Università del Sannio
Corso di Fisica 1
Lezione 5
Dinamica del punto
materiale I
Prof.ssa Stefania Petracca
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
1
Principi della Dinamica I
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
2
Principi della Dinamica II
CORPO LIBERO: un corpo sufficientemente lontano da altri corpi da non risentire
delle interazioni con essi.
SISTEMA DI RIFERIMENTO INERZIALE: è quel sistema in cui un corpo libero o è
in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme. Sono inerziali tutti i sistemi che si
muovono di moto rettilineo uniforme rispetto ad un sistema anch’esso inerziale.
QUANTITA’ DI MOTO : è il vettore ottenuto dal prodotto della massa per il vettore
velocità del corpo
La variazione della quantità di moto nel
tempo, se la massa è costante, è
uguale al prodotto della massa per
l’accelerazione
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
3
Principi della Dinamica III
La FORZA è l’espressione dell’interazione del corpo in esame con altri corpi e
deve essere definita indipendentemente.
L’osservazione che un corpo accelera implica l’interazione del corpo con altri
corpi (il corpo non è libero, isolato).
La terza legge esprime il fatto che la forza deriva dall’interazione di almeno due
corpi e se agisce su uno, deve agire anche sull’altro con le modalità della legge.
Le forze che agiscono sul corpo che si osserva da parte di uno o più altri corpi
sono chiamate forze esterne. Il concetto di forza non presuppone il contatto tra i
corpi in interazione (azione a distanza).
Se l’insieme dei due corpi viene
considerato come un sistema unico, di
cui si studia il moto come un tutto unico,
l’insieme delle forze che agiscono è
nullo (le forze sono forze di azione e
reazione, e sono chiamate forze
interne).
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
4
Principi della Dinamica IV
Massa: è una proprietà che può essere definita con misure cinematiche: si
verifica sperimentalmente che la massa di un corpo è indipendente dalla forza
che agisce su essa e dall’accelerazione che ne risulta:
La forza è un vettore, così come l’accelerazione. Le sue dimensioni sono
[M][L][T]-2. L’unità di misura della forza, Newton (N), è definita come la forza
che su una massa di 1 kg determina l’accelerazione 1 ms-2
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
5
Principi della Dinamica V
Una qualsiasi forza è sempre esprimibile come funzione della posizione, della
velocità ed eventualmente del tempo.
esprime la relazione funzionale che lega le proprietà dei corpi in interazione, la loro
distanza, la loro velocità relativa ecc. e viene determinata sperimentalmente,
dall’osservazione di casi tra loro simili. Alcune leggi di forza vengono chiamate
fondamentali e si riferiscono a classi di interazioni molto generali, altre
fenomenologiche ( pur essendo valide per una grande classe di sistemi, dipendono
da parametri che sono caratteristici dei corpi in esame: una legge di forza
fenomenologica tipica è la forza di attrito). Dal punto di vista matematico ( e per le
applicazioni e previsioni e metodi di soluzione ) la relazione che lega la forza e
l’accelerazione corrisponde a una equazione differenziale ordinaria (ed in
particolare è vettoriale, ovvero tre equazioni differenziali scalari) del secondo
ordine per il vettore
Spostamento.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
6
Principi della Dinamica VI
Le condizioni iniziali
posizione iniziale e velocità
iniziali permettono di
definire in maniera univoca
il moto.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
7
Forza gravitazionale I
E’ la forza che deriva dalla proprietà dei corpi materiali di avere una massa: la
forza tra due corpi di massa m1 e m2 (puntiformi) posti a distanza r è attrattiva,
proporzionale al prodotto delle masse, inversamente proporzionale al quadrato
della loro distanza. La mancanza di osservazione della forza gravitazionale nella
vita comune, tra tutti i corpi che sono dotati di massa, è dovuta al fatto che la
costante di proporzionalità (G costante di gravitazione universale) vale: G = 6.67
×10-11 m3 kg -1s -2 = 6.67 ×10 -11 N m 2 kg -2. Per due masse di 1 kg, poste a
distanza di 1m, la forza di attrazione è dell’ordine di 10-11N.
La legge è stata dedotta
sperimentalmente. In principio vi furono
le osservazioni di Keplero con le
relative tre leggi di Keplero e
successivamente furono formalizzate
da Newton.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
8
Forza gravitazionale II
I corpi che interagiscono (luna-terra, terra sole, ecc) possono essere considerati
puntiformi (la loro dimensione è molto più piccola della distanza tra i centri). In
figura i corpi interagenti sono amplificati in dimensione in modo non
proporzionale
La forza è considerata solo sul
corpo di cui si studia il moto.
