Cgm23 G. M. Coclite and M. M. Coclite. Stationary solutions for

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Cgm23 G. M. Coclite and M. M. Coclite. Stationary solutions for conservation laws with
singular nonlocal sources. Submitted
Consideriamo il problema di dati iniziali iniziali ed al bordo per la legge di conservazione
(1)

Z 1


∂ u + ∂x f (u) =
K(x, y)g(y, u(t, y))dy, t > 0, 0 < x < 1,


 t
0
u(t, 0) = u(t, 1) = 0,




u(0, x) = u (x),
t > 0,
0 < x < 1,
0
con sorgente non locale e nonlinearità g singolare nell’origine. Precisamente g(y, s), 0 ≤
y ≤ 1, s > 0, si suppone positiva, limitata rispetto ad s in un intorno di +∞, eventualmente
non regolare per s → 0+ . In particolare non si esclude che possa essere
lim sup g(y, s) = +∞,
lim inf
g(y, s) = 0,
+
s→0
s→0+
su una parte di (0, 1) con misura positiva. Come spesso accade nei modelli di traffico [AW]
e di gasdinamica [LS], formulati mediante leggi di conservazione iperboliche [B, D, HR],
l’incognita u(t, x) rappresenta una densità, in presenza del vuoto è u(t, x) = 0. In (1) il
R1
termine non locale 0 K(x, y)g(y, u(t, y))dy regolarizza la singolarità di g(·, u) in presenza
0
si ottengono le leggi di conservazione
del vuoto. Formalmente se K tende a δ{x=y} o δ{x=y}
singolari
∂t u + ∂x f (u) = g(x, u),
∂t u + ∂x (f (u) − g(x, u)) = 0.
Osserviamo ancora che, nel caso in cui K è la funzione di Green di un operatore differenziale,
(1) è equivalente ad un sistema. Ad esempio consideriamo la funzione di Green dell’operatore
2
1 − ∂xx
nell’intervallo (0, 1) con condizioni di Neumann omogenee al bordo
(2)
 x
e + e−x ey−1 + e1−y


,
2
e − e−1
Y (x, y) =
y
−y x−1
1−x
+e

e + e e
,
2
e − e−1
se 0 ≤ x ≤ y ≤ 1,
se 0 ≤ y ≤ x ≤ 1.
Se
K=Y
oppure
(1) è equivalente ai sistemi
1
K = ∂x Y,
2
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


∂t u + ∂x f (u) − P = 0,






−∂ 2 P + P = g(x, u),

 xx
∂x P (t, 0) = ∂x P (t, 1) = 0,





u(t, 0) = u(t, 1) = 0,




u(0, x) = u (x),
0
(3)



