- 1 -
1. RICHIAMI DELLA TEORIA
Per
noti
Per
comodità
di
GLI SPAZI LOCALMENTE CONVESSI.
lettura
della teoria degli
trattazioni
raccogliamo
slc
esaurienti
alcuni
arqomenti
in modo da fissare
e
per
le
bpn
la notazione.
dimostrazioni
rimandiamo
ai trattati classici citati in bibliografia.
§1. Richiami di teoria della dualità.
Sia <E,F> una coppia duale di spazi vettoriali:
con
a(E,F)
indicheremo
la topologia indotta su E dalla topo10gia prodotto
ln ~F. Ricordiamo che
a(E,F) è la topologia localmente conves
sa più debole su E per CUl F è il suo duale topologico.
•
E indicheremo con UO (il
sottoinsieme di
Se U e un
polare
di U) il sottoinsieme di F così definito:
Uo = {y
Ricordiamo
UO
che
I < x ,y > I
< 1
Vx € U} •
assolutamente
convesso
F :
€
è
e
debolmente
chiuso e che se U è a sua volta assolutamente convesso e debolOO
mente chiuso allora U
Se
il
duale
E è
l
E è
la
cu,
slc, c'è
intorni
e assorbenti
Un
forte
{Uo)o = U.
una
topologico
più
"
dualità
di
E.
topo10gia
sono
tutti
naturale
Notiamo
che
<E,E'>,
se
la
localmente convessa,
gli
insiemi
dove
El
topologia
cioé
assolutamente
e•
su
quella
conveSSl
(la indicheremo con.\!') allora E'=E*.
insieme
H
c
E'
51
nel polare di un intorno.
dice
equi continuo
se
è
contenuto
- 2 -
Sarà utile nel seguito il seguente classico
Teorema 1.1. (Alaoglu-80urbaki).
Se U è intorno in E slc, allora UO c E' è
Descriviamo
topologie
le
su
una
E ed
tecnica
F,
topologie deboli.
dualità <E,F»
usuale
una
Si
volta
per
che
a(E',E) compatto
definire
Slano
state
dice bornologia su
una famiglia
differenti
introdotte
E (relativa alla
43 di sottoinsiemi a(E,F)-limitati
tal i che:
( i ) 8, ,8 € 18
2
(i i ) 8
<8,
€
> ] 8 € 18
p € J(
= lC
( i i i ) span{ U 8 } è
8€iB
Data
ir(jJ
una
polari
tale
convessa
degli
elementi
topologia
elementi di
è
€ 43
•
•
p8 c C;
a( E,F ) denso 1n E.
bornologia 18
localmente
8, U 8 2 c 8 ,.
•
•
su
E,
S1
definisce
su
F prendendo
di
18.
quella
come
Osserviamo
della
una
topologia
intorni
ln
F
esplicitamente
convergenza
uniforme
l
che
sugli
43.
Esempi. Sia E slc e consideriamo la dualità <E,E'>.
,.
di
E'
2.
Se
,
18
è
la
famiglia
coincide con
Se
è
la
di
tutti
l
sottoinsiemi
finiti
a(E,E').
famiglia
degli
insiemi
precompatti
di
E
(o compatti) 0 43 è la topologia su E' della convergenza uniforme
sui precompatti
(compatti) di
E e sarà denotata con
0 (E' ,El
pc
- 3 -
3.
è
Se 18
la
famiglia
degli
insiemi
assolutamente
e o(E' ,E)-compatti in E', 0~ sarà denotata con
logia
di
Mackey
su
Se
limitati
e
18
di
è
ed
la
topologia
"(E,E')
localmente
(topo-
convessa
il duale topologico di E è E'.
più forte per cui
4.
E)
conveSSl
la
famiglia
di
tutti
gli
•
•
•
o(E',E)-
lnSleml
E' , 018 è la topologia forte su E e sarà indicata
8(E,E').
El
OVV10
che negli
esempl
precedenti
51
possono scambiare
E ed E'.
