Capitolo 6

6 Sospensioni cellulari
Il modello più semplice che consente di descrivere la conducibilità elettrica di un tessuto
biologico è quello che fa riferimento a una sospensione di cellule in una soluzione salina.
Maxwell fu il primo scienziato a calcolare la conducibilità di una sospensione di particelle
sferiche in funzione della frazione di volume occupata dalle particelle stesse, mentre
Wagner estese l’analisi al caso di correnti alternate. I risultati ottenuti mostrarono
chiaramente che la presenza di eterogeneità induce una dispersione del materiale. Ficke
estese invece l’analisi al caso di particelle a forma di sferoidi prolati e oblati, ottenendo
delle relazioni in cui compare la dipendenza dal fattore di forma. Quest’ultima è stata
a sua volta estesa per l’interpretazione dei fenomeni legati sia alla presenza di particelle
sferiche contenute all’interno di sfere più grandi sia alle sospensioni di sfere ricoperte di
un sottile strato di materiale avente differenti proprietà dielettriche. Quest’ultimo caso
si presta molto bene a modellare la sospensione di cellule all’interno di fluidi fisiologici.
Si consideri una sospensione di cellule sferiche, ognuna avente raggio a immerse all’interno di una soluzione salina caratterizzata da una conducibilità elettrica σe . Si ipotizzi
inoltre che il fluido conduttore all’interno delle cellule, costituente lo spazio intracellulare, sia caratterizzato da una conducibilità elettrica σi . Si indichi inoltre con f la frazione
di volume intracellulare e cioé il parametro che indica come la cellule sono “impacchettate”. Tale parametro varia tra un valore prossimo a zero (soluzione diluita) ad uno vicino
a 1 (soluzione concentrata). Quando invece le cellule hanno una forma irregolare, essendo più complicato definire un raggio cellulare, è più opportuno specificare il rapporto
superficie-volume del tessuto. Per cellule sferiche tale rapporto vale 3f /a.
Da un punto di vista operativo, è possibile definire una conducibilità elettrica efficace
σef f , della sospensione cellulare, procedendo nel seguente modo:
• si inserisce la sospensione cellulare all’interno di un tubo cilindrico di lunghezza L
e sezione S;
• si applica una differenza di potenziale costante V alle estremità del cilindro;
• si misura la corrente totale, I, che attraversa la sospensione
• si calcola la conducibilità elettrica efficace come g = IL/V A.
La valutazione di una espressione di σef f in termini di parametri microscopici è un
interessente problema elettromagnetico che è stato affrontato da vari scienziati.
178
6.1. Sospensioni diluite di particelle
179
6.1 Sospensioni diluite di particelle
Nelle ipotesi che la concentrazione delle cellule sia bassa (sospensione diluita), che il
campo elettrico sia stazionario e che i mezzi siano privi di perdite, è possibile riportare
il problema al caso di sfere dielettriche, aventi permittività ϵi , immerse in un dielettrico,
caratterizzato da una permittività ϵe . Di conseguenza, utilizzando la (3.181), si ricava
ϵef f − ϵe
ϵi − ϵe
=f
(6.1)
ϵef f + 2ϵe
ϵi + 2ϵe
o equivalentemente
2 (1 − f ) ϵe + (1 + 2f ) ϵi
ϵe
(6.2)
(2 + f ) ϵe + (1 − f ) ϵi
L’equazione (6.2), ricavata in condizioni di regime stazionario, può essere facilmente
estesa al caso di segnali di tipo sinusoidale aventi pulsazione ω. In questa situazione, è
infatti possibile riscrivere la (6.2) sostituendo la conducibilità ϵef f , ϵe e ϵi con le relazioni
complesse ϵ∗ef f , ϵ∗e e ϵ∗i . In particolare, osservando che la permittività complessa e data
dalla relazione
j
j ∗
σ
=−
(σ + jωϵ0 ϵ) = −
σ
ϵ∗ = ϵ − j
ωϵ0
ωϵ0
ωϵ0
è possibile ricavare le equazioni
j
j ∗
ϵ∗ef f = −
(σef f + jωϵ0 ϵef f ) = −
σ
ωϵ0
ωϵ0 ef f
j
j ∗
ϵ∗e = −
(σe + jωϵ0 ϵe ) = −
σ
ωϵ0
ωϵ0 e
j
j ∗
ϵ∗i = −
(σi + jωϵ0 ϵi ) = −
σ
ωϵ0
ωϵ0 i
ϵef f =
che sostituite nelle (6.2) consentono di calcolare
∗
σef
f =
A + jωϵ0 B ∗
[2 (1 − f ) σe + (1 + 2f ) σi ] + jωϵ0 [2 (1 − f ) ϵe + (1 + 2f ) ϵi ] ∗
σe =
σ
[(2 + f ) σe + (1 − f ) σi ] + jωϵ0 [(2 + f ) ϵe + (1 − f ) ϵi ]
C + jωϵ0 D e
con
A = 2 (1 − f ) σe + (1 + 2f ) σi
B = 2 (1 − f ) ϵe + (1 + 2f ) ϵi
C = (2 + f ) σe + (1 − f ) σi
D = (2 + f ) ϵe + (1 − f ) ϵi
da cui
(A + jωϵ0 B) (C − jωϵ0 D) (σe + jωϵ0 ϵe )
C 2 + ω 2 ϵ20 D2
[ (
)
]
σe AC + ω 2 ϵ20 BD − ω 2 ϵ20 ϵe (BC − AD)
=
+
C 2 + ω 2 ϵ20 D2
[ (
)
]
ϵe AC + ω 2 ϵ20 BD + σe (BC − AD)
+ jωϵ0
C 2 + ω 2 ϵ20 D2
∗
σef
f =
Ing. Luciano Mescia
6.1. Sospensioni diluite di particelle
180
Osservando che BC − AD = −9f (σi ϵe − σe ϵi ) si ricava
(
)
σe AC + ω 2 ϵ20 BD + 9ω 2 ϵ20 ϵe f (σi ϵe − σe ϵi )
∗
σef f =
+
C 2 + ω 2 ϵ20 D2
(
)
ϵe AC + ω 2 ϵ20 BD − 9σe f (σi ϵe − σe ϵi )
= σef f + jωϵ0 ϵef f
+ jωϵ0
C 2 + ω 2 ϵ20 D2
e di conseguenza
ϵef f =
=
σef f =
=
(
)
ϵe AC + ω 2 ϵ20 BD − 9σe f (σi ϵe − σe ϵi )
C 2 + ω 2 ϵ20 D2
(
)
ϵe AC + ω 2 ϵ20 BD − 9σe f (σi ϵe − σe ϵi )
[
(
)2 ]
D
C 2 1 + ω 2 ϵ0
C
(
)
σe AC + ω 2 ϵ20 BD + 9ω 2 ϵ20 ϵe f (σi ϵe − σe ϵi )
C 2 + ω 2 ϵ20 D2
(
)
σe AC + ω 2 ϵ20 BD + 9ω 2 ϵ20 ϵe f (σi ϵe − σe ϵi )
[
(
)2 ]
D
C 2 1 + ω 2 ϵ0
C
(6.3)
(6.4)
Quando ω = 0 si ha ϵef f (ω = 0) = ϵs e σef f (ω = 0) = σs
ϵe AC − 9σe f (σi ϵe − σe ϵi )
C2
2σe + σi − 2f (σe − σi )
A
σs = σe = σe
C
2σe + σi + f (σe − σi )
ϵs =
(6.5)
(6.6)
mentre quando ω = ∞ si ha ϵef f (ω = ∞) = ϵ∞ e σef f (ω = ∞) = σ∞
B
2ϵe + ϵi − 2f (ϵe − ϵi )
= ϵe
(6.7)
D
2ϵe + ϵi + f (ϵe − ϵi )
σe BD + 9ϵe f (σi ϵe − σe ϵi )
σ∞ =
(6.8)
D2
Dai risultati ottenuti si osserva che in presenza di segnali statici (ω = 0), la permittività e conducibilità possono essere ricavate dalle (6.5) e (6.6). In particolare, per la
conducibilità elettrica efficace, σef f , della sospensione cellulare si ottiene una relazione
formalmente simile alla (6.2)
ϵ∞ = ϵe
σef f =
2 (1 − f ) σe + (1 + 2f ) σi
σe
(2 + f ) σe + (1 − f ) σi
(6.9)
E’ stato dimostrato che, in condizione di regime stazionario, la membrana cellulare della
maggior parte delle cellule può essere assimilata ad un isolante e perciò, dovendo essere
σi = 0, si ottiene
2 (1 − f )
σef f =
σe
(6.10)
2+f
Ing. Luciano Mescia
6.1. Sospensioni diluite di particelle
181
da cui si osserva che, in questo particolare regime di funzionamento, l’effetto della cellula
nella soluzione salina è soltanto quello di ridurre la conducibilità σe .
