Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri – Gruppo Gi10 1
Rapporto e/m
RAPPORTO e/m
Relazione sperimentale
Scopo dell’esperienza è misurare il rapporto carica su massa della particella
elettronica, scoperta per la prima volta da Thomson. Si sfrutta per far ciò
l’interazione tra l’elettrone e un campo di induzione magnetica noto, il quale,
incidendo ortogonalmente all’accelerazione impressa dal campo elettrico,
tramite la forza di Lorentz devia le particelle negative facendo loro compiere
una traiettoria circolare.
opo dell’esperienza è quella di determinare il valore di un set di resistenze
incognite mediante le tecniche del ponte di Wheatstone in corrente continua e
tramite il ponte di Kohlrausch in condizioni di corrente alternata.
APPARATO SPERIMENTALE
L’apparato di misura atto alla corretta realizzazione dell’esperimento è composto da (Figura):
Figura 1: Schematica dell’apparato di Thompson per la misura del rapporto e/m
un’ampolla di vetro avente forma sferica e contenente gas idrogeno a pressione 10^-2
torr
un filamento in grado di emettere elettroni per effetto termoelettrico, alimentato da
corrente alternata ottenuta tramite un trasformatore
un cilindro di Wehnelt, ovvero un acceleratore di elettroni di piccole dimensioni (2-3
cm) posto a potenziale nullo e collegante una coppia anodo-catodo con ∆V=150÷250
volt; l’anodo è dotato di forma conica con schermo semicilindrico e il potenziale è
fornito da u generatore di tensione continuo stabilizzato entro lo 0,1% e regolabile
dallo sperimentatore
una coppia di placche di deviazione mantenute a potenziale anodico (V=150÷250 volt)
con funzione di collimazione del fascio emergente dal cilindro di Wehnelt
una coppia di bobine di Helmotz, al cui centro è posizionata l’ampolla di vetro,
generanti un campo di induzione magnetica in grado di deviare il fascio elettronico; le
bobine sono collegate ad un generatore di corrente di intensità regolabile stabilizzato
entro lo 0,1%
due guide dotate di morsetti mobili; una di esse è anche munita di uno specchio
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un ago magnetico
un’altra coppia di bobine di geometria nota collegate, insieme ad una resistenza ad un
circuito in corrente continua e regolabile
un tester universale
PRESUPPOSTI TEORICI
Misura del rapporto e/m dell’elettrone
Il suddetto esperimento si basa sul fenomeno elettromagnetico secondo cui una particella carica
in movimento in un campo di induzione magnetica (stazionario) modifica la sua traiettoria in quanto
soggetta all’aggiuntivo termine qv⋀B presente nella forza di Lorentz, in cui q è la carica posseduta
dalla particella (in questo caso l’elettrone ha carica unitaria e negativa), v è la sua velocità (per
essere più precisi la sua componente tangenziale al moto) e B è appunto il campo di induzione
magnetica.Si ha quindi, dall’equazione di Newton, che ma=mv2/r=evB , dove B è la componente
ortogonale al piano delle bobine e r è il raggio della circonferenza tracciata dal fascio di
elettroni;allo stesso tempo, per la conservazione dell’energia, si ha che mv2/2=e∆V, da cui si ricava
che
e/m= 2∆V/(B r)2. Una volta noto il campo di induzione magnetica B (r), si può ricavare la
relazione cercata. E’ noto dalla letteratura scientifica che il campo B (r)={(µ0NIk)/[2π(rbr)1/2]}[J1
+αJ2], dove rb è il raggio medio delle bobine di Helmoltz e le quantità k,α, J1,J2, sono date da:
k={(4 rbr)/[(rb+r)2+z2]}1/2 , α=(rb2 - r2 - z2)/[( rb -r)2+z2] ,
J1 = 0∫π/2d /(1-k2 sin2
)1/2, J2 = 0∫π/2(1-k2 sin2
)1/2d
(J1 e J2 sono detti rispettivamente i I ed il II integrale ellittico di Legendre e z è la componente
parallela al campo B ).
OSS: non è stato presa in considerazione nel bilancio energetico l’energia cinetica iniziale degli
elettroni emessi dal filamento per effetto termoelettrico, in quanto essa risulta comunque dell’ordine
di grandezza del decimo di elettronvolt, quindi trascurabile ai fini del suddetto esperimento.
OSS 2:Il fattore di discrepanza δ=B (r)/B (0) (ossia tra il campo di induzione magnetica
calcolato con le formule riportate poc’anzi e il campo considerato costante e calcolato tramite la
formula B (0)= µ0 (4/5)3/2 NI/rb ) diventa sempre più importante al crescere del raggio della
circonferenza tracciata dagli elettroni.Per questo motivo, è consigliabile (ed è stato nostro
accorgimento) adottare le formule di cui sopra ogniqualvolta r≧2cm ( δ≃0,99987).
Misura della componente orizzontale del campo di induzione magnetica
terrestre
Per il principio di sovrapposizione dei campi, si ha che si deve tenere in considerazione anche il
contributo del campo di induzione magnetica terrestre, tutt’altro che trascurabile in questo
esperimento, e occorrerà eliminarne l’apporto in quanto alteratore dei dati. A tal fine serve un ago
magnetico il quale, in quanto materiale magnetizzato è soggetto al campo terrestre, si allinea
secondo le linee di forza di quest’ultimo e permette di conseguenza la determinazione della sua
direzione e anche, una volta collegato con un apposito circuito che verrà nel seguito illustrato, della
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sua stima quantitativa, attraverso la formula Bt = (I/I0)(B cotgθ + Br) [1] , I0 essendo un’intensità di
corrente nota (pari a 100mA) in corrispondenza della quale sono forniti valori tabulati di Bz e Br .
