Esercitazione 1

Esercitazione 1
Ripasso nozioni di base di
campi elettromagnetici
onde piane.....
radiazione.....
Definizioni
Si definisce ONDA la variazione temporale di un campo
Onda elettromagnetica
Si ottiene come soluzione delle equazioni di Maxwell con
• equazioni costitutive dei mezzi
• condizioni al contorno
Ripasso: Equazioni di Maxwell
r r
r r
∂B(r , t )
∇ × E (r , t ) = −
∂t
r r
r r
r r
∂D(r , t )
∇ × H (r , t ) = J (r , t ) +
∂t
∇ × E (r ,ω ) = − jω B(r ,ω )
nel dominio del tempo
∇ × H (r ,ω ) = J (r ,ω ) + jω D(r ,ω )
Trasformata
di Fourier
nel dominio
della frequenza
Ripasso: Equazioni costitutive dei mezzi
Caratteristiche dei mezzi:
– Linearità, isotropia, stazionarietà, omogeneità, dispersione temporale e
spaziale, dissipatività
Dielettrici
Polarizzazione dei dielettrici
atomica;
+
-
Conduttori
ε, σ
molecolare;
orientamento.
-
-
+
E
E
+
+
D(r ,ω ) = ε 0 E (r ,ω ) + P(r ,ω ) = .... = ε 0ε r E (r ,ω )
B(r ,ω ) = μ 0 H (r ,ω ) + M (r ,ω ) = .... = μ 0 μ r H (r ,ω )
E
J ( r , ω ) = σ E (r , ω )
Ripasso: Condizioni al contorno
n
Interfaccia
mezzo 2
n ⋅ (D 2 − D1 ) = ρ s
mezzo 1
n × (H 2 − H 1 ) = J s
r0
All’ ∞
lim rυ E = 0
r →∞
∀υ < 1
lim r (r 0 × E − η∞ H ) = 0
r →∞
S∞
Sono le condizioni di radiazione: poiché all’infinito non vi sono cariche, il campo deve
tendere a 0 con dipendenza almeno 1/r; inoltre il campo elettrico ed il campo magnetico
devono tendere ad una forma ‘tipo’ onda piana.
Onda elettromagnetica
si definisce
onda elettromagnetica
una soluzione delle equazioni di Maxwell
nel dominio
della frequenza.....
nel dominio
del tempo.....
E (r ,ω ) = m(r ,ω )e − jΦ (r ,ω )
E ( z , t ) = f (ct − z ) + g (ct + z )
E
f(z)
f(ct-z)
ct
z
Espressione onda elettromagnetica
L’onda e.m., nel dominio della frequenza,
sarà una grandezza complessa, caratterizzata
da modulo e fase
a(r ,ω ) = m(r ,ω )e − jΦ (r ,ω )
•Tornando nel tempo (fasori):
[
] [
a(r , t ) = Re a(r ,ω )e jωt = Re m(r ,ω )e − jΦ (r ,ω )e jωt
a (r , t ) = m(r ,ω ) cos(ωt − Φ (r ,ω ))
•La fase dell’onda è data da:
Ψ = ωt − Φ (r ,ω )
]
Velocità di fase
La velocità di fase è la velocità che
dovrebbe avere un ipotetico osservatore per non
osservare variazioni di fase nell’onda:
dΨ = d (ωt − Φ (r ,ω )) = 0
Lungo una generica direzione r:
∂Φ(r ,ω )
ωdt −
dr = 0
∂r
dr
ω
vf =
=
dt ∂Φ(r ,ω )
∂r
Propagazione delle onde
a(r ,ω ) = m(r ,ω )e − jΦ (r ,ω )
Se la funzione iconale è costante nello spazio
l’onda si dice stazionaria;
altrimenti si ha un’onda progressiva
Superfici equifase, equiampiezza
Si definiscono superfici equifase quelle superfici in
cui risulta Φ(r) costante
a(r ,ω ) = m(r ,ω )e − jΦ (r ,ω )
Si definiscono superfici equiampiezza quelle
superfici in cui risulta costante il modulo dell’onda
Onda uniforme
L’onda prende il nome dalla forma delle
superfici equifase
piane
cilindriche
sferiche
Un’onda elettromagnetica si definisce uniforme
quando
le superfici equifase ed equiampiezza coincidono
Onde piane
Un’onda elettromagnetica si definisce piana quando
il luogo dei punti in cui la funzione iconale è costante
è un piano.
i.e., superfici equifase = piani
Le onde piane si ottengono come
soluzione particolare delle equazioni di Maxwell,
sotto particolari condizioni semplificative.
