IL CANDIDATO SVOLGA UNO DEI TEMI, A SCELTA, ED I TRE PROBLEMI, NEL TEMPO
MASSIMO DI TRE ORE.
Temi
1) Il candidato descriva sommariamente le proprietà termiche dei metalli, con particolare
riferimento al calore specifico.
2) Il candidato illustri il concetto di entropia in termodinamica e ne discuta l’ interpretazione
statistica.
3) Il candidato discuta le trasformazioni di Lorentz e ne illustri le conseguenze elementari.
Problemi
1) Sia dato un sistema quantistico a due livelli e una base formata dalle due autofunzioni
ortonormalizzate φ1 e φ2 di H0, di autovalori E1 ed E2, rispettivamente. Si consideri ora il seguente
Hamiltoniano H= H0+H1 in cui H1, nella base {φ1, φ2}, ha la seguente rappresentazione matriciale:
(H1)11=(H1)22=0; (H1)12=(H1)21=w, con w costante reale positiva.
Determinare:
1) Le autofunzioni e gli autovalori di H.
2) Se all’istante t=0 il sistema si trova con certezza nello stato φ1, in quali istanti, se esistono, il
sistema si troverà di nuovo nello stesso stato?
2) Una spira circolare di raggio a possiede la resistenza elettrica R . La spira ruota con velocità
angolare costante ω in un campo magnetico uniforme B, intorno ad un diametro perpendicolare al
campo; trascurando l’induttanza della spira:
a) calcolare la corrente nella spira, in funzione del tempo t;
b) trovare il momento meccanico esterno necessario per mantenere la spira in rotazione;
c) ripetere il calcolo del punto a, ammettendo che la spira possieda anche un coefficiente di
autoinduzione L e trascurando il transiente.
3) Un punto materiale di massa M può scorrere senza attrito all’interno di un tubo di lunghezza
infinita che ruota nel piano xy, intorno all’asse z, con velocità angolare costante ω; indicando con r
la distanza della particella dall’origine:
a) scrivere la lagrangiana del punto;
b) ricavare l’equazione del moto ed scriverne l’integrale generale in termini delle condizioni iniziali
r0 e v0;
c) dimostrare che l’origine, r=0, è una posizione di equilibrio;
d) stabilire se esistano soluzioni dell’equazione di moto che tendano asintoticamente alla posizione
di equilibrio.
IL CANDIDATO SVOLGA UNO DEI TEMI, A SCELTA, ED I TRE PROBLEMI, NEL TEMPO
MASSIMO DI TRE ORE.
Temi
1) Il candidato discuta i risultati più rilevanti dell’approssimazione ad elettroni liberi per i
solidi ed i limiti di tale approssimazione.
2) Il candidato discuta i potenziali elettromagnetici e le loro principali proprietà
3) Introdotto il momento angolare in meccanica quantistica, il candidato ne illustri le
proprietà, anche in relazione all’analogo classico.
Problemi
1) Determinare l’autofunzione dello stato fondamentale e la corrispondente energia per un
oscillatore armonico planare (V(x,y)=1/2 k (x2+ y2)) di carica q e massa m in presenza di un campo
elettrico E=E0(i+j), in cui i e j sono i versori degli assi x e y, rispettivamente. Stabilire infine la
degenerazione dello spettro energetico.
2) Una spira rettangolare di massa m, con lati di lunghezza a e b , rispettivamente paralleli all’asse
x ed all’asse y , si muove con velocità iniziale v0 parallela all’asse x, dal semispazio x<0 in cui il
campo di induzione magnetica B è nullo, al semispazio x>0 in cui è presente un campo B uniforme
diretto come l’asse z:
a) determinare l’intensità di corrente ed il verso in cui circola, in funzione del tempo, dal momento
in cui la spira inizia ad entrare nel campo magnetico, fino a quando non è completamente entrata,
supponendo che la spira abbia resistenza elettrica R ma induttanza nulla;
b) ripetere il calcolo di a) supponendo invece la spira dotata di induttanza L ma perfettamente
conduttrice (R=0);
c) ripetere il calcolo di a) supponendo che la spira abbia resistenza R ed induttanza L.
3) Un pendolo semplice di massa m e lunghezza L ha come punto di sospensione una massa M che
può scorrere senza attrito lungo un asse orizzontale x:
a)scrivere la lagrangiana del sistema;
b) approssimare la lagrangiana per il caso di piccole oscillazioni ;
c) ricavare le equazioni di moto e calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni;
d) una delle due equazioni del moto corrisponde ad una legge di conservazione: qual è il significato
fisico della grandezza conservata?
IL CANDIDATO SVOLGA UNO DEI TEMI, A SCELTA, ED I TRE PROBLEMI, NEL TEMPO
MASSIMO DI TRE ORE.
Temi
1) Il candidato illustri il teorema di Bloch e ne discuta sinteticamente le conseguenze.
2) Il candidato descriva il ruolo dei vettori e dei tensori in meccanica classica e relatività
speciale.
3) Il candidato illustri il ruolo e la rilevanza delle simmetrie in meccanica classica ed in
meccanica quantistica.
Problemi
1) La funzione d’onda di una particella in moto lungo l’asse x è data da:
ψ(x)=(2πξ2)-1/4 exp(i/ħ pox –x2/4ξ2)
a) Calcolare la funzione d’onda ψ(p) nella rappresentazione dell’impulso;
b) Verificare che ψ(x) e ψ(p) sono normalizzate;
c) Calcolare i valori medi di x, x2, p, p2 nello stato ψ(x).
N.B.
∫
R
e(-x2/2 s) dx=
√(2s π)
2) Un solenoide rettilineo molto lungo, a sezione circolare di raggio a, possiede n spire per unità di
lunghezza, ed è attraversato dalla corrente che varia nel tempo secondo la i = I sin ωt, con I e
ω costanti. Trascurando gli effetti di bordo e considerando la situazione quasi-stazionaria:
a) calcolare il campo magnetico all’interno del solenoide;
b) calcolare il campo elettrico in tutto lo spazio;
c) calcolare l’energia elettromagnetica per unità di lunghezza all’interno del solenoide.
3) Un pendolo semplice di massa m e lunghezza L ha il punto di sospensione che esegue un moto
armonico di ampiezza A e frequenza angolare ω lungo l’ asse orizzontale x:
a)scrivere la lagrangiana del sistema;
b)scrivere l’ equazione di moto;
c)approssimare la lagrangiana e l’equazione di moto per il caso di piccole oscillazioni;
d)scrivere l’integrale generale dell’equazione di moto e discutere la possibilità di risonanze.