∂t u + ∂x f (u) − ∂x P = 0,






−∂ 2 P + P = g(x, u),

 xx
∂x P (t, 0) = ∂x P (t, 1) = 0,





u(t, 0) = u(t, 1) = 0,




u(0, x) = u (x),
0
rispettivamente. Sistemi come (3) sono stati introdotti per descrivere onde dispersive da
Camassa-Holm [CH:93,J:02] e Degasperis-Procesi [DP:99] in regimi di acque basse, da Hamer
[H] per gas radianti e da Dai [Dai:98] per aste iperelastiche. In letteratura sono presenti vari
risultati di esistenza per tali problemi, per una lista sufficientemente completa di referenze
si vedano le bibliografie degli articoli [CHK:GenCH, CHK:ParEll, Coclite:2005cr, LM]. La
convergenza delle soluzioni di (3) a quelle di una legge di conservazione scalare quando K
tende a δ 0 è stata provata in [CK, Hw, LM].
Anche per leggi di conservazione generali con termini non locali si contano ormai diversi risultati. Ad esempio gli autori [CC4] hanno considerato il caso stazionario. Chen
e Christoforou [ChenChristoforou] e Dafermos [D1, D2] hanno considerato leggi di conservazione scalari con termini di memoria, ossia equazioni integro-differenziali con nucleo
integrale K regolare e nonlinearità g non singolare dipendente solo da ∂x u. Christoforou
[Christoforou] ha studiato il caso dei sistemi con ipotesi speciali su f e g. Colombo e Guerra
[CG] hanno provato la buona positura globale nel tempo e stime di stabilità per un sistema
iperbolico del primo ordine con sorgente nonlocale dissipativa. MacCamy [MC] ha elaborato
un modello integrodifferenziale per la viscoelasticità nonlineare. Nohel, Rogers e Tzavaras
[NRT] hanno considerato un’equazione di Volterra motivato dal un modello nonlineare per
il flusso di calore in materiali con memoria.
Sulla nonlinearità g : [0, 1] × (0, ∞) → R, sul flusso f : R → R, sul dato iniziale
u0 : [0, 1] → R e sul nucleo K : [0, 1] × [0, 1] → R facciamo le seguenti ipotesi:
(H.1) g è una funzione di Carathèodory (ossia g(·, s) è misurabile in [0, 1] per ogni s > 0
mentre g(y, ·) è continua in (0, ∞) per q.o. y ∈ [0, 1]), g > 0 ed esistono ϕ0 ∈
C 2 ([0, 1]) e p ≥ 0 tali che
g ∗ (y, s) ≤
ϕ0 (0) = ϕ0 (1) = 0,
ϕ0 (y)
,
sp
y ∈ [0, 1],
dove
g ∗ (y, s) := sup g(y, t).
s≤t
Inoltre per ogni 0 < δ <
1
2
ed S > 0:
Z 1−δ
inf g(y, s)dy > 0.
δ
0<s≤S
0 < s ≤ 1,
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3
f 0 (s) ∈ L1 (0, 1).
p
s
2
1
(H.3) u0 ∈ H0 (0, 1) ∩ H (0, 1), u0 > 0 in (0, 1) e
f (0) = f 0 (0) = 0,
(H.2) f ∈ C 2 (R),
s 7→
p = 1 =⇒ ϕ0 log(u0 ) ∈ L1 (0, 1);
p > 1 =⇒ ϕ0 u01−p ∈ L1 (0, 1).
(H.4) Esistono a ∈ W 1,1 (0, 1) strettamente positiva in (0, 1) e γ > 0 tali che per quasi
ogni x, y ∈ [0, 1] :
Z
a(x)a(y) ≤ K(x, y);
1
(K(x, y) + |∂x K(x, y)|)dx ≤ γa(y).
0
Inoltre ∂x K ∈ L2 (I × I).
L’ipotesi su f è quella usuale per i flussi di problemi di Cauchy per leggi di conservazione.
[B, D, HR]. Se p < 1, lo stesso può dirsi per l’ipotesi sul dato iniziale, cioè si può assumere
u0 ∈ BV (0, 1).
L’ipotesi (H.4) sul nucleo è, ad esempio, soddisfatta dalla funzione di Green

1 − e−y ,
0 ≤ y ≤ x,
H(x, y) =
e−y (ex − 1),
x ≤ y ≤ 1,
del problema ai limiti
2
−∂xx
ω + ∂x ω = φ(x) in (0, 1),
ω(0) = ∂x ω(1) = 0.
Infatti si verifica facilmente
1 − e−x 1 − e−y
√
√
≤ H(x, y),
2
2
Z
1
−y
Z
H(x, y)dx = 2(1 − e ) − y,
0
0
1
1
|Hx (x, y)|2 dx = (1 − e2y ),
2
perciò
√ 1 − e−y
(H(x, y) + |Hx (x, y)|)dx ≤ 3(1 − e−y ) = 3 2 √ .
2
0
√
−x
√
Posto a(x) = 1−e
e γ = 3 2, H soddisfa (H.4).
2
Z
1
Anche la funzione di Green
(4)
G(x, y) =