L’altro corpo è considerato
fermo (e lo è
approssimativamente se la sua
massa è molto maggiore del
corpo su cui agisce). L’origine
del sistema di riferimento (che
deve approssimare un sistema
inerziale) coincide con il corpo
di massa maggiore.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
9
Forza gravitazionale III
La stessa legge vale per i corpi di massa m attratti dalla terra (corpi sulla o fuori
dalla superficie terrestre) (forza peso). Newton stesso dimostrò che la Terra
(considerata come un corpo sferico di densità uniforme, o al più con densità
variabile solo con la profondità) agisce al suo esterno come se la sua massa
fosse concentrata al centro della terra stessa
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
10
Forza gravitazionale IV
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
11
Forza gravitazionale V
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
12
Forza gravitazionale VI
Se consideriamo corpi soggetti alla forza peso ad altezze molto maggiori del
raggio della terra abbiamo
Ora anche la forza e l’accelerazione variano al variare della
distanza, e diventano sempre più piccole mano a mano che ci
allontana dalla terra, ma la forza è sempre diretta verso il centro
della Terra. Se si considera una sfera di raggio r intorno alla terra
i corpi su questa sfera sono attirati con la stessa forza in modulo,
ma la direzione della forza e della accelerazione cambiano
continuamente: la forza è sempre diretta solo verso il centro.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
13
Forza gravitazionale VII
Moto sotto l’azione della forza peso F = mg di una massa m: applicazione moto
di un proiettile, caduta di un grave.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
14
Forza gravitazionale + moto
circolare uniforme
Per avere un moto circolare, serve una forza che dia una accelerazione verso il
centro di attrazione. Il campo gravitazionale g(r) è di questo di tipo. Detta m la
massa che si trova nel campo gravitazionale g(r) creato dalla massa:
La velocità di rivoluzione è determinata dal raggio (maggiore velocità per piccoli
raggi) e dalla massa che crea il campo. Il periodo T è legato al raggio dell’orbita dalla
relazione:
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
15
Forza gravitazionale + pendolo conico
Pendolo conico: massa, sostenuta da un filo, che si suppone inestensibile, e che
percorre una circonferenza di raggio r, con velocità uniforme. Forze agenti: T,
tensione dovuta al filo (nel punto O, dove il filo è imperniato, vi è una tensione
uguale e contraria) e forza peso sulla massa mg.
Perché il moto avvenga : le due forze si devono
comporre a dare una forza rivolta verso il centro della
circonferenza, in modo da produrre la forza
necessaria perché ci sia accelerazione centripeta
Scomponendo le forze agenti sulle direzioni verticale
e normale alla verticale in ogni punto della traiettoria
Maggiore velocità richiede, maggiore angolo di apertura.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
16
Forza gravitazionale + moto circolare
uniforme verticale
Affinchè il moto avvenga le forze agenti devono essere tali da dare sempre e
costantemente una forza diretta verso il centro e con il modulo uguale a mv2/r.
Nell’esempio a fianco è una massa m legata al filo inestensibile, che vogliamo tenere in
moto uniforme su una circonferenza verticale. La direzione della tensione e in
particolare il suo modulo varia continuamente, se la velocità deve essere costante in
modulo.
Nel punto più basso T = (mv2/r) + mg e nel punto più alto T =
mv2/r - mg possono soddisfare le condizioni. Osservando con
attenzione il sistema notiamo che applicando solo una tensione
costante verso il centro il moto non sarà uniforme. Infatti la forza
peso ha una componente mg cos θ in direzione tangente al
moto, che deve essere compensata se si vuole che la velocità
sia costante in modulo. Quindi la forza F da applicare alla corda
(dall’esterno, per esempio con un movimento del polso), deve
avere una componente tangenziale Ft = mg cos θ, con verso
contrario a quello della forza peso. Quindi, data la velocità v,
che si vuole costante, e il raggio r, la forza F da applicare alla
massa m, deve essere tale che: la componente normale (verso
il centro valga Fn(θ) = mv2 / r – mg sen θ e la componente
tangenziale valga Ft(θ) = mg sen θ.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
17
Forza viscosa I
Il moto di una massa può essere influenzato da vari fattori: presenza del vento
e/o movimenti turbolenti dell’atmosfera, l’attrito (forza di resistenza opposta al
moto), dalla forza di galleggiamento di Archimede, ecc.
