Moti a particella singola
La teoria delle orbite ha come scopo lo studio della traiettoria di particelle singole in campi
di forze EM imposte dall’ esterno, eventualmente variabili nello spazio e/o nel tempo.
Questa descrizione non e’ in generale applicabile allo studio della dinamica dei plasmi,
perché non tiene conto ne’ delle interazioni tra particelle, ne’ delle modifiche che i campi
esterni subiscono a causa della presenza e del moto delle cariche.
In situazioni in cui i campi elettromagnetici esterni siano dominanti, questo modello,
permette lo studio di vari problemi di fisica dei plasmi, e in particolare di plasmi astrofisici,
quali l’accelerazione di particelle sopratermiche e l’interazione del vento solare con la
magnetosfera terrestre.
La teoria delle orbite offre inoltre una utile comprensione di fenomeni fondamentali che
saranno ritrovati nelle equazioni cinetiche e fluide, ed e’ in particolare utile negli studi del
“confinamento magnetico”, associato a ricerche sulla fusione termonucleare controllata.
Il problema in questo caso e’ di studiare configurazioni di equilibrio stabile di colonne di
plasma di alta temperatura confinate mediante forti campi magnetici che sostituiscono un
“contenitore” solido. A questo studio, la teoria delle orbite offre la discussioni di condizioni
“necessarie” di equilibrio.
1
Moto di una particella carica in un campo magnetico
In un plasma non sottoposto ad alcun campo di forze, il
moto spaziale delle particelle ha tre gradi di libertà con
velocità media < vth>
Se lo stesso plasma è sottoposto ad un campo mgnetico
costante ed uniforme (come quello prodotto da un
solenoide infinitamente lungo) il moto delle particelle è
sottoposto alla forza di Lorentz che ”confina” il moto ad
eliche concatenate ad una linea di forza.
Se le orbite hanno un raggio piccolo rispetto alle
dimensioni del plasma e le linee di forza del campo si
richiudono su se stesse, come in una geometria toroidale,
in linea di principio particelle singole dovrebbero rimanere “intrappolate” dal campo in una
porzione limitata dello spazio, realizzando quello indicato come “confinamento magnetico
In realta’ il confinamento magnetico del plasma in un volume definito e’ un problema molto più
complesso,
• per il grande numero di particelle in gioco,
• per il fatto che, come abbiamo visto, l’ insieme delle particelle che costituiscono il plasma ha
un comportamento collettivo,
• perché si verificano moti di diffusione dovuti alle collisioni e, (come vedremo) di deriva,
2
attraverso le linee del campo magnetico campo.
.
Confinamento magnetico di un plasma
Inizieremo studiando il moto di particelle singole in varie topologie di campo
magnetico e sotto l’ azione di campi di forze diversi
Una particella di massa m, dotata di una carica q, sottoposta all'azione di un
campo elettrico (E) e di un campo magnetico di induzione (B), risente di una forza
elettrica q E e di una forza di Lorentz q v∧B, quindi l'equazione del moto della
particella può essere espressa come:
×
carica campo elettrico
velocita’
campo magnetico
(12-1)
variazione della quantita’ di moto
dove v è la velocità istantanea della particella. Si noti che questa equazione vale
in generale anche se i campi E e B sono variabili nel tempo e non uniformi nello
spazio.
Cominciamo a considerare il caso più semplice di una particella carica che si
muove solo sotto l‘influenza di un campo magnetico statico, cioè costante nel
tempo
3
Moto in un campo magnetico B = cost ed E = 0
L'equazione del moto di una particella che si muove in un campo magnetico con velocità
v, e’:
legge di Lorentz
×
(12-2)
La componente della velocità v nel piano perpendicolare a B (v⊥) e’ parallela alla
traiettoria del moto e l’ accelerazione e’ perpendicolare alla traiettoria. Il moto avviene
in condizione di equilibrio tra la forza centrifuga e della forza di Lorentz
Dove rL e’ il raggio della curvatura della traiettoria. Se B e v sono
costanti, rL e’ costante e la traiettoria e’ un cerchio di raggio rL nel
piano perpendicolare a B (vedi figura) .
