Capitolo 3

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Dicembre 3, 2004
47
CAPITOLO 3
Flussi incomprimibili
non viscosi
Introduzione In questo capitolo studieremo le equazioni che governano i flussi
incomprimibili di un fluido non viscoso. In particolare ricaveremo le equazioni
di Eulero, già dedotte nel paragrafo 2.5, seguendo però un procedimento diverso.
Assumeremo subito che il flusso sia incomprimibile e che il fluido sia di densit à
uniforme. Applicheremo quindi la legge fondamentale della dinamica alle particelle nel caso di un flusso che rispetti le assunzioni fatte. Per seguire il nuovo
procedimento è necessario ricavare l’espressione dell’accelerazione delle particelle
del fluido. A questa importante grandezza cinematica è possibile giungere mediante
il concetto di rapidità di variazione seguendo il moto del fluido.
3.1 Rapidità di variazione “seguendo il fluido”
Sia f (r, t) una proprietà riguardante un fluido in movimento. Ad esempio f
potrebbe essere la densità ρ o la pressione P del fluido oppure una componente
cartesiana della sua velocità u. Allora la derivata parziale ∂ f /∂t rappresenta la
rapidità di variazione di f in un punto fissato r, cioè in una determinata posizione
dello spazio.
Consideriamo ora una particella che è immersa nel fluido e che si muove
dentro di esso in base a una legge del moto assegnata, data ad esempio da R(t) =
[X (t), Y (t), Z (t)], dove le tre funzioni X (t), Y (t) e Z (t) sono note. Il moto di
tale particella non ha nulla a che vedere con il moto del fluido circostante. Come
esempio possiamo immaginare che la particella sia un insetto che vola liberamente
nell’aria, la quale si muove a sua volta in un modo descritto da un campo di velocit à
u = u(r, t).
Se si vuole determinare come varia la grandezza f per un osservatore solidale
con la particella (nell’esempio considerato, l’insetto) occorre introdurre la funzione
composta (funzione di funzione)
F(t) ≡ f (R(t), t).
La rapidità di variazione di f percepita dall’osservatore sarà allora data dalla
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CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
derivata (ordinaria) della funzione F(t) (di una sola variabile)
d f (R(t), t)
d F(t)
=
.
dt
dt
Questa derivata può essere calcolata mediante la regola di derivazione delle funzioni
composte che fornisce
d f (R(t), t)
d f (X (t), Y (t), Z (t), t)
d F(t)
=
=
dt
dt
dt
∂ f d X (t) ∂ f dY (t) ∂ f d Z (t)
∂f
+
+
+
=
∂t
∂ x dt
∂y dt
∂z dt
=
∂ f (R(t), t)
dR(t)
+ [ f (R(t), t)]
,
∂t
dt
dove nella seconda riga della formula f è un’abbreviazione di f (X (t), Y (t), Z (t), t).
Introducendo la velocità istantanea della particella
V(t) ≡
dR(t)
,
dt
e sfruttando la simmetria del prodotto scalare, la rapidità di variazione considerata
si scrive anche come
d F(t)
∂ f (R(t), t)
=
+ V(t)
dt
∂t
f (R(t), t).
I due termini del membro di destra rappresentano la rapidità di variazione di f percepita dall’osservatore in conseguenza, rispettivamente, della variazione temporale
del campo scalare f (r, t) nel punto r e del movimento proprio dell’osservatore, che
ha la velocità V(t) all’istante t.
Se ora consideriamo un osservatore che si muove con la stessa velocit à u(r, t)
del fluido nel punto r, potremo interpretare la somma dei due termini
∂ f (r, t)
+ u(r, t)
∂t
f (r, t)
come la rapidità di variazione di f “seguendo il fluido” nel punto r all’istante t.
Questo argomento mostra l’opportunità di definire il seguente operatore differenziale composito
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PARAGRAFO 3.1: Rapidità di variazione “seguendo il fluido”
∂
D
≡
+u
Dt
∂t
49
,
mediante il quale intenderemo, per definizione,
∂f
Df
≡
+u
Dt
∂t
f.
(r,t)
L’espressione D fDt
è talvolta chiamata “derivata” materiale o anche “derivata”
D
sostanziale. Si tratta di una denominazione impropria, in quanto l’operatore Dt
non è affatto una derivata. Infatti le derivate possono essere di due tipi: ordinarie o
D
parziali. Il simbolo Dt
rappresenta solo una combinazione di due derivate parziali,
una rispetto al tempo e l’altra rispetto allo spazio. Quest’ultima rappresenta la
derivata direzionale nella direzione della velocità u(r, t), calcolata nel punto r e
moltiplicata per il modulo della velocità |u(r, t)|, giacché la derivata direzionale è
definita considerando un versore.
D
Come vedremo, l’operatore Dt
permette di scrivere in modo leggermente più
compatto alcune equazioni della dinamica dei fluidi. Tuttavia questo operatore
sottintende sempre la presenza di un campo di velocità u(r, t), in assenza del quale
esso è privo di significato. In altre parole, una notazione pi ù corretta richiederebbe
di precisare il campo della velocità u(r, t) e potrebbe quindi essere la seguente
∂
Du
≡
+u
Dt
∂t
.
D
In virtù della sua definizione, l’operatore Dt
risulta comodo nei casi in cui
una grandezza fisica relativa a una proprietà del fluido in movimento, indicata ad
esempio con f , rimane costante per un determinato elemento di fluido. Quando ci ò
accade, la funzione f (r, t) soddisfa l’equazione
Df
= 0.
Dt
Questa equazione significa solo che il valore di f relativo a ciascun elemento
di fluido rimane sempre lo stesso, mentre elementi differenti del fluido possono
comunque avere valori differenti di f .
Un caso particolare del mantenimento dello stesso valore di una propriet à del
fluido da parte delle sue particelle si ha quando il flusso è stazionario. In questo caso
risulterà ovviamente u = u(r) ma anche f = f (r) per cui ∂ f /∂t = 0. L’equazione
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50
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CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
precedente che esprime la costanza di f relativamente a ciascuna particella di fluido
si semplifica nell’equazione seguente
u(r)
f (r) = 0.
Siccome il membro di sinistra è semplicemente la derivata direzionale, il suo annullamento significa che f non varia lungo tutta la linea di corrente passante per r.
Quindi, se la grandezza f soddisfa l’equazione appena scritta, tutte le particelle di
fluido relative a una linea di corrente del flusso stazionario hanno lo stesso valore
di f . Questa proprietà non comporta tuttavia che tutte le linee di corrente debbano
avere lo stesso valore di f e in generale f avrà valori differenti su linee di corrente
differenti. Supponiamo, ad esempio, che il flusso sia in direzione x ovunque per
cui l’equazione precedente diventa u ∂ f /∂ x = 0, per cui, se u 6= 0, deve essere
∂ f /∂ x = 0. Questa equazione dice che f è indipendente da x ma non dà alcuna
indicazione su come f possa dipendere da y o z o da entrambi.
Accelerazione del fluido
La definizione di
D f (r, t)
Dt
può essere applicata supponendo che la funzione f rappresenti successivamente le
componenti cartesiane della velocità u, v e w. Ad esempio possiamo considerare
la rapidità con cui varia la componente x della velocità, cioè u, seguendo il fluido
che sarà data da
∂u
Du
≡
+ u u,
Dt
∂t
e analogamente per le altre due componenti v e w. Sommando vettorialmente le
relazioni relative alle tre componenti della velocità si ottiene
Du
∂u
≡
+ (u )u.
Dt
∂t
Per definizione questa quantità rappresenta la rapidità di variazione del vettore
velocità u seguendo la particella di fluido, ovverosia è l’accelerazione del fluido
nel punto r e all’istante t. Scriveremo quindi
a≡
∂u
+ (u
∂t
)u,
dove l’accelerazione a deve essere intesa rappresentare un campo vettoriale, ovvero
a = a(r, t), proprio come accade per la velocità u = u(r, t),
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PARAGRAFO 3.1: Rapidità di variazione “seguendo il fluido”
51
Esempio 1
Accelerazione del campo di velocità della rotazione rigida
Come semplice verifica della relazione dell’accelerazione appena ottenuta consideriamo un fluido in moto con la velocità di rotazione rigida e velocità angolare
costante, u(r) = −Ωy x̂ + Ω x ŷ, studiato negli esempi 1 e 2 del paragrafo 2.1.
In questo caso il campo u(r) è stazionario e quindi ∂u/∂t = 0, per cui risulta
∂
∂
(−Ωy, Ω x, 0)
(u )u = −Ωy
+ Ωx
∂x
∂y
= −Ω 2 (x, y, 0) = −Ω 2 r⊥ ,
dove r⊥ rappresenta la componente del vettore posizione r normale all’asse z,
ovvero r⊥ = x x̂ + y ŷ. Questo è quanto ci attendevamo: il vettore −Ω 2 r⊥ , o
meglio il campo vettoriale a(r) = −Ω 2 r⊥ , rappresenta la ben nota accelerazione
centripeta, che in modulo vale Ω 2 r⊥ ed è diretta verso l’asse di rotazione z.
