Cinematica Biidimensionale

Esercitazioni di Fisica
Corso di Laurea in Biotecnologie e Geologia
Ninfa Radicella
Università del Sannio
6 Aprile 2016
N Radicella
Fisica
UniSannio
Moto in due dimensioni
Cinematica delle particelle in moto su un piano
Cosa ci serve:
Vettore posizione, spostamento, velocità, accelerazione
N Radicella
Fisica
UniSannio
Moto in due dimensioni
Cinematica delle particelle in moto su un piano
Cosa ci serve:
Vettore posizione, spostamento, velocità, accelerazione
Decomposizione dei vettori
N Radicella
Fisica
UniSannio
Moto in due dimensioni
Cinematica delle particelle in moto su un piano
Cosa ci serve:
Vettore posizione, spostamento, velocità, accelerazione
Decomposizione dei vettori
Equazioni della cinematica viste nel moto unidimensionale
N Radicella
Fisica
UniSannio
Moto in due dimensioni
Cinematica delle particelle in moto su un piano
Cosa ci serve:
Vettore posizione, spostamento, velocità, accelerazione
Decomposizione dei vettori
Equazioni della cinematica viste nel moto unidimensionale
Ricomporre i risultati con la traiettoria
N Radicella
Fisica
UniSannio
Quando il moto è bidimensionale
Quando non mi basta più la descrizione unidimensionale del
moto?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Quando il moto è bidimensionale
Quando non mi basta più la descrizione unidimensionale del
moto?
Come scegliamo un sistema di riferimento per adattarlo ad un
moto unidimensionale?
Se il moto è a velocità costante?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Quando il moto è bidimensionale
Quando non mi basta più la descrizione unidimensionale del
moto?
Come scegliamo un sistema di riferimento per adattarlo ad un
moto unidimensionale?
Se il moto è a velocità costante?Se c’è accelerazione?
(pensiamo alla caduta dei gravi, per esempio)
N Radicella
Fisica
UniSannio
Quando il moto è bidimensionale
Quando non mi basta più la descrizione unidimensionale del
moto?
Come scegliamo un sistema di riferimento per adattarlo ad un
moto unidimensionale?
Se il moto è a velocità costante?Se c’è accelerazione?
(pensiamo alla caduta dei gravi, per esempio)
Cosa succede se la velocità e l’accelerazione non agiscono
nella stessa direzione?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Quando il moto è bidimensionale
Quando non mi basta più la descrizione unidimensionale del
moto?
Come scegliamo un sistema di riferimento per adattarlo ad un
moto unidimensionale?
Se il moto è a velocità costante?Se c’è accelerazione?
(pensiamo alla caduta dei gravi, per esempio)
Cosa succede se la velocità e l’accelerazione non agiscono
nella stessa direzione?
Il moto avviene su un piano, in due dimensioni
N Radicella
Fisica
UniSannio
Esempi moti bidimensionali
Esempi:
Moto del proiettile
Particella in moto circolare uniforme
Riusciamo a riconoscere le caratteristiche principali di questi
due moti?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Esempi moti bidimensionali
Esempi:
Moto del proiettile
Particella in moto circolare uniforme
Riusciamo a riconoscere le caratteristiche principali di questi
due moti?
moto dei satelliti attorno alla Terra
moto delle particelle cariche in campo elettrico uniforme
N Radicella
Fisica
UniSannio
Come affrontare il problema
Scegliere un (non IL) sistema di riferimento.
N Radicella
Fisica
UniSannio
Come affrontare il problema
Scegliere un (non IL) sistema di riferimento.
Scomporre i vettori nelle componenti x e y.
N Radicella
Fisica
UniSannio
Come affrontare il problema
Scegliere un (non IL) sistema di riferimento.
Scomporre i vettori nelle componenti x e y.
~a = ~ax + ~ay
~a = (ax , ay )
Il vettore a è univocamente e completamente determinato dalle