Onde piane
Le onde piane rappresentano un’astrazione.
Tuttavia, sono particolarmente importanti
in quanto:
• molti fenomeni propagativi possono essere
schematizzati con la propagazione di onde piane;
• il campo lontano di un’antenna è localmente di tipo
onda piana;
• nelle strutture guidanti si propagano onde piane;
• un qualunque campo elettrico (trasformabile secondo
Fourier) si può esprimere come somma integrale di
infinite onde piane di ampiezza infinitesima.
Onde piane
Si possono ottenere come soluzioni delle
1. equazioni di Maxwell omogenee (no correnti impresse);
2. nello spazio libero (no discontinuità);
3. in un mezzo lineare, isotropo, omogeneo, stazionario,
eventualmente dispersivo nel tempo.
Si ottengono dall’equazione di Helmholtz omogenea
∇ E (r ,ω ) + k E (r ,ω ) = 0
2
2
con la condizione:
∇ ⋅ E (r ,ω ) = 0
σ ⎞
k = ω με c = ω μ ⎜ ε +
⎟
jω ⎠
⎝
2
2
2 ⎛
Onde piane: caratteristiche
Hanno una forma del tipo
E (r ,ω ) = E 0e − j k ⋅r
(1)
r vettore posizione
k, vettore di propagazione, deve soddisfare la
k ⋅ k = k2
condizione di separabilità
perché la (1) rappresenti un’onda piana deve essere:
k ⋅ E0 = 0
definisce la polarizzazione
Onde piane: caratteristiche
Dalla condizione di separabilità....
k ⋅ k = k2
con
σ ⎞
k = ω με c = ω μ ⎜ ε +
⎟
jω ⎠
⎝
2
2 ⎛
2
k = β − jα
E (r ,ω ) = E 0e
−α ⋅r − j β ⋅r
e
ampiezza + polarizzazione
fase
Superfici equifase
superfici equifase = Φ(r) costante
β ⋅ r costante
β
β ⋅ r1 = β ⋅ r 2
β ⋅ (r1 − r 2 ) = 0
Piani!
P1P2 = (r1 − r 2 ) ⊥
β
Superfici equiampiezza
superfici equiampiezza = modulo costante
α ⋅ r costante
α
α ⋅ r1 = α ⋅ r 2
α ⋅ (r1 − r 2 ) = 0
Piani!
P1P2 = (r1 − r 2 ) ⊥ α
Velocità di fase
Nel caso generale si era trovato:
dr
ω
vf =
=
dt ∂Φ(r ,ω )
∂r
per l’onda piana, allora, lungo la direzione di β:
Φ (r ,ω ) = β ⋅ r
dr
ω
ω
vf =
=
=
dt ∂Φ (r ,ω ) β
∂r
Lunghezza d’onda
Si definisce lunghezza d’onda λ la distanza tra
due punti fra i quali esiste una differenza di fase
pari a 2π
Lungo la direzione di β:
β r2 − β r1 = 2π
λ = r2 − r1 =
λ
β
2π
β
Polarizzazione dell’onda
Luogo geometrico descritto dall’estremo libero del vettore
La condizione:
∇ ⋅ E (r ,ω ) = 0
diventa:
con
k = β − jα
k ⋅ E0 = 0
E 0 = E 0R + j E 0J
β ⋅ E 0R + α ⋅ E 0J = 0
β ⋅ E 0J − α ⋅ E 0R = 0
Polarizzazione
{
r
− j β ⋅r jωt
E (r , t ) = Re (E 0 R + j E 0 J )e
e
}
r
E (r , t ) = E 0 R cos(ωt − β ⋅ r ) − E 0 J sin (ωt − β ⋅ r )
η
E0J
r
E (r , t ) = E 0 R cos(ωt ) − E 0 J sin (ωt )
Luogo geometrico: ellisse
E0R
ξ
Stato di polarizzazione
η
E0J
E0R
ξ
χ = arc tang(E0J/E0R)
Polarizzazione ellittica
Un’onda piana polarizzata ellitticamente si può scomporre
come somma di due onde piane polarizzate linearmente
con uguale direzione di propagazione e polarizzazioni non
parallele e non in fase
(
)
E (r ,ω ) = x 0 + 2 j y 0 e − jβ ⋅z
E1 = ( x 0 )e
(
r
E1 = ( x 0 )cos(ωt − βz )
r
E2 = 2 y 0 cos ωt − βz − π
− jβ ⋅ z
( ) (
)
E 2 = 2 j y 0 e − jβ ⋅ z
( )
E ′2 = 2 y 0 e
( )
− jβ ⋅ z
(
r
E2′ = 2 y 0 cos(ωt − βz )
)
E (r ,ω ) = x 0 + 2 y 0 e − jβ ⋅z
2
)
Onde piane: campo magnetico
Il campo H si ottiene dalla prima equazione di
Maxwell
∇ × E (r ,ω ) = − jωμ H (r ,ω )