Non
è
conserva
•
passando
topologia di
al
sottospazi
Mackey Sl
che
ed
l a
topologia
al
quozienti,
conserva passando ai
la
topologia
non
al
sottospazi;
infine,
Sl
mantiene
per
né
•
conVlncerSl
diffici le
51
conserva
la
10
topologia
passaggio
al
e
che
quozienti.
generale
forte
debole
per
in
Sl
la
Invece
restrizione
generale
non
quozienti
né
per
passagglo
continuo
fra
due
slc
a sottospazi.
Dua1 ità di operatori.
Sia
T
un
operatore
debolmente
F. Si defin;scel'operatore aggiunto T 1 :F
1
...
El tramite l'equa-
Zlone
~x,T
,
y' >= <Tx,y' >
E ed
VxeE, Vy'eF'.
- 4 -
T'
risulta debolmente continuo e valgono le seguenti rela-
zioni:
Ker T'
Ker T
da
CUl
deduce,
51
per
[T(E)]o
=
[T'(F'}]o ,
=
esempio,
che
è
TI
1-1
se
e
solo
se
T(E) è denso in F. Nel seguito useremo il seguente
Teorema 1.2
del rango chiuso.
Se E ed F sono spazi di Fréchet e T:E
~
F è continuo, sono
equivalenti:
(i) T(E) è chiuso in F
(ii) T' (F') è
In
generale
a(E' ,El chiuso in E'.
questo
teorema
non
vale
ln
slc.
E'
lnvece
generale il seguente
Teorema 1.3
di omomorfismo debole.
E,F slc, T : E
T'(F'l è
E'
~
F ;
a(E',E) chiuso se e solo se T è omomorfismo debole.
interessante
debolmente
anche
continuo
resta
sapere
quando
continuo
un
operatore T:E
rafforzando
le
~
F
topologie
diEediF.
Se Gl
e 'e
E[1i~1-F[1i'e]
con
un
sono
bornologie
in
E'
ed
F'
si
ha che T è
continuo se e solo se T'('e) c;~, come si verifica
calcolo
standard
per
polarità
(cf.
per
esemplo
il
- 5 -
Lemma
2.9).
In
particolare
se
T
debolmente
è
continuo,
è
F allora
è
anche fortemente continuo e Mackey continuo.
Da ciò si deduce la seguente
Proposizione 1.4
Se
T
..
E
•
omomorfismo
F è
debole
e T(E)
=
anche omomorfismo per le topo10gie di Mackey.
§2. Limiti induttivi di slc.
Ci
limiteremo a ricordare
i fatti
essenziali
della teoria
dei limiti induttivi stretti di slc.
En [.,"n J
S l. a
e
che
la
Posto E
=
topo10gia
n
n'
U c
li n +1
di
s l c t al i
c he
En ..,
c En + 1 Vn,
En coincida con lin0
E è ovviamente uno spazio vettoriale; definiamo
U E
una topologia
E
un a s uc c e s s l o ne
ristretta
ai!
li(localmente convessa) su E come segue:
assolutamente
•
convesso
e
intorno
1n
li s e e solo
se un En è intorno in E per ogni n.
n
Notiamo che li
è la topologia localmente convessa più fine
su E per c u l
tutte l e inclusioni jn:En-> E risultano continue.
Si
facilmente
verifica
(i-continuo
Lo
spaZla
se
e
El li]
solo
sl
che
se
dice
To j
un
operatore
T definito
su
•
continuo
E
per
ogni
e
su
n
n·
limite
induttivo
stretto
deg 1 i
E è
n•
s 1c
En , e la succeSSlone En 51 dice una successione di definizione
di E. Si può provare che la topologia indotta da E su ogni
E
n
coincide con
li n e che se ogn1
En è chiuso 1n En + 1 (e.g.