sue componenti nel senso che, date le componenti, è possibile
ricostruire a in modo univoco.
N Radicella
Fisica
UniSannio
Funzioni goniometriche
Il vettore forma, con le sue
componenti, un triangolo
rettangolo
N Radicella
Fisica
UniSannio
Funzioni goniometriche
Il vettore forma, con le sue
componenti, un triangolo
rettangolo
È possibile quindi esprimere la sue componenti in termini delle
funzioni goniometriche
N Radicella
Fisica
UniSannio
Funzioni goniometriche
a
c
b
cos α =
c
a
tan α =
b
sin α =
N Radicella
Fisica
UniSannio
Funzioni goniometriche
a
c
b
cos α =
c
a
tan α =
b
sin α =
Applichiamo formule ai moduli delle componenti del vettore ~a
N Radicella
Fisica
UniSannio
Componenti in coordinate polari
ax = a cos θ.
ay = a sin θ.
N Radicella
Fisica
UniSannio
Componenti in coordinate polari
ax = a cos θ.
ay = a sin θ.
a=
N Radicella
Fisica
q
a2x + a2y
tan θ =
ay
ax
UniSannio
Versori
Per meglio esprimere un vettore tramite le sue componenti e
caratterizzare una data direzione è utile definire un vettore di
lunghezza unitaria, il versore.
Per un sistema di coordinate cartesiane ortogonali:
N Radicella
Fisica
UniSannio
Versori
Per meglio esprimere un vettore tramite le sue componenti e
caratterizzare una data direzione è utile definire un vettore di
lunghezza unitaria, il versore.
Per un sistema di coordinate cartesiane ortogonali:
I vettori unitari delle direzioni x, y e z sono
solitamente indicati con
i
j
k
oppure
î
N Radicella
Fisica
ĵ
k̂
UniSannio
Versori
Per meglio esprimere un vettore tramite le sue componenti e
caratterizzare una data direzione è utile definire un vettore di
lunghezza unitaria, il versore.
Per un sistema di coordinate cartesiane ortogonali:
I vettori unitari delle direzioni x, y e z sono
solitamente indicati con
i
j
k
oppure
î
ĵ
k̂
~r = rx î + ry ĵ + rz k̂
N Radicella
Fisica
UniSannio
Come affrontare il problema
Scegliere un (non IL) sistema di riferimento.
N Radicella
Fisica
UniSannio
Come affrontare il problema
Scegliere un (non IL) sistema di riferimento.
Scomporre i vettori nelle componenti x e y.
N Radicella
Fisica
UniSannio
Come affrontare il problema
Scegliere un (non IL) sistema di riferimento.
Scomporre i vettori nelle componenti x e y.
Considerare il moto orizzontale ed il moto verticale
separatamente
Per ciascun asse utilizzare le tecniche delle cinematica
unidimensionale
N Radicella
Fisica
UniSannio
Domande aperte
Quale delle due palline raggiunge prima il suolo?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Domande aperte
Se una particella si muove su una traiettoria circolare di
moto uniforme, è soggetta ad accelerazione?
Qual è la traiettoria del moto di un proiettile?
Se conosco la traiettoria di un punto materiale, posso
stabilire istante per istante la sua velocità?
E la sua accelerazione?
In quale moto la velocità e l’accelerazione sono in ogni
istante perpendicolari?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Problema
N Radicella
Fisica
UniSannio
Problema
Analizziamo il testo
Cosa ci chiede?
Che informazioni ci dà?
Quali sono le informazioni nascoste?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Dati e analisi
? Vettore spostamento (NON la distanza percorsa), la
rapidità media (velocità scalare media) e il VETTORE
velocità media.
N Radicella
Fisica
UniSannio
Dati e analisi
? Vettore spostamento (NON la distanza percorsa), la
rapidità media (velocità scalare media) e il VETTORE
velocità media.
? Le direzioni di spostamento, i tempi e le velocità di
ciascuna porzione di traiettoria.
? Ci dà un’indicazione sul sistema di riferimento. Lo
determina univocamente?
Abbiamo i dati in unità SI?