H (r ,ω ) = −
1
jωμ
(−
H (r ,ω ) = H 0e
j k ) × E (r ,ω ) =
− j k ⋅r
H0 =
1
ωμ
1
ωμ
k × E 0 e − j k ⋅r
k × E0
Classificazione delle onde
L’onda si definisce:
E
1. TEM (Trasversa ElettroMagnetica), se né E
né H hanno componenti lungo la direzione di
propagazione,
2. TE (Trasversa Elettrica), se E non ha
componenti lungo la direzione di
propagazione,
3. TM (Trasversa Magnetica), se H non ha
componenti lungo la direzione di
propagazione.
β
H
E
β
β
H
Potenza trasportata
Si calcola dal flusso del vettore di Poynting
attraverso una superficie
1
*(
(
)
(
)
S r ,ω = E r ,ω × H r ,ω )
2
onde piane uniformi
ζ= impedenza
caratteristica mezzo
1
1 2
S = EH =
E
2
2ζ
modulo del campo
Erms
E
=
2
S =
1
ζ
2
E rms
valore
quadratico
medio del campo
Attenuazione - CAMPO
L’onda si attenua:
Einiziale E0e −αx0
α ( x1 − x0 )
αl
A=
=
=
e
=
e
E finale E0e −αx1
Attenuazione in dB
( )
AdB = 20 log10 eαl = 20αl log10 e = 8.68αl
0.434
Attenuazione per unità di lunghezza
AdBudl = 8.68α
deciBel
AdB = 6 dB
Che significa?
6 = 20 log10A
A = 103/10 = 2
Il campo iniziale era il doppio di quello finale
N.B.: parliamo di campi... in potenza è:
AdB
⎛ Pin ⎞
⎟
= 10 log10 ⎜
⎜ Pfin ⎟
⎝
⎠
AdB = 3 dB è “il doppio”...
Profondità di penetrazione
La profondità di penetrazione è
definita come la distanza alla quale
l’onda si è attenuata di 1/e
E1 = 1
x1
1 −αδ
=e
e
E2 = 1/e
x2
δ
δ=
1
α
x
Costanti primarie e secondarie
Le costanti primarie sono quelle caratteristiche
del mezzo
ε , μ, σ
Le costanti secondarie sono definite come:
k = numero d’onda (per opu = cost prop)
k = ω με c
ζ = impedenza caratteristica del mezzo
μ
ζ =
εc
Ripasso
Forma onda piana:
E (r ,ω ) = E 0e − j k ⋅r = E 0e −α ⋅r e
− j β ⋅r
Condizione di separabilità: k ⋅ k = k 2 = (β − jα ) ⋅ (β − jα ) = ω 2 με c
Polarizzazione:
Velocità di fase:
⎧ β 2 − α 2 = ω 2 με
⎪
⎨
ωμσ
⎪β ⋅α =
⎩
2
k ⋅ E 0 = (β − jα ) ⋅ (E 0 R + j E 0 J ) = 0
r
E (r , t ) = E 0 R cos(ωt ) − E 0 J sin (ωt )
ω
vf =
β
Lunghezza d’onda: λ =
Attenuazione per unità di lunghezza AdBudl = 8.68α
2π
β
Problemi di radiazione
Determinazione del campo elettromagnetico
irradiato da un’antenna
Potenziale vettore magnetico
• Consideriamo un mezzo LSOI in cui siano presenti correnti impresse
• Per il principio di sovrapposizione degli effetti si possono considerare
prima le sole correnti elettriche e poi quelle magnetiche, ottenendo il
campo effettivo come somma di quelli dovuti alle due sorgenti
separatamente
• Consideriamo il caso di presenza delle sole correnti elettriche
J mi = 0
• Eseguendo la divergenza della prima di Maxwell, si ottiene (∇ ⋅ ∇ × E = 0 )
∇⋅H = 0
• Il campo H è quindi solenoidale e si può porre
H = ∇×A
• A è il potenziale vettore magnetico, definito a meno di un gradiente (∇ × ∇φ = 0 )
A ' = A + ∇φ
⇒
H = ∇ × A'
Potenziale scalare elettrico
• Sostituendo l’espressione di H nella prima di Maxwell
∇×E = −jω μ ∇×A
⇒
∇ × (E + j ω μ A ) = 0
• Il vettore tra parentesi è dunque irrotazionale e si può porre
E + j ω μ A = −∇V
⇒
E = − j ω μ A − ∇V
• Per un diverso potenziale vettore A′ = A + ∇φ
E = − j ω μ (A '−∇φ) − ∇V = − j ω μ A'−∇(V − j ω μ φ)