L’ATTRITO: la forza di resistenza di un corpo che si muove in fluido è
determinata sperimentalmente ed è stato trovato che: 1) dipende dalle proprietà
“elastiche” del fluido, ovvero dalla capacità di resistere a sforzi di taglio, che
viene espressa attraverso un parametro chiamato viscosità. Il passaggio di un
corpo rigido nel fluido provoca questi sforzi nel fluido e la risposta è la forza di
attrito che agisce sul corpo immerso. 2) dipende dalla forma del corpo che è
immerso nel fluido. 3) dipende dalla grandezza della velocità relativa (o del suo
quadrato per moti molto veloci). 4)la direzione della forza è nella direzione della
velocità relativa, e il suo verso è l’opposto di quella della velocità.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
18
Forza viscosa II
Tutto ciò si esprime con una legge di forza che (in prima approssimazione) si
scrive nella forma:
F=-kv
con k costante dimensionale [M][T]-1, che esprime la forza per unità di velocità. Il
valore di k dipende dall’oggetto, dalla sue dimensioni e forma, e dal fluido in cui è
immerso. Pur essendo quindi questa una legge valida per tutti i sistemi costituiti
da oggetti e fluidi immersi in essi, non è generale nel suo senso più ampio, la
costante k non è “universale”: abbiamo una legge fenomenologica. Le equazioni
del moto per un corpo che cade sotto l’azione della gravità ma in presenza di
attrito viscoso sono:
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
19
Forza viscosa III
Le equazioni del moto lungo i due assi possono essere riscritte come segue
Le cui soluzioni sono
La velocità ora dipende dalla massa del corpo e dal valore di k. Per grandi valori
di k/m ( piccola massa e grande forza d’attrito), l’esponenziale tende a zero
anche per tempi piccoli, così poco dopo che è iniziato il moto, la velocità in
orizzontale tende ad annullarsi, mentre la velocità in verticale vz diventa una
costante, detta “velocità limite”.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
20
Forza viscosa IV
Le leggi orarie e la relativa traiettoria sono
Ora la massa è un parametro fondamentale e le soluzioni dipendono fortemente
del valore della massa. I corpi non cadono più tutti con la stessa legge oraria.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
21
Forza viscosa V
Dalle leggi orarie e dalle espressioni delle velocità possiamo ricavare alcune informazioni
importanti: il tempo necessario per l’inversione del moto (tm), il tempo di caduta (tf), la quota
massima raggiunta (z(tm)) e la gittata (z(tf)) . Infatti richiedendo che sia nulla la componente
z della velocità, introducendo la velocità limite vL= mg / k ed il tempo caratteristico tc = m /
k, otteniamo:
⎞
⎛
vL
⎟⎟
t m = −tc ln⎜⎜
v
sin
α
v
+
L ⎠
⎝ 0
Il tempo, ovviamente deve essere positivo, quindi il logaritmo deve essere negativo. Notiamo
infatti che l’argomento del logaritmo è una quantità positiva e minore di uno! La massima
quota raggiunta (in corrispondenza del tempo necessario per l’inversione del moto) è
⎡
⎞⎤
⎛
⎟⎥
⎜
⎢⎛
v t sin 2α
vL ⎞ sin α
vL ⎜
1
⎟⎥
xm = x(t m ) = 0 c
z max = z (t m ) = z0 + v0tc ⎢⎜⎜ sin α + ⎟⎟
+ ln
2 sin α + vL
v0 ⎠ sin α + vL v0 ⎜ 1 + v0 sin α ⎟⎥
⎢⎝
⎟
⎜
⎢
v0
v0
⎠⎥⎦
⎝ vL
⎣
Il tempo di caduta tf soddisfa un’equazione non risolvibile analiticamente. Tuttavia esiste
sicuramente un valore di tf che risolve l’equazione!!! E’ possibile quindi calcolare anche la gittata …
−
e
tf
tc
+
g
⎛
v ⎞
v0 ⎜⎜ sin α + L ⎟⎟
v0 ⎠
⎝
tf −
z0
⎛
v ⎞
v0tc ⎜⎜ sin α + L ⎟⎟
v0 ⎠
⎝
−1 = 0
tf
⎛
−
xG = x(t f ) = v0tc cos α ⎜1 − e tc
⎜
⎝
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
⎞
⎟
⎟
⎠
22
Attrito radente I
E’ una forza che si sviluppa tra due superfici di corpi solidi a contatto, e agisce
come resistenza allo scivolamento di una superficie rispetto all’altra. Le leggi di
attrito radente sono empiriche, varie teorie microscopiche sono state proposte,
ma una teoria comprensiva, che vada bene per tutte le superfici dalle metalliche /
vetrose (più lisce) alle più rugose e con asperità (superfici di una faglia, per es.) è
ancora da trovare. Ma per tutti si verifica che 1) la forza di attrito tende a impedire
il movimento di due corpi pressati l’uno sull’altro, tra cui agisce quindi una forza
perpendicolare alla superficie di contatto; 2) si oppone al movimento e la
direzione della forza è sempre parallela alle superfici di contatto; 3) è
proporzionale alla forza normale N alla superficie. Sul corpo in movimento nei
casi indicati sotto, come esempi, questa forza è la forza di reazione N da parte
