrattiva se le due correnti sono
!
!
concordi e repulsiva se le due
dl1
dl1
correnti sono discordi.
i
d
!
!
r
!1
dF r!
!
! !
P B dl
2
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
!
i2
44!
Forza tra Due Fili Rettilinei Paralleli Percorsi
da Corrente Elettrica (II)
!
!
•! Poiché B ! dl2 , la norma della forza è data da:
•! Da quanto abbiamo visto, se le intensità di correnti che scorrono nei
due fili sono uguali, la forza è:
! !
! µ i µ ii !
!
dF = i2 dl2 B = i2 dl2 0 = 0 1 2 dl2
2! d 2! d
!
µ i2
F = 0 l " i=
2! d
•! Se l2 è la lunghezza del secondo filo, integrando dF lungo di esso si ha:
!
µ ii
F = 0 1 2 l2
2! d
!
dl1
d
! i1
dF r!
!
! !
P B dl
2
!
!
r
!
i2
45!
Dipolo Magnetico
l2
! ! l2
F = " i dl ! B = " idl Bsin
(
0
)
retta d’azione e verso opposto, per cui hanno
risultante nulla e momento risultante pure nullo.
!
B !
F = !il1 Bı̂
!
•! Le forze agenti sui lati AB e CD della spira hanno modulo:
l1
! ! l1
F = " i dl ! B = " idl Bsin
l2
0
$ % = i Bcos% " dl = i Bl2 cos%
0
!
Sui due lati BC e DA tali forze hanno la medesima
B
0
#
2
46!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
Dipolo Magnetico (II)
•! Consideriamo una spira rettangolare percorsa da corrente e
sottoposta a un campo magnetico. Le forze agenti sui lati BC e DA
della spira hanno modulo:
!
F = il1 Bı̂
µ0 l
•! L’Ampère viene definito come l’intensità di corrente elettrica che,
fluendo in 2 conduttori rettilinei, paralleli, indefinitamente lunghi, di
sezione circolare trascurabile, posti alla distanza di un metro,
determina fra di essi una forza magnetica di 2!10–7 N per metro di
conduttore.
!
dl1
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
!
!
2! d F
•! Possiamo ora comprendere la definizione di dell’unità di corrente
elettrica del Sistema Internazionale.
•! La forza è proporzionale al prodotto delle due intensità di corrente
e inversamente proporzionale alla distanza.
n̂
La Definizione di Ampère
i
l2
sin !
2
D
!
B
!
dl
!
B
!
dl B
!
dF ! !
dF dl
l1
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
n̂
l2
!
dF
#
2
1
0
Sui due lati AB e CD tali forze hanno differente retta d’azione
! e
B
verso opposto, per cui hanno risultante nulla ma
!
!
momento risultante diverso da zero e dunque
B
B
!
costituiscono una coppia di forze.
dl B
!A !
!
!
B
!A !
dl dF
0
l1
( ) = i B " dl = i Bl
!
!
B !
F = !il1 Bı̂
!
C
!
F = il1 Bı̂
47!
dl dF
i
l2
sin !
2
D
!
B
!
dl
dF ! !
dF dl
l2
!
dF
l1
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
C
48!
Dipolo Magnetico (III)
Dipolo Magnetico (IV)
•! Se definiamo momento di dipolo magnetico la quantità:
•! Il momento della coppia di forze agenti sui lati AB e CD ha modulo:
!
m = iSn̂
"
l
M = 2F 2 sin ! = i B l1l2 sin ! = iBS sin ! = iSn̂ " B
!
2
il momento della forza esercitata sulla spira si scrive:
S
! ! !
M = m! B
dove S è la superficie della spira e n̂ è il versore perpendicolare
! alla
spira. Possiamo anche scrivere vettorialmente:
B
!
B
!A !
dl dF
!
!
M = iSn̂ ! B
n̂
!
!
B !
F = !il1 Bı̂
!
i
l2
sin !
2
!
F = il1 Bı̂
D
!
B
!
dl
•! Si osservi l’analogia con il caso del dipolo elettrico
immerso in un campo elettrico, per cui, come
abbiamo già visto, il momento della forza è:
!
B
!
dl B
!
dF ! !
dF dl
! ! !
M = p! E
i
l2
!
dF
D
C
l1
!
B
!
dl
•! In analogia con il dipolo elettrico immerso in un campo elettrico, per il
quale l’energia potenziale si scrive:
! !
E = ! pi E
possiamo scrivere l’energia potenziale di una spira percorsa da!
B
corrente immersa in un campo magnetico come:
!
•! Si può mostrare che tutte le considerazioni
fatte finora sulla spira rettangolare valgono
in realtà per una spira piana di qualsiasi
forma.
B
!A !
dl dF
i
D
!
B
!
dl
!
B
!
dl B
!
dF ! !
dF dl
l2
!
dF
l1
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
http://campus.cib.unibo.it/2476/
Domenico Galli
Dipartimento di Fisica
[email protected]
http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli
https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica
C
51!
l2
!
dF
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
Dipolo Magnetico (V)
! !
E = ! mi B
!
B
!
dl B
!
dF ! !
dF dl
l1
49!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 6. La Forza Magnetica!
!
B
!
B
!A !
dl dF
C
50!