Matematica per l5economia

Matematica per l’economia
Dott. Alessia Russo
28-29-30 Settembre 2010
Dott. Alessia Russo ()
Matematica per l’economia
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Terza lezione
Equazioni
- Equazioni lineari e sistemi di equazioni lineari
- Equazioni non lineari
Ottimizzazione
- Metodo di sostituzione
- Metodo di tangenza
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Equazione
- f (x ) = w , con w numero reale
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Equazione
- f (x ) = w , con w numero reale
- risolvere un’equazione signi…ca trovare i valori di x tali per cui la
relazione f (x ) = a sia veri…cata (radice di funzione)
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Equazioni lineari
- a + bx = m
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Equazioni lineari
- a + bx = m
- x=
m a
b
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Equazioni lineari
- a + bx = m
- x=
- 2
m a
b
3x = 0
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Sistema di equazioni lineari: due equazioni-due incognite
a + bx + cy = m
d + ex + fy = n
- La soluzione del sistema può essere: de…nita, inde…nita, insieme vuoto
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Sistema di equazioni lineari: due equazioni-due incognite
a + bx + cy = m
d + ex + fy = n
- La soluzione del sistema può essere: de…nita, inde…nita, insieme vuoto
- Concetto di surplus
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Equazioni non lineari: quadratiche
- a + bx + cx 2 = m
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Equazioni non lineari: quadratiche
- a + bx + cx 2 = m
p 2
b
b 4c (a
- x=
2c
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m)
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Equazioni non lineari: quadratiche
- a + bx + cx 2 = m
p 2
b
b 4c (a
- x=
2c
- 1 + 2x
m)
3x 2 = 1
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Equazioni non lineari: quadratiche
- a + bx + cx 2 = m
p 2
b
b 4c (a
- x=
2c
- 1 + 2x
x (2
m)
3x 2 = 1
3x ) = 0 ! x(1 ) = 0, x(2 ) =
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2
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Ottimizzazione: determinazione analitica
- Ottimizzazione vincolata:
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Ottimizzazione: determinazione analitica
- Ottimizzazione vincolata:
Funzione obiettivo: y = f (x, z )
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Ottimizzazione: determinazione analitica
- Ottimizzazione vincolata:
Funzione obiettivo: y = f (x, z )
Funzione vincolo: g (x, z ) = 0
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Ottimizzazione: determinazione analitica
- Ottimizzazione vincolata:
Funzione obiettivo: y = f (x, z )
Funzione vincolo: g (x, z ) = 0
- Metodi di risoluzione:
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Ottimizzazione: determinazione analitica
- Ottimizzazione vincolata:
Funzione obiettivo: y = f (x, z )
Funzione vincolo: g (x, z ) = 0
- Metodi di risoluzione:
Metodo di sostituzione
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Ottimizzazione: determinazione analitica
- Ottimizzazione vincolata:
Funzione obiettivo: y = f (x, z )
Funzione vincolo: g (x, z ) = 0
- Metodi di risoluzione:
Metodo di sostituzione
Metodo di tangenza
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Ottimizzazione: determinazione analitica
- Metodo di sostituzione:
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Ottimizzazione: determinazione analitica
- Metodo di sostituzione:
esplicita una variabile da g (x, z ) = 0 (ad esempio z (x ))
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Ottimizzazione: determinazione analitica
- Metodo di sostituzione:
esplicita una variabile da g (x, z ) = 0 (ad esempio z (x ))
sostuiscila in y = f (x, z ) (nell’esempio, y = f (x, z (x )))
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8 / 10
Ottimizzazione: determinazione analitica
- Metodo di sostituzione:
esplicita una variabile da g (x, z ) = 0 (ad esempio z (x ))
sostuiscila in y = f (x, z ) (nell’esempio, y = f (x, z (x )))
massimizza y rispetto alla variabile rimasta (nell’esempio,
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dy
dx )
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Ottimizzazione: determinazione analitica
1
1
∂u
∂x
∂u
∂z
, al
- Metodo di tangenza: data la funzione di utilità u (x, z ) = x 2 z 2 e il
vincolo di bilancio 100 = 2x + 5z, in cui il prezzo del bene x è px = 2
mentre il prezzo del bene z e pz = 5, il livello ottimo di beni (x , z ) si
determina uguagliando il saggio marginale di sostituzione,
rapporto relativo dei prezzi,
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px
pz
.
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Ottimizzazione: determinazione analitica
1
1
∂u
∂x
∂u
∂z
, al
- Metodo di tangenza: data la funzione di utilità u (x, z ) = x 2 z 2 e il
vincolo di bilancio 100 = 2x + 5z, in cui il prezzo del bene x è px = 2
mentre il prezzo del bene z e pz = 5, il livello ottimo di beni (x , z ) si
determina uguagliando il saggio marginale di sostituzione,
rapporto relativo dei prezzi,
-
∂u
∂x
∂u
∂z
= xz ,
px
pz
=
px
pz
.
2
5
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Ottimizzazione: determinazione analitica
1
1
∂u
∂x
∂u
∂z
, al
- Metodo di tangenza: data la funzione di utilità u (x, z ) = x 2 z 2 e il
vincolo di bilancio 100 = 2x + 5z, in cui il prezzo del bene x è px = 2
mentre il prezzo del bene z e pz = 5, il livello ottimo di beni (x , z ) si
determina uguagliando il saggio marginale di sostituzione,
rapporto relativo dei prezzi,
-
∂u
∂x
∂u
∂z
= xz ,
px
pz
=
px
pz
.
2
5
- Risolvendo il sistema lineare
z
x
= 25
otteniamo il livello
100 = 2x + 5z
(x , z )
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Ottimizzazione: determinazione analitica
1
1
∂u
∂x
∂u
∂z
, al
- Metodo di tangenza: data la funzione di utilità u (x, z ) = x 2 z 2 e il
vincolo di bilancio 100 = 2x + 5z, in cui il prezzo del bene x è px = 2
mentre il prezzo del bene z e pz = 5, il livello ottimo di beni (x , z ) si
determina uguagliando il saggio marginale di sostituzione,
rapporto relativo dei prezzi,
-
∂u
∂x
∂u
∂z
= xz ,
px
pz
=
px
pz
.
2
5
- Risolvendo il sistema lineare
z
x
= 25
otteniamo il livello
100 = 2x + 5z
(x , z )
- x = 25, z = 10
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Esercizi
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