Dalla (IV-3) deduciamo due quantità importanti:
(12-4)
(12-3)
=
v⊥ m
|q|B
ha le dimensioni di una frequenza angolare e viene chiamata frequenza (angolare) di
ciclotrone e rL raggio di Larmor
4
L’energia cinetica della particella e’ costante: infatti moltiplicando entrambi i membri della
(12-2) scalarmente per mv si ottiene
×
(12-5)
Per un moto con velocità in direzione arbitraria rispetto al campo magnetico conviene
separare le componenti parallela v// e perpendicolare v⊥ al campo magnetico. v// = cost,
×
dato che a//
= 0, a cui corrisponderà un moto uniforme nella direzione del campo
magnetico B.
Per studiare il moto nel piano perpendicolare assumiamo B diretto come z e
scomponiamo la (12-2) lungo gli assi x e y.
(12-6)
Ossia prendendo le derivate e sostituendo:
(12-7)
i
v × B = v x
0
La soluzione, assumendo la fase iniziale nulla:
k
v z
B
j
vy
0
e, con notazione complessa
Ω
5
Sostituendo nella (12-6-2)
(12-8)
Moto di una carica positiva
Le (12-7) e (12-8) integrate rispetto al tempo danno:
z = v // t + z0
(12-9)
Che rappresenta un’ elica circolare a passo costante con centro di
coordinate x0, y0.e raggio
v m
= ⊥
|q|B
(12-10)
Moto di una
carica negativa
L’ equazione della traiettoria è
Dall’ equazione del moto di deduce anche che cariche positive ruotano in senso orario
e cariche negative in senso anti-orario. Questa proprietà fa si che i campi magnetici
prodotto dal moto di entrambe le componenti di un plasma (elettroni e ioni) si oppongano al
campo magnetico esterno. (diamagnetismo del plasma).
6
Moto in un campo magnetico costante
In conclusione il moto di una particella carica in un campo magnetico costante e’
un’elica che si avvolge attorno alle linee di campo. E’ evidente come il campo
magnetico abbia proprietà di confinamento del moto di particelle cariche
7
Raggi di girazione e frequenze ciclotroniche
Nota : Il raggio di girazione degli elettroni e’ molto più piccolo di quello degli ioni .
Se assumiamo come v⊥ ~ v th = (kT/mi )1/2
R i ∼ (v th.i /Ωi) ; R e ∼ (vth.e /Ωe) e
R i / R e = (m i/ m e)1/2 >> 1
R i = v th.i /Ωi = 100 (m i/ m p)1/2 Z i-1[ kT 1/2 (eV] [B (Gauss) –1]
m p = massa protone
Il valore del raggio di girazione per un deutone in un plasma termonucleare (m i/ m p) = 2:
per Te = 10 keV , B = 30 KGauss : R i ∼ 0.5 cm. Il raggio di girazione di un elettrone nelle
stesse condizioni e’
(2 1840) -1/2 ~ 1/60 volte inferiore.
