Programma (definitivo) del Corso di Geometria 4 – (Curve piane e

Programma (definitivo) del Corso di
Geometria 4 – (Curve piane e geometria differenziale)
Anno accademico: 2006–2007 – Codice: SM478 – CFU 7,5
(Prof. Walter Spangher)
Corso di Studi in Matematica (3 anni) – Facoltà di Scienze M.F.N. – Università degli Studi di Trieste
1) - Richiami di algebra lineare e multilineare; richiami di geometria affine,
proiettiva ed euclidea:
• (1.1) A-moduli; sezioni e retrazioni; famiglie induttive e lemma di Zorn; A-moduli liberi; somma
diretta; somma diretta interna; prodotto diretto; i moduli AI ; cenni sul teor. di Erdös-Kaplansky;
cambiamenti di basi in moduli liberi; matrici di passaggio; matrici equivalenti; cambiamento di
coordinate e matrice di passaggio; rango e caratteristica di una matrice (su un corpo) - teorema
degli orlati; nozione di rango per matrici su un anello (esempi);
• (1.2) Richiami sugli spazi affini; coordinate affini- riferimenti e cambio di riferimenti;
• (1.3) Dualità - M ∗; trasposta di un’applicazione lineare - t f; proprietà varie; biduale - M ∗∗ , applicazione canonica, moduli riflessivi; basi duali e matrice trasposta; Dualità su un corpo; forme
lineari ed iperpiani; sottospazi e forme lineari.
• (1.4) Determinanti (su anelli commutativi); determinanti e specializzazioni; rango di un A-modulo
libero (tramite estensione degli scalari e con il determinante); derivazione di un determinante;
esempi e controesempi.
• (1.5) richiami sugli spazi proiettivi; coordinate omogenee e cambiamenti di base; varietà lineari
proiettive e loro intersezione; legame fra varietà lineari affini e proiettive; punti propri ed impropri;
coordinate omogenee e non omogenee; processo di omogeneizzazione e disomogeneizzazione; spazio
∨
∨
proiettivo duale P (V ); bijezione canonica dell’ insieme degli iperpiani di P su P ; dualità negli
spazi proiettivi; riferimenti duali e coordinate plückeriane di un iperpiano.
• (1.6) spazi vettoriali euclidei E; norma euclidea; sistemi ortonormali; ortogonalizzazione di Schmidt;
sottospazi ortogonali; isometrie e gruppo ortogonale O(E) ⊆ GL(E); matrici ortogonali, matrici
di isometrie, matrici di passaggio di basi ortonormali; isomorfismo canonico E E ∗ (E euclideo e
dim(E) < ∞); orientazioni; rette isotrope; punti ciclici e circolo assoluto; considerazioni varie su
circoli e sfere.
2) - Algebra tensoriale, simmetrica, esterna:
• (2.1) Richiami su proprietà funtoriali del prodotto cartesiano in Ens; applicazioni bilineari; prodotto
tensoriale di due moduli M ⊗A N (A anello commutativo); isomorfismi canonici; prodotti tensoriali
di quozienti e di somme dirette; rango di M ⊗A N per M, N liberi; prodotto tensoriale di applicazioni
A-lineari e proprietà; isomorfismo HomA (M1 , N1 ) ⊗A HomA (M2 , N2 ) HomA (M1 ⊗ M2 , N1 ⊗ N2 )
(caso dei moduli liberi di rango finito); prodotto tensoriale di matrici e prodotto alla Kronecker;
duale di un prodotto tensoriale; l’ isomorfismo (canonico) M ∗ ⊗ N HomA (M, N ) (caso dei
moduli liberi di rango finito M, N ); associatività ed applicazioni A-multilineari; cenni sulla nozione
di estensione degli scalari.
• (2.2) Digressione sulla nozione di A-algebra (associativa con unità) ed esempi; prodotto tensoriale di
algebre e caso particolare: di algebre commutative ed esempi importanti. Anelli graduati e prime
proprietà; moduli graduati e sottomoduli omogenei; esempi di graduazioni e di anelli graduati;
algebre graduate.
Algebra tensoriale di un modulo M (T (M ) = n∈N T n (M )), e sua proprietà universale; proprietà;
algebra tensoriale di un modulo libero (anello di polinomi con variabili non commutanti); Tensori
p-contravarianti e q-covarianti; notazioni e cambio di base; moltiplicazione e contrazione; esempi.
n
• (2.3) Algebra simmetrica ( (M ) = n∈N (M )) e sua proprietà universale; isomorfismi; algebra
simmetrica di una somma diretta e di un modulo libero; applicazioni multilineari simmetriche e
n
potenze simmetriche (M ); potenze simmetriche di una somma diretta; simmetrizzazioni di tensori.