Ponendo
D
2ϵe + ϵi + f (ϵe − ϵi )
τ = ϵ0 = ϵ0
(6.11)
C
2σe + σi + f (σe − σi )
osservando che
ϵ20 D2 ϵe B
ϵe ϵ20 BD
ϵ20 ϵ∞ D2
=
= τ 2 ϵ∞
=
C2
C2 D
C2
ricavando dalla (6.5)
9σe f (σi ϵe − σe ϵi )
ϵe A
= ϵs −
C2
C
e sostituendo quanto ottenuto nella (6.3), si ricava
(
)
1
ϵe A
ϵe A
2 2
ϵef f =
+ ω τ ϵ∞ + ϵs −
1 + ω2τ 2
C
C
2
2
ω τ ϵ∞
ϵs
+
=
1 + ω2τ 2 1 + ω2τ 2
−
o equivalentemente
ϵef f = ϵ∞ +
ϵs − ϵ∞
1 + ω2τ 2
(6.12)
Dalla (6.4) si ha invece
σef f
[
]
σe BD + 9ω 2 ϵe f (σi ϵe − σe ϵi )
σs
D2 ω 2 ϵ20
=
+
1 + ω 2 τ 2 (1 + ω 2 τ 2 ) C 2
D2
da cui, sostituendo la (6.8), si ricava
σef f =
σs
ω 2 τ 2 σ∞
+
1 + ω2τ 2 1 + ω2τ 2
o equivalentemente
σef f = σ∞ +
σs − σ∞
1 + ω2τ 2
Per il calcolo di ϵs − ϵ∞ , da (6.5) e (6.7) si ha
B
ϵe AC − 9σe f (σi ϵe − σe ϵi )
− ϵe
2
C
D
−ϵe C (BC − AD) − 9σe f D (σi ϵe − σe ϵi )
=
DC 2
9f Cϵe (σi ϵe − σe ϵi ) − 9σe f D (σi ϵe − σe ϵi )
=
DC 2
9f (σi ϵe − σe ϵi ) (Cϵe − Dσe )
=
DC 2
ϵs − ϵ∞ =
Ing. Luciano Mescia
(6.13)
6.1. Sospensioni diluite di particelle
182
Considerando le relazioni che esprimono C e D, si ricava
Cϵe − Dσe = (2 + f ) ϵe σe + (1 − f ) σi ϵe − (2 + f ) ϵe σe − (1 − f ) ϵi σe
= (1 − f ) (σi ϵe − σe ϵi )
e quindi si ottiene in definitiva
9f (1 − f ) (σi ϵe − σe ϵi )2
DC 2
9f (1 − f ) (σi ϵe − σe ϵi )2
=
[2ϵe + ϵi + f (ϵe − ϵi )] [2σe + σi + f (σe − σi )]2
ϵs − ϵ∞ =
(6.14)
Dalle (6.6) e (6.8) si ottiene
σe A σe BD + 9ϵe f (σi ϵe − σe ϵi )
−
C
D2
−σe D (BC − AD) − 9ϵe f C (σi ϵe − σe ϵi )
=
D2 C
9f Dσe (σi ϵe − σe ϵi ) − 9ϵe f C (σi ϵe − σe ϵi )
=
D2 C
9f (σi ϵe − σe ϵi ) (Cϵe − Dσe )
=−
D2 C
σs − σ∞ =
e quindi in definitiva
σs − σ∞ = −
9f (1 − f ) (σi ϵe − σe ϵi )2
[2σe + σi + f (σe − σi )] [2ϵe + ϵi + f (ϵe − ϵi )]2
(6.15)
Dalla (6.12) e la (6.13) si vede che la conducibilità e permittività equivalnte presentano
delle caratteristiche di dispersione descritte da una equazione di Debye. In particolare,
dalle (6.14)–(6.15) si osserva che si ha una dispersione delle proprietà dielettriche solo
quando σi ϵe ̸= σe ϵi , cosa che accade praticamente sempre.
Dalla (6.6), ponendo σi /σe = x, si ricava
σs = σe
2 + x − 2f (1 − x)
2 + x + f (1 − x)
da cui, sviluppando in serie intorno a x = 0, e considerando il caso in cui x ≪ 1 o
equivalentemente σi ≪ σe , si ottiene la formula approssimata
9f
2 (1 − f )
σe +
σef f (ω = 0) = σs ∼
σi
=
2+f
(2 + f )2
(6.16)
Essendo la (6.6) formalmente identica alla (6.2) è possibile effetuare un ragionamento
analogo per la permittività ed ottenere, nel caso in cui ϵi ≪ ϵe , di conseguenza
ϵef f (ω = 0) ∼
=
Ing. Luciano Mescia
2 (1 − f )
9f
ϵe +
ϵi
2+f
(2 + f )2
(6.17)
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
183
Dalle (6.16)–(6.17), si osserva che, in regime statico, le proprietà dielettriche della sospensione sono pari alla media pesata delle corrispondenti proprietà dielettriche dei materiali
che la costituiscono.
Il modello sviluppato può essere esteso al caso più generale in cui le particelle (cellule)
sono assimilabili a sferoidi aventi un generico rapporto assiale. L’equazione finale è
formalmente simile alla (6.1) a patto di considerare un parametro che tiene conto della
forma
ϵ∗ef f − ϵ∗e
ϵ∗i − ϵ∗e
=
f
(6.18)
ϵ∗ef f + F ϵ∗e
ϵ∗i + F ϵ∗e
dove F è il fattore di forma che è pari a 2 per le particelle sferiche e pari a 1 per le
particelle cilindriche orientate nella direzione perpendicolare al campo elettrico applicato.
Infine, l’equazione (6.1) può essere generalizzata al caso di particelle sferiche di raggio
R1 contenute all’interno di una particella sferica più grande di raggio R
ϵ∗ef f − ϵ∗e
ϵ∗ef f + 2ϵ∗e
(
=
R1
R
)3
ϵ∗i − ϵ∗e
ϵ∗i + 2ϵ∗e
(6.19)
dove f = (R1 /R)3 è la frazione di volume della sfera più grande occupata dalle particelle
più piccole. Si osservi che la (6.19) non può essere utilizzata per descrivere sistemi in
cui le particelle sono vicine tra loro. Infatti, in questi ultimi casi è necessario effettuare
l’espansione in serie di multipoli del campo elettrico agente sulla particella e considerare
i termini di ordine superiore per l’inclusione del contributo dato da gruppi di particelle
vicine.
6.2 Particelle ricoperte da una membrana
Come è noto su entrambi i lati della membrana cellulare sono presenti ioni liberi (K+ ,
Na+ , Cl− , Ca2+ ) che i) controllano il volume della cellula tramite la generazione di forze
osmotiche che regolano l’entrata e l’uscita delle molecole d’acqua, ii) hanno un ruolo
importante in differenti processi di trasduzione del segnale e iii) creano un forte campo
elettrico all’interno della membrana cellulare. In particolare, essi non interessano solo la
membrana plasmatica più esterna, ma anche le membrane più interne come quelle dei
mitocondri, cloroplasti, reticoli endoplasmatici e apparati di Golgi.
Generalmente, il flusso di ioni attraverso le membrane cellulari è causato sia da forze
legate alla diversa concentrazione di ioni sia al gradiente di tensione tra i due lati della
membrana. Più precisamente, in condizione di equilibrio, il flusso netto di ioni che attraversa la membrana è nullo e la tra la superficie esterna ed interna della membrana
cellulare si instaura una differenza di potenziale che è il risultato del bilancio tra le forze
elettriche e osmotiche. E’ quindi chiaro che l’esposizione di una cellula biologica a un
campo elettrico induce delle perturbazioni al potenziale di transmembrana che possono
genarare variazioni biochimiche e fisiologiche della cellula. In particolare, se l’applicazione dello stimolo elettrico fa superare il valore di soglia del potenziale di transmembrana
è possibile stimolare l’apertura di pori nella membrana plasmatica. Tale fenomeno, è
Ing. Luciano Mescia
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
184
Ea
r
R
θ
h
x
σi
σm
σe
Figura 6.1: Modello statico della cellula
detto elettropermeabilizzazione o elettroporazione ed ha importanti effetti sulla fisiologia
e morfologia della cellula in quanto consente a ioni, molecole di DNA, proteine e droghe,
che normalmente non possono penetrare all’interno della membrana, di penetrare sia
all’interno della cellula sia all’interno della membrana cellulare. Il campo elettrico può
inoltre essere utilizato per sviluppare tecniche per la caratterizzazione delle proprietà
delle cellule biologiche e dei loro costituendi sia in sospensioni sia nei tessuti. Infatti,
variando la frequenza di un campo elettrico rotante è possibile misurare l’andamento
della velocità angolare cellulare in funzione della frequenza (spettro elettrorotazionale),
mentre applicando un campo elettrico alternato non uniforme è possibile ricavare la
velocità di traslazione cellulare in funzione della frequenza (spettro dielettroforetico).