La rotazione delle varie componenti ioniche di un plasma magnetizzato da’ origine a
frequenze tipiche (frequenze ciclotroniche) che sono legate al valore del campo
magnetico confinante
Dalla definizione si ottengono le seguenti formule:
Frequenza ciclotronica ionica
:
Frequenza ciclotronica elettronica :
Ωci = 9.58 103 Z (m p/ m i) B ( Gauss) s-1
Ωce = 1.75 107 B ( Gauss) s-1
Da confrontare con la frequenza di plasma ωpe = 5.64 104 ne ½ (cm-3) s-1
8
Moto in B uniforme ed in un generico campo di forze F
Si consideri il caso di una carica in moto in un campo magnetico costante e sottoposta ad
una forza F qualunque. L’ accelerazione totale della particella e’ dovuta alla forza di Lorentz
e alla forza F è:
(12.11)
Centro di guida
Il sistema di riferimento ha l’ asse x
nella direzione di B e indichiamo con
v// e v┴ le componenti parallele e
perpendicolari della velocità. E’
inoltre in ogni punto della traiettoria:
x -ρ=R
Dove x e’ il raggio vettore della posizione della carica, R e’ il raggio vettore del
centro di guida dell’ orbita e ρ il raggio di girazione che vale:
rL =
(12.12)
9
Moto in B uniforme ed in un generico campo di forze F
Il moto del centro di guida é per definizione
(12.13)
Utilizzando
e
(12.14)
(12.15)
dove b e’ un versore nella direzione di B
si ottiene:
(12.16)
Ogni forza F ≠ 0 produce una deriva perpendicolare sia a B che a F. Se F = cost,
anche vg┴ = cost
Nel caso di un plasma sottoposto a forze gravitazionali P = mg
10
Moti di deriva dovuti a un campo elettrico E
L’ equazione del moto e’ ora
(12-17)
m
dv
= qE + v × B
dt
Ed ha come soluzione :
v d = v||b +
(12-18)
E×B
B2
(12.17)
(12.18)
In questo caso, la deriva delle cariche e’ indipendente da carica e massa,
F⊥
B esce
dalla
pagina
E⊥
wD
=
v⊥ m
|q|B
F⊥
wD
Questa proprietà e’ di fondamentale importanza perché la deriva elettrica non provoca
separazione di carica ma ua traslazione collettivo di tutte le componenti del plasma
11
Moto in B ed E uniformi
Riassumendo, il moto in un caampo elettrico e
magnetico uniformi ha tre componenti:
v = v// k
(// B)
+
vE
(┴ a B)
+
vL
(Larmor).
vE è la velocità di deriva del centro di guida dell’
orbita di Larmor
Quando E┴ = 0, the l’ orbita intorno a B è
circolare.
Quando E┴ e’≠ 0 l’ orbita e’ cicloidale,
12
Deriva in un campo magnetico non uniforme
∇B
Consideriamo ora il moto perpendicolare di
una particella carica in un campo magnetico B
avente direzione costante nello spazio, che
presenta una disuniformità con grad (B)
perpendicolare a B. Assumiamo una terna
cartesiana di riferimento con asse z parallelo a
B ed asse y nella direzione nella quale
|B|aumenta.
x
B
vd
∆x
y
Se consideriamo una particella che si muove
nel piano xy, la sua traiettoria non può essere
circolare perché il raggio di curvatura nel
semispazio a destra (dove |B| è più grande) è
più piccolo del raggio di curvatura nel
semispazio a sinistra (dove |B | è più piccolo),
=
v⊥ m
|q|B
13
Approssimazione del moto del centro di guida
E' chiaro che la traiettoria non può essere una linea
chiusa: ad ogni rivoluzione che essa compie, la
particella si sposta lungo l'asse x (cioè, in direzione
perpendicolare al grad(B).
La traiettoria si compone così di una serie di anelli
aperti giacenti entro una fetta sottile parallela all'asse y.
La particella si muove nella direzione positiva o
negativa di x, a seconda del segno della sua carica. Se
questo moto secondo x, che rappresenta una 'deriva',
ha una velocità piccola rispetto alla velocità totale
della particella, questo può essere considerato, come
prima, composto di due moti semplici:
x
=
vd
∆x
y
• un moto circolare attorno ad un centro guida ed una
traslazione del centro guida.
Il calcolo della velocita’ di deriva può essere fatto
analiticamente solo nel caso in cui l’ approssimazione
del centro-guida e’ valida
14
v⊥ m
|q|B
Derive dovute a disuformità del modulo di B
Le disuniformità del campo magnetico possono essere in modulo (che non e’ costante
in funzione dello spazio) o dovuta alla curvatura delle linee di forza. In generale le
due disuniformità sono associate, perché l’andamento delle linee di forza deve
soddisfare le equazioni di Maxwell. Per semplicità considereremo prima separatamente
e poi insieme, in un caso particolare, i due effetti.