• Si può dunque porre
V' = V − j ω μ φ
⇒
E = − j ω μ A ' − ∇V '
• Si passa dalla coppia (A V) alla coppia (A′ V′) con la trasformazione di gauge
A ' = A + ∇φ
V' = V − j ω μ φ
Equazione di Helmholtz non omogenea nel
potenziale vettore magnetico
• Per determinare il campo elettromagnetico occorre determinare A e V
• Introducendo le espressioni per E e H nella seconda di Maxwell
∇ × ∇ × A = j ω ε c (− j ω μ A − ∇ V ) + J i
• Da cui si ottiene
∇∇ ⋅ A − ∇ 2 A = k 2 A − j ω ε c ∇V + J i
• Se A e V soddisfano la condizione di Lorenz
∇⋅A
j ω εc
• Si arriva all’equazione di Helmholtz non omogenea nel potenziale vettore A
∇ ⋅ A = − j ω εc V
⇒
V=−
∇ 2 A + k 2 A = −J i
• Ricavato A, si ha per E e H
∇∇ ⋅ A
∇∇ ⋅ A ⎞
⎛
= −j ω μ ⎜A +
E = −j ωμ A +
2 ⎟
j ω εc
⎝
k ⎠
H = ∇×A
Problema duale: presenza di sole correnti
magnetiche impresse
• Le equazioni per il caso in cui siano presenti le sole correnti magnetiche
impresse (Ji = 0) si ottengono applicando il principio di dualità
∇⋅E = 0
E = −∇ × F
F = potenziale vettore elettrico
H = − j ω ε c F − ∇U
U = potenziale scalare magnetico
∇⋅F = −jωμ U
∇ 2 F + k 2 F = − J mi
H = − j ω εc F +
∇∇ ⋅ F
jωμ
⇒
∇∇ ⋅ F ⎞
⎛
H = − j ω εc ⎜ F +
2 ⎟
⎝
k ⎠
Soluzione del problema di radiazione
• Consideriamo un mezzo LSOI in cui siano presenti solo correnti elettriche
impresse che occupino un volume limitato τ
• Il potenziale vettore magnetico A deve soddisfare l’equazione di Helmholtz
∇ 2 A + k 2 A = −Ji
• Proiettando l’equazione sui tre assi cartesiani x1, x2, x3 (x, y, z)
∇ 2 A s + k 2 A s = − J is
(s = 1, 2, 3)
• Ogni componente cartesiana di A deve soddisfare separatamente
un’equazione differenziale di Helmholtz non omogenea scalare
• L’equazione di Helmholtz, per poter essere risolta, richiede delle opportune
condizioni al contorno sul potenziale vettore, derivate a partire da quelle
sul campo elettromagnetico
• Se anche le condizioni al contorno si possono separare per le tre
componenti cartesiane, il problema complessivo da vettoriale diventa
scalare
Se le correnti irradiano in spazio libero il problema è scalarizzabile
Funzione di Green
• Per risolvere l’equazione di Helmholtz scalare introduciamo l’operatore L
(
L = − ∇2 + k 2
)
• Ponendo As = f e Jis = h
L f =h
• Si definisce funzione di Green dell’operatore L, con le associate condizioni al
contorno, la soluzione dell’equazione
L G ( r , r ' ) = δ( r − r ' )
r = punto di osservazione
r ' = punto di sorgente
• La funzione di Green rappresenta, in generale, la risposta impulsiva spaziale
del sistema rappresentato attraverso l’operatore L
Nel caso dell’equazione di Helmholtz per il potenziale vettore magnetico,
la funzione di Green rappresenta il potenziale prodotto da un impulso
spaziale di corrente
Soluzione mediante l’utilizzo della
funzione di Green
• Data una generica distribuzione di correnti impresse in τ, si può sempre
pensare di scomporla in una serie di infinite sorgenti impulsive di ampiezza
infinitesima
• Grazie al principio di sovrapposizione degli effetti, il potenziale sarà dato
dalla somma integrale dei potenziali dovuti alle singole sorgenti impulsive
• In formule...