Che assunzioni stiamo implicitamente facendo?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Rappresentazione del problema e soluzione
Calcoliamo lo spostamento per ogni singolo tratto.
N Radicella
Fisica
UniSannio
Rappresentazione del problema e soluzione
Calcoliamo lo spostamento per ogni singolo tratto. Una
volta ottenuto il vettore, lo rappresentiamo su un piano
(x,y).
Sommiamo gli spostamenti VETTORIALMENTE per
ottenere lo spostamento totale.
N Radicella
Fisica
UniSannio
Rappresentazione del problema e soluzione
Calcoliamo lo spostamento per ogni singolo tratto. Una
volta ottenuto il vettore, lo rappresentiamo su un piano
(x,y).
Sommiamo gli spostamenti VETTORIALMENTE per
ottenere lo spostamento totale.
Quali sono le difficoltà?
Per sommare gli spostamenti dobbiamo scriverli in
componenti nel nostro sistema di riferimento
N Radicella
Fisica
UniSannio
Rappresentazione del problema e soluzione
Calcoliamo lo spostamento per ogni singolo tratto. Una
volta ottenuto il vettore, lo rappresentiamo su un piano
(x,y).
Sommiamo gli spostamenti VETTORIALMENTE per
ottenere lo spostamento totale.
Quali sono le difficoltà?
Per sommare gli spostamenti dobbiamo scriverli in
componenti nel nostro sistema di riferimento
Come rappresentare la direzione nord-ovest?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Rappresentazione del problema e soluzione
Calcoliamo lo spostamento per ogni singolo tratto. Una
volta ottenuto il vettore, lo rappresentiamo su un piano
(x,y).
Sommiamo gli spostamenti VETTORIALMENTE per
ottenere lo spostamento totale.
Quali sono le difficoltà?
Per sommare gli spostamenti dobbiamo scriverli in
componenti nel nostro sistema di riferimento
Come rappresentare la direzione nord-ovest?
Come sommare tutti gli spostamenti? (Ci serve un risultato
analitico)
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
∆r = ∆r1 + ∆r2 + ∆r3
∆r1 = v1 · ∆t1 sud
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
∆r = ∆r1 + ∆r2 + ∆r3
∆r1 = v1 · ∆t1 sud = 20.0
N Radicella
Fisica
m
· 3 min sud
s
UniSannio
Soluzione
∆r = ∆r1 + ∆r2 + ∆r3
m
∆r1 = v1 · ∆t1 sud = 20.0 · 3 min sud
s
m
· 180 s sud
= 20.0
s
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
∆r = ∆r1 + ∆r2 + ∆r3
m
∆r1 = v1 · ∆t1 sud = 20.0 · 3 min sud
s
m
· 180 s sud = 3600 m sud
= 20.0
s
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
∆r = ∆r1 + ∆r2 + ∆r3
m
∆r1 = v1 · ∆t1 sud = 20.0 · 3 min sud
s
m
· 180 s sud = 3600 m sud = 3.6km sud
= 20.0
s
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
∆r = ∆r1 + ∆r2 + ∆r3
m
∆r1 = v1 · ∆t1 sud = 20.0 · 3 min sud
s
m
· 180 s sud = 3600 m sud = 3.6km sud
= 20.0
s
Nel testo, ci indica di orientare l’asse x verso Est ⇒ Direzione
est corrisponde al versore i
∆r1 = 3.6Km(−j) = −3.6j
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Provate voi a calcolare il secondo contributo, verso Ovest.
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Provate voi a calcolare il secondo contributo, verso Ovest.
∆r2 = v2 · ∆t2 ovest
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Provate voi a calcolare il secondo contributo, verso Ovest.
∆r2 = v2 · ∆t2 ovest = 25.0
N Radicella
Fisica
m
· 2 min ovest
s
UniSannio
Soluzione
Provate voi a calcolare il secondo contributo, verso Ovest.
m
∆r2 = v2 · ∆t2 ovest = 25.0 · 2 min ovest
s
m
· 120 s ovest
= 25.0
s
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Provate voi a calcolare il secondo contributo, verso Ovest.
m
∆r2 = v2 · ∆t2 ovest = 25.0 · 2 min ovest
s
m
· 120 s ovest = 3000 m ovest
= 25.0
s
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Provate voi a calcolare il secondo contributo, verso Ovest.
m
∆r2 = v2 · ∆t2 ovest = 25.0 · 2 min ovest
s
m
· 120 s ovest = 3000 m ovest = 3.0km ovest