Esempio 2 Accelerazione della rotazione rigida in coordinate cilindriche
Il termine (u )u può essere calcolato anche partendo dal campo di velocità della
rotazione rigida espresso in coordinate cilindriche:
u(r) = Ω R ˆ ,
e ricorrendo all’operatore
= R̂
espresso nelle stesse coordinate:
∂
1 ∂
∂
+ˆ
+ ẑ .
∂R
R ∂θ
∂z
Risulta
∆ˆ
ˆ (θ )
1
(u
ˆ (θ)
∆θ
θ
θ1
Ad illustrazione della
derivata d ˆ (θ)/dθ = −R̂(θ): notare
che |∆ ˆ | = ∆θ, per cui |d ˆ /dθ| = 1
)u = u θ (R)
[u θ (R)]2 ∂ ˆ (θ)
1 ∂
u θ (R) ˆ (θ) =
.
R ∂θ
R
∂θ
Ricordando ora la ben nota proprietà ∂ ˆ (θ)/∂θ = −R̂(θ) del versore non costante
ˆ (θ), si ottiene
(u
Figura 3.1
)u =
[Ω R]2 ∂ ˆ (θ)
= −Ω 2 R R̂(θ).
R
∂θ
Quindi si è ottenuta la stessa accelerazione centripeta calcolata mediante le coordinate cartesiane nell’esempio precedente.
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CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
Esempio 3
Accelerazione in coordinate cartesiane
Le componenti cartesiane del vettore accelerazione a = a x x̂ + a y ŷ + az ẑ delle
particelle di fluido sono date dalle relazioni
∂u
+u
∂t
∂v
ay =
+u
∂t
∂w
az =
+u
∂t
ax =
u
v
w
essendo l’operatore di advezione scalare in coordinate cartesiane definito da
u=u
u
∂u
∂u
∂u
+v
+w .
∂x
∂y
∂z
Esempio 4 Accelerazione in coordinate cilindriche
Le componenti cilindriche del vettore accelerazione
a = a R R̂ + aθ ˆ + az ẑ
delle particelle di fluido sono date dalle relazioni
∂u R
+u
∂t
∂u θ
aθ =
+u
∂t
∂u z
az =
+u
∂t
aR =
u 2θ
R
u R uθ
uθ +
R
uR −
uz
dove l’operatore di advezione scalare in coordinate cilindriche è definito da
u
u = uR
∂u
∂u
u θ ∂u
+
+ uz .
∂R
R ∂θ
∂z
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PARAGRAFO 3.2: Vincolo di incomprimibilità
53
Esempio 5
Accelerazione in coordinate sferiche
Le componenti sferiche del vettore accelerazione
a = ar r̂ + aθ ˆ + aφ ˆ
delle particelle di fluido sono date dalle relazioni
ar =
∂u r
+u
∂t
∂u θ
+u
∂t
∂u φ
aφ =
+u
∂t
aθ =
ur −
u 2θ + u 2φ
r
u 2φ cot θ
ur u θ
−
r
r
ur u φ
u θ u φ cot θ
uφ +
+
r
r
uθ +
dove l’operatore di advezione scalare in coordinate sferiche è definito da
u
u = ur
∂u
u θ ∂u
u φ ∂u
+
+
.
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
3.2 Vincolo di incomprimibilità
Supponiamo che il flusso sia incomprimibile nel senso che la densit à ρ del fluido
può essere supposta costante, indipendente sia dal tempo sia dalla posizione spaziale,
ovvero ρ = ρ, dove ρ indica una costante (positiva) determinata. Come abbiamo
visto nel paragrafo 2.5, in questo caso particolare la legge di conservazione della
massa si riduce semplicemente alla condizione d’incomprimibilit à
u = 0 che
deve essere soddisfatta dal campo della velocità u(r, t) in ogni punto r e in ogni
istante t.
Vogliamo ora ricavare la stessa equazione utilizzando il principio di conservazione della massa e sfruttando immediatamente l’ipotesi che la densit à del fluido
è costante. Consideriamo come nel paragrafo 2.2 una superficie chiusa S che delimita una regione fissa V contenuta nello spazio in cui si muove il fluido. Il fluido
entra nella regione V attraverso alcune parti della superficie S e ne esce da altre.
Indicando con n̂ la normale uscente da V in un punto generico di S, la componente
della velocità u normale alla superficie sarà data da u n̂. Pertanto la quantità di vol
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CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
ume di fluido che esce dall’elemento di superficie d S per unità di tempo è u n̂ d S.
La rapidità con cui il volume (netto) di fluido esce da V attraverso S è quindi
I
u n̂,
S
usando sempre la convenzione di omettere l’elemento infinitesimo di superficie d S
dell’integrale. Ma, nel caso di flusso incomprimibile con densit à del fluido uniforme
in ogni suo punto, questa quantità, una volta moltiplicata per la densità costante ρ
è semplicemente la rapidità con cui la massa (netta) del fluido esce da V
ρ
I
u n̂.
S
La legge di conservazione della massa dice che questa quantità è necessariamente
nulla perché il fluido, essendo la sua densità sempre la stessa in ogni istante e in
ogni punto, deve avere un flusso netto di massa nullo attraverso la superficie chiusa
S. Pertanto, dividendo per la costante ρ > 0, la conservazione della massa per il
flusso incomprimibile è espressa dalla condizione
I
u n̂ = 0
S
valida per qualunque superficie chiusa S. L’applicazione del teorema della divergenza fornisce immediatamente
Z
V
u = 0.
Per l’arbitrarietà della regione V e supponendo che la funzione integranda sia
continua, si deduce immediatamente che la funzione
u deve essere nulla in ogni
punto, ovvero:
u=0
per ogni r ∈ V e ogni t. Come già indicato, questa equazione costituisce la condizione di incomprimibilità e rappresenta un vincolo che il campo della velocità
u(r, t) deve soddisfare in ogni punto r e, nel caso di flusso effettivamente variabile
nel tempo, per ogni istante t.
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PARAGRAFO 3.3: Equazioni di Eulero incomprimibili
55
3.3 Equazioni di Eulero incomprimibili
Nel caso di flusso incomprimibile con un fluido di densità uniforme, l’equazione
della quantità di moto del fluido può essere ricavata dalla seconda legge della
dinamica considerando un elementino di fluido contenuto nel volume δV e quindi
avente massa elementare δm = ρ δV . La seconda legge di Newton applicata a
questo elemento di fluido permette allora di scrivere δm a = ρ δV a = δf, dove a
è l’accelerazione dell’elemento di fluido e δf rappresenta la risultante delle forze
agenti su di esso.
Come già visto nel caso statico discusso nel capitolo 1 e nel caso dinamico
discusso nel paragrafo 2.3, per un fluido non viscoso la forza agente sull’elemento
di fluido contenuto in δV comprenderà la forza dovuta alla pressione esercitata
sulla superficie dell’elemento di fluido da parte del fluido all’esterno e le forze di
volume agenti sull’elemento di fluido, come ad esempio la forza gravitazionale.
La risultante δf di queste forze elementari è quindi data dalla seguente somma
vettoriale
δf = −( P)δV + ρ δV g.
Ricordando l’espressione dell’accelerazione delle particelle del fluido ricavata nel
paragrafo 3.1, la legge fondamentale della dinamica applicata all’elemento di fluido
considerato fornisce
ρ δV
∂u
+ (u
∂t
)u = (− P + ρ g) δV.
Semplificando il fattore comune δV e dividendo per la costante ρ si ottiene
l’equazione per la velocità e la pressione
∂u
+ (u
∂t
)u +
P
= g,
ρ
valida per un flusso incomprimibile di un fluido avente densit à uniforme e viscosità
nulla. Il termine contenente il P è scritto nel primo membro dell’equazione
perché la pressione P è una variabile incognita.
Questa equazione deve essere messa a sistema con la condizione d’incomprimibilità dedotta dal principio di conservazione della massa nel paragrafo precedente.
Otteniamo quindi il sistema di equazioni
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CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
∂u
+ (u
∂t
Queste equazioni di Eulero
incomprimibili coincidono con le
equazioni ricavate nel paragrafo
2.5
P
= g,
ρ
)u +
u = 0,
note con il nome di equazioni di Eulero per i flussi incomprimibili. Le incognite
del sistema sono il campo vettoriale della velocità u(r, t) e il campo della pressione
P(r, t), mentre la densità ρ è una costante nota. Il sistema è costituito da due
equazioni, la prima vettoriale e la seconda scalare, per cui abbiamo un numero di
equazioni uguale al numero di incognite. Il campo della forza esterna g potr à anche
essere diverso dal campo gravitazionale e in generale potrà dipendere dallo spazio
ed eventualmente anche dal tempo, ovvero, g = g(r, t).