Il problema e’ trattato approssimativamente, assumendo che la variazione del campo
magnetica sia piccola sulla lunghezza del raggio di girazione, ossia
≈
B∆r
∆B
il che e’ equivalente a dire che
<< 1 (12-19)
(orbite quasi circolari). In questo caso il campo magnetico puo’ essere espresso con
uno sviluppo di Taylor come
(12-20)
dove B0 e’ costante e
r ⋅∇ = x ⋅
Con la nostra scelta degli assi:
∂
∂
∂
+ y⋅ + z⋅
∂z
∂x
∂y
∂B
B ≅B 0 +(r ⋅ ∇B) + .... = Bk = B 0 + z z + .....k
∂z
∂B
Bx = B 0 x + x x + ....
∂x
∂B y
+ ...
Bx = B 0 y + y
∂y
∂B
Bz = B 0 z + z z + .....
∂z
15
Derive dovute a disuformità del modulo di B
Si cerca anche qui una soluzione di deriva a velocità costante nel piano ortogonale alla
linea di forza.
.
Sostituendo nella equazione del moto (12-17)
×
Utilizzando la
×
(12-22)
dv
m L = q ( v L ×B 0 )
dt
×
×
la (12-22) diventa:
×
×
(12-23)
Per l’ ipotesi
(che implica anche
<<1 ) l’ ultimo termine della
(12-23) e’ del II ordine rispetto ai primi due e può essere trascurato
×
×
16
.
Derive dovute a disuformità del modulo di B
Sia vL che rL sono delle quantità periodiche nel tempo. Se si compie la sostituzione :
la (12-23)
×
×
×
×
diventa :
×
L’ ultimo termine della (12-24) e’ un termine del tipo
su un periodo di rotazione della (12-24) si ottiene :
(12-24)
Se si prendono i valori medi
< v L ×(r0 ⋅ ∇)B >= ∫ (v L ×(r0 ⋅ ∇)B )dt = 0
T
×
dove il simbolo <
rotazione
×
(12-25)
> indica un integrale fatto rispetto al tempo fatto su un periodo di
17
Derive dovute a disuformita’ del modulo di B
Per calcolare il valor medio del termine della (12-25), si utilizzano i valori di vL che rL ottenuti
per un B costante :
(12-26)
(12-27)
Se si assume che ∇B sia nella direzione y si ottiene :
×
×
i
v × (r ⋅ ∇)B = v x
0
j
vy
0
k
vz
∂B
y z
∂y
(12-28)
(12-29)
Facendo le medie su un periodo con le assunzioni fatte:
v⊥2
− ∫ cos Ωt sin Ωtdt = 0
ΩT
(12-30)
(12-31)
18
Derive dovute a disuformità spaziale del modulo di B
Pertanto la (12-25) diventa :
×
(12-32)
Da cui si ricava la velocità di deriva come nel caso precedente:
×
×
ossia :
×
F
=0
q
(F / q ) ∧ B
⇒ vd =
B2
Se : v d ∧ B +
(12-33)
(12-34)
La deriva e’ ancora perpendicolare sia a B che a ∇B e dipende dal segno della carica.
Pertanto la deriva dovuta a ∇B tende a separare elettroni e ioni e pertanto generare
campi elettrici a ll’ interno del plasma. Questi a loro volta generano derive ExB, che
provocano una deriva ortogonale di entrambe le cariche
19
Deriva dovute alla curvatura delle linee di campo
Consideriamo ora il caso di una particella che si muove
orbitando lungo una linea di forza curva, con raggio di
curvatura Rc La sua velocità ha dunque una componente
parallela alla linee di campo. Nel sistema di riferimento
del centro di guida appare una forza Fcf (centrifuga , che
e’ dovuta al moto sulla traiettoria curva e, che scritta
vettorialmente vale :
(12-35)
Usando la formula precedente per la deriva :
×
×
(12-36)
20
Deriva dovuto a disuformità di campo (∇B & Rc )
Linee di forza
circolari
In generale curvatura e gradiente del modulo sono legate
fra di loro perché il campo magnetico deve soddisfare alle
equazioni di Maxwell. Pertanto le derive di
e
sono
in generale associate
R0+a
Un caso di particolare interesse e’ la deriva in una zona
dello spazio in cui le linee di campo seguono una traiettoria
circolare con raggio di curvatura Rc e la densità di corrente
e’ nulla: J = 0 nello spazio considerato.