(1 − x)y,
0 ≤ y ≤ x,
x(1 − y),
x ≤ y ≤ 1,
del problema ai limiti
(5)
2
−∂xx
ω = φ(x) in (0, 1),
soddisfa (H.4) con a(x) = x(1 − x) e γ = 25 .
ω(0) = ω(1) = 0,
4
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Infine la funzione di Green Y , definita in (2), del problema ai limiti
2
−∂xx
ω + ω = φ(x) in (0, 1),
∂x ω(0) = ∂x ω(1) = 0,
q
q
√
soddisfa (H.4) con a(x) = e22e−1 e γ = 2e e−1
.
e+1
(6)
Obiettivo di questo articolo è provare l’esistenza di soluzioni positive per il problema di
valori iniziali ed al contorno (1). Useremo alcune delle tecniche elaborate per equazioni
integro-differenziali stazionarie di tipo Hammerstein da M. M. Coclite e G. M. Coclite in
[CC1, CC2, CC3, C98, C00, C04].
Diamo la definizione di soluzione per (1).
Definition 0.1. Una funzione u : [0, ∞[×[0, 1] → R si dice soluzione (entropica) di (1) se
i) u ∈ L∞ ((0, T ); BV (0, 1)), per ogni T > 0.
ii) Per ogni c ∈ R ed ogni funzione test ϕ ∈ C ∞ ([0, ∞[×[0, 1]) positiva a supporto
compatto in R+ × [0, 1]
Z ∞Z 1
(|u − c|∂t ϕ + sign (u − c) (f (u) − f (c))∂x ϕ) dtdx
0
0
∞
Z
1
Z
1
Z
K(x, y)g(y, u(t, y)χ{u6=0} )sign (u(t, x) − c))ϕ(t, x)dtdxdy
+
0
0
0
t
Z
sign (c) (f (u(t, 1− )) − f (c))ϕ(t, 1)dt
+
0
t
Z
Z
+
−
sign (c) (f (u(t, 0 )) − f (c))ϕ(t, 0)dt +
0
1
|u0 (x) − c| ϕ(0, x)dx ≥ 0.
0
Questa definizione di soluzione si ispira a quella data in [BLN] per lucrare la buona positura
dei problemi di dati iniziali ed al contorno per equazioni iperboliche nonlineari del primo
ordine. In particolare se la condizione di entropia ii) è soddisfatta la funzione u è anche una
soluzione distribuzionale di (1) in [0, ∞) × [0, 1], ossia per ogni funzione ϕ ∈ C ∞ ([0, ∞) ×
(0, 1)) a supporto compatto in [0, ∞) × [0, 1],
Z ∞Z 1
(u∂t ϕ + f (u)∂x ϕ) dtdx
0
0
Z
∞
Z
1
Z
+
1
Z
K(x, y)g(y, u(t, y))ϕ(t, x)dtdxdy +
0
0
0
1
u0 (x)ϕ(0, x)dx = 0.
0
Poichè, grazie ad i), per quasi ogni t ≥ 0, si ha u(t, ·) ∈ BV (0, 1), in ogni x ∈ (0, 1)
esistono u(t, x− ) e u(t, x+ ); u(t, 0+ ) e u(t, 1− ) sono le tracce al bordo. La condizione di
entropia ii) garantisce [BLN,B,D,HR, Kruzkov]
x ∈ (0, 1) =⇒ f (u(t, x− )) ≥ f (u(t, x+ )),
min
c∈[min{0,u(t,1− )},max{0,u(t,1− )}]
sign u(t, 1− ) (f (u(t, 1− )) − f (c)) = 0,
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min
c∈[min{0,u(t,0+ )},max{0,u(t,0+ )}]
5
sign u(t, 0+ ) (f (c) − f (u(t, 0+ ))) = 0.
Le condizioni al bordo non sono necessariamente soddisfatte nel senso delle tracce; una
discussione completa sui problemi al bordo per equazioni iperboliche è riportata in [M].
Il risultato principale di questo lavoro è il seguente.
Theorem 0.1. Supponiamo siano soddisfatte le ipotesi (H.1), (H.2), (H.3) e (H.4). Il
problema di valori iniziali ed al contorno (1) ammette almeno una soluzione (entropica) u,
nel senso della Definizione 0.1, tale che
u > 0 quasi ovunque in (0, ∞) × (0, 1),
(7)
e per ogni T ≥ 0 e quasi ogni 0 ≤ t ≤ T
(8)
ku(t, ·)kL∞ (0,1) ≤ ku(t, ·)kL1 (0,1) + T V (u(t, ·)) ≤ 3γΛT + ku0 kW 1,1 (0,1) ,
dove ΛT è una costante crescente rispetto a T , divergente positivamente per T → ∞ e
dipendente da ϕ0 , f, u0 e p .
Come in [BLN,CC2, CHK:GenCH, Coclite:2005cr] la dimostrazione di questo risultato si
basa sull’analisi di alcune soluzioni della seguente approssimazione


2

uε =
∂t uε + ∂x Fε (uε ) − ε∂xx




Z 1


1 

K(x, y)g y, uε (t, y) + ε 2p dy,
=
0
(9)



uε (t, 0) = uε (t, 1) = 0,






uε (0, x) = u0 (x),
parabolica di (1)
t > 0, x ∈ I,
t > 0,
x ∈ I,
dove 0 < ε ≤ 1 e
Z
(10)
I := (0, 1),
Fε (u) :=
0
u
f 0 (ξ)
dξ.
1 + ε |f 0 (ξ)|
Useremo frequentemente le seguenti notazioni
R+ := [0, ∞); R∗+ := (0, ∞); a ∧ b := min{a, b};
Z
\
Lp ((0, T ); X);
K(ϕ)(x) := K(x, y)ϕ(y)dy; Lploc (R∗+ ; X) :=
I
T >0
¯ è lo spazio delle u tali che ∂ i u, ∂ k u ∈ C(R+ × I),
¯ 0 ≤ i ≤ h, 0 ≤ j ≤ k, e
C h+α,k+α (R+ × I)
t
x
∀T > 0 :
sup
0≤t1 ,t2 ≤T
|∂th u(t1 , x) − ∂th u(t2 , x)|
+
|t1 − t2 |α
0≤x≤1
sup
6
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+ sup
0≤t≤T
|∂xk u(t, x1 ) − ∂xk u(t, x2 )|
< ∞.
|x1 − x2 |α
0≤x1 ,x2 ≤1
sup