1
n
• (2.4) Algebra esterna ( (M ) = n∈N (M )) e sua proprietà universale; prime proprietà; algebra
esterna di una somma diretta; algebra esterna di un modulo libero di rango finito; n-vettori decomponibili; potenza esterna n-ma; applicazioni multilineari alternate; applicazioni potenze esterne:
(∧n f ; ∧f) e relative proprietà; famiglie libere e prodotto esterno (caso corpo e anello in generale);
richiami sulla nozione di determinante; espressioni varie del prodotto esterno (caso del modulo con
base finita); sottospazi vettoriali e p-vettori decomponibili.
• (2.5) Dualità dell’algebra esterna
(caso libero-rango
finito);
l’isomorfismo canonico φ : (M ∗ ) → ( M )∗ e relative proprietà; q-forme; l’isomorfismo (non
p
m−p
canonico) ψ :
M → (M ∗ ) dove: ψ( M ) =
M ∗ ed il caso particolare degli spazi euclidei;
prodotto misto e prodotto vettoriale in spazi euclidei; alcune proprietà di decomponibilità di pvettori.
3) - Fattorialità ed anelli di polinomi:
• (3.1) Richiami sugli ideali e sugli A-moduli; insiemi (pre)-ordinati verificanti la condizione a.c.c.
e/o del massimale (i.e.: noetheriani); moduli noetheriani ed artiniani; noetherianità e finita generazione; esempi di anelli noetheriani; teorema della base di Hilbert (senza dim.); ideali primi e sistemi
molt. chiusi; sistemi saturati e prodotti di (elementi) primi; domini UFD e loro caratterizzazione
tramite principalità degli ideali primi “minimali”.
• (3.2) Altre definizioni di UFD; a.c.c. sugli ideali principali e fattorialità con elementi irriducibili;
esistenza del GCD (massimo comun divisore) in un UFD e relative proprietà; UFD e a.c.c. sui
principali con esistenza del minimo comune multiplo; domini euclidei, gaussiani (GCD), bézoutiani,
PID; relazioni fra i vari tipi di domini; cenni sugli interi algebrici e sull’origine del concetto di
“ideale”. – cenni su anelli delle frazioni; sketch su dimostrazione (alla Gauss) del teorema di Gauss
(A UFD ⇒ A[X] UFD); enunciato del teor. di Nagata e conseguenze.
• (3.3.) Anelli di polinomi A[X1 , . . . , Xn ]; anelli graduati; graduazione per grado (totale) e per
multigrado (monomi) - prime utilizzazioni; divisori di elementi omogenei in un dominio; – cenni su
divisione euclidea (generalizzata) per anelli di polinomi in una indeterminata; radici di un polinomio
e teorema di Ruffini; ordine di molteplicità di una radice; proprietà varie delle radici multiple (A
dominio) legate alla fattorizzazione; domini d’ integrità infiniti e principio d’ identità dei polinomi.
• (3.4) Derivata di un polinomio f ∈ A[X] in una indeterminata; derivate parziali ∂f/∂Xi per
f ∈ A[X1 , . . . , Xn ] e relative proprietà; derivate e caratterizzazione delle radici multiple; polinomi
omogenei e loro caratterizzazioni: variabile aggiunta ed identità di Eulero; Formula di Taylor (su un
corpo k con car(k) = 0); richiami sui corpi algebricamente chiusi e chiusura algebrica di un corpo;
fattorizzazione di un polinomio f(X) (risp. g(X1 , X2 ) omogeneo) su un corpo algebricamente chiuso;
sistemi di equazioni algebriche (compatibilità per sopracorpi; caso dei sistemi lineari).
4) - Risultante ed eliminazione:
• (4.1) Fattori comuni di grado positivo di due polinomi f(X), g(X) ∈ A[X] dove A dominio UFD;
lemma di Bézout; risultante di Sylvester; proprietà varie del risultante e risultante “improprio” ;
eliminazione di variabili e proiezioni; eliminazione (fra 2 polinomi) e risultante; formule varie del
risultante e R(f · g, h); eliminazioni “facili” ; discriminante di un polinomio (casi classici e non);
risultante di due polinomi omogenei; risoluzione di un sistema di due equazioni algebriche.
• (4.2) eliminazione per sistemi di n( 2) equazioni algebriche e risultante alla Kronecker e sue
variazioni; proprietà di estensione e risultanti; ideale eliminazione (tecnica con basi di Gröbner)
e confronti vari. Cenni su topologia di Zariski; cenni su teorema di eliminazione proiettiva e
Trägheitsforemen di Hurwitz.
5) - Curve algebriche piane:
• (5.1) Curve algebriche piane (quale ideale principale); curve proiettive e corpi alg. chiusi; ordine;
riducibilità; equazioni e cambio di coordinate; intersezione finita di due curve prive di componenti
comuni; proiezioni / eliminazioni permesse per intersezione curva Γ- retta r: definizione “intuitiva”
di molteplicità d’ intersezione i(P ; Γ · r); significato geometrico dell’ ordine.