Esempio 1
Equazioni di Eulero incomprimibili in coordinate cilindriche
Se la regione in cui si muove il fluido è assisimmetrica, ossia è invariante per
rotazioni attorno a un asse che chiameremo asse z, allora è conveniente utilizzare
un sistema di cordinate cilindriche per descrivere il moto del fluido. Ricordando
l’espressione dell’accelerazione in coordinate cilindriche vista nell’esempio 4, le
equazioni di Eulero per i flussi incomprimibili assumono la forma seguente
∂u R
+u
∂t
∂u θ
+u
∂t
∂u z
+u
∂t
uR −
u 2θ
1 ∂P
+
= g R (R, θ, z),
R
ρ ∂R
uθ +
u R uθ
1 ∂P
+
= gθ (R, θ, z),
R
ρ R ∂θ
uz +
1 ∂P
= gz (R, θ, z),
ρ ∂z
1 ∂u θ
∂u z
1 ∂(Ru R )
+
+
= 0.
R ∂R
R ∂θ
∂z
Ovviamente il termine noto g associato alle forze di volume è scomposto in coordinate cilindriche ed è espresso come funzione delle medesime coordinate.
Nel caso particolare in cui il campo di forza g e il campo di velocità iniziale u0
sono assisimmetrici, ossia indipendenti da θ, per cui g = g(R, z) e u 0 = u0 (R, z),
nelle regione assisimmetrica sono possibili soluzioni del campo di moto aventi la
stessa simmetria di invarianza per rotazioni attorno all’asse. Tali soluzioni sono
allora del tipo
u = u(R, z, t)
e
P = P(R, z, t).
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PARAGRAFO 3.3: Equazioni di Eulero incomprimibili
57
I campi u(R, z, t) e P(R, z, t) sono allora governati dalle equazioni di Eulero per
i flussi incomprimibili assisimmetrici ottenute dalle precedenti eliminando tutti i
termini contenenti la derivata rispetto a θ, ovvero,
∂u R
+u
∂t
∂u θ
+u
∂t
∂u z
+u
∂t
uR −
u 2θ
1 ∂P
+
= g R (R, z),
R
ρ ∂R
u θ = gθ (R, z),
uz +
1 ∂P
= gz (R, z),
ρ ∂z
1 ∂(Ru R ) ∂u z
+
= 0.
R ∂R
∂z
Naturalmente, nel caso assisimmetrico considerato l’operatore di advezione scalare
in coordinate cilindriche si riduce a
u
u = uR
∂u
∂u
+ uz
∂R
∂z
(assisimmetrico).
Esempio 2
Equazioni di Eulero incomprimibili in coordinate sferiche
Se la regione in cui si muove il fluido è delimitata da due superfici sferiche concentriche, allora è conveniente utilizzare un sistema di cordinate sferiche per descrivere il moto del fluido. Ricordando l’espressione dell’accelerazione in coordinate
sferiche vista nell’esempio 5, le equazioni di Eulero per i flussi incomprimibili
assumono la forma seguente
∂u r
+u
∂t
∂u θ
+u
∂t
ur −
uθ +
u 2θ + u 2φ
r
+
1 ∂P
= gr (r, θ, φ),
ρ ∂r
u 2φ cot θ
ur u θ
1 ∂P
−
+
= gθ (r, θ, φ),
r
r
ρ r ∂θ
ur u φ
∂P
u θ u φ cot θ
1
+
+
= gφ (r, θ, φ),
r
r
ρ r sin θ ∂φ
1
1 ∂u φ
∂
1 ∂ 2 r ur +
sin θ u θ +
= 0.
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
∂u φ
+u
∂t
uφ +
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 58 colore nero
58
Dicembre 3, 2004
CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
Ovviamente il termine noto g associato alle forze di volume è scomposto in coordinate sferiche ed è espresso come funzione delle medesime coordinate.
Nel caso particolare in cui il campo di forza g e il campo di velocità iniziale u0
sono assisimmetrici, ossia indipendenti da φ, per cui g = g(r, θ) e u 0 = u0 (r, θ),
nelle regione sferica sono possibili soluzioni del campo di moto aventi la stessa
simmetria di invarianza per rotazioni attorno all’asse. Tali soluzioni sono allora del
tipo
u = u(r, θ, t)
P = P(r, θ, t).
e
I campi u(r, θ, t) e P(r, θ, t) sono allora governati dalle equazioni di Eulero per
i flussi incomprimibili assisimmetrici ottenute dalle precedenti eliminando tutti i
termini contenenti la derivata rispetto a φ, ovvero,
∂u r
+u
∂t
∂u θ
+u
∂t
ur −
uθ +
u 2θ + u 2φ
r
+
1 ∂P
= gr (r, θ),
ρ ∂r
u 2φ cot θ
1 ∂P
ur u θ
−
+
= gθ (r, θ),
r
r
ρ r ∂θ
∂u φ
u θ u φ cot θ
ur u φ
+ u uφ +
+
= gφ (r, θ),
∂t
r
r
1 ∂ 2 ∂
1
r ur +
sin θ u θ = 0,
r 2 ∂r
r sin θ ∂θ
dove l’operatore di advezione scalare in coordinate sferiche nel caso assisimmetrico
si riduce a
u
u = ur
∂u
u θ ∂u
+
∂r
r ∂θ
(assisimmetrico).
3.4 Condizione iniziale e condizione al contorno
Le equazioni di Eulero sono delle equazioni differenziali alle derivate parziali e da
sole non costituiscono ancora un problema completo. Infatti, come in qualunque
problema differenziale, queste equazioni richiedono la specificazione di alcune
condizioni supplementari per ottenere un problema ben posto, un problema cio è che
ammetta una sola soluzione (in un senso opportuno) almeno nei casi pi ù semplici.
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Dicembre 3, 2004
PARAGRAFO 3.4: Condizione iniziale e condizione al contorno
59
La stessa necessità di introdurre condizioni supplementari si incontra nella risoluzione
dei problemi di dinamica di un punto materiale dove la legge fondamentale della dinamica d 2r/dt 2 = f(r, v) richiede di specificare le due condizioni iniziali r(0) = r 0
e v(0) = v0 per potere determinare il moto del corpo. Nel caso delle equazioni di
Eulero è necessario specificare una sola condizione iniziale: la velocit à iniziale del
fluido in ogni punto, ovvero,
u(r, 0) = u0 (r),
S
bn
u tang
u
bn
dove u0 (r) è un campo di velocità noto. Ciò è conforme alla circostanza che
l’equazione dinamica della velocità è del primo ordine nel tempo e che nel punto
di vista euleriano qui adottato la posizione delle particelle del fluido durante il loro
moto non interessa.
Ma il sistema delle equazioni di Eulero è differenziale anche dal punto di vista
spaziale per il fatto che esse contengono anche le derivate rispetto alle coordinate
spaziali: il gradiente, la divergenza e l’operatore di derivata direzionale. Come
conseguenza, per ottenere un problema che possa avere una sola soluzione occorre
specificare delle condizioni al contorno. Il tipo di condizioni che possono o
debbono essere fornite dipende dal tipo di equazioni e dalla natura del contorno del
problema in esame.
Senza alcuna pretesa di analizzare questo aspetto in modo completo, nel caso
delle equazioni per flussi incomprimibili non viscosi abbiamo una sola condizione
al contorno scalare da imporre su tutta la frontiera del dominio V in cui si studia il
moto del fluido. La condizione consiste nello specificare il valore della componente
della velocità normale alla frontiera S = ∂ V . Questa condizione al contorno per
l’incognita u sarà scritta allora nel modo seguente
n̂ u(r, t)|S = bn (r S , t)
Figura 3.2
Nei fluidi non viscosi
solo la componente normale della
velocità può essere imposta sul
contorno (figura superiore): la velocità
della soluzione avrà in generale anche
una componente tangente al contorno
diversa da zero (figura inferiore)
con r S ∈ S. Il valore al contorno bn (r S , t) della componente normale della velocità
deve essere specificato per ogni punto r S ∈ S e ogni istante t > 0. Notare che
bn (r S , t) rappresenta una funzione scalare e che la sua variabile spaziale è indicata
con r S per evidenziare che il dominio di tale variabile è limitato alla sola frontiera
S. È importante osservare che nel caso di problemi con un fluido non viscoso la
condizione al contorno della velocità riguarda solo la componente normale. Questo
non sigifica però che la velocità u della soluzione debba essere normale al contorno.
Infatti il campo di moto che si ottiene dalla risoluzione delle equazioni di Eulero
avrà in generale la componente tangente al contorno diversa da zero.
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60
Dicembre 3, 2004
CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
Nel caso particolare in cui una parte del contorno coincide con un corpo solido
fermo, che non permette il passaggio del fluido attraverso la sua superficie, la
condizione su questa superficie diventa omogenea
n̂ u(r, t)|solido fermo = 0
e si chiama condizione al contorno di non penetrabilit à. Notiamo che questa
condizione lascia la velocità libera di avere componenti tangenti al contorno diverse
da zero, per cui il modello fisico descritto dalle equazioni di Eulero permette uno
slittamento del fluido sulle pareti dei corpi solidi.
È necessario sottolineare che queste condizioni supplementari sono altrettanto
importanti quanto le equazioni differenziali che governano il moto del fluido. In
realtà, il tipo di condizioni che è lecito e necessario imporre è legato strettamente
alla natura delle equazioni differenziali stesse, sicché le condizioni iniziali e al
contorno possono essere considerate come una parte integrante delle equazioni
medesime. Ad esempio, un elemento distintivo delle due equazioni di Eulero è
l’assenza di un termine con derivata temporale (prima) nella seconda equazione,
cioè nella condizione d’incomprimibilità. Corrispondentemente, in questo sistema
la pressione iniziale non può essere imposta, anzi sarebbe sbagliato pensare di farlo.