= 25.0
s
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Provate voi a calcolare il secondo contributo, verso Ovest.
m
∆r2 = v2 · ∆t2 ovest = 25.0 · 2 min ovest
s
m
· 120 s ovest = 3000 m ovest = 3.0km ovest
= 25.0
s
= 3.0km (− i) = −3.0km i
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Provate voi a calcolare il secondo contributo, verso Ovest.
m
∆r2 = v2 · ∆t2 ovest = 25.0 · 2 min ovest
s
m
· 120 s ovest = 3000 m ovest = 3.0km ovest
= 25.0
s
= 3.0km (− i) = −3.0km i
Come calcolare il contributo nella direzione nord-ovest?
Come tradurre matematicamente questa direzione?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Stesso sistema di riferimento, due sistemi di coordinate:
cartesiane e polari
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Il testo ci chiede poi la rapidità media in tutto il percorso.
Di cosa abbiamo bisogno?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Il testo ci chiede poi la rapidità media in tutto il percorso.
Di cosa abbiamo bisogno?
vm =
N Radicella
Fisica
Distanza totale
Tempo impiegato a percorrerla
UniSannio
Soluzione
Il testo ci chiede poi la rapidità media in tutto il percorso.
Di cosa abbiamo bisogno?
vm =
=
N Radicella
Fisica
Distanza totale
Tempo impiegato a percorrerla
∆r1 + ∆r2 + ∆r3
∆t1 + ∆t2 + ∆t3
UniSannio
Soluzione
Il testo ci chiede poi la rapidità media in tutto il percorso.
Di cosa abbiamo bisogno?
vm =
=
=
N Radicella
Fisica
Distanza totale
Tempo impiegato a percorrerla
∆r1 + ∆r2 + ∆r3
∆t1 + ∆t2 + ∆t3
3.6 + 3.0 + 1.8 km
8.4 km
=
6
min
6 min
UniSannio
Soluzione
Il testo ci chiede poi la rapidità media in tutto il percorso.
Di cosa abbiamo bisogno?
vm =
=
=
N Radicella
Fisica
Distanza totale
Tempo impiegato a percorrerla
∆r1 + ∆r2 + ∆r3
∆t1 + ∆t2 + ∆t3
3.6 + 3.0 + 1.8 km
8.4 km 1000 m
=
6
min
6 min 1 km
UniSannio
Soluzione
Il testo ci chiede poi la rapidità media in tutto il percorso.
Di cosa abbiamo bisogno?
vm =
=
=
N Radicella
Fisica
Distanza totale
Tempo impiegato a percorrerla
∆r1 + ∆r2 + ∆r3
∆t1 + ∆t2 + ∆t3
3.6 + 3.0 + 1.8 km
8.4 km 1000 m 1 min
=
6
min
6 min 1 km 60 s
UniSannio
Soluzione
Il testo ci chiede poi la rapidità media in tutto il percorso.
Di cosa abbiamo bisogno?
Distanza totale
Tempo impiegato a percorrerla
∆r1 + ∆r2 + ∆r3
=
∆t1 + ∆t2 + ∆t3
3.6 + 3.0 + 1.8 km
8.4 km 1000 m 1 min
=
=
6
min
6 min 1 km 60 s
= 23.3m/s
vm =
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Il testo ci chiede poi la rapidità media in tutto il percorso.
Di cosa abbiamo bisogno?
Distanza totale
Tempo impiegato a percorrerla
∆r1 + ∆r2 + ∆r3
=
∆t1 + ∆t2 + ∆t3
3.6 + 3.0 + 1.8 km
8.4 km 1000 m 1 min
=
=
6
min
6 min 1 km 60 s
= 23.3m/s
vm =
Che differenza c’è tra il ∆r segnato qui e quello utilizzato al
punto precedente?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
L’ultimo punto ci chiede il vettore velocità media!
v=
∆r
∆t
Che direzione ha il vettore velocità media?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
L’ultimo punto ci chiede il vettore velocità media!
v=
∆r
∆t
Che direzione ha il vettore velocità media?
v=
N Radicella
Fisica
∆r
−4.27 i − 2.33 j
=
= (11.9 Ovest + 6.47 Sud)m/s
∆t
360 s
UniSannio
Problema
N Radicella
Fisica
UniSannio
Problema
Secondo lo schema utilizzato finora, si provi ad impostare il
problema
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Il moto è bidimensionale
I dati iniziali ci sono forniti secondo le loro componenti
cartesiane
Il moto è uniformemente accelerato
ax (t) = ax
ay (t) = ay
vx (t) = vxi + ax t
vy (t) = vyi + ay t
1
sx (t) = sxi + vxi t + ax t2
2
1
sy (t) = syi + vyi t + ay t2
2
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Inseriamo i nostri dati iniziali:


ax (t) = ax
vx (t) = 4.00 m/s + ax t


sx (t) = 10 m + 4.00 m/s t + 21 ax t2


ay (t)
vy (t)


sy (t)
= ay
= 1 m/s + ay t
= −4 m + 1 m/s t + 21 ay t2
Cosa altro conosciamo?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Conosciamo la velocità relativa all’istante
t? = 20 s : v(20 s) = (20.0 i − 5.00 j)m/s.
Valutiamo le equazioni all’isante t? :


= ax
ax (t)
20 m/s = 4.00 m/s + ax 20s


sx (20s) = 10 m + 4.00 m/s t + 21 ax (20 s)2


= ay
ay (t)
−5 m/s = 1 m/s + ay 20


sy (t)
= −4 m + 1 m/s t + 12 ay (20 s)2
Possiamo direttamente calcolare ax e ay
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
ax =
ay =
N Radicella
Fisica
20 − 4 m
= 0.8 m/s2
20 s2
−5 − 1 m
= −0.3 m/s2
20 s2
UniSannio
Soluzione
ax =
ay =
20 − 4 m
= 0.8 m/s2
20 s2
−5 − 1 m
= −0.3 m/s2
20 s2
Come stabilire la direzione rispetto al semiasse positivo delle
x?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
ax =
ay =
20 − 4 m
= 0.8 m/s2
20 s2
−5 − 1 m
= −0.3 m/s2
20 s2
Come stabilire la direzione rispetto al semiasse positivo delle
x?
tan θ =
N Radicella
Fisica
ay
ay
⇒ θ = arctan
= −20.6◦
ax
ax
UniSannio
Soluzione
Infine possiamo valutare lo spostamento del pesce all’istante
t = 25 s:

2

ax (t) = 0.8 m/s
vx (t) = 4.00 m/s + ax t


sx (t) = 10 m + 4.00 m/s t + 21 0.8 m/s2 t2


ay (t)
vy (t)


sy (t)
= −0.3 m/s2
= 1 m/s + ay t
= −4 m + 1 m/s t −
sx = 360 m, sy = −72.8 m
−15.2◦
N Radicella
Fisica
tan θ =
sy
sx
1
2
0.3m/s2 t2
s
⇒ θ = arctan sxy =
UniSannio
Problema
Cosa ci chiede?
Quali dati ci dà?
Quali sono le informazioni
nascoste?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Problema
Cosa ci chiede?
Quali dati ci dà?
Quali sono le informazioni
nascoste?
Che tipo di moto è?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Moto di un proiettile
Quali sono i moti che
compongono il moto di un
proiettile?
Che differenza c’è dalla
caduta di un grave?
Il segno dell’accelerazione
cambia a seconda del verso
dell’asse verticale
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Utilizziamo il sistema di riferimento suggerito ed inseriamo le
informazioni all’interno delle equazioni della cinematica


ax (t)
vx (t)


sx (t)
N Radicella
Fisica
=0
= vxi + ax t
= sxi + vxi t + 12 ax t2


ay (t)
vy (t)


sy (t)
= −g
= vyi − g t
= syi + vyi t − 12 g t2
UniSannio
Soluzione
Lo stuntman si lancia orizzontalmente, e le condizioni
all’atteraggio (tf ) sono xf = 90 m e yf = −50 m



ax (tf ) = 0

ay (tf ) = −g
vx (tf ) = vxi
vy (tf ) = −g tf




x(tf ) = 0 + vxi tf
y(tf ) = 0 + 0 t − 12 g t2f
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Lo stuntman si lancia orizzontalmente, e le condizioni
all’atteraggio (tf ) sono xf = 90 m e yf = −50 m