Da quanto esposto, risulta evidente che lo studio dell’interazione del campo elettrico
con le sospensioni cellulari è un aspetto teorico di fondamentale importanza in quanto
consente la corretta interpretazione di differenti tipi di risposte biofisiche e biochimiche.
In particolare, considerando che i) un campo elettrico statico può causare all’interno
della cellula una polarizzazione costante lungo una determinata direzione e ii) che un
campo elettrico oscillante induce forze di vibrazione sugli ioni liberi posti su entrambi
i lati della membrana, è chiaro che tale studio deve deve condurre alla messa a punto
di modelli matematici di tipo dinamico. Infatti, basta pensare che la dissipazione di
potenza elettromagnetica all’interno della cellula dipende fortemente dalla frequenza del
segnale elettrico esterno e che, in generale, un campo elettromagnetico con modulazione
ad impulsi è più bioattivo di un campo continuo con stesse caratteristiche.
6.2.1 Modello statico
Si consideri per semplicità il caso in cui la cellula sia assimilabile a una sfera di raggio R
ricoperta da un sottile strato di spessore h, e che il campo elettrico applicato sia statico
e di valore costante Ea . Si ipotizzi inoltre che il citoplasma, la membrana cellulare e il
Ing. Luciano Mescia
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
185
mezzo extracellulare siano assimilabili a dei mezzi puramente conduttivi caratterizzati
rispettivamente da una conducibilità elettrica σi , σm e σe (vedi figura 6.1).
Con riferimento alle considerazioni fatte per lo studio della sfera dielettrica immersa
in un campo elettrico uniforme, il potenziale nei vari mezzi è dato dalle relazioni
ϕe (r, θ) = −Ea r cos θ +
∞
∑
An r−n−1 Pn (cos θ)
(6.20)
n=0
ϕm (r, θ) =
ϕi (r, θ) =
∞
∑
(
n=0
∞
∑
)
Bn rn + Cn r−n−1 Pn (cos θ)
Dn rn Pn (cos θ)
(6.21)
(6.22)
n=0
da cui imponendo le condizioni al contorno
Φe |r=R = Φm |r=R
∂Φe ∂Φm = σm
σe
∂r ∂r r=R
σm
r=R
Φm |r=R−h = Φi |r=R−h
∂Φm ∂Φi = σi
∂r r=R−h
∂r r=R−h
si ottiene
(
) (
)
(
)
(
)
A1
C1
A2
C0
C2
A0
+ −Ea R + 2 P1 + 3 P2 + . . . = B0 +
+ B1 R + 2 P1 + B2 R2 + 3 P2 + . . .
R
R
R
R
R
R
)
(
)
(
) (
C
C0
C1
2
B0 +
+ B1 R1 + 2 P1 + B2 R12 + 3 P2 + . . . = D0 + D1 R1 P1 + D2 R12 P2 + . . .
R1
R1
R1
[
(
)
]
[
(
)
(
)
]
A0
2A1
3A2
C0
2C1
3C2
σe − 2 + −Ea − 3 P1 − 4 P2 + . . . = σm − 2 + B1 − 3 P1 + 2B2 R − 4 P2 + . . .
R
R
R
R
R
R
(
)
(
)
]
[
2C1
3C2
C0
σm − 2 + B1 − 3 P1 + 2B2 R1 − 4 P2 + . . . = σi [D1 P1 + 2D2 R1 P2 + . . .]
R1
R1
R1
con R1 = R − h, e da cui ugualiando i coefficienti dei vari polinomi si ottiene A0 = B0 =
C0 = 0, An = Bn = Cn = 0 per n > 1 e
A1
C1
= B1 + 3
3
R
(R
σm
2A1
B1 −
−Ea − 3 =
R
σe
C1
D1 = B1 + 3
R
( 1
σm
D1 =
B1 −
σi
−Ea +
Ing. Luciano Mescia
2C1
R3
)
(6.23)
(6.24)
(6.25)
2C1
R13
)
(6.26)
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
186
Eliminando A1 dalle (6.23)–(6.24) e D1 dalle (6.25)–(6.26) si ottiene
B1 +
C1 σi + 2σm
=0
R13 σi − σm
− 3Ea σe − B1 (2σe + σm ) +
(6.27)
2C1
(σm − σe ) = 0
R3
(6.28)
ed eliminando ancora B1 si ricava
C1 =
3Ea σe R13 (σi − σm )
(2σe + σm ) (2σm + σi ) + 2w (σi − σm ) (σm − σe )
(6.29)
con w = (R1 /R)3 . Sostituendo (6.29) in (6.27) si ha
B1 = −
3Ea σe (σi + 2σm )
(2σe + σm ) (2σm + σi ) + 2w (σi − σm ) (σm − σe )
(6.30)
mentre sostituendo (6.29)–(6.30) in (6.23) e(6.25) si ha
D1 = −
9Ea σe σm
(2σe + σm ) (2σm + σi ) + 2w (σi − σm ) (σm − σe )
A1 = Ea R 3
(2σm + σi ) (σm − σe ) + w (2σm + σe ) (σi − σm )
(2σe + σm ) (2σm + σi ) + 2w (σi − σm ) (σm − σe )
(6.31)
(6.32)
In definitiva il potenziale è dato dalle relazioni
A1
ϕe (r, θ) = −Ea r cos θ + 2 cos θ
)r
(
C1
ϕm (r, θ) = B1 r + 2 cos θ
r
ϕi (r, θ) = D1 r cos θ
(6.33)
(6.34)
(6.35)
con A1 , B1 , C1 , D1 dati dalle (6.29)–(6.32).
Per quantificare la perturbazione al potenziale di transmembrana causata dall’applicazione di un campo elettrico esterno è necessario calcolare la differenza di potenziale
ai capi della membrana cellulare ∆ϕ = ϕm (R1 ) − ϕm (R). In particolare, utilizzando la
(6.34) si ottiene, dopo una serie di operazioni algebriche, la relazione
∆ϕ(θ) = fs Ea R cos θ
[
(
)
]
3σe 3R2 hσi + 3Rh2 − h3 (σm − σi )
dove
fs =
R3 (2σe + σm ) (2σm + σi ) + 2 (R − h)3 (σi − σm ) (σm − σe )
(6.36)
(6.37)
Nelle normali condizioni fisiologiche si ha σi = 0.3 S·m−1 , σm = 3 × 10−7 S·m−1 e
σe = 1.2 S·m−1 (vedi Tab. 6.1), e di conseguenza, essendo σi , σe ≫ σm e R ≫ h, si
può utilizzare l’approssimazione fs ≈ 1.5. In figura 6.2 è rappresentato l’andamento
Ing. Luciano Mescia
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
187
−3
3
x 10
Potenziale φ (V/m)
2
1
−3
∆φ ≈1.5×10
m
V/m
0
−1
−2
−3
−20
Esterno
cellula
−10
Interno
cellula
0
x (m)
Esterno
cellula
10
20
Figura 6.2: Andamento del potenziale nei mezzi extracellulare, intracellulare e nella membrana
cellulare per un campo elettrico esterno di 100 V·m−1 , raggio della cellula R=10
µm, e spessore della membrana cellulare h= 5 nm.