2
• (5.2) Intersezione di due curve Γ, ∆, teorema di Bézout, posizioni permesse e buona definizione di
i(P ; Γ · ∆); equivalenza di varie definizioni di m(P ; Γ) (molteplicità di un punto P su una curva
Γ); cono tangente; ricerca dei punti singolari e dei relativi coni tangenti; analisi di alcuni punti
doppi; i(P ; Γ · ∆) per P r-plo per Γ, s-plo per ∆ con tangenti comuni o meno (solo enunciato);
condizioni lineari varie e quadratiche; genere virtuale ed irriducibilità; aggiunte di ordine (n −
1), (n − 2); aggiunte di ordine (n − 3) e caratterizzazione del genere; curve razionali e legami vari fra
rappresentazione razionale ed algebrica (per eliminazione parametro); criteri di razionalità: Cn con
punto (n − 1)-plo, genere nullo e aggiunte di ordine n − 1 ed n − 2; curva Hessiana e flessi (senza
dim.); curva Hessiana e punti singolari; terza formula di Plücker (senza dim. ma con esempi);
analisi dei flessi di una cubica irriducibile.
• (5.3) inviluppi ed inviluppi aderenti; classe di un inviluppo; classe massimale; prima e seconda
formula di Plücker (senza dim.) e legame con la terza formula; esempi su cubiche,quartiche e
coniche.
6) - Coniche e polarità:
• (6.1) Classificazione delle coniche proiettive, delle coniche affini e delle coniche euclidee; chiusura
proiettiva delle coniche affini e punti impropri; discriminante e riducibilità; inviluppi conici; inviluppo
aderente. Richiami sui circoli.
• (6.2) Sistemi lineari di coniche; fasci riducibili di coniche; caratterizzazioni varie dei 5 tipi di fasci
irriducibili; il fascio-schiera di coniche bitangenti; relazione di coniugio e polarità; polarità per
coniche riducibili e per coniche inviluppo; triangoli (trilateri) autopolari; costruzioni grafiche (con
la sola riga); centro e diametri; assi e asintoti; fuochi di una conica reale irriducibile; condizioni
lineari e quadratiche; equazioni asintotiche, focali, assiali, . . . ; utilizzo (ottimale) di sistemi lineari
di coniche (luogo/inviluppo) per un mix di condizioni lineari e quadratiche.
6) - Geometria differenziale (curve):
k
• (6.1) Elementi (base) di analisi vettoriale; studio del prodotto esterno f ∧ df
∧ . . . . ∧ ddtkf e variazione
dt
3
del parametro t (caso generale e in R ); equazione vettoriale di un iperpiano (orientato) e distanza
con segno.
• (6.2) Nozioni varie di curva negli spazi euclidei; curve regolari in R3 ; ascissa curvilinea; retta
tangente; piano osculatore; nozione di flesso ed invarianza; triedro fondamentale; concavità e verso
di n; Formule di Frenet; curvatura e torsione; formule per la curvatura e torsione rispetto alla ascissa
curvilinea; invarianti del secondo e del terzo ordine e loro utilizzo per la ricerca della curvatura e
della torsione; angolo fra P (t) ed n.
Testi seguiti (parzialmente) e letture consigliate:
1- Bertin J.E.,Bertin M.J., Algèbre linéaire et géométrie classique, Masson-Paris (1981).
2- Bourbaki N.,Algèbre -Ch. III - Algèbre multilinéaire, Hermann-Paris (1948-62) & Addison-Wesley (1973).
3- Carmo M.P. do, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall - N.J. (1976).
4- Comessatti A., Lezioni di geometria analitica e proiettiva, I, Cedam, Padova (1946-62).
5- Cox D., Little J., O’Shea D., Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer, New York-Berlin (1991).
6- Kaplansky I., Commutative Rings, University of Chicago Press, Chicago (1970).
7- Lafon J.P., Les formalismes fondamentaux de l’algèbre commutative, Hermann-Paris (1974).
8- Lelong-Ferrand J., Géométrie différentielle (tenseurs-formes différentielles), Masson-Paris (1963).
9- Malliavin M.P., Algèbre Commutative (applications en géométrie et théorie des nombres), Masson, Paris (1985).
10- Predonzan A., Lezioni di geometria (Geometria differenziale delle curve e delle superficie), Copisteria Univ.
Trieste (1962-63).
11- Predonzan A., Lezioni di geometria -Vol. II - Curve piane algebriche, Tipografia Moderna Ed.,Trieste (1972).
12- Seidenberg A., Elements of the theory of algebraic curves, Addison-Wesley P.C., Reading Massachussets
(1968).
Modalità d’esame: L’ esame è composto di una prova scritta e di una prova orale (successiva). La prova scritta
consiste di 4/5 esercizi relativi al programma svolto.(durata della prova: ore 2-2.30)
Ricevimento studenti: Lunedı̀: ore: 15.00 – 17.00, nello studio n. 232 al II piano del Dipartimento di matematica
ed informatica; oppure su appuntamento da concordare al n. 040-558-2655 o via e-mail: [email protected] (preferibilmente
via e-mail).
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