L G ( r , r ' ) = δ( r − r ' )
• Moltiplicando per h(r′) e integrando su τ rispetto alla variabile r′
∫τ h (r ' ) L G (r, r ' ) dτ' = ∫τ h (r ' ) δ(r − r ' ) dτ'
• Osservando che L opera su r e può quindi essere portato fuori integrale
L ∫τ h (r ' ) G (r, r ' ) dτ' = h (r )
• Confrontando la precedente equazione con la L f = h
f (r ) = ∫τ h (r ' ) G (r, r ' ) dτ'
Equazione di Helmholtz scalare per lo spazio
libero e condizioni al contorno
• Il problema di radiazione per lo spazio libero riempito di un mezzo
LSOI richiede la soluzione dell’equazione di Helmholtz scalare
∇ 2 A s + k 2 A s = − J is
(s = 1, 2, 3)
• Le condizioni al contorno utilizzate, nel caso di un distribuzione di
sorgenti contenute in un volume τ limitato, sono le condizioni di
radiazione o di Sommerfeld
lim (r A s ) = l
r→∞
(s = 1, 2, 3)
⎡ ⎛ ∂A s
⎞⎤
lim ⎢r ⎜
+ j k A s ⎟⎥ = 0
r → ∞ ⎣ ⎝ ∂r
⎠⎦
(s = 1, 2, 3)
• La prima condizione impone che il potenziale vada a zero all’infinito
almeno come 1/r e deriva da considerazioni energetiche
• La seconda condizione impone che l’onda all’infinito abbia le
caratteristiche di un’onda sferica che si propaghi radialmente
allontanandosi dalle sorgenti
Funzione di Green per lo spazio libero (1/5)
• La funzione di Green per lo spazio libero deve soddisfare
(
)
− ∇ 2 + k 2 G ( r , r ' ) = δ( r − r ' )
• Facendo coincidere il punto di sorgente con l’origine (r′ = 0)
(
)
− ∇ 2 + k 2 G ( r ) = δ( r )
• Assumendo un sistema di coordinate sferiche e sfruttando la
simmetria sferica dello spazio libero e della sorgente
∂G
=0
∂θ
;
∂G
=0
∂ϕ
;
G (r ) = G (r )
• Esprimendo l’operatore ∇2 in coordinate sferiche
⎧ 1 d ⎡ 2 dG ( r ) ⎤
⎫
2
+
r
k
G
(
r
)
−⎨ 2
⎬ = δ( r )
⎥
⎢
dr ⎦
⎩ r dr ⎣
⎭
• Cercando la soluzione per r ≠ 0
1 d ⎡ 2 dG ( r ) ⎤
1 d
2
+
=
⇒
k
G
(
r
)
0
r
r dr
dr ⎥⎦
r 2 dr ⎢⎣
⎡ 2 dG (r ) ⎤
2
+
k
r G (r ) = 0
r
⎥
⎢⎣
dr ⎦
Funzione di Green per lo spazio libero (2/5)
• Imposizioni…
~
~
dG
dG dG
dG
~
G (r ) = r G (r ) ⇒
=r
+G ⇒ r
=
−G
dr
dr
dr
dr
• Moltiplicando per r l’ultima equazione
~
~
G
d
d
dG
G
~
=r
−r G = r
−G
r2
dr
dr
dr
• Sostituendo nell’equazione di partenza
~
~
~
~
1 d ⎛ dG ~ ⎞ 2 ~
1 ⎛⎜ dG
d 2G dG ⎟⎞ 2 ~
⎜⎜ r
+k G =0
+r 2 −
− G ⎟⎟ + k G = 0 ⇒
⎟
⎜
dr ⎠
r dr ⎝ dr
r ⎝ dr
dr
⎠
• Si giunge finalmente alla semplice equazione
~
d 2G
dr 2
~
+ k2 G = 0
• La soluzione cercata è dunque (k ≠ 0)
e− j k r
ejk r
~
−jk r
jk r
+ C2 e
⇒ G ( r ) = C1
+ C2
G (r ) = C1 e
r
r
Funzione di Green per lo spazio libero (3/5)
• Restano da imporre le condizioni al contorno, per determinare C1 e C2
• Per la prima condizione...
r G (r ) = C1 e − j k R r e − k J r + C 2 e j k R r e k J r = l per r → ∞
• Perché l’espressione risulti limitata per r → ∞ serve C2 = 0 (se kJ ≠ 0 ⇒
mezzo dissipativo)
• Per la seconda condizione...
~
dG
dG
+ jk r G =
− G + j k r G = j k − C1 e − j k r + C 2 e j k r +
r
dr
dr
−jk r
jk r ⎞
⎛ e− j k r
1⎞
e
e
jk r ⎛
⎜
⎟
+ ( j k r − 1) C1
+ C2
= −C1
+ C2 e
⎜ 2 j k − ⎟ = 0 per r → ∞
⎜
⎟
r⎠
r
r
r
⎝
⎝
⎠
(
)
• Perché l’espressione tenda a zero per r → ∞ serve C2 = 0 (anche se kJ = 0)
• In conclusione la soluzione è
e− j k r
G (r ) = C1
r
Funzione di Green per lo spazio libero (4/5)
• Per determinare C1 includiamo ora il punto r = 0 e consideriamo la sorgente
• Integriamo l’equazione di partenza ad un volume sferico τ0 di raggio r0 avente
centro nell’origine, limitato dalla superficie sferica S0
∫
− ∇ 2G dτ − k 2
τ0
∫
∫
G dτ =
τ0
δ ( r ) dτ
τ0
• Applicando il teorema della divergenza
−
∫
n ⋅ ∇G dS − k 2
∫
G dτ = 1 ⇒ −
τ0
S0
∫
S0
∂G
dS − k 2
∂n
∫
G dτ = 1
τ0
• Si ottiene, per la sfera di raggio r0
∫
dS − k 2
− 4π r02
dG
dr r = r0
dG
−
dr r = r0
⇒
S0
2π π
r0
∫ ∫∫
−k C
∫ dϕ ∫ sin θ dθ ∫
0
0
2
G r 2 sin θ dr dθ dϕ = 1 ⇒
0
2π
1
0
π
0
r0
0
r e − j k r dr = 1
Funzione di Green per lo spazio libero (5/5)
• Facendo tendere il raggio r0 della sfera a zero, dalla precedente
espressione si vede che il contributo dell’integrale volumetrico tenderà
anch’esso a zero, ottenendo
2π
r0
π
⎡
⎤
dG
−jk r
2
2
lim ⎢− 4π r0
− k C1 dϕ sin θ dθ
re
dr ⎥ =
dr r = r0
r0 →0 ⎢
⎥⎦
0
0
0
⎣
⎡
(− j k r0 − 1) e − j k r0 ⎤
2
= lim ⎢− 4 π r0 C1
⎥ = 4 π C1 = 1
2
r0 →0 ⎢⎣
r0
⎥⎦
∫ ∫
• Da cui si ottiene
1
C1 =
4π
⇒
∫
e− j k r
G (r ) =
4πr
• Se la sorgente non è posizionata nell’origine basterà sostituire r con |r – r′|,
ottenendo finalmente la funzione di Green per lo spazio libero
− j k r −r '
e
G (r, r ' ) =
4 π r − r'
Come si ricava il potenziale vettore?
• La conoscenza della funzione di Green per lo spazio libero permette di
ricavare il potenziale vettore prodotto da un’assegnata distribuzione di
correnti elettriche impresse nello spazio libero
∫
∫
− j k r −r '
e
A s (r ) = J is (r ' ) G (r, r ' ) dτ' = J is (r ' )
dτ'
4 π r − r'
τ
τ
• L’integrale va esteso a tutto lo spazio, ovvero al solo volume occupato dalle
sorgenti
• Moltiplicando per il versore coordinato x0s e sommando per s da 1 a 3
∫
− j k r −r'
e
A(r ) = J i (r ' )
dτ'
4 π r − r'
τ
• La precedente è la soluzione dell’equazione di Helmholtz vettoriale non
omogenea per il potenziale vettore magnetico in presenza di una generica
distribuzione di correnti elettriche impresse nello spazio libero