Tabella 6.1: Valori di permittività e conducibilità utilizzati nelle simulazioni
Parametri
Raggio cellula
Spessore membrana
Conducibilità citoplasma
Conducibilità membrana
Conducibilità mezzo extracellulare
Permittività citoplasma
Permittività membrana
Permittività mezzo extracellulare
Simbolo
Valore
R
h
σi
σm
σe
ϵi
ϵm
ϵe
10
5
0.3
3 × 10−7
1.2
6.4 × 10−10
4.4 × 10−11
6.4 × 10−10
Unità misura
µm
nm
S·m−1
S·m−1
S·m−1
As/Vm
As/Vm
As/Vm
del potenziale all’esterno e all’interno di una cellula avente raggio R=10 µm, e spessore della membrana cellulare h= 5 nm, quando e applicato un campo elettrico esterno
Ea = 100 V·m−1 . E’ evidente che la membrana cellulare scherma efficacemente l’interno
della cellula dall’applicazione di un campo elettrico esterno. Infatti, all’interno della
cellula il potenziale segue l’andamento di una retta decrescente avente una pendenza
estremamente bassa e perciò il campo elettrico indotto è praticamente trascurabile. Comunque, in molti esperimenti in vitro questo tipo di approssimazione non può essere
utilizzata in quanto sono impiegati mezzi a bassa conducibilità elettrica. Ricordando che il campo elettrico è dato dalla relazione E = −∇ϕ, si ha che all’interno della
membrana e per θ = 0, il campo elettrico è una funzione di 1/r3 . In questo caso, è
comunque possibile ricavare una semplice relazione che esprime il campo elettrico medio
Ing. Luciano Mescia
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
188
Em all’interno della membrana. Infatti, osservando che
∫ R
∫ R1
Em h = −
∇ϕm dr =
∇ϕm dr
R1
R
è osservando che per θ = 0 il potenziale all’interno della membrana è solo funzione della
coordinata radiale r, si ottiene
∫ R1
dϕm
dr = ϕm (R1 ) − ϕm (R) = ∆ϕ(θ = 0)
Em h =
dr
R
da cui
∆ϕ(θ = 0)
fs Ea R
=
h
h
e nelle normali condizioni fisiologiche
Em =
Em =
1.5Ea R
h
(6.38)
(6.39)
Essendo h ≪ R è possibile utilizzare la relazione
( )3 (
)
R1
h 3
h
= 1−
≈1−3
R
R
R
e perciò si ricava
D = (2σe + σm ) (2σm + σi ) + 2w (σi − σm ) (σm − σe )
(
)
h
≈ (2σe + σm ) (2σm + σi ) + 2 1 − 3
(σi − σm ) (σm − σe )
R
da cui
D
h
≈ σm (σi − 2σe ) − 2 (σi − σm ) (σm − σe )
3
R
La differenza tra il campo elettrico ai due lati della membrana e per θ = 0 è data dalla
relazione
dϕm dϕm 2C1
2C1
∆E = E(R) − E(R1 ) = −
+
= −B1 + 3 + B1 + 3
dr r=R
dr r=R1
R
R1
(
)
1
1
= −2C1
−
R13 R3
e considerando l’approssimazione h ≪ R si ottiene
[
( )3 ]
R1
2Ea σe (σi − σm ) h
2Ea σe (σi − σm )
1−
≈ −3
∆E ≈ −
D/3
R
D/3
R
≈ −3
Ing. Luciano Mescia
2Ea σe (σi − σm )
h
h R
σm (σi − 2σe ) − 2 (σi − σm ) (σm − σe )
R
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
189
e essendo inoltre σm ≪ σi , σe si ha σm (σi − 2σe ) ≈ 0 e di conseguenza
∆E ≈ 3Ea
(6.40)
In definitiva per θ = 0, è possibile calcolare il rapporto tra la differenza di campo elettrico
e il campo elettrico medio tramite la relazione
Em
R
≈
∆E
2h
(6.41)
cioé la differenza di campo elettrico è R/2h volte inferiore al campo elettrico medio.
La dissipazione di potenza per unità di volume è data dalla relazione
{
2 }
(6.42)
P (ω) = ℜ σ(ω) E dove E è √
il valore efficace del campo elettrico tale che E = E, per i campi statici (DC),
e E = E/ 2 per i campi alternati (AC). Di conseguenza, la potenza dissipata nel mezzo
extracellulare, all’interno della membrana cellulare e nel citoplasma sono date da
Pe = σe Ea 2
Pm = σm
[
Pi = σi
fs2 Ea2 R2
h2
9Ea σe σm
(2σe + σm ) (2σm + σi ) + 2w (σi − σm ) (σm − σe )
(6.43)
(6.44)
]2
(6.45)
Utilizzando un campo elettrico esterno pari a 100 V·m−1 si ottiene Pm = 2.69 × 104 W·m−3
e Pe = 1.2 × 104 W·m−3 . Osservando inoltre che Pm /Pe è indipendente dal campo elettrico applicato, si deduce che nell’approssimazione statica la potenza dissipata all’interno
della membrana cellulare è tipicamente superiore a quella dissipata nel mezzo extracellulare. Inoltre, considerando l’effetto di schermatura della membrana cellulare, si ha che
la potenza dissipata nel citoplasma (Pi = 1.7 × 10−3 W·m−3 ) è molti ordini di grandezza
inferiore a Pm e Pe .
Con riferimento all’esposizione a campi statici, ci sono almeno due fattori che la differenziano dall’esposizione a campi sinusoidali. Innanzitutto l’esposizione a campi statici
non da luogo a correnti dirette che attraversano l’oggetto esposto, ma produce solo
correnti di polarizazione di breve durata. L’instaurarsi di una corrente diretta si può
avere solo se l’oggetto è in contatto conduttivo con la sorgente del campo statico. In
particolare, nei casi reali, le esposizioni ai campi statici sono limitate alle scariche che
si creano quando due oggetti materiali carichi vengono in contatto tra loro, e la dissipazione di potenza è causata dalle correnti transitorie di scarica. Il secondo fattore
di differenziazione è che l’esposizione a campi statici è sempre accompagnata da effetti
elettrolitici. Sia i materiali rilasciati dagli elettrodi sia le variazioni elettrochimiche del
mezzo modificano la conducibilità elettrica all’interno delle sospensioni cellulari e dei
tessuti biologici esposti. Più è lunga l’esposizione maggiore è la variazione di conducibilità elettrica. Tali considerazioni, non consentono l’utilizzo del modello statico per la
valutazione della dissipazione di potenza eccetto che per esposizioni di durata massima
di svariati millisecondi.
Ing. Luciano Mescia
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
190
6.2.2 Modello dinamico
La valutazione analitica della differenza di potenziale ai capi della membrana cellulare
indotta dall’applicazione di un campo elettrico variabile nel tempo è basata su due
ipotesi: 1) la forma della cellula è sferica, 2) il campo elettrico applicato è omogeneo e
definito come il rapporto tra la differenza di potenziale e la distanza tra due elettrodi
piani e paralleli nell’ipotesi in cui la distanza tra i piatti è molto minore della loro
dimensione.
Come è noto ogni materiale è caratterizzato da una permittività elettrica. Di conseguenza, quando si applica un campo elettrico variabile nel tempo, il potenziale indotto
sul materiale è composto da due componenti: una (causata dalla conducibilità elettrica del materiale) proporzionale all’ampiezza del campo elettrico e l’altra (causata dalla
permittività elettrica del materiale) proporzionale alla derivata temporale del campo
elettrico. Di conseguenza, per tener conto di questo comportamento è utile introdurre
l’operatore ammettenza
d
Λ=σ+ϵ
(6.46)
dt
Considerando la funzione fs definita dalla (6.37), e sostituendo le ammettenze del
citoplasma (Λi ), della membrana cellulare (Λm ) e del mezzo extracellulare (Λe ) si ricava
[
(
)
]
3Λe 3R2 hΛi + 3Rh2 − h3 (Λm − Λi )
F =
(6.47)
R3 (2Λe + Λm ) (2Λm + Λi ) + 2 (R − h)3 (Λi − Λm ) (Λm − Λe )
dove Fs è funzione dei tre operatori differenziali Λi , Λm , Λe e può essere trattata come
un operatore differenziale di ordine superiore. Allo scopo di eliminare le complicazioni
analitiche derivante dall’utilizzo di questi operatori differenziali, è conveniente trasferire
il problema nello spazio della frequenza complessa dove l’operazione di derivazione è
sostituuita da una moltiplicazione per la frequenza complessa denotata con s. In questo
nuovo spazio, l’operatore ammettenza si trasforma in
Λ = σ + ϵs
(6.48)
e la (6.47) in una espressione del tipo
F (s) =
dove
a3 s2 + a2 s + a1
b3 s2 + b2 s + b1
[ (
)
(
)]
a1 = 3hσe σi 3R2 − 3hR + h2 + σm 3hR − h2
[
(
)
(
)]
a2 = 3h (σi ϵe + σe ϵi ) 3R2 − 3hR + h2 + (σm ϵe + σe ϵm ) 3hR − h2
[ (
)
(
)]
a3 = 3hϵe ϵi 3R2 − 3hR + h2 + ϵm 3hR − h2
3
b1 = R (σm + 2σe ) (σi + 2σm ) + 2 (R − h) (σm − σe ) (σi − σm )
3
(6.49)
(6.50a)
(6.50b)
(6.50c)
(6.50d)
b2 = R3 [σi (ϵm + 2ϵe ) + σm (ϵi + 4ϵm + 4ϵe ) + 2σe (ϵi + 2ϵm )] +
+ 2 (R − h)3 [σi (ϵm − ϵe ) + σm (ϵi − 2ϵm + ϵe ) − σe (ϵi − ϵm )]
b3 = R3 (ϵm + 2ϵe ) (ϵi + 2ϵm ) + 2 (R − h)3 (ϵm − ϵe ) (ϵi − ϵm )
Ing. Luciano Mescia
(6.50e)
(6.50f)
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
191
Considerando la (6.36) e la (6.49) si ricava che la differenza di potenziale ai capi della
membrana cellulare normalizzata al valore di R è data dalla relazione
∆ϕ(s)
= F (s)Ea (s) cos θ
R
(6.51)
dove ∆ϕ(s) e Ea (s) sono rispettivamente le trasformate di Laplace di ∆ϕ(t) e Ea (t).
Il prodotto F (s)Ea (s) rappresenta ∆ϕ(s)/R a θ = 0, e la sua antitrasformata consente
di ricavare l’evoluzione temporale della differenza di potenziale ai capi della membrana
cellulare.
La (6.49) può anche essere espressa in termini degli zeri della funzione a numeratore
e denominatore. In particolare, osservando che
√
a2 − a22 − 4a1 a3
z1 =
(6.52)
2a
√ 3
a2 + a22 − 4a1 a3
z2 =
(6.53)
2a
√ 3
b2 − b22 − 4b1 b3
p1 =
(6.54)
2b3
√
b2 + b22 − 4b1 b3
p2 =
(6.55)
2b3
la (6.49) assume la forma
F (s) =
a3 (s + z1 ) (s + z2 )
b3 (s + p1 ) (s + p2 )
(6.56)
o equivalentemente
F (s) = K
(1 + sτ2 ) (1 + sτ4 )
(1 + sτ1 ) (1 + sτ3 )
(6.57)
dove
a1
= fs
b1
1
2a
√ 3
τ2 =
=
z1
a2 − a22 − 4a1 a3
2a
1
√ 3
τ4 =
=
z2
a2 + a22 − 4a1 a3
1
2b
√ 3
τ1 =
=
p1
b2 − b22 − 4b1 b3
K=
τ3 =
1
2b
√ 3
=
p2
b2 + b22 − 4b1 b3
(6.58)
(6.59)
(6.60)
(6.61)
(6.62)
Impulso rettangolare
I campi elettrici impulsivi di forma rettangolare sono spesso utilizzati per applicazioni di
elettroporazione e elettrofusione. Inizialmente, sarà valutato l’andamento temporale del
Ing. Luciano Mescia
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
192
potenziale di transmembrana indotto da un impulso rettangolare ideale. In particolare,
sarà calcolata la risposta al segnale a gradino visto che una opportuna sovrapposizione
di tali segnali può generare l’impulso rettangolare ideale.
Per il segnale a gradino di ampiezza E0 si ha Ea (s) = E0 /s e di conseguenza la
differenza di potenziale normalizzata è data dalla relazione
∆ϕ(s)
a3 (s + z1 ) (s + z2 )
A
B
C
= E0
= +
+
R
b3 s (s + p1 ) (s + p2 )
s
(s + p1 ) (s + p2 )
o equivalentemente
∆ϕ(s)
A+B+C
=
−B
R
s
(
1
1
−
s s + p1
)
(
−C
1
1
−
s s + p2
)
dove
∆ϕ(s)
a3
(s + z1 ) (s + z2 )
= E0 lim
R
b3 s→0 (s + p1 ) (s + p2 )
a3
(s + z1 ) (s + z2 )
∆ϕ(s)
B = lim (s + p1 )
= E0
lim
s→−p1
R
b3 s→−p1
s (s + p2 )
∆ϕ(s)
a3
(s + z1 ) (s + z2 )
C = lim (s + p2 )
= E0
lim
s→−p2
R
b3 s→−p2
s (s + p1 )
A = lim s
s→0
In particolare, osservando che A + B + C = a3 /b3 ed effettuando l’operazione di antitrasformazione si ricava



a1 b2
a3 b2 
t 
− a2 +
−



1
a3  a1
a3
∆ϕ(t)
2b1
2b3  
τ 
= L−1 [∆ϕ(s)] = E0 
 b3 +  2b1 − 2b3 + √b2 − 4b b
 1−e 1
R
R
1
3
2



a3 b2 
a1 b2
t 
−
a
+
2
−
 a1

a3
2b1
2b3 
 1 − e τ3  U (t)
√
+
−
−
 2b1 2b3

b22 − 4b1 b3 
(6.63)
dove U (t) è la funzione gradino unitario.
Un impulso rettangolare di ampiezza E0 e durata T può essere rappresentato come la
sovrapposizione di due segnali a gradino: uno di ampiezza E0 e l’altro di ampiezza −E0
e ritardato di T rispetto al primo.
I(t) = E0 U (t) − E0 U (t − T )
Considerando che la trasformata di Laplace e la trasformata inversa di Laplace sono delle
operazioni lineari, la risposta ∆ϕ(t)I /R indotta dal segnale I(t) può essere ottenuta dalla
Ing. Luciano Mescia
2
Tempo (µs)
3
0.5
1
2
Tempo (µs)
3
4
1
2
Tempo (µs)
3
4
1
2
Tempo (µs)
3
4
1.5
0.5
1
2
Tempo (µs)
3
1
0.5
0
0
4
1
1.5
0.5
0
0
1
0
0
4
∆φ (V)
Ea × 105 (V/m)
1
1
0
0
Ea × 105 (V/m)
∆φ (V)
0.5
0
0
193
1.5
1
∆φ (V)
Ea × 105 (V/m)
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
1
2
Tempo (µs)
3
4
1
0.5
0
0
Figura 6.3: Potenziale di membrana in funzione del tempo per tre valori differenti della durata
dell’impulso rettangolare: procedendo dall’alto verso il basso T = 0.5 µs, T = 1 µs,
T = 1.5 µs.
somma delle risposte parziali corrispondenti ad ogni segnale a gradino che compone il
segnale ad impulso
[
]
∆ϕ(t)I
∆ϕ(t)
∆ϕ(t − T )
= E0
U (t) −
U (t − T )
R
R
R
In figura 6.3 sono rappresentati la risposte ∆ϕ(t)I /R per tre differenti valori della durata
del gradino: T = 0.5 µs, T = 1 µs, T = 1.5 µs Si osserva che all’aumentare della
durata dell’impulso la differenza di potenziale ai capi della membrana cellulare tende a
stabilizzarsi al valore costante fs corrispondente alla situazione di segnale stazionario.
6.2.3 Modello in regime simusoidale
Considerando la teoria sviluppata nel paragrafo precedente è molto semplice valutare il
potenziale dimembrana indotto dall’applicazione di un campo elettrico di tipo sinusoidale
avente frequenza f = ω/2π. Infatti, per questo tipo di segnale la frequenza complessa è
un numero immaginario e di conseguenza l’operatore ammettenza definito dalla (6.48)
diventa
Λ= σ + jωϵ
(6.64)
Considerando che
Ing. Luciano Mescia
∆ϕ(s, θ)
R
= F (s)Ea (s) cos θ
d
h
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
194
e che dalla (6.38) si ha
R
cos θ
h
è possibile ricavare l’amplificazione del campo elettrico esterno nella membrana a θ = 0
per mezzo della relazione
R
Em (s)
= F (s)
GE (s) =
Ea (s)
h
Em (s, θ) = F (s)Ea (s)
che nel dominio sinusoidale assume la forma
GE (ω) =
R
F (ω)
h
Di conseguenza effettuando nelle (6.47) le sostituzioni la Λm = σm +jωϵm , Λi → σi +jωϵi
e Λe → σe + jωϵe si ottiene
F (ω) =
a3 (jω)2 + a2 (jω) + a1
(1 + jωτ2 ) (1 + jωτ4 )
=K
2
(1 + jωτ1 ) (1 + jωτ3 )
b3 (jω) + b2 (jω) + b1
(6.65)
o equivalentemente sotto forma di somma di fratti semplici come
F (ω) = K0 +
K2
K1
+
1 + jωτ1 1 + jωτ3
(6.66)
dove
K0 =
a1
b1
K1 = √
K2 = √
(6.67)
3
b22 − 4b1 b3
3
b22 − 4b1 b3
(
(
a1 b3 − a3 b1
a2 b3 − a3 b2
√
2b3
b2 − b22 − 4b1 b3
a2 b3 − a3 b2
a1 b3 − a3 b1
√
2b3
b2 + b22 − 4b1 b3
)
(6.68)
)
(6.69)
Allo scopo di evidenziare le proprietà della funzione GE (ω) è conveniente considerare
alcune condizioni fisiologiche. In paricolare, dai valori riportati in tabella 6.1 si osserva
che 1) la conducibilità della membrana cellulare è almeno 6 ordini di grandezza inferiore
alla conducibilità del citoplasma e del mezzo exstracellulare, 2) lo spessore della membrana cellulare è circa 3 ordini di grandezza inferiore rispetto al raggio della cellula. Di
conseguenza, l’eliminazione di σm nelle relazioni in cui compare in operazioni di somma
con σi e σe , e l’approssimazione R − h ≈ R danno luogo ad un errore avente orine di
grandezza di svariate parti per miliardo. E’ inoltre importante precisare che nei termini
che includono sia i parametri della conducibilità sia i parametri dimensionali è opportuno
applicare prima l’approssimazione 1) e poi l’approssimazione 2). Infatti, l’errore che si
commette con l’approssimazione 1) è molto più piccolo di quello commesso applicando
l’approssimazione 2). Fatte queste premesse, dalla (6.50a) si ha ad esempio
[
(
)]
[
]
a1 = 3hσe 3R2 σi + (σm − σi ) 3hR − h2 ≈ 3hσ1 σe 3R (R − h) − h2 ≈ 9hR2 σe σi
(6.70)
Ing. Luciano Mescia
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
195
e procedendo in modo analogo con le (6.50b)–(6.50f) si ricava
a2 ≈ 9hR2 (σi ϵe + σe ϵi )
(6.71)
a3 ≈ 9hR ϵe ϵi
2
(6.72)
b1 ≈ 3hR σm (σi + 2σe ) + 6R hσi σe
(6.73)
b2 ≈ 3hR ϵm (σi + 2σe ) + 6R h (σi ϵe + σe ϵi )
(6.74)
b3 ≈ 3hR3 ϵm (ϵi + 2ϵe ) + 6R2 hϵi ϵe
(6.75)
3
2
3
2
Sostituendo le (6.70)–(6.75) nelle (6.59)–(6.63) si ottiene
K≈
3
2
ϵm
h 2σi σe
+ σm
R σi + 2σe
ϵi + 2ϵe
τ2 ≈ τ3 ≈ τ4 =
σi + 2σe
τ1 ≈
(6.76)
(6.77)
(6.78)
Modello del 1◦ ordine
Nell’approssimazione al primo ordine la membrana cellulare è considerata come un mezzo
dielettrico con perdite (σm + jωϵm ) mentre sia il citoplasma che il mezzo extracellulare
sono caratterizzati da un comportamento conduttivo (ϵi = ϵe = 0). Pertanto, sostituendo
nella (6.78) si ottiene che la differenza di potenziale ai capi della membrana cellulare è
1
3
∆ϕ(ω) ≈ Ea R
2
1 + jωτ1
(6.79)
3 R
1
Em (ω) ≈ Ea
2
h 1 + jωτ1
(6.80)
In figura 6.4 è rappresentato l’andamento del rapporto tra il campo elettrico medio
all’interno della membrana cellulare e il campo elettrico applicato (|GE (ω)| = |Em /Ea |)
al variare della frequenza angolare per il modello del primo ordine. In particolare,
si osserva che per frequenze inferiori a 100 kHz il campo elettrico medio all’interno
della membrana è costante, mentre per frequenze superiori a ωm diminuisce linearmente
all’aumentare della frequenza. Procedendo come nel caso statico e considerando il valore
efficace del campo elettrico, si ha che la potenza dissipata nei vari mezzi è data dalle
relazioni
1
Pe = σe Ea 2
2
1
f 2 E 2 R2
Pm = ℜ{e
σm } s a2
2
2h
1 + ω 2 τm
2
9E
σ
σ
e
a
e
m
Pi = σi (2σe + σ
em ) (2e
σm + σi ) + 2w (σi − σ
em ) (e
σm − σe ) Ing. Luciano Mescia
(6.81)
(6.82)
(6.83)
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
196
4
10
3
|Em/Ea|
10
2
10
1
10
ω=ω
m
0
10 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Frequenza angolare ω (rad/s)
Figura 6.4: Rapporto |Em /Ea | al variare della frequenza angolare ω per il modello del primo
ordine.
con σ
em = σm + jωϵm . In Figura 6.5 sono rappresentati gli andamenti in funzione
della frequenza
angolare delle potenze Pm , Pi e Pe per un campo elettrico applicato
√
Ea = 2 × 100 V·m−1 . Si osserva che la potenza dissipata nel mezzo extracellulare è
indipendente dalla frequenza. Per frequenze f > 1 MHz, la potenza dissipata all’interno
della membrana è trascurabile. La potenza dissipata nel citoplasma è trascurabile a
bassa frequenza e al di sopra di qualche MHz, visto che l’effetto di schermatura della
membrana è attenuato, aumenta fino a stabilizzarsi ad un valore pari a circa il 45 %
della potenza dissipata nel mezzo extracellulare. Si fa osservare che il modello del primo
ordine ignora le proprietà capacitive sia del citoplasma sia del mezzo extracellulare e
considera solo la dissipazione di potenza per conduzione. Pertanto, tale modello può
essere utilizzato solo per valutare la dissipazione di potenza fino a frequenze di qualche
MHz.
Modello del 2◦ ordine
Nell’approssimazione al secondo ordine il mezzo extracellulare, la membrana cellulare e
il citoplasma sono considerati come mezzi dielettrici con perdite. Pertanto, effettuando
nella (6.37) le sostituzioni la σm → σm + jωϵm , σi → σi + jωϵi e σe → σe + jωϵe
e considerando le (6.76)–(6.78) si ottiene che la differenza di potenziale ai capi della
membrana cellulare è
1 + jωτ2
3
(6.84)
∆ϕ(ω, θ) = Ea R cos θ
2
1 + jωτ1
3 R 1 + jωτ2
Em (ω) = Ea
2
h 1 + jωτ1
(6.85)
In figura 6.6 è rappresentato l’andamento del rapporto tra il campo elettrico medio
all’interno della membrana cellulare e il campo elettrico applicato (|GE (ω)| = |Em /Ea |)
al variare della frequenza angolare per il modello del secondo ordine (curva continua) e
Ing. Luciano Mescia
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
197
5
10
P
e
4
10
Pi
3
2
Potenza (W/m )
10
2
10
1
10
0
10
Pm
−1
10
−2
10
ω=ωm
−3
10
−4
10
10
0
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 10 10 10 10 10 10 10 10
Frequenza angolare ω (rad/s)
Figura 6.5: Potenza Pm , Pi e Pe al variare della frequanza
√ angolare per il modello del primo
ordine con campo elettrico applicato Ea = 2 × 100 V·m−1 .
per il modello del primo ordine (curva tratteggiata). In particolare, rispetto al modello
del primo ordine si osserva che ad alta frequenza il campo elettrico ai capi della membrana
cellulare si assesta ad un valore che è circa 200 volte inferiore al valore assunto a bassa
frequenza. La potenza dissipata nei vari mezzi è invece data dalle relazioni
1
σe }Ea 2
Pe = ℜ{e
2
( 2
)
2
2 τ2
+ τm1
+ ω 4 τm
fs2 Ea2 R2 1 + ω 2 τm
m1
Pm = ℜ{e
σm }
2
2
2
2h2
(1 + ω τm )
2
9Ea σ
ee σ
em
Pi = ℜ{e
σi } (2e
σe + σ
em ) (2e
σm + σ
ei ) + 2w (e
σi − σ
em ) (e
σm − σ
ee ) (6.86)
(6.87)
(6.88)
con σ
em = σm + jωϵm , σ
ei = σi + jωϵi , σ
ee = σe + jωϵe . In Figura 6.7 sono rappresentati gli
andamenti in funzione della
√ frequenza angolare delle potenze Pm , Pi e Pe per un campo
elettrico applicato Ea = 2 × 100 V·m−1 . Si osserva che anche la potenza dissipata
all’interno della membrana si stabilizza ad un valore costante per frequenze maggiori di
1 GHz che è circa 40.000 volte inferiore al valore di potenza dissipata a bassa frequenza
e di circa 20.000 volte inferiore alla potenza dissipata nel mezzo extracellulare. Per la
potenza dissipata nel citoplasma, si osservano andamenti molto simili a quelli del modello
del primo ordine a meno di una lieve deflessione verso potenze inferiori per frequenze
angolari maggiori di ωm1 .
Rispetto al modello del primo ordine, quello del secondo ordine considera le proprietà
capacitive ed induttive di tutti i mezzi. Nonostante tutto, le previsioni relative alla dissipazione di potenza considerano solo la componente dovuta alle perdite di conduzione.
E’ quindi evidente, che al fine di includere anche le perdite del dielettrico, è necessario considerare un modello più completo che include anche gli effetti del rilassamento
dielettrico.
Ing. Luciano Mescia
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
198
4
10
3
|Em/Ea|
10
Modello 1° ordine
Modello 2° ordine
2
10
1
ω=ω
10
ω=ω
m
m1
0
10 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Frequenza angolare ω (rad/s)
Figura 6.6: Rapporto |Em /Ea | al variare della frequenza angolare ω per il modello del secondo
ordine (curva continua) e il modello del primo ordine (curva tratteggiata).
5
10
4
Pe
3
P
2
Potenza (W/m )
10
i
10
2
10
1
10
Pm
0
10
ω=ω
−1
10
ω=ω
m
m1
−2
10
0
10
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 10 10 10 10 10 10 10 10
Frequenza angolare ω (rad/s)
Figura 6.7: Potenza Pm , Pi e Pe al variare della frequanza
√ angolare per il modello del secondo
ordine con campo elettrico applicato Ea = 2 × 100 V·m−1 .
Ing. Luciano Mescia
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
199
Tabella 6.2: Parametri per la valutazione del rilassamento dielettrico di membrana cellulare,
citoplasma e mezzo extracellulare.
Parametri
Simbolo
Rilassamento dielettrico membrana cellulare
Primo tempo di rilassamento
Secondo tempo di rilassamento
Primo intervallo di rilassamento
Secondo intervallo di rilassamento
Rilassamento dielettrico mezzo extracellulare e citoplasma
Primo tempo di rilassamento
Primo intervallo di rilassamento
Valore
τm1
τm2
∆ϵm1
∆ϵm2
3 × 10−9 s
4.6 × 10−10 s
2.3 × 10−11
7.4 × 10−12
τe
∆ϵe
6.2 × 10−12 s
5.9 × 10−10
Modello del 2◦ ordine completo
Rispetto al modello del 1◦ ordine, il modello del 2◦ ordine consente di estendere le
previsioni relative alla dissipazione di potenza a frequenze più alte. In ogni caso, tale
modello presenta delle limitazioni ad alta frequenza dovute al fatto che esso non include
il processo di rilassamento dielettrico. Infatti, l’inclusione di tali fenomeni prevede una
variazione della permittività e conducibilità in funzione della frequenza del tipo
ϵ(ω) = ϵ(0) −
n
∑
∆ϵk (ωτk )2
k=1
σ(ω) = σ(0) + ω
1 + (ωτk )2
n
∑
∆ϵk ωτk
1 + (ωτk )2
(6.89)
(6.90)
k=1
i cui parametri relativi alla membrana cellulare, mezzo extracellulare e citoplasma sono
riportati in Tab. 6.2. In particolare, per la membrana cellulare si considera un modello
di Debye caratterizzato da due poli semplici a frequenze ωm1 = 1/τm1 e ωm2 = 1/τm2 ,
mentre per il mezzo extracellulare e il citoplasma è stato considerato un modello di
Debye a singolo polo a frequenza ωe = 1/τe . Si osservi che per il citoplasma e mezzo
extracellullare il rilassamento dielettrico avviene per frequenze dell’ordine di qualche decina di GHz in quanto i due mezzi sono costituiti prevalentamente da molecole di acqua
e ioni dissolti. Per la membrana cellulare, invece, a causa della limitata mobilità a movimento rotatorio dei gruppi lipidici, il rilassamento dielettrico compare nell’intervallo di
frequenze che va da qualche decina a qualche centinaia di MHz. Inoltre, il citoplasma e
mezzo extracellulare possono essere approssimati molto bene con un mezzo equivalente
costituito da una soluzione salina isotonica (soluzione fisiologica), per il quale sono disponibili numerosi e accurati dati dei tempi di rilassamento. Per la membrana cellulare,
le misure dirette sono molto scarse ed inoltre non conviene utilizzare approssimazioni
con mezzi dielettrici equivalenti.
Utilizzando le equazioni (6.89)–(6.90), si osserva che per la conducibilità elettrica
della membrana cellulare presenta già a bassa frequenza una evidente dipendenza dalla
Ing. Luciano Mescia
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
10
10
4
3
2
m
a
|E /E |
10
200
10
10
10
10
1
Modello 2° ordine completo
Modello 1° ordine
Modello 2° ordine
0
ωm2
ωm1
−1
ωe
−2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Frequenza angolare ω (rad/s)
Figura 6.8: Rapporto |Em /Ea | al variare della frequenza angolare ω per il modello del primo
ordine (curva punteggiata), per il modello del secondo ordine (curva tratteggiata) e
per il modello del secondo ordine con inclusione del rilassamento dielettrico (curva
continua).
frequenza, mentre per il mezzo extracellulare e citoplasma tale dipendenza è presente
nella regione dei GHz. Di conseguenza, per frequenze al di sopra di qualche MHz è
necessario considerare anche gli effetti del rilassamento dielettrico per ricavare delle
previsioni attendibiliti sulla dissipazione di potenza. In particolare, per questo tipo di
modello matematico la differenza di potenziale ai capi della membrana cellulare è data
dalla relazione:
∆ϕ(ω) = fs (ω)Ea R
(6.91)
dove fs (ω) è dato dalla (6.37) con la sostituzione σe → σe (ω) + jωϵe (ω), σm → σm (ω) +
jωϵm (ω) e σi → σi (ω) + jωϵi (ω). In figura 6.8 è rappresentato l’andamento del rapporto
tra il campo elettrico medio all’interno della membrana cellulare e il campo elettrico
applicato (|Em /Ea |) al variare della frequenza angolare per il modello del primo ordine (curva punteggiata), per il modello del secondo ordine (curva tratteggiata) e per il
modello del secondo ordine con inclusione del rilassamento dielettrico (curva continua).
Come previsto, si osserva che per frequenze superiori a qualche decina di MHz il rilassamento dielettrico ha effetti sulle curve di risposta. In Figura 6.9 sono rappresentati gli
andamenti in funzione della
√ frequenza angolare delle potenze Pm , Pi e Pe per un campo
elettrico applicato Ea = 2 × 100 V·m−1 . Confrontando quanto ottenuto con i risultati
relativi ai modelli del primo e del secondo ordine, si osserva che le previsioni relative alla
dissipazione di potenza cambiano drasticamente quando si introduce l’effetto del rilassamento dielettrico. Infatti, mentre i modelli del primo e del secondo ordine contemplano
solo la componente di dissipazione dovute alle perdite di conduzione, con l’introduzione
del rilassamento dielettrico si osserva che la dissipazione di potenza dovuta al dielettrico
diventa più significativa per frequenze elevate. L’aumento della conducibilità elettrica
della membrana cellulare con la frequenza controbilancia la riduzione della potenza dissipata all’interno della stessa al punto che alla frequenza di 1 GHz è circa 50 volte superiore
Ing. Luciano Mescia
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
201
6
10
5
Pm
10
4
2
Potenza (W/m )
10
Pe
3
10
2
10
1
10
0
10
ω
ωm1 m2
Pi
−1
10
ωe
−2
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Frequenza angolare ω (rad/s)
Figura 6.9: Potenza Pm , Pi e Pe al variare della frequanza angolare per il modello del secondo
ordine√con inclusione del rilassamento dielettrico per un campo elettrico applicato
Ea = 2 × 100 V·m−1 .
alla potenza dissipata nel mezzo extracellulare. Al di sopra di 1 GHz, il rilassamento
dielettrico dell’acqua e degli ioni dissolti genera un incremento della potenza dissipata
nel citoplasma e mezzo extracellulare mentre la potenza dissipata nella membrana prima
si stabilizza e dopo decresce in modo che al di sopra di 20 GHz è minore della potenza
dissipata sia nel mezzo extracellulare sia nel citoplasma. Pertanto, solo il modello del
secondo ordine che include il fenomeno del rilassamento dielettrico può essere utilizzato
per ricavare i corretti valori di potenza dissipata per frequenze superiori a 100 kHz.
• L’analisi effettuata consente di definire alcune linee guida per la valutazione dell’esposizione ai campi elettrici. Innanzitutto, per qualunque tipo di esposizione
a campo elettrico, risulta evidente che i modelli illustrati permettono di ricavare
informazioni più dettagliate rispetto ai modelli in cui sono utilizzati materiali massivi (bulk). Bisogna comunque considerare che potrebbero esserci delle differenze
localizzate nella dissipazione di potenza che potrebbero dar luogo a differenti danneggiamenti delle sottoregioni del tessuto esposto specialmente a livello cellulare.
I modelli considerati, mostrano comunque che a bassa frequenza la dissipazione di
potenza all’interno della membrana cellulare è più elevata di quella dissipata nel
mezzo extracellulare.
• Per esposizioni a campi elettrici con frequenza superiore a 100 kHz è prevalente
la dissipazione di potenza relativa alla componente dielettrica. L’incremento della
dissipazione di potenza nella membrana cellulare, che è già presente a bassa frequenza, diventa molto più pronunciato per frequenze che vanno da qualche MHz
a qualche GHz. Per frequenze superiori a 20 GHz la dissipazione nella membrana
si riduce enormemente mentre la dissipazione all’interno dei mezzi acquosi (mezzo
extracellulare e citoplasma) diventa predominante.
Ing. Luciano Mescia
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
202
• Anche il modello del secondo ordine con l’inclusione del rilassamento dielettrico
presenta delle limitazioni. Infatti, i valori dei parametri di rilassamento sono basati
su estrapolazioni di dati relativi al doppio strato lipidico multi e mono lamellare. Le
previsioni sono attendibili fino a frequenze di alcune decine di GHz. Per frequenze
superiori alle centinaia di GHz è necessario sviluppare nuove tecniche di misura del
rilassamento dielettrico e considerare che la lunghezza d’onda comincia ad essere
paragonabile alle dimensioni della cellula. In questi casi, è necessario sviluppare
modelli più accurati basati su un approccio elettrodinamico.
• I modelli presentati consentono di effettuare un studio microscopico a livello di
singola cellula. Visto che l’esposizione ad alta frequenza causa una maggiore dissipazione di potenza all’interno della membrana cellulare si potrebbero verificare
delle variazioni strutturali nelle proteine di membrana e nella matrice lipidica.
6.2.4 Sospensioni diluite di particelle ricoperte da una membrana
Nelle ipotesi che la sospensione sia diluita, che il campo elettrico sia stazionario e che i
mezzi siano privi di perdite, è possibile ricavare la permittività efficace di una sospensione di cellule ipotizzando che il potenziale generato, in un punto P, da una sfera di raggio
Ra sia uguale al potenziale generato da n piccole sfere con guscio di raggio R contenute all’interno della sfera di raggio Ra . In particolare, utilizzando la (3.187), la (6.32)
e la (6.33) (sostituendo la conducibilità elettrica di ogni mezzo con la corrispondente
permittività elettrica), si ricava
ϵef f − ϵe
(2ϵm + ϵi ) (ϵm − ϵe ) + w (2ϵm + ϵe ) (ϵi − ϵm )
=f
ϵef f + 2ϵe
(2ϵe + ϵm ) (2ϵm + ϵi ) + 2w (ϵi − ϵm ) (ϵm − ϵe )
(6.92)
o equivalentemente
(ϵi + 2ϵm ) [(1 + 2f ) ϵm + 2 (1 − f ) ϵe ] + 2w (ϵi − ϵm ) [(1 + 2f ) ϵm − (1 − f ) ϵe ]
(ϵi + 2ϵm ) [(1 − f ) ϵm + (2 + f ) ϵe ] + w (ϵi − ϵm ) [2 (1 − f ) ϵm − (2 + f ) ϵe ]
(6.93)
Considerando le espressioni
ϵef f = ϵe
j
ωϵ0
j
ϵ∗e = −
ωϵ0
j
ϵ∗i = −
ωϵ0
j
ϵ∗m = −
ωϵ0
ϵ∗ef f = −
(σef f + jωϵ0 ϵef f ) = −
j ∗
σ
ωϵ0 ef f
j ∗
σ
ωϵ0 e
j ∗
(σi + jωϵ0 ϵi ) = −
σ
ωϵ0 i
j ∗
(σm + jωϵ0 ϵm ) = −
σ
ωϵ0 m
(σe + jωϵ0 ϵe ) = −
e procedendo come nel caso delle sospensioni diluite di particelle è possibile ricavare le
espressioni per la permittività e conducibilità efficace al variare della frequenza. Le equazioni complete sono però molto complesse e non possono essere manipolate facilmente.
Ing. Luciano Mescia
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
203
Di conseguenza, gli andamenti esatti delle grandezze elettriche efficaci possono essere
ricavati ricorrendo ad implementazioni numeriche. E’ possibile comunque ricavare forme
semplificate le quali, pur trascurando alcuni fenomeni, sono eccellenti approssimazioni.
In particolare, considerando che
σm = Gm h + jωCm h
dove la capacità, Cm , e la conduttanza, Gm , di membrana per unità di area sono date
dalle relazioni
ϵm
(F·m−2 )
h
σm
(S·m−2 )
=
h
Cm =
Gm
e osservando che per le sospensioni cellulari nei tipici fluidi biologici valgono, fino alle
radiofrequenze, le approssimazioni
σi ≫ ωϵi
σe ≫ ωϵe
si ricava
9f (R − h)Cm
(
)]2
1
1
4ϵ0 1 + (R − h)Gm
+
σi 2σe
(
)

1
1
1
+
(R
−
h)
−

3f
σ
σe 
( i
)
σs ≈ σe 
1 − 2
1
1 
1 + (R − h)
+
σi 2σe
)
(
ϵe − ϵi
ϵ∞ ≈ ϵe 1 − 3f
2ϵe + ϵi
ϵs − ϵ∞ ≈
[
τ ≈ (R − h)Cm
σi + 2σe
2σi σe + (R − h)Gm (σi + 2σe )
(6.94)
(6.95)
(6.96)
(6.97)
In particolare, nelle normali condizioni fisiologiche la conduttanza di membrana Gm può
essere trascurata e quindi si ottengono le relazioni semplificate
9f (R − h)Cm
4ϵ0
(
)
3f
σs ≈ σe 1 −
2
(
)
ϵe − ϵi
≈ ϵe 1 − 3f
2ϵe + ϵi
ϵs − ϵ∞ ≈
ϵ∞
Ing. Luciano Mescia
(6.98)
(6.99)
(6.100)
6.2. Particelle ricoperte da una membrana
(
τ ≈ (R − h)Cm
1
1
+
2σe σi
204
)
(6.101)
Dalle equazioni ricavate si può osservare che le proprietà dielettriche della sospensione
sono indipendenti da Gm . Infatti, essenso in generale σi ≈ σe ≈ 1 S·m−1 e Gm compresa
nell’intervallo 1 ÷ 10 S·m−1 , il prodotto (R − h)Gm è trascurabile rispetto a σi o σe
quando la sfera ha dimensioni paragonabili a quelle della cellula.
Tale approssimazione perde di validità quando σi è basso, come spesso accade durante
gli studi che coinvolgono manipolazione elettrica o elettrofusione di cellule. Infatti,
considerando che le relazioni ricavate includono le approssimazioni
• sono trascurati i termini (R0 − h)/R0 con potenze maggiori di 2;
• la permittività elettrica del citoplasma e del fluido extracellulare sono trascurate
risulta che il modello è ragionevolmente valido per sospensioni diluite di cellule e potrebbe essere non valido per sospensioni di piccole, per sospensioni cellulari concentrate
o quando la frequenza del segnale è elevata. Infatti, nel caso di sospensioni di piccole cellule o quando la conducibilità del mezzo extracellulare è molto bassa si possono
utilizzare le seguenti equazioni semplificate
ϵs − ϵ∞ ≈
9f (R − h)Cm
{
}2
f
(R − h)Gm
4ϵ0 1 + +
[2σe + σi + f (σe − σi )]
2
σe σi
]
σi
(R − h)Gm [
σe +
+ f (σi − σe )
σe σi [
2
]
f
Gm
σi f
1+ +
σe +
− (σi − σe )
2 σe σi
2
2
(6.103)
2ϵe + ϵi − 2f (ϵe − ϵi )
2ϵe + ϵi + f (ϵe − ϵi )
(6.104)
σi + 2σe − f (σi − σe )
2σi σe (1 + f ) + (R − h)Gm [σi + 2σe − f (σi − σe )]
(6.105)
σs ≈ σe
1−f
ϵ∞ ≈ ϵe
τ ≈ (R − h)Cm
(6.102)
le quali sono valide sotto l’ipotesi di poter ignorare il volume della membrana cellulare.
Nella trattazione completa che considera l’equazione (3.232), oltre alla prima dispersione che caratterizza i modelli semplificati, compare anche una seconda dispersione
nell’intervallo di frrequenze compreso tra 100÷1000 MHz. Per le cellule presenti nei normali mezzi biologici, questa seconda dispersione è molto più piccola di quella associata
al caricamento della membrana cellulare e potrebbe essere talmente piccola per essere
osservata sperimentalmente.
Ing. Luciano Mescia