Una volta arricchito dall’aggiunta delle sue condizioni supplementari iniziali
e al contorno, il sistema delle equazioni di Eulero costituir à il seguente problema
completo
∂u
+ (u
∂t
)u +
P
= g,
ρ
u = 0,
u(r, 0) = u0 (r),
n̂ u(r, t)|S = bn (r S , t).
Questo problema presenta una particolarità che costituisce un evidente paradosso.
Se i campi u(r, t) e P(r, t) soddisfano le equazioni e le condizioni del problema,
e quindi forniscono una sua soluzione, allora anche la coppia [u(r, t), P(r, t) +
C(t)], dove C(t) è una funzione arbitraria, è soluzione delle medesime equazioni e
condizioni. Questo si verifica facilmente sostituendo questi campi nelle equazioni
e nelle condizioni e osservando che C(t) = 0, poiché C(t) non dipende da r.
Pertanto, data una soluzione del problema delle equazioni di Eulero incomprimibili, esistono infinite altre soluzioni che differiscono soltanto per il valore di
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Dicembre 3, 2004
PARAGRAFO 3.4: Condizione iniziale e condizione al contorno
61
riferimento della pressione, valore che può inoltre essere scelto arbitrariamente in
ogni istante. Questa situazione è conseguenza dell’ipotesi d’incomprimibilità, che è
alla base del sistema di equazioni in esame, ma deriva anche dall’avere considerato
un problema nel quale la velocità normale è prescritta su tutto il contorno S. Ciò
accade tipicamente nello studio del moto di un fluido in una regione completamente
delimitata da pareti rigide. I flussi di questo tipo sono detti flussi confinati.
Dal punto di vista fisico, il valore assoluto della variabile termodinamica
pressione non può essere variato senza che questo si rifletta sulle altre variabili
termodinamiche del fluido. Quindi siamo di fronte a un’incongurenza fra la descrizione teorica fornita dalle equazioni di Eulero per flussi incomprimibili e i
principi della termodinamica. In effetti, come si è già accennato nei paragrafi 2.4
e 2.5, l’introduzione dell’ipotesi di incomprimibilit à del flusso ha estromesso ogni
considerazione termodinamica dal quadro descrittivo del moto del fluido. Pertanto
il paradosso dell’arbitrarietà del livello della pressione nei flussi incomprimibili in
regioni confinate è una conseguenza diretta dell’ipotesi di incomprimibilità e non esisterà più nell’ambito della dinamica dei fluidi comprimibili, dove la termodinamica
gioca tutto il suo ruolo.
Le condizioni al contorno considerate, con la velocità normale specificata
su tutto il contorno, sono le più semplici dal punto di vista della teoria delle
equazioni incomprimibili: in questo caso l’unicità dalla soluzione delle equazioni
di Eulero appena scritte (che può verificarsi sotto opportune condizioni) deve essere
intesa nel senso che la pressione è definita a meno di una funzione additiva C(t)
completamente arbitraria. Tale funzione non ha comunque alcuna conseguenza sul
moto del fluido perché la forza agente dovuta alla pressione è data dal termine P.
Notiamo infine che nei problemi in cui il fluido entra nel domino (flussi aperti
e flussi esterni) è possibile specificare il valore della pressione su una parte del contorno al posto di quello della velocità normale. In questi casi il campo di pressione
della soluzione delle equazioni incomprimibili non risente pi ù dell’arbitrarietà del
caso dei flussi in una regione confinata ed è definito univocamente in modo assoluto
poiché la variabile P compare direttamente in una condizione al contorno e non
solo come argomento dell’operatore gradiente.
Condizioni di compatibilità dei (e fra i) dati
I dati delle condizioni iniziale e al contorno u0 (r) e bn (r S , t) del problema considerato non possono essere assegnati in modo del tutto libero e indipendentemente
l’uno dall’altro. Gli effetti di questa limitazione riguardano direttamente il campo
della velocità iniziale u0 che dovrà essere necessariamente solenoidale, in virtù
dell’incomprimibilità del flusso. In altre parole la velocità iniziale u0 deve soddis-
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62
Dicembre 3, 2004
CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
fare la condizione di compatibilità
u0 = 0.
Ma anche il dato al contorno bn (r S , t) non può essere scelto in modo completamente arbitrario. Infatti, integrando la condizione al contorno su tutta la superficie
S, si ottiene immediatamente
I
n̂ u(r, t)|S =
S
I
bn (r S , t),
S
per ogni istante di tempo t > 0. D’altra parte, in virt ù del teorema della divergenza
l’integrale al primo membro si può trasformare in un integrale di volume, ovvero,
Z
V
u(r, t) =
I
bn (r S , t).
S
Siccome il campo della velocità deve essere solenoidale per ∀t > 0, l’integrale al
primo membro è nullo e quindi deve necessariamente essere
I
S
bn (r S , t) = 0
per ogni t > 0. Questa è una condizione di compatibilità globale che il dato al
contorno bn (r S , t) deve rispettare per ogni t > 0 affinché il campo di velocità possa
soddisfare sempre il vincolo d’incomprimibilità.
Nello studio dei flussi attorno a corpi che partono in modo impulsivo, argomento sul quale non ci soffermiamo, esiste una ulteriore condizione che esprime la
compatibilità fra il dato iniziale e il dato al contorno, su S e per t = 0. Quest’ultima
condizione di compatibilità ha la forma seguente
n̂ u0 (r)|S = bn (r S , 0).
L’insieme delle tre condizioni di compatibilità è quindi dato da
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PARAGRAFO 3.5: Equazione della quantità di moto con la vorticità
I
S
63
u0 = 0,
bn (r S , t) = 0,
n̂ u0 (r)|S = bn (r S , 0).
Nel caso dei problemi stazionari, non esiste alcun dato iniziale e il valore
prescritto sul contorno per la velocità normale non dipende dal tempo, abbiamo
cioè bn = bn (r S ). Allora vi sarà la sola condizione di compatibilità globale
I
S
bn (r S ) = 0.
3.5 Equazione della quantità di moto con la vorticità
L’equazione della quantità di moto per un flusso incomprimibile può essere scritta
in una forma alternativa, ma del tutto equivalente, che è particolarmente utile nel
caso di flussi stazionari e di flussi irrotazionali. Mediante l’identit à vettoriale1
|u|2 = 2 u
u + 2 (u
)u
il termine non lineare (u )u dell’equazione della quantità di moto può essere
riscritto nella forma seguente
)u = (
(u
u) u +
1
2
|u|2 .
Questa forma del termine non lineare si chiama forma rotazionale in quanto contiene il rotore della velocità e viene spesso scritta facendo comparire esplicitamente
la vorticità =
u, ovvero
(u
)u =
u+
1
2
|u|2 .
della seguente identità
identità vettoriale è semplicemente il caso particolare per ( Questa
) ( ) ( ) , che è riportata nel paragrafo A.10
1
=
dell’appendice A.
+
+
+
=
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CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
Per mezzo della forma rotazionale, l’equazione della quantità di moto per flussi
incomprimibili vista nel paragrafo 3.4 pu ò essere scritta nella forma seguente
2
|u|
∂u
P
= g.
+(
+
u) u +
∂t
2
ρ
Supponiamo ora che la forza specifica esterna dovuta al campo g sia conservativa
e possa quindi essere espressa mediante un’energia potenziale specifica χ, ovvero
g = − χ. L’esempio tipico è quando il campo esterno g è il campo di gravità
terrestre, per cui risulta g = −g ẑ = − (gz), con g = 9.81 N/kg, e quindi
χ = gz, avendo scelto l’asse z verticale e con verso positivo diretto verso l’alto.
Utilizzando l’energia potenziale χ, l’operatore gradiente potr à includere tre termini
e l’equazione della quantità di moto diventa
∂u
+(
∂t
u) u = −
P
|u|2
+
+χ ,
ρ
2
e vale per un flusso incomprimibile di un fluido non viscoso sottoposto a un campo
di forze di volume esterne conservative.