ax (tf ) = 0

ay (tf ) = −g
vx (tf ) = vxi
vy (tf ) = −g tf




x(tf ) = 0 + vxi tf
y(tf ) = 0 + 0 t − 12 g t2f
La velocità con cui lascia lo strapiombo è vxi . Per ottenerla
posso utilizzare x(tf ) = vxi tf , ma non conosco il tempo tf . Lo
ricavo da y(tf ) = 0 − 21 g t2f
q
x
−2 yf
vxi = tff , tf =
g .
Controllare sempre le equazioni, a livello dimensionale e
matematico;
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Lo stuntman si lancia orizzontalmente, e le condizioni
all’atteraggio (tf ) sono xf = 90 m e yf = −50 m



ax (tf ) = 0

ay (tf ) = −g
vx (tf ) = vxi
vy (tf ) = −g tf




x(tf ) = 0 + vxi tf
y(tf ) = 0 + 0 t − 12 g t2f
La velocità con cui lascia lo strapiombo è vxi . Per ottenerla
posso utilizzare x(tf ) = vxi tf , ma non conosco il tempo tf . Lo
ricavo da y(tf ) = 0 − 21 g t2f
q
x
−2 yf
vxi = tff , tf =
g .
Controllare sempre le equazioni, a livello dimensionale e
matematico; es. il radicando dev’essere non negativo, lo è?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Problema
Cosa ci chiede?
Quali dati ci dà?
Quali sono le informazioni
nascoste?
Moto del proiettile
N Radicella
Fisica
UniSannio
Problema
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Quali sono le differenze dal problema precedente?
Velocità iniziale non orizzontale, ha entrambe le componenti!


ax (t)
vx (t)


sx (t)
N Radicella
Fisica
=0
= vxi + ax t
= sxi + vxi t + 12 ax t2


ay (t)
vy (t)


sy (t)
= −g
= vyi − g t
= syi + vyi t − 12 g t2
UniSannio
Soluzione
Quali sono le differenze dal problema precedente?
Velocità iniziale non orizzontale, ha entrambe le componenti!


ax (t)
vx (t)


sx (t)
=0
= vxi + ax t
= sxi + vxi t + 12 ax t2


ay (t)
vy (t)


sy (t)
= −g
= vyi − g t
= syi + vyi t − 12 g t2
Come le calcolo?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
Quali sono le differenze dal problema precedente?
Velocità iniziale non orizzontale, ha entrambe le componenti!


ax (t)
vx (t)


sx (t)
=0
= vxi + ax t
= sxi + vxi t + 12 ax t2


ay (t)
vy (t)


sy (t)
= −g
= vyi − g t
= syi + vyi t − 12 g t2
Come le calcolo?
vxi = v cos θ = 16 m/s
N Radicella
Fisica
vyi = v sin θ = 12 m/s
UniSannio
Soluzione
Quali sono le differenze dal problema precedente?
Velocità iniziale non orizzontale, ha entrambe le componenti!


ax (t)
vx (t)


sx (t)
=0
= vxi + ax t
= sxi + vxi t + 12 ax t2


ay (t)
vy (t)


sy (t)
= −g
= vyi − g t
= syi + vyi t − 12 g t2
Come le calcolo?
vxi = v cos θ = 16 m/s
vyi = v sin θ = 12 m/s
Ricorda di utilizzare i radianti, o di impostare la calcolatrice in
maniera opportuna
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
(a) Determinare l’altezza massima raggiunta dal pallone.
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
(a) Determinare l’altezza massima raggiunta dal pallone.
Cosa accade al punto di altezza massima?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
(a) Determinare l’altezza massima raggiunta dal pallone.
Cosa accade al punto di altezza massima?
La componente verticale della velocità si annulla.
Quali equazioni devo utilizzare?