del corpo su cui giace il corpo in movimento giace.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
23
Attrito radente II
Il coefficiente di proporzionalità tra la forza di attrito Fa e la forza normale N
agente sul corpo è chiamato coefficiente di attrito f (adimensionale), è
indipendente dalla area delle superficie di contatto e dipende solo dalla natura
fisico chimica delle aree a contatto. In modulo si ha: Fa = f N. Si distinguono due
situazioni. Caso statico - a cui corrisponde un coefficiente di attrito statico: fs. Il
corpo non inizia a muoversi fino a che la forza applicata in direzione del moto
non uguaglia il valore della forza di attrito statico.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
24
Attrito radente III
Caso dinamico: superato
l’angolo θ a cui vi è equilibrio, il
corpo incomincia a scivolare e
accelera verso il basso:
aumentando l’angolo, infatti, la
forza normale diminuisce (e
quindi la forza di attrito) e
aumenta la componente della
forza peso in direzione parallela
al piano. Si trova
sperimentalmente che l’equilibrio
”dinamico”, tra la forza di attrito
dinamica e la componente della
forza peso, ovvero le condizioni
per cui la massa m si muova a
velocità costante (accelerazione
nulla), si ottengono solo
abbassando di nuovo il piano
inclinato a valori di angoli θ < θs.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
25
Forza elastica I
Tutti i corpi solidi sono costituiti da atomi o molecole che occupano posizioni più o
meno fisse, e la cui mutua distanza è regolata da forze elettriche e molecolari.
Quando queste distanze non sono modificabili a livello macroscopico, i corpi
vengono detti rigidi. Le distanze tra due punti qualsiasi del corpo rimangono sempre
le stesse, e il corpo si muove come un tutto unico. Esso può traslare o al più ruotare
attorno a qualche suo asse, ma la distribuzione di massa nel volume originario
rimane sempre la stessa. In effetti quasi tutti i corpi solidi possono essere deformati
e reagiscono alla deformazione in modo più o meno visibile, cercando di tornare alla
posizione d’equilibrio microscopico determinato dalla forze che agiscono a livello
microscopico (comportamento elastico). La tensione lungo una fune di cui si è
parlato negli esempi precedenti è l’espressione della capacità di risposta elastica
all’allungamento. Empiricamente l’allungamento (e la contrazione) sono regolati dalla
legge di Hooke, per cui la forza di resistenza alla variazione di lunghezza è
direttamente proporzionale alla variazione di lunghezza stessa.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
26
Forza elastica II
Le molle elicoidali (avvolgimento a elica) sono sistemi in cui la geometria
dell’avvolgimento è particolarmente adatto a mettere in evidenza questo effetto,
poiché sia l’allungamento che la contrazione sono amplificati appunto dalla
geometria.
k = costante elastica della molla. Le
dimensioni sono [F][L]-1. Il valore della
costante elastica viene determinata, per
esempio, appendendo in verticale alla molla
una massa nota: misurando (dopo che sono
finite le oscillazioni), la distanza x tra la
posizione di riposo della molla e la nuova
posizione di equilibrio e tenendo conto che la
forza esercitata dalla molla espansa è in
modulo uguale alla forza peso esercitata sulla
Massa. Quindi abbiamo k = mg / x. La
linearità tra forza esercitata e spostamento
dalla posizione di riposo generalmente vale
solo per variazioni non troppo grandi rispetto
la posizione di riposo. Per allungamenti
troppo grandi (variabili da molla a molla), si
può avere deformazione permanente, o
comportamento plastico, duttile e/o rottura.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
27
Forza elastica III
Se un corpo di massa m viene attaccato alla molla in orizzontale e non vi è attrito tra
la massa m e il piano orizzontale e la molla viene allungata, il moto successivo della
massa m è di oscillazione attorno alla posizione di riposo della molla, in linea di
principio continuo …
Le equazioni del moto, posizione x(t)
occupata dalla massa m in funzione del
tempo, si ricavano risolvendo l’equazione
differenziale che deriva dalla applicazione
della II legge di Newton alla massa (il moto
della molla non viene considerato,
ipotizzando che la sua massa sia trascurabile
rispetto a a quello della massa m su cui essa
agisce). In verticale sulla massa m la forza
peso viene equilibrata dalla reazione normale
del piano, in orizzontale l’unica forza agente
(attrito nullo per ipotesi) è F = - k x.
Corso di Fisica 1 - Lez. 05 Dinamica del punto materiale I
28