3.6 Flussi stazionari e teorema di Bernoulli
Se esaminiamo ora il caso di un flusso stazionario, l’equazione della quantit à di
moto precedente si semplifica in
u) u = −
(
P
|u|2
+
+χ
ρ
2
flusso stazionario,
dove, nel caso in cui la forza di volume conservativa è dovuta solo al campo di
gravità, risulta χ(r) = gz. Prendendo il prodotto scalare di questa equazione per la
u) u = 0, si ottiene
velocità u e sfruttando la proprietà ovvia u (
2
P
|u|
u
+
+ χ = 0,
ρ
2
cioè il campo della velocità in ogni punto è perpendicolare al gradiente della
funzione fra parentesi. Ciò è equivalente a dire che la funzione dentro l’operatore
gradiente non cambia per spostamenti locali lungo ogni linea di corrente. Pertanto
lungo una linea di corrente risulta
|u|2
P
+
+ χ = Clinea di corrente ,
ρ
2
Le linee di corrente di un campo
di velocità stazionario sono
definite nel paragrafo 2.1.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 65 colore nero
Dicembre 3, 2004
PARAGRAFO 3.6: Flussi stazionari e teorema di Bernoulli
65
dove Clinea di corrente è una costante il cui valore dipende dalla linea di corrente
considerata. Questa relazione si chiama teorema di Bernoulli o, pi ù estesamente,
teorema della linea di corrente di Bernoulli . Esso permette di determinare la
pressione P lungo ciascuna linea di corrente mediante la relazione, valida per r ∈
la linea di corrente,
|u(r)|2
P(r)
=−
− χ(r) + C linea di corrente ,
ρ
2
quando è nota la velocità lungo la linea considerata. Questa relazione deve essere
correttamente interpretata nel senso che il vettore posizione r è vincolato a percorrere
una determinata linea di corrente e che la costante C linea di corrente in generale assume
valori diversi per le diverse linee di corrente. In altre parole, se una determinata
linea di corrente è indicata con r = r(s), dove s rappresenta una parametrizzazione
qualunque della curva, il teorema della linea di corrente di Bernoulli pu ò essere
scritto più precisamente come
P(r(s)) |u(r(s))|2
+
+ χ(r(s)) = C linea di corrente .
ρ
2
Nel caso particolare χ(r) = gz si introduce il cosiddetto trinomio di Bernoulli
P(r) |u(r)|2
+
+ gz,
ρ
2
e il teorema di Bernoulli esprime la costanza di detto trinomio nel modo seguente
P0
|u0 |2
P(r(s)) |u(r(s))|2
+
+ gz(s) =
+
+ gz 0 ,
ρ
2
ρ
2
dove P0 = P(r(0)), u0 = u(r(0)) e z 0 = z(0), r(0) essendo un punto di riferimento
sulla linea di corrente considerata. Dalla costanza della somma dei tre termini del
trinomio di Bernoulli consegue che un aumento di una delle tre grandezze, pressione
P, modulo della velocità |u| e quota z, deve essere compensata lungo la linea di
corrente da una diminuzione della somma delle altre due. In particolare, se la linea
di corrente è in un piano orizzontale (z(s) = costante), allora un aumento della
pressione lungo la linea comporta una diminuzione della velocit à in modulo mentre
una diminuzione della pressione comporta un aumento della velocit à.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 66 colore nero
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CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
Versione irrotazionale del teorema di Bernoulli
Un caso particolare del teorema di Bernoulli si verifica quando il campo di velocit à
=
è irrotazionale, ovvero quando la vorticità è sempre nulla in tutto il fluido:
u = 0. In questo caso la versione stazionaria dell’equazione della quantit à di
moto da cui siamo partiti si riduce a
P
|u|2
+
+ gz = 0,
ρ
2
che si integra immediatamente fornendo
P(r) |u(r)|2
+
+ gz = C,
ρ
2
dove C è una costante che non dipende dalla linea di corrente. Il valore di C è
determinato se in un punto del campo di moto, diciamo r 1 , sono note la pressione
P1 e il modulo della velocità |u1 | = |u(r1 )| del fluido. Avremo allora
P(r) |u(r)|2
P1
|u1 |2
+
+ gz =
+
+ gz 1 , flusso stazionario irrotazionale.
ρ
2
ρ
2
Questa equazione è la versione del teorema di Bernoulli per flussi irrotazionali.
Ricordiamo che entrambi i teoremi di Bernoulli dimostrati in questo paragrafo
valgono quando il fluido è
• in moto stazionario,
• incomprimibile e con densità uniforme,
• non viscoso,
• soggetto a forze di volume conservative.
Il teorema di Bernoulli permette di calcolare il campo della pressione se il campo di
velocità è stato già determinato. Infatti, l’equazione di Bernoulli precedente risolta
rispetto a P(r) fornisce la funzione esplicita
P1
1
P(r)
=
+ |u1 |2 − |u(r)|2 + g(z 1 − z).
ρ
ρ
2
Un caso un po’ speciale di questo teorema si incontra con i flussi confinati, cio è
quando il fluido è contenuto completamente all’interno di pareti rigide, ferme o
anche dotate di un eventuale moto. In questo caso, come discusso nel paragrafo 3.4,
la variabile pressione è definita a meno di una costante additiva e quindi la versione
irrotazione del teorema di Bernoulli assumerà la forma
P(r) |u(r)|2
+
+ gz = C,
ρ
2
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 67 colore nero
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PARAGRAFO 3.6: Flussi stazionari e teorema di Bernoulli
67
dove ora la costante di integrazione C rimane del tutto arbitraria. In altri termini,
dato il carattere confinato del flusso incomprimibile considerato, non è consentito
specificare il valore della pressione in un punto del contorno del dominio o a grande
distanza da esso. Diversa è la situazione quando il fluido entra o esce attraverso una
parte del contorno e su almeno una di queste parti non è specificato il vettore velocità
per cui il valore della pressione potrà essere imposto. Analogamente, quando il
flusso proviene da molto lontano, si potrà imporre il valore della pressione a grande
distanza.
Un’applicazione banale del teorema di Bernoulli si ha nel caso di un condotto
rettilineo di sezione costante. Prendiamo l’asse x parallelo al condotto. Essendo la
sezione del condotto costante risulta u = u(x) x̂. La condizione di incomprimibilità
diventa du(x)/dx = 0 e quindi u = costante = U . Se il tubo giace in un piano
orizzontale, allora la legge di Bernoulli fornisce P = costante, contrariamente
all’intuizione. Questo fatto apparentemente sorprendente è dovuto all’assenza di
frenamento in virtù del carattere non viscoso nel fluido.
Esempio 1 Condotto rettilineo con sezione variabile lentamente
Più interessante del condotto a sezione costante è il caso di un condotto sempre rettilineo ma di sezione lentamente variabile. Sia A(x) l’area della sezione del condotto
in corrispondenza dell’ascissa x. Se la funzione A = A(x) varia lentamente con x,
possiamo ritenere che il flusso nel condotto sia quasi unidimensionale, nel senso
che la componente x della velocità è molto maggiore delle componenti trasversali.
Indichiamo allora con hui(x) il valore medio sulla sezione A(x) della componente
x della velocità:
Z
1
hui(x) ≡
u(x, y, z) dy dz.
A(x) A(x)
Potremo scrivere il campo della velocità dentro il condotto nel modo seguente
u(r) = hui(x) x̂ + ∆u(r),
dove ∆u(r) = (∆u, v, w) e dove si suppone max |∆u(r)| min hui(x). In
base alla legge di conservazione della massa nel caso di densità uniforme la portata
volumetrica P.V. in ogni sezione del tubo deve essere la stessa per cui hui(x)A(x) =
P.V. , da cui segue immediatamente la velocità media lungo il condotto
hui(x) =
P.V.
.
A(x)
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CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
Supponiamo ora che il condotto sia assisimmetrico. L’applicazione del teorema di
Bernoulli per la linea di corrente coincidente con asse del condotto fornisce
|hui(x) + ∆u(x, 0, 0)|2
Passe (x)
=−
+ C,
ρ
2
poiché sull’asse la velocità u ha solo la componente x. Siccome |∆u(x, 0, 0)| |hui(x)|, possiamo trascurare il termine ∆u(x, 0, 0) rispetto al valore medio hui(x)
ottenendo la seguente approssimazione per la pressione
Passe (x)
[hui(x)]2
=−
+ C.
ρ
2
Sostituendo in essa l’espressione di hui(x) trovata sopra otteniamo
1
Passe (x)
=−
ρ
2
P.V.
A(x)
2
+ C.
Questa relazione rappresenta l’andamento della pressione lungo il condotto di
sezione variabile A(x) nell’approssimazione di flusso quasi unidimensionale.
Notiamo che, se la velocità è espressa dalla relazione u(r) = hui(x) x̂ + ∆u(r),
u = 0, si scriverà nel seguente modo
la condizione di incomprimibilità,
(∆u) = −
d[hui(x)]
A0 (x)
= P.V.
.
dx
A(x)2
3.7 Vorticità
Dato un campo di velocità u, il suo campo di vorticità
=
è definito da
u,
che è semplicemente il rotore della velocità. La vorticità
è una grandezza
molto importante in dinamica dei fluidi. Ad esempio, la vorticit à è nulla nei
flussi irrotazionali, i quali sono pertanto definiti attraverso il soddisfacimento della
condizione
u=0
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 69 colore nero
Dicembre 3, 2004
PARAGRAFO 3.7: Vorticità
69
in tutti i punti della regione del fluido.
Nel caso di flussi piani, ovvero se il campo della velocità ha la forma propria
dei moti bidimensionali, rappresentata da
u(x, y, t) = [u(x, y, t), v(x, y, t), 0],
allora la sola compoenente non nulla del vettore
moto, cioè
è quella normale al piano del
= (0, 0, ω),
dove
ω=
∂v
∂u
−
.