ay (t) = −g
vy (t) = vyi − g t


sy (t) = 0 + vyi t − 12 g t2
Le valuto al tempo t? in cui vy (t? ) = 0:
t? =
N Radicella
Fisica
vyi
g
2
vyi
1
⇒ sy (t? ) = vyi t? − g (t? )2 =
= 7.35 m
2
2g
UniSannio
Soluzione
(b) Determinare il tempo trascorso prima che la palla tocchi
terra
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
(b) Determinare il tempo trascorso prima che la palla tocchi
terra
Cosa accade in quel punto?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
(b) Determinare il tempo trascorso prima che la palla tocchi
terra
Cosa accade in quel punto?
La componente verticale della posizione si annulla.
Quali equazioni devo utilizzare?


ay (t) = −g
vy (t) = vyi − g t


sy (t) = 0 + vyi t − 12 g t2
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
(b) Determinare il tempo trascorso prima che la palla tocchi
terra
Cosa accade in quel punto?
La componente verticale della posizione si annulla.
Quali equazioni devo utilizzare?


ay (t) = −g
vy (t) = vyi − g t


sy (t) = 0 + vyi t − 12 g t2
Le valuto al tempo t? in cui sy (t? ) = 0.
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
1 ?
t vyi − g t = 0
2
?
L’equazione ha due soluzioni:
t? = 0 s
t? =
2 vyi
= 2.45 s
g
Quale scelgo, perché?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
(c) A che distanza tocca terra
Cosa accade in quel punto?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
(c) A che distanza tocca terra
Cosa accade in quel punto?
La componente verticale della posizione si annulla.
Quali equazioni devo utilizzare?
1
sy (t) = 0 + vyi t − g t2
2
valutata al tempo t = 2.45 s calcolato al punto precedente
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
(d) Il vettore velocità al punto più alto
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
(d) Il vettore velocità al punto più alto
Cosa accade in quel punto?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
(d) Il vettore velocità al punto più alto
Cosa accade in quel punto?
La componente verticale della velocità si annulla.
vx = vxi = v cos θ = 16 m/s
N Radicella
Fisica
UniSannio
Soluzione
(d) Il vettore velocità al punto più alto
Cosa accade in quel punto?
La componente verticale della velocità si annulla.
vx = vxi = v cos θ = 16 m/s
(e) Il vettore accelerazione al punto più alto
~a = −g j
N Radicella
Fisica
UniSannio
Problema
N Radicella
Fisica
UniSannio
Problema
Moto di un proiettile
Uniformemente accelerato verticalmente
Moto rettilineo uniforme orizzontalmente
Come deduco l’angolo con l’orizzontale?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Problema
Moto di un proiettile
Uniformemente accelerato verticalmente
Moto rettilineo uniforme orizzontalmente
Come deduco l’angolo con l’orizzontale?
vy
vx
tan θ =
oppure tan θ =
?
vx
vy
N Radicella
Fisica
UniSannio
Problema
Che tipo di moto è?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Problema
Che tipo di moto è?Circolare
È uniforme?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Problema
Che tipo di moto è?Circolare
È uniforme?Cosa implica?
A cosa è legata l’accelerazione centripeta? E quella
tangenziale?
Come deduco la massima accelerazione radiale del disco?
v2
ar =
= (20.0 m/s)2 1.06 m = 377 m/s2
R
N Radicella
Fisica
UniSannio
Problema
Cosa ci chiede?
L’accelerazione
Quali dati ci fornisce?
Velocità in due istanti
successivi
N Radicella
Fisica
UniSannio
Impostazione e soluzione
Che tipo di moto è?
N Radicella
Fisica
UniSannio
Impostazione e soluzione
Che tipo di moto è?
La velocità cambia di modulo e direzione
N Radicella
Fisica
UniSannio
Impostazione e soluzione
Che tipo di moto è?
La velocità cambia di modulo e direzione
L’accelerazione ha sia componente tangenziale che radiale
∆v
v2
verso il centro at =
R
∆t
Per calcolare l’accelerazione dobbiamo stabilirne modulo e
direzione.
ar =
N Radicella
Fisica
UniSannio
Impostazione e soluzione
Per procedere ai calcoli innanzitutto convertiamo le velocità in
unità del SI
N Radicella
Fisica
UniSannio
Impostazione e soluzione
L’accelerazione tangenziale è legata alla variazione della
direzione della velocità
N Radicella
Fisica
UniSannio