E’ questo il caso del campo magnetico stazionario prodotto
nel vuoto da un solenoide toroidale di raggio maggiore R e
raggio minore a. Come si dimostra facilmente, il campo
magnetico non è costante, ma dipende dal raggio maggiore
come
NI
Bφ ( R ) = µ 0
2πR
all’ interno del toro ed e’ nullo all’ esterno ed interno.
All’ interno del toro ha un gradiente radiale positivo verso
l’asse z del toro e non dipende dalle altre coordinate
R0-a
R0
B
z
∇B
φ
a
R
R0
∂E
=0
∂t
21
Assumiamo un sistema cilindrico di assi cartesiani (r,θ,z) con
centro sll’ asse del toro.
∂E
Dato che è per ipotesi J = 0 e ∂t = 0 nel volume considerato, ê
z
l’ equazione di Maxwell del rotore si riduce a:
1 ∂B ∂B
1 ∂ (rBθ ) ∂B r
∂B ∂B
∇ ∧ B = ( ⋅ z − θ )e r + ( r − z )eθ + (
−
)e z = 0
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r
∂r
∂θ
(12-37)
dato che è inoltre B = B (r),
(12-38)
ossia
(12-39)
Pertanto
(12-40)
La velocità di deriva globale dovuta al gradiente del campo è pertanto:
×
×
(12-41)
e la velocità di deriva totale e’:
(12-43)
22
Deriva dovuto a disuformità di campo (∇B & Rc )
×
Pertanto:
• le derive
avvengono nella stessa direzione
per cariche dello stesso segno e i loro effetti si sommano
• avvengono in direzioni opposte per cariche opposte
• le velocità di deriva sono proporzionali all’ energia cinetica
delle particelle
• curvatura
energia parallela x2
•
energia perpendicolare x1
Ad esempio la velocità di deriva media di particelle aventi una
distribuzione termica maxwelliana dato che e’:
k
k
(2 gradi di liberta’) (12-44)
(12-45)
risulta:
×
(12-46)
23
Deriva dovuta a variazioni temporali del campo elettrico
Se il campo elettrico é costante nello spazio ma varia nel tempo (
velocita’ di deriva
) la
(12-47)
non e’ costante, ma la particella e’ soggetta ad una accelerazione nel piano
perpendicolare al campo magnetico B come se su essa agisse una forza
Utilizzando la (12-16): si verifica che questa forza causa una seconda deriva
(12-48)
detta deriva di polarizzazione, che dipende sia dalla carica che dalla massa della
particella. In un plasma di elettroni e ioni produrrà pertanto una separazione di carica e
darà origine ad una corrente di densità
(12-49)
m
con
detta corrente di polarizzazione. Si noti come il
contributo degli ioni a questa corrente sia largamente maggioritario [O(mi/me)]
24
Analogia con la polarizzazione dielettrica
Per un materiale dielettrico immerso in un campo elettrico vale la relazione
(12-50)
Dove P e’ il vettore polarizzazione elettrica, che é dovuto all’ allineamento dei dipoli
elettrici molecolari al campo. Quando il campo dipende dal tempo esso genera una
corrente :
(12-51)
Confrontando la (12-51) con la (12-49), si ottiene una espressione per la suscettivita a
bassa frequenza del plasma:
dove
é’ la velocità di Alfvèn, . In generale e’ vA<<
c e pertanto εr >>1
25