∂x
∂y
Interpretazione cinematica della vorticità in flussi 2D
u(r) misura, in un certo senso, quanto il campo vettoriale u “stia
Il rotore
ruotando” attorno al punto r. Questa interpretazione cinematica è facile da verificare
nel caso di flussi piani. Consideriamo due piccoli elementi rettilinei di fluido δx
e δy che sono perpendicolari tra loro in un certo istante, come mostrato nella
figura 3.3. Non si ha nessuna perdita di generalità nel supporre che la direzione
di questi elementi sia parallela agli assi nell’istante considerato. La componente y
della velocità nei due estremi dell’elemento δx differisce della quantità
v(x + δx, y, t) − v(x, y, t) ≈
∂v
δy
∂y
C
per cui ∂v/∂ x rappresenta la velocità angolare istantanea dell’elemento di fluido
δx. In modo analogo, la componente x della velocità nei due estremi di δy ha una
variazione
∂u
δy
∂y
δy
∂v
δx
∂x
δx
A
Figura 3.3
∂v
δx,
∂x
B
u(x, y + δy, t) − u(x, y, t) ≈
∂u
δx
∂x
Disegno per
l’interpretazione cinematica della
vorticità nei flussi piani. Sono mostrate
le componenti della velocità rispetto
alla particella di fluido che si trova in A
∂u
δy,
∂y
per cui ∂u/∂y rappresenta la velocità angolare istantanea, ma in senso opposto,
dell’elemento di fluido δy. Ne consegue che in ogni punto il campo
∂u
ω
1 ∂v
−
=
2 ∂x
∂y
2
rappresenta la velocità angolare media dei due elementi di fluido δx e δy, perpendicolari tra loro in quell’istante.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 70 colore nero
70
Dicembre 3, 2004
CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
Esempio 1 Consideriamo il campo di velocità corrispondente a una rotazione
rigida attorno all’asse z con velocità angolare Ω costante. Il vettore velocità
angolare sarà = Ω ẑ e quindi la velocità sarà
u(x, y) = −Ωy x̂ + Ω x ŷ.
Si veda la figura 2.1 del paragrafo 2.1 e si determini la vorticit à ω di questo campo
piano.
Soluzione
ω=
In base alla definizione, la vorticità (scalare) è data da
∂(Ω x) ∂(−Ωy)
−
= 2Ω,
∂x
∂y
per cui il campo di velocità relativo alla rotazione rigida è caratterizzato da una
velocità angolare locale uniforme.
Non tutti i campi vettoriali con rotore diverso da zero sembrano dotati di moto
rotatorio. Il campo di velocità della rotazione rigida considerato nell’esempio 1
ruota attorno all’asse di rotazione, ma la circolazione lungo un cerchio qualunque
appartenente a un piano perpendicolare a quell’asse è indipendente dalla posizione
del centro del cerchio: essa dipende solo dal suo raggio. Non è nemmeno necessario
che il cerchio abbia il centro sull’asse di rotazione. L’esempio seguente studia il
campo di velocità di un fluido le cui linee di corrente sono linee rette, pur avendo
un rotore costante non nullo, e quindi una velocità angolare locale diversa da zero.
Esempio 2
Consideriamo il campo di velocità di un fluido che si muove nel
piano x y
u(x, y) =
x
ŷ
τ
dove τ è una costante avente le dimensioni del tempo. È evidente che le particelle del
u(x, y) = τ1 ẑ
fluido si muovono lungo rette parallele all’asse y. Tuttavia risulta
e (x, y) = 21 ω(x, y)ẑ = τ1 ẑ. Una rotellina di raggio munita di palette, posta
con il suo centro nella posizione (x, y) nel fluido (vedi figura 3.4), sar à trasportata
dal fluido alla velocità τx x̂, ma sarà anche messa in rotazione con velocità angolare
(x, y) = τ1 ẑ, che è indipendente dalla posizione. Questa velocità angolare è
causata dal fatto che il modulo della velocità del fluido alla destra della rotellina è
maggiore del modulo della velocità alla sua sinistra.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 71 colore nero
Dicembre 3, 2004
PARAGRAFO 3.7: Vorticità
71
y
(x,y)
x
Figura 3.4
Il flusso non solo
trascina la rotellina ma la fa anche
ruotare attorno al suo centro
Esempio 3
Vortice rettilineo e sua irrotazionalità
Un campo di velocità interessante che permette di chiarire la differenza fra la vorticità e la rotazione intesa in senso globale è fornito dal cosidetto vortice rettilineo.
Questo nome indica il campo di moto di un fluido in rotazione con le seguenti proprietà: simmetria cilindrica rispetto a un asse fisso, velocità in ogni punto tangente a
circonferenze centrate sull’asse e modulo inversamente proporzionale alla distanza
dallo stesso asse.
Supponiamo di descrivere il campo di velocità di un vortice rettilineo utilizzando le coordinate cartesiane e scegliamo l’asse z del sistema di riferimento
coincidente con l’asse delpvortice. Allora la distanza di ogni punto r = (x, y, z)
2
2
dall’asse del vortice sarà
p x + y e il modulo della velocità in r sarà dato dalla
2
2
relazione |u(r)| = A/ x + y , dove A è una costante avente le dimensioni di
un’area diviso il tempo.
Per scrivere l’espressione vettoriale del campo di velocità del vortice rettilineo occorre introdurre il vettore unitario ˆ tangente alle circonferenze con centro
sull’asse. Si vede facilmente che in ogni punto r = (x, y, z) tale versore è dato da
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 72 colore nero
72
Dicembre 3, 2004
CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
y
x
Figura 3.5
Campo di velocità del vortice rettilineo
−y x̂ + x ŷ
ˆ = p
,
x 2 + y2
per cui il campo di velocità del vortice rettilineo è espresso dalla relazione
u(r) =
−Ay x̂ + Ax ŷ
,
x 2 + y2
ed è mostrato nella figura 3.5. Calcoliamo la vorticità di tale campo:
∂
ω(x, y) =
∂x
=
Ax
2
x + y2
∂
−
∂y
−Ay
x 2 + y2
A(x 2 + y 2 ) − 2x 2
A(x 2 + y 2 ) − 2y 2
+
= 0.
(x 2 + y 2 )2
(x 2 + y 2 )2
Pertanto la vorticità nel vortice rettilineo è nulla ovunque tranne nei punti con
R = 0, ovvero tranne che in tutti i punti del suo asse, dove né u né sono definiti.
Quindi, anche se il fluido da un punto di vista globale sta ruotando, il flusso è
irrotazionale, poiché
u = 0 tranne che sull’asse. Nella figura figura 3.6 sono
mostrate le linee di corrente del campo di velocità del vortice rettilineo.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 73 colore nero
Dicembre 3, 2004
73
PARAGRAFO 3.7: Vorticità
y
x
Figura 3.6
Linee di corrente del vortice rettilineo
Esempio 4
Vortice rettilineo in coordinate cilindriche
Data la struttura cilindrica, il campo della velocità del vortice rettilineo dell’esempio 3
è descritto in modo particolarmente semplice impiegando le coordinate cilindriche
(R, θ, z). Abbiamo infatti
A ˆ
(θ),
u(r) = u θ (R) ˆ (θ) =
R
per cui la sua vorticità (scalare) è data da
ω=[
=
u]z =
1 ∂u R
1 ∂
Ru θ −
R ∂R
R ∂θ
1 ∂
A = 0.
R ∂R
Esempio 5
Circolazione del vortice rettilineo
Il vortice rettilineo considerato nell’esempio 3 e nell’esempio 4 ha un’intensit à data
dal valore del parametro A. Esiste tuttavia un altro parametro per caratterizzare
l’intensità del vortice, la cui interpretazione fisica è utile nello studio dei flussi
attorno a profili alari.
Nei due precedenti esempi si è dimostrato che la vorticità relativa al campo di
velocità del vortice rettilineo è nulla in tutti i punti tranne che sul suo asse,
H dove u
e non sono nemmeno definiti. Questo significa che la circolazione C u(r) dr
lungo ogni percorso chiuso che non giri intorno all’asse del vortice è nulla.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 74 colore nero
74
Dicembre 3, 2004
CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
La circolazione può invece essere diversa da zero quando il percorso concatena tale
asse. Consideriamo allora una circonferenza C a di raggio a con centro sull’asse
e calcoliamo lungo C a la circolazione Γ (a) del campo di velocità del vortice
rettilineo:
Γ (a) =
I
u(r) dr =
Ca
I
A ˆ
(θ) dr =
R
Ca
Z
0
2π
A
R dθ = 2π A.
R
La circolazione è la stessa qualunque sia il raggio a della circonferenza. Essendo
u irrotazionale, il valore della circolazione Γ = 2π A è lo stesso per ogni percorso
chiuso di forma qualsiasi purché esso concateni l’asse del vortice. Il parametro A
che caratterizza l’intensità del vortice può allora essere sostituito dalla grandezza
Γ in base alla relazione
A=
Γ
.
2π
In termini della circolazione Γ il campo di velocità del vortice rettilineo è scritto
come:
u(r) =
Γ ˆ
(θ).
