Vettori aleatori

Vettori aleatori
• Sullo stesso insieme Ω si possono definire più funzioni a valori
numerici,
X1 ($) , . . . , Xk ($)
• Una variabile aleatoria k-dimensionale o vettore aleatorio
X ($) = (X1 ($) , . . . , Xk ($)) è una funzione misurabile da
Ω a Rk .
• L’insieme di definizione o campo di variazione del vettore
aleatorio discreto X
RX =
[
X ($ ) =
n
o
k
(xi1, . . . , xik ) ∈ R , i = 1, 2, . . .
$∈Ω
ha per elementi le possibili configurazioni del vettore X ($).
• Funzione di probabilità (congiunta) di X1, . . . , Xk
pX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) =
PX1 ,...,Xk (X1 = x1 , . . . , Xk = xk )
0
(x1 , . . . , xk ) ∈ RX
altrove
• Proprietà
–
X
pX1,...,Xk (t1, . . . , tk ) = 1
(t1 ,...,tk )∈RX
–
PX1,...,Xk (A) =
X
(t1 ,...,tk )∈A
pX1,...,Xk (t1, . . . , tk )
• Il vettore aleatorio k-dimensionale (X1, . . . , Xk ) si dice continuo o dotato di densità se la probabilità che X assuma valori
nell’insieme A ∈ Bk è assegnata nel modo seguente
PX1,...,Xk (A) =
Z
···
Z
A
fX1,...,Xk (t1, . . . , tk ) dt1 · · · dtk
• La funzione fX è detta funzione di densità (congiunta) del
vettore aleatorio X = (X1, . . . , Xk ) ed è definita su tutto Rk
e tale che
fX (x) ≥ 0 per x ∈ Rk ,
Z
···
Z
Rk
fX (t1, . . . , tk ) dt1 · · · dtk = 1
• L’insieme RX ⊂ Rk in cui fX è strettamente positiva è detto
insieme di definizione del vettore aleatorio continuo.
• Funzione di ripartizione di un vettore aleatorio X = (X1, . . . , Xk )
FX1,...,Xk (x1, . . . , xk ) = PX1,...,Xk (X1 ≤ x1, . . . , Xk ≤ xk )
– Caso discreto per x1, . . . , xk ∈ Rk
FX1,...,Xk (x1, . . . , xk ) =
X
t1 ≤x1 ,...,tk ≤xk
pX1,...,Xk (t1, . . . , tk )
x ∈ Rk
– Caso continuo per x1, . . . , xk ∈ Rk
FX1,...,Xk (x1, . . . , xk ) =
Z x
1
−∞
···
Z x
k
−∞
fX1,...,Xk (t1, . . . , tk ) dt1 · · · dtk
La densità di un vettore aleatorio k-dimensionale continuo X è uguale (eccetto che negli eventuali punti di discontinuità) alla derivata k-esima mista della funzione di
ripartizione FX
∂ k F X (x1 , . . . , x k )
f X (x) =
∂x1 · · · ∂xk