Lezione 05 CONDENSATORE E` formato da due conduttori

Lezione 05 CONDENSATORE
Componente che si trova nei modelli elettrici di sistemi biologici (membrane)
E’ formato da due conduttori (armature) fra i quali è posto un isolante (dielettrico).
Se sulle armature si portano cariche in valore assoluto uguali a q1, q2, q3, fra le armature si misurerà una d.d.p. uguale a V1, V2, V3.
Si verifica sperimentalmente che il rapporto fra la carica e la d.d.p. rimane costante
Q
dQ
C
C
il rapporto C è chiamato CAPACITA’ del condensatore.
V
dV
La capacità dipende da: Forma, Estensione, distanza fra le armature e tipo di dielettrico.
Unità di misura: C [ FARAD ] 
Coulomb
Volt
I Condensatori sono usati per





Immagazzinare energia elettrica
Negli alimentatori
Generare e rivelare onde e.m. nei circuiti risonanti
Provocare ritardi nella trasmissione di segnali elettrici
Separare le c.a. dalle componenti c.c.
CONDENSATORE PIANO
Se d << L (dimensione armature), il campo elettrico E fra le armature è uniforme (linee di forza parallele e ugualmente spaziate).
Si può dimostrare che per un condensatore piano
C
Q  R 0 S

V
d
Se il condensatore è cilindrico, lungo I, diametro esterno b, diametro interno a, in modo analogo
C
Q 2 0 l

V
b
ln  
a
Possiamo considerare un condensatore formato da una sfera conduttrice di raggio R isolata da
un’altra armatura costituita da una sfera conduttrice di raggio infinito a potenziale nullo.
Il potenziale di una sfera conduttrice isolata sulla quale è presente una carica Q è
V
1 Q
4 0 R
Capacità Terra
C
1F
Q
 4 0 R
V
Energia immagazzinata in un campo elettrico
L’energia potenziale di una configurazione di cariche è il lavoro (+ o -) fatto dal campo quando si
portano le cariche dalla configurazione all’infinito. A  B
Oppure
è il lavoro (+ o -) fatto da un agente esterno per mettere insieme le singole cariche del sistema partendo dall’infinito. B  A
 q (t )
C
 dqVA joule per portare la carica dq da A a  Ovvero
All’istante t sulla armatura A c’è la carica +q (t) e quindi una d.d.p. VAB (t ) 
*il campo svolgerà il lavoro dL   dqVAB
* l'agente esterno (pila) svolgerà lo stesso lavoro per portare la carica + dq da ∞ ad A
Per portare complessivamente la carica + Q l’agente esterno (la pila) compierà un lavoro
Q
Q
q (t )
1 2 1
dq 
Q  CV 2
C
2C
2
0
LA   V (t )dq  
0
1
CV 2   V 2  
 
La densità di energia nel dielettrico sarà u  2
 R 0    R 0 E2
Sd
2 d
2
Questa equazione è valida in generale: se in un punto dello spazio esiste un campo elettrico E, si
1
può pensare che in quel punto sia immagazzinata energia per unità di volume pari a  0 E 2
2
Condensatori in parallelo
Un condensatore C1 con una d. d. p. V0 fra le armature, avrà una carica
q 0  C1 V0
Se a C1 si collega in parallelo un condensatore scarico C2, la carica iniziale q0 sarà ripartita fra le
armature dei due condensatori ai capi dei quali si instaurerà una unica differenza di potenziale V
q 0 = q1 + q 2
q1 = C1V
q 2 = C2 V
q 0 = C1 V+C2 V=(C1 +C2 )V
Ossia
C1  C2 
q0
V
Condensatori in serie
+q -q
V1
V  V1  V2 
CT 
C1C2
C2  C1
q
q

C1 C2
V q(
C  C1
1
1
 )q 2
C1 C2
C1C2
+q -q
V2
Circuito RC
Resistenza
+
V
C
Quale corrente circola nella maglia dopo la chiusura dell’interuttore?
( Conservazione Energia)
Nell’intervallo di tempo dt una carica dq(t) = i(t) dt attraversa il circuito.
Il lavoro dq(0  V )  dqV svolto dalla f.e.m. V nel tempo dt, per il principio di conservazione
dell’energia, deve essere uguale all’energia trasformata in calore da R: R i2dt + l’aumento dU della
energia immagazzinata nel condensatore.
 1 q2 
Vdq  i 2 Rdt  d 

2 C 
Vdq  i 2 Rdt 
Dividendo per dq , si passa ai potenziali
q
dq
C
V i R
Vdq  i Rdq 
q
C
Le due variabili q ed i sono collegate dalla relazione i 
Sostituendo
V R
q
dq
C
dq(t )
dt
dq(t ) q (t )

dt
C
La soluzione ( per V0 cost.) è
q(t )  CV0 (1  e

t
RC
)
V (t ) 
t

q(t )
 V0 (1  e RC )
C
q( t )
dq (t )
è la corrente media, mentre la corrente istantanea è
t
dt
t
V 
i (t )  0 e RC
R
La RC ha le dimensioni di un tempo (l’esponente deve essere adimensionale) ed è chiamata la costante di tempo del circuito.
RC è il tempo necessario affinché la d.d.p. sul condensatore raggiunga il 63% del valore finale
ovvero il tempo affinché la corrente scenda al 37% del valore iniziale.
SCARICA DEL C
Resistenza
Dopo un tempo t >> RC il condensatore è completamente carico: q0 = CV0. Si escluda la pila.
L’equazione per il circuito è semplicemente:
iR 
q(t )
0
C
che ammette come soluzione
R
dq (t ) q (t )

0
dt
C
q(t )  q0 e

t
RC
dove q0 è la carica iniziale q0 = CV0
Per t = RC la carica sul condensatore si è ridotta a q0 e – 1 cioè al 37% della carica iniziale.
La corrente di scarica si ottiene derivando
i
dq
q  t
V t
  0 e RC   0 e RC
dt
RC
R
Il segno negativo significa che il verso della corrente è opposto a quello che si era ipotizzato scrivendo l’equazione iniziale.
dove V0 / R è la corrente iniziale, t = 0.