2π R
Vortice di Rankine
Il campo di velocità della rotazione rigida definito negli esempi 1 e 2 del paragrafo
2.1 e il campo di velocità del vortice rettilineo definito negli esempi 3 e 4 del
presente paragrafo possono essere combinati assieme nel modo seguente

 Ω R,
u θ (R) = Ωa 2

,
R
R<a
R>a
Il campo di velocità di rotazione cosı̀ definito si chiama vortice di Rankine e il suo
andamento è mostrato nella figura figura 3.7
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 75 colore nero
Dicembre 3, 2004
PARAGRAFO 3.8: Equazione della vorticità
75
uθ
Figura 3.7
Dipendenza della
velocità u θ nel vortice di Rankine con
la distanza R dall’asse del vortice
a
R
La vorticità ω di tale vortice si calcola facilmente usando le coordinate cilindriche
e vale
(
2Ω, R < a
ω(R) =
0,
R>a
La circolazione Γ (R) lungo una circonferenza C R di raggio R con il centro sull’asse
z si ottiene con il semplice calcolo
Z
2π



I
Ω R R dθ,
R<a

Γ (R) =
u θ (R)R dθ = Z0 2π

Ωa 2
CR


R dθ, R > a

R
0
da cui
Γ (R) =
(
2πΩ R 2 ,
2
2πΩa ,
R<a
R>a
Il vortice di Rankine costituisce un modello semplice di un vortice reale. Tipicamente i vortici reali hanno un ‘core centrale’ molto piccolo nel quale,per definizione,
è concentrata la vorticità, mentre all’esterno del core il flusso è essenzialmente irrotazionale. Di solito il core non è esattamente circolare e la vorticità al suo interno
non è proprio uniforme. Il vortice di Rankine rappresenta quindi solo un modello
idealizzato del vortice reale.
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76
Dicembre 3, 2004
CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
3.8 Equazione della vorticità
L’equazione di Eulero della quantità di moto può essere scritta
∂u
+
∂t
dove
u = − H,
=
H≡
u e dove si è introdotta la funzione scalare
P
|u|2
+
+ χ.
ρ
2
Prendendo il rotore dell’equazione è possibile eliminare il gradiente e fare cosı̀
scomparire la quantità H che contiene la pressione ottenendo
∂
+
∂t
(
u) = 0.
Consideriamo ora l’identità
(a b) = (b )a − (a )b + a
b−b
ae
usiamola prendendo a = e b = u. Il terzo termine è nullo per l’incomprimibilità
( u = 0) e il quarto è nullo in virtù della definizione di vorticità, (
=
u = 0) per cui otteniamo × (
u) = (u ) − (
)u. Sostituendo
questo risultato nell’equazione precedente si ottiene
∂
+ (u
∂t
)
=(
)u,
oppure, ricorrendo al simbolo di “derivata” materiale introdotto nel paragrafo 3.1,
D
=(
Dt
)u.
Questa è l’equazione della vorticità per flussi incomprimibili in assenza di viscosità. Si noti che il termine contenente la pressione è scomparso; tuttavia
l’equazione coinvolge i due campi vettoriali u e che sono inoltre collegati fra loro
dall’equazione
=
u.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 77 colore nero
Dicembre 3, 2004
PARAGRAFO 3.9: Flussi piani incomprimibili e funzione di corrente
77
Equazione della vorticità in 2D
Nel caso particolare di flussi in due dimensioni, cioè tali che
u = u(x, y, t) x̂ + v(x, y, t) ŷ
e
= ω(x, y, t) ẑ,
allora
(
)u = ω
∂u
= 0.
∂z
Di conseguenza l’equazione della vorticità per flussi piani sarà
∂ω
+u
∂t
ω=0
oppure, ricorrendo ancora alla notazione della “derivata” materiale,
Dω
= 0.
Dt
Si può quindi concludere che nei flussi incomprimibili non viscosi in due dimensioni,
quando le forze di volume presenti sono conservative, la vorticit à (scalare) ω di
ciascuna particella di fluido si conserva. Nel caso particolare di flussi stazionari
l’equazione precedente si riduce a
u
ω=0
per cui la vorticità ω è costante lungo ciascuna linea di corrente.
Esempio 1 Irrotazionalità del flusso stazionario 2D incomprimibile non
viscoso attorno a un cilindro infinito di sezione qualsiasi
Un’applicazione interessante dell’equazione u ω = 0 si ha nel caso di un flusso
stazionario incomprimibile di un fluido non viscoso che investe perpendicolarmente
un corpo di forma cilindrica con sezione costante, essendo uniforme la velocit à a
grande distanza dal cilindro. Sotto determinate condizioni questo flusso pu ò essere
descritto con buona approssimazione da un campo di velocità 2D nel piano di una
sezione. In tale caso vale l’equazione della vorticità 2D appena scritta. Pertanto,
visto che tutte le linee di corrente provengono dall’infinito dove la velocit à u è
uniforme e il fluido ha vorticità nulla, allora ω = 0 in qualunque altro punto e
quindi il flusso 2D considerato è irrotazionale.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 78 colore nero
78
Dicembre 3, 2004
CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
3.9 Flussi piani incomprimibili e funzione di corrente
Il campo della velocità di un flusso incomprimibile in due dimensioni pu ò essere
descritto mediante una funzione scalare chiamata funzione di corrente. Si tratta di
una grandezza molto utile in quanto, come indica lo stesso nome, questa funzione
ha una relazione molto stretta con le linee di corrente del campo.
Consideriamo un campo di velocità bidimensionale piano,
u(x, y) = u(x, y) x̂ + v(x, y) ŷ
e supponiamo che il flusso descritto da esso sia incomprimibile. In tale caso è
possibile introdurre una funzione ψ = ψ(x, y), che si chiama funzione di corrente,
e scrivere
∂ψ
∂ψ
u=
e
v=−
.
∂y
∂x
Le componenti della velocità cosı̀ definite soddisfano automaticamente la condizione di incomprimibilità in due dimensioni in quanto si verifica immediatamente
∂v
∂ ∂ψ
∂
∂ψ
∂u
+
=
+
−
=0
∂x
∂y
∂ x ∂y
∂y
∂x
in virtù del teorema di uguaglianza delle derivate seconde miste. Una propriet à
importante della funzione di corrente ψ è conseguenza immediata della definizione
della velocità u in termini della stessa ψ:
∂ψ
∂ψ
∂ψ ∂ψ
∂ψ ∂ψ
u ψ =u
+v
=
−
= 0,
∂x
∂y
∂y ∂ x
∂ x ∂y
per cui ψ è costante lungo una linea di corrente. Questo significa che le curve
ψ = costante sono semplicemente le linee di corrente del flusso incomprimibile
2D rappresentato da ψ.
Definizione della funzione di corrente
La funzione di corrente ψ(r, t) di un campo di velocità incomprimibile piano u(r, t)
è definita come la portata volumetrica del fluido che, in un determinato istante t,
passa fra un punto di riferimento r? = (x ? , y? ) (scelto arbitrariamente) e il punto
considerato r = (x, y). In realtà, essendo il campo di moto considerato piano, la
portata è da intendersi per unità di lunghezza normale al piano del moto. In termini
matematici, la portata volumetrica di fluido che passa fra i punti r ? e r (per unità di
lunghezza) è data dall’integrale di linea
Z r
u(s, t) n̂(s),
ψ(r, t) =
r?
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 79 colore nero
Dicembre 3, 2004
PARAGRAFO 3.9: Flussi piani incomprimibili e funzione di corrente
dove n̂(s) è il versore normale alla curva nel punto di integrazione s. Se il campo
di velocità u è solenoidale, l’integrale considerato non dipenderà dal percorso
scelto ma solo dal punto iniziale r? e dal punto finale r. Infatti, se consideriamo
due percorsi diversi L 1 e L 2 che partono dallo stesso punto r? e terminano nello
stesso punto r, come mostrato in figura 3.8, possiamo prendere il percorso chiuso
L 1 + (−L 2 ) ottenuto percorrendo prima L 1 e poi L 2 in senso inverso al suo senso
originario. Calcolando l’integrale di linea lungo tale percorso chiuso avremo, in
virtù del teorema della divergenza in due dimensioni,
I
Z
u(s, t) n̂(s) =
u
r
L1
L2
r?
−L 2
79
L 1 +(−L 2 )
V
a condizione che la curva L 1 + (−L 2 ) costituisca l’intero contorno della regione V
(ovvero se tutta la regione del piano compresa fra L 1 e L 2 appartiene al dominio
di definizione del campo vettoriale u). In questo caso, essendo u solenoidale,
l’integrale di volume è nullo e quindi
I
u(s, t) n̂(s) = 0
Il percorso L 1 + (−L 2 )
è una curva chiusa
Figura 3.8
L 1 +(−L 2 )
da cui si ricava subito
Z
Z r
u(s1 , t) n̂(s1 ) =
r? ; L 1
Per una definizione di dominio
molteplicemente connesso si
veda il paragrafo B.3
dell’appendice B.
r
u(s2 , t) n̂(s2 )
r? ; L 2
con ovvio significato dei simboli.