PROCEDIMENTO SPERIMENTALE
Misura del rapporto e/m dell’elettrone
Una volta predisposta l’apparecchiatura e collegato il circuito come mostrato nello schema
presente sul pannello, si posiziona la strumentazione con un’orientazione di 90o rispetto alla
direzione delle linee di forza del campo di induzione magnetica terrestre; per far ciò è necessario
prendere un ago magnetico e, controllando di eliminare eventuali giochi meccanici intrinseci allo
strumento, porre la base dell’ampolla in modo tale che l’ago punti come la normale al piano
dell’orbita luminosa elettronica. Questo accorgimento viene adottato al fine di minimizzare il
contributo del campo di induzione magnetica terrestre. Si procede quindi a raccogliere i dati
necessari, ovvero le quantità ∆V, B e r. Per ottenere la prima di queste tre grandezze è sufficiente
collegare in parallelo al circuito un tester universale in funzione di voltametro e leggere il valore
riportato. In modo simile, si ricava il campo B tramite la lettura della corrente circolante nelle
bobine di Helmoltz ancora una volta con l’ausilio di un tester (ora con funzione di amperometro)
collegato in serie al circuito. Per ricavare il valore del diametro (e quindi il raggio) della traiettoria
percorsa dagli elettroni si ricorre alle due guide montate tra le bobine di Helmoltz (vedi figura): al
fine di minimizzare errori di lettura dovuti ad effetti di parallasse, occorre sovrapporre sullo
specchio retrostante l’ampolla (sorretto da una delle due guide) il traguardo mobile che scorre sulla
guida e la traccia luminosa della scia elettronica.
Facendo variare questi tre parametri e raccogliendo i dati, si costruisce un fit lineare tra le
quantità (2∆Vi) e (B iri)2 ottenendo così la quantità m/e = (e/m)-1 desiderata.
Figura 1: Fit lineare per l'estrazione del valore di e/m
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OSS: l’operazione di porre sulle ascisse la quantità (2∆Vi) invece di (B iri)2 ha la sua ragion
d’essere nel fatto che il metodo dei minimi quadrati richiede la presenza sull’asse delle ascisse della
quantità priva di errori (o comunque affetta dall’errore minimo).
Si ripete questa serie di operazioni tre volte, ruotando tutta la strumentazione di 90o una volta in
senso orario e una in senso antiorario rispetto alla direzione iniziale. La triplice ripetizione della
serie di misure dovrebbe evidenziare il contributo del campo di induzione magnetica terrestre.
In Tabella 1 sono riportati i risultati ottenuti
e/m
1, 683 E11
1,785 E11
1,869 E11
angolo rispetto a Bt in gradi
0
90
180
Errore
Errore %
1,48 E10
1,8 E9
3,2 E9
8,84
1,03
1,71
Tabella 1: Valori del rapporto e/m
Misura del campo di induzione magnetica terrestre
Si disponga a questo punto l’ago magnetico al centro di una coppia di bobine di Helmoltz e si
colleghi quest’ultima ad un circuito in corrente continua assieme ad una resistenza. Si posizioni
inizialmente l’ago magnetico in modo tale che l’asse di quest’ultimo sia orientato
perpendicolarmente all’asse delle due bobine. Facendo quindi variare l’intensità di corrente
immessa nel circuito (regolabile finemente grazie alla presenza della resistenza) si misuri l’angolo a
cui si smorza l’ago magnetico, corrispondente al valore di equilibrio tra campo di induzione
magnetica di Helmoltz e terrestre. Con l’ausilio della formula [1] e con l’utilizzo della tabella
consultabile sul libro di testo (nella quale vengono forniti i valori di Bz e Br in corrispondenza di
particolari angoli θ e di raggio delle bobine), si ricavano i valori del campo di induzionemagnetica
terrestre desiderati.
In tabella 2 qui di seguito sono riportati i valori ottenuti:
raggio bobine in metri
0,05
B terrestre in Gauss
2,7
Errore
0,3
CONCLUSIONI E DISCUSSIONE SUGLI ERRORI
SISTEMATICI DI MISURA
Al fine di migliorare il risultato di e/m si è presa l’accortezza di correggere il raggio misurato con la
guida mobile. Esso era infatti calcolato, come già detto più sopra, ponendo il traguardo mobile
all’estremità del segnale luminoso lasciato dagli elettroni; quest’ultimo,tuttavia, dalla parte del
cilindro di Wehnelt si arrestava all’imboccatura del suddetto, impedendo di stimare la vera e propria
estremità del raggio, situata all’interno del cilindro stesso. Con rapidi calcoli analitici, abbiamo
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ricavato il fattore δ’ di correzione, non trascurabile come potrebbe apparire. Nel calcolo del campo
magnetico terrestre vi sono da considerare vari errori sistematici, quali un leggero gioco dell’ago
magnetico e la presenza a poca distanza delle bobine di Helmoltz utilizzate per il calcolo del
rapporto e/m. Questi effetti sono però ineliminabili in laboratorio; pur tuttavia i risultati sono venuti
accettabili, per cui è lecito attribuire loro una buona trascurabiltà.
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