- 6 -
E è completo) allora un insieme B c E è limitato
n
se e solo se esiste n€IN tale che B c E ed è 1V1 limitato;
n
inoltre se ogni En è completo anche E è completo.
se
ogn1
Se
tutti
spaZ10
gl i
sono
E
n
(LF)-stretto.
spaz1
di
Fréchet
Osserviamo che ogni
E è di prima categoria; infatti
E =
categoria
E
no
UllO
degli
sarebbe E
e quindi
E
n
E
=
no
Sla
allora
spaZ10
E Sl
dice
(LF)-stretto
se fosse di seconda
conterrebbe
un
aperto,
' contro l'ipotesi che la succeSS10ne
En Sla stret "amente crescente. Ne segue che E non è metrizzabi
le.
Per
esemp10,
lo
spazio
è
!»(Q)
limite
induttivo
stretto
degl i spazi di Fréchet !»(K j ), dove K. è una successione stretJ
tamente crescente di compatti invadenti
Q
•
§3. Prodotti e somme dirette.
Sia
il E
.eA
•
(E.[6.]).eA
lo
de g l i
spaz10
E
•
una
famiglia
(localmente
di
s'lc;
convesso)
indicheremo
prodotto
con
topologico
•
I nd i c he r e mo con
ffl E.
(s O mm a dir e t t a de g l i E.) i l so tt o s p~
'eA
ZlO
1 ineare di
il E.
•
degl i
x
=
(x.)
tali
che x.
~
O per
un
numero finito di indici. Su ffl E. si può considerare la topologla
indotta
della
da
topologia
il E
••
,
•
.
ma p U
localmente
,
1
frequentemente
convessa
ffl 6.,
•
la
esso
Sl
più
fine
dota
per
cUl
Ea ~
Tale
topologia
-e
-
p l. U
fine
{Il
o
Ea è c o n t i n u a .
dell a topologia
prodotto e
Sl
chiama topo1ogia somma diretta.
Questa è la topologia che useremo tacitamente nel seguito.
Osservi amo
d'i nt or n i
su Ea
che
l n Eo;
una
base
dI; ntorni
ne s e 9 ue
c he
per
l n E=ffiE
o o
ffi l;'o
è
o
percorre una base
l a t o Po l o 9 i a
~ 1;'0
i ndo t t a d a
coincide con 00 .
Se lA = IN e En = E per ognl n useremo le seguenti notazioni:
IN
E
TI E
= neIN
n
ffi E
neIN n
~Ea
Osserviamo che se lA è finito aìlora
algebric~
coincide
mente e topologicamente con
perciò in tal caso, useremo
indistintamente i due simboli. In particolare E2 = ExE=EffiE.
Notiamo anche che un operatore T:F
~
UEo
se e solo se Pa oT : F ~ Eaè continuo Va'P a
ne
canonlca
su
analogamente T:ffi Eo
o
Ea ~ F è continuo IJ
solo se T oja:
Mostri amo
Ea ;
come
sono
fatti
(F slc) è continuo
essendo l a proieziQ.
~
F è continua se e
Q.
gl i
ln
l imitati
E=ffi Eo'.
o
sia B c E limitato e supponiamo che esistano infiniti indici
(basta
considerare
•
•
prOlezlone
intorno
è
l
n
assorbito
Eo
di
i l
numerabilel
caso
E su
tale che
n
dall'intorno
E
);
o n
se
per
cUl
allora
Bn=qn(B)t
esi ste
1x tU . ne segue che
n n
n'
contro
l'ipotesi
Un
non
che
B
Sl
a
{O)
- 8 -
limitato.
l
n
.
Pertanto
.
.
gl i
.
l imitati
lnSleml
n
@ Bo '
d e l tipo
lnSleml
.
.
i =1
di
Bo. l imitato
i
E sono
contenuti
n Eo .•
l
l
l
Dualità tra prodotti e somme dirette.
Sono
e
EI
o
@
o
E'
g1 C l
•
facili
,
da
e tra (~'al' e
@
o
Si a
E '
o
le
tra
(REo)'
isomorfismi sono topolo-
Ea ; e siano
(8
prodotto
e iB'
I1iB o
o
=
su
TIE a ,
e
o
=@
o
<B
o
somma
i cui elementi sono del tipo:
verifica
@ E'
o o
che
algebrici
a.
o
bornologie
B
~
(8'~BI
iFlB s u
isomorfismi
11 E
bornologia su
iB
Si
gli
interessante vedere quando tali
rispettivamente,
su
vedere
con
un
=
lIB a ,
o
n
.~1
1-
calcolo
B
o
e 6
o
Bo •
, Bo
per
polarità
1
e 1B
coincide
con
l a
•
0
l
1
è la topologia somma diretta
II E '
o o
,
@
che
la
topologia
e analogamente
iF al
o
o
topologia prodotto
delle
iFol·
o
Tenendo conto dei
debolmente
compatti
legami tra le famiglie di
e
finiti
1n
IlE
o o
Eosi deducono le seguenti eguaglianze:
S( II E '
o o
, ~Eo ) -
II Eo' • tJE)
~( o
o o
I1S(E '
o o
= I1~
o
• Eo )
(E'o • Eo )
o( IIo Eo' • @ Eo ) = no
(E o' • Eo )
o
o
•
•
•
lnSleml
e
nei
l imitati,
singol i
9 8(~
E' , nE)=1t8(E' , E )
a
a
a
a
a a
~
~(@
E'
00
@ ~(E~
, nE.) =
a'"
CI
,E.)
U
•
U
El da notare che l'uguaglianza
a(@ E', nE
aO'a
) =
Ct
vale se e solo se A è finito;
delle
borno,logie
degli
degli insiemi finiti
atE'
@
O'
Cl
infatti
insiemi
, E.)
u
altrimenti
finiti
non
è
prodotto
il
la
bornologia
sul prodotto.
§4. Prodotti tensoria1;
Nozione algebrica.
La
nOZlone
algebrica
di
prodotto
tensoriale
tra
spaZl
vettori al i è stata introdotta per studiare applicazioni bilinea
rl:
infatti
spaZ1
sul
ogni
applicazione
vettoriali
Sl
può
bilineare
leggere
sul
come
prodotto
di
applicazione
due
lineare
loro prodotto tensoriale.
Il
nello
prlmo
esemplo
studio
Schatten
[27J
di
di
applicazione
problemi
che
di
introduce
dei
anal isi
il
prodotti
funzionale
prodotto
tensoriali
è
dovuto
tensoriale
di
a
due
spaZl di Hilbert.
Lo
studio
tensoriale
di
fondamentale
1n
luce
sistematico
slc
tesi
è
di
l'importanza
di
"buone
intrapreso,
però,
Grothentieck
dei
topologie"
prodotti
solo
[gJ
nel
nella
tensoriali
ln tutti i campi dell 'analisi funzionale.
sul
prodotto
1955
quale
con
•
e
la
messa
praticamente
-
Siano E,F
delle
forme
spazl
10 -
vettoriali:
bilineari
denotiamo con B(E,F)
definlte
su
ExF
e
con
lo spazlo
B*(E,F)
il
suo
dua1e algebrico. Consideriamo l'applicazione bilineare:
~
o : E x F
B*(E,F)
COSl definita:
O(x,y)(b)
Posto xOy = O(x,y),
dell'
immagine
=
b(x,y)
VbeB(E,F)
denoteremo con EOF
ln
dell' appl icazione
allora
(e.
1
9
è
f.)( . . ) I J
J
1,JEX
l'inviluppo lineare
B*(E,F).
se (ei)iel e (fj)jeJ sono basi di Hamel
mente,
.
Notiamo
che
per E ed F rispettiva-
base
di
Hamel
per
E9F.
Inoltre valgono le seguenti relazioni:
EOF-FOE
E O (FOG) '- (EOF)OG
E O (FxG) -
(EOF) x (EOG)
EOD<-E.
dove - denota isomorfismo algebrico.
Sia
delle
ora
TeL(E9F,G);
funzioni
poniamo
bilineari
da
-T
=
ExF
ln
è lineare e bigettiva, e l'inversa
-T"
Gli
spazl
isomorfi.
l: x.
. 1 l
1=
L(E9F ,G)
G).
-TeB(E,F;G)
(spazio
L'applicazione
T "T
T è data da:
n _
n
T(
T 9;
o
e
O y.) =
l
B(E,F;G)
l: T(x.,y.).
. 1
l
1
j=
sono
allora
algebricamente
- 11 -
In particolare, se G=K si ha
(E~F)*
= B(E,F),
Consideriamo ora 1'applicazione
x:
~
E*
F • L(E,F)
cos' definita:
n
x( I x'" ~ Y,,)(x) =
l. = 1 '
essa induce un isomorfismo algebrico tra
e il sottospazio
E*~F
degl i operatori di rango finito in L(E,F),
Definiamo infine il prodotto tensoriale di due applicazioni:
C051
definita:
estesa per linearità a tutto
Fl~F2)
El~E2;
evidentemente
Tl~T2EL(El~E2'
ed è il prodotto tensoriale di T1 e T ,
2
Prodotto tensoria1e proiettivo di slc.
Siano ora E ed F slc; denotiamo con
le proiettivo di
E ed F)
il
E~nF
(prodotto tensoria
E~F
prodotto tensoriale
della topologia localmente convessa più fine per cui l
Zlone
~
è continua.
Se
U e
intorno
1n
E e
V
è
munito
'applic~
intorno
10
- 1Z -
F,
UQV=Q(UxV),
posto
prov13mo
che
la
(r(UQV)},
'/1'=
famiglia
al variare di U e V in due basi d'intorni in E ed F
rispettiv~
~TIF.
mente, è base d'intorni in E
n
w =
r(U~V)
è
assorbente;
infatti,
S13
zeEQF,
z= E
.=
l
poiché U e V sono assorbenti, esistono
x.
l
l
l
' ~i > O
t
a l i c he
\li=1, ... ,n;
y·€u·
fÀ.U,
Ài
x.~y.;
1 l
l
l
ne segue
x.
n
z
(* )
E'
=
E À.~·
; =1 ' l
(_') ~
fine
€
~.
1
EÀ.~.)W.
(
1
. =1
come
per
1
nv
Z
))
Q è continua,
per cui
essa
e quindi
1
filtro,
e quindi
definita
è
l
l
inoltre che '/l'è base di
chiaro
E~F;
n
(-')
À.
nr(UZ~V2):> r((U , nU )Q(v
Z
su
y.
poiché r(U,~V,)n
definisce una topologia
è
evidentemente
1a
.-
P1 U
è la topologia proiettiva
su EH.
Osserviamo
E~nF
li
che
se
E
ed
sono
F
metrizzabili
allora
è metrizzabile perché prendendo basi d'intorni
anche
numerabi-
ln E ed F "/frisulta anch'essa numerabile.
Con
un
rapido
fra i funzionali
calcolo
51
verifica
di Minkowski
associati
la
seguente
relazione
a U,V e W=f(UQV):
n
=
dove
l
I
i nf
•
e
su
tutte
inf{ E PU(X.)Pv(Y')} ,
. 1
1
1
l =
le
rappresentazioni
di
n
z= Ex.Qy ..
. =1 1
l
l
- 13 -
Ne
E~
segue
F
rr
subì to
che
se
E,F
sono
spazl
normati
allora
anche
e spazio normato con norma
n
h·n
Id = inf{ . [ 1 Ix·1
l
l
•
l =
L'isomorfismo
a
-T
..'t(E@ F,G)
TI
To
=
e
~
algebrico
è un
tra
L(EH,G)
e
B(E,F;G)
isomorfismo algebrico su S1j(E,F;G).
continua
su
ExF
composlz1one;
per
e T e
&ilIE,F;G)
E
-T=b,
allora
definita
convesso)
ed
b(UxV)
T( f(U@V))
=
i
[ b(x.,y.)
==
1
l
l
e T è continua su E@TIF; per provarlo, Sla W intorno
(assolutamente
F tali
se
n
T( [ x.@y.)
. 1 l
1
l =
da
Infatti
Vlceversa,
n
b
ristretto
che
c
Cloe
W,
ln
c
la
per
W;
esistono
G:
come
continuità
intorni
definito
è
di
U,V
T.
In
T ne
ln
E
segue
particolare,
se
G=D< s i o t t i e n e (E @TI F )' ::. &iI( E ,F) al ge b r i c a me n t e .
E@TIF non è completo anche se E ed F lo sono;
In generale,
E@ F denoterà il suo completamento.
TI
Prodotto tensoriale iniettivo di sle.
Siano E,F slc; consideriamo l'applicazione:
X:
E Q F -• .I!'(E~ ,F)
(dove E~ = E' [aiE' ,E)]) definita da
n
n
X(
essa
.'.f(E~
e
1.
[
=1
x.
l
Q
isomorfismo
,F) degli
Yi)(x')
=
l: <x.,x'>y.
. 1
l
l
]=
algebrico
sul
Vx'eE';
sottospazio
operatori di rango finito.
y( E ~
, F)
di
-
S!'(E"
Introduciamo Su
uniforme sugli
,F)
14 -
la topologia 0c della convergenza
equicontinui di
"InSleml
E'; una base d'intorni
Pc è data da:
per
WU,v =
(T€S!'(E~
,F) : T(UO) c vJ
,
quando U e V variano in basi d' intorno di E ed F.
E~F,
munito
prodotto
della
tensoriale
con E8(f. 5j
indotta
topologia
iniettivo
E
di
F
ed
X,
tramite
e
,
e
il
indicato
verra
vede facilmente che le semlnorme che definiscono
E~
la topologia ln
c
F sono date da:
n
per z
y.,
~
l: x.
. 1 l
l =
=
l
Facciamo notare
E~
e
€
F
l
o è',
quella
E~€F
che
inoltre
della
se
se
norma
E,F
sono metrizzabili
E ed
degli
F sono
normati
ln
Y(E',F)
ExF
'-Y(E" ,F)
operatori
x
bilineare
o ~
Uxv in Wu,v con OVVla notazione e quindi
In
topologia
e
quindi
è normato,
L1applicazione
nua;
la
allora anche
se
segue
che ;Cc è meno
particolare,
se
E ed
F
fine
sono
della
~:ExF'-E~€F
topologia
normati
vale
applica
è conti-
prc;ettiva,
la
relazione
~d € -<~zll,
TI
Come prima,
indicheremo con
E~€
F i l completamento di
E~€
F,
- 15 -
Osservazione.
Con
le
topologie
proprietà
formali
e
51
verifica
algebriche del
prodotto
11
facilmente
che
(p.l0)
tensoriale
valgono anche in senso topologico; in particolare gli
le
isomorfi
smi sono isometrie nel caso di spazi narmati.
2. TE O-REM I DI GRAFICO CHIUSO.
§1. Teoria classica.
El
ben nota
l'importanza che tanto nell1analisi
funzionale
astratta quanto nelle applicazioni rivestono teoremi di grafi-
co
chiuso
e
teoremi
di
omomorfismo.
I
questa direzione sono i classici teoremi di
nascita
rlcerca
della
di
rientrano
teoria
delle
generalizzazioni
gl i
!1il( Il).
spazl
di
distribuzioni
agli
spaZl
Dieudonné
(LF),
e
10
Banach del grafico
chiuso e dell'applicazione aperta tra spazi
la
risultati
prlml
Fréchet ([lJ);
ha
motivato
classe
Schwartz
ln
[6]
la
CUl
hanno
provato il seguente teorema di cui presentiamo la dimostrazio-
ne originale:
Teorema 2.1.
Siano
E,F
spazl
(LF)
e surgettivo è aperto.
Dimostrazione.
stretti:
T
•
•
E -... F 1 i neare
(oot i nuo