Nel caso in cui invece la regione del piano compresa fra L 1 e L 2 contiene
un’“isola” inaccessibile al fluido, ovvero se il dominio occupato dal fluido è
molteplicemente connesso, allora si deve tenere conto che il contorno della regione in cui si applica il teorema della divergenza comprende anche la curva chiusa
che rappresenta la “costa dell’isola”. Ma la componente di u normale a questa parte
del contorno è nulla per la condizione di non penetrazione, per cui si ha ancora
l’uguaglianza fra l’integrale di linea lungo L 1 + (−L 2 ) e l’integrale di volume su
V . Pertanto anche nel secondo caso l’integrale di linea della componente normale
della velocità dipende solo dal punto iniziale r? e dal punto finale r.
Una volta dimostrato che la definizione di ψ(x, y, t) identifica una vera funzione della posizione (x, y) dei punti del piano, in ogni istante di tempo t, rimane da
verificare che questa definizione implica le due relazioni esprimenti le componenti
cartesiane u e v della velocità in termini di ψ, che sono state scritte all’inizio del
paragrafo.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 80 colore nero
80
Dicembre 3, 2004
CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
Nella definizione di ψ(r, t) possiamo esprimere il versore normale n̂(s) in termini
del versore ˆ (s) tangente alla curva di integrazione tenendo conto che i tre versori
n̂(s), ˆ (s) e ẑ costituiscono una terna ortogonale destra, per cui n̂(s) = ˆ (s) × ẑ.
Un calcolo diretto mostra allora
Z r
Z r
Z r
ψ(r, t) =
u(s, t) ˆ (s) × ẑ =
u(s, t) × ˆ (s) ẑ =
[u(s, t) × ds]z .
r?
r?
r?
Siccome u = (u, v, 0) e ds = (dx, dy, 0), il prodotto vettoriale sotto il segno
d’integrazione si calcola immediatamente
ψ(x, y, t) =
Z
(x,y)
(x? ,y? )
[u(x, y, t) dy − v(x, y, t) dx]
per cui risulta:
z
u(x, y, t) =
ẑ
ψ
x
y
u
Figura 3.9
Campo di velocità
incomprimibile piano u(x, y) espresso
mediante ψ
∂ψ(x, y, t)
∂y
e
v(x, y, t) = −
∂ψ(x, y, t)
.
∂x
Un modo molto conveniente di scrivere le due relazioni che definiscono il campo
della velocità in termini della funzione di corrente è
u = ( ψ) ẑ.
Questa relazione vettoriale può essere interpretata geometricamente: essa mostra
che il campo di velocità piano u è ottenuto, in ogni punto, facendo ruotare di 90
gradi il vettore gradiente ψ in senso orario attorno a un asse normale al piano.
Il vantaggio di questa relazione è il suo carattere vettoriale intrinseco che ne
permette l’uso anche in un sistema di coordinate del piano diverso da quello cartesiano. Ad esempio, se considero le coordinate polari (r, θ) e ricordo l’espressione
∂
del gradiente in tali coordinate, = r̂ ∂r∂ + ˆ 1r ∂θ
, osservo che nella formula vettoriale le componenti polari della velocità u r e u θ sono espresse in termini della
funzione di corrente ψ(r, θ) dalle relazioni
ur =
1 ∂ψ
r ∂θ
e
uθ = −
∂ψ
.
∂r
Un campo di velocità piano cosı̀ definito soddisfa automaticamente la condizione
di incomprimibilità che in coordinate polari si scrive
1 ∂u θ
1 ∂
(r u r ) +
= 0.
r ∂r
r ∂θ
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 81 colore nero
Dicembre 3, 2004
PARAGRAFO 3.10:
Il sistema vorticità–funzione di corrente dei flussi piani
81
Infatti risulta
1 ∂
∂ψ
1 ∂ ∂ψ
+
−
= 0,
r ∂r ∂θ
r ∂θ
∂r
per l’uguaglianza delle derivate seconde miste. La medesima rappresentazione vale
per un campo di velocità incomprimibile piano descritto in coordinate cilindriche
(R, θ), nel quale caso la funzione di corrente ψ(R, θ) permette di esprimere le
componenti cilindriche non nulle della velocità tramite le relazioni
uR =
1 ∂ψ
R ∂θ
uθ = −
e
∂ψ
.
∂R
Equazione della funzione di corrente
La variabile funzione di corrente ψ è governata da un’equazione che interviene
in certe formulazioni alternative delle equazioni dei flussi incomprimibili in due
dimensioni. L’equazione si ottiene semplicemente calcolando la vorticit à scalare ω
a partire dalla definizione di u e v in termini di ψ. Un calcolo diretto fornisce
∂u
∂
∂ 2ψ
∂ 2ψ
∂ψ
∂ ∂ψ
∂v
−
=
=− 2 −
−
−
ω=
∂x
∂y
∂x
∂x
∂y ∂y
∂x
∂y 2
e quindi avremo l’equazione di Poisson bidimensionale
2
ψ = −ω,
dove 2 è l’operatore di Laplace nel piano x-y. Questa equazione di Poisson per ψ
può essere risolta soltanto se la vorticità del moto bidimensionale è nota, ovvero se si
conosce la funzione scalare ω = ω(x, y, t). Sfortunatamente questa variabile deve
essere calcolata risolvendo l’equazione della vorticità 2D introdotta nel paragrafo
precedente. È quindi necessario considerare le due equazioni assieme e costruire
un sistema di due equazioni che dovranno essere soddisfatte contemporanemente.
3.10 Il sistema vorticità–funzione di corrente dei flussi piani
Nell’equazione della vorticità per flussi incomprimibili piani è presente il termine
advettivo u ω. Se velocità solenoidale u è espressa mediante la funzione di
corrente ψ, un calcolo diretto mostra che
u
ω = [( ψ) ẑ]
ω=
∂ω ∂ψ
∂ω ∂ψ
−
.
∂ x ∂y
∂y ∂ x
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 82 colore nero
82
Dicembre 3, 2004
CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
La combinazione quadratica delle derivate prime che è stata ottenuta è semplicemente il determinante della matrice jacobiana
 ∂ω
∂x
∂(ω, ψ) 
=

∂(x, y)
∂ψ
∂x
∂ω 
∂y 
,
∂ψ 
∂y
in quanto
∂(ω, ψ) ∂ω ∂ψ
∂ω ∂ψ
∂(x, y) = ∂ x ∂y − ∂y ∂ x .
Questo determinante si chiama jacobiano della coppia di funzioni ω(x, y) e ψ(x, y)
e si indica sinteticamente con
J (ω, ψ) =
∂ω ∂ψ
∂ω ∂ψ
−
,
∂ x ∂y
∂y ∂ x
per cui il termine advettivo può essere scritto nel modo seguente
u
ω = J (ω, ψ).
Quindi i flussi piani incomprimibili di un fluido non viscoso possono essere rappresentati dalle variabili scalari ω(x, y, t) e ψ(x, y, t). Queste variabili non primitive
sono governate dall’equazione scalare della vorticità e dall’equazione di Poisson
della funzione di corrente: queste due equazioni costituiscono infatti il seguente
sistema di equazioni accoppiate:
∂ω
+ J (ω, ψ) = 0,
∂t
2
ψ + ω = 0.
Il sistema di equazioni deve poi essere corredato dalle necessarie condizioni iniziale
e al contorno per costituire un problema completo.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 83 colore nero
Dicembre 3, 2004
PARAGRAFO 3.11: Vortice di Hill
83
3.11 Vortice di Hill
Il vortice cilindrico di Rankine costituisce una soluzione esatta delle equazioni di
Eulero incomprimibili stazionarie con vorticità diversa da zero. Un’altra soluzione
di questo tipo, ma avente una geometria completamente diversa, è fornita dal vortice
di Hill. Si tratta di un campo di moto assisimmetrico caratterizzato da una vorticit à
diversa da zero solo all’interno di una regione sferica. Dentro questa regione la
vorticità ha la direzione sempre tangente a circonferenze con il centro su una retta
passante per il centro della sfera e la distribuzione della vorticit à è proporzionale
alla distanza da tale asse. Per descrivere questo campo di vorticità risulta quindi
conveniente utilizzare un sistema di coordinate sferiche (r, θ, φ) con l’origine nel
centro della sfera e con l’asse z coincidente con la retta sopraindicata. Adottando
quindi le coordinate sferiche, il vettore vorticità avrà la seguente rappresentazione
(r) = ωφ (r, θ) ˆ e la sua componente ωφ (r, θ) nel punto r è nulla all’esterno di
una superficie sferica di raggio a ed è proporzionale alla distanza R dall’asse z.
Essendo R = r sin θ, la funzione ωφ (r, θ) ha la forma seguente
 ωr

sin θ,
a
ωφ (r, θ) =

0,
r <a
r >a
dove ω è una costante che indica l’intensità del vortice. Determiniamo le caratteristiche del vortice di Hill calcolando il suo campo di velocit à u(r).
Considerata la struttura della vorticità, il campo di moto del vortice di Hill sarà
assisimmetrico e la sua componente φ sarà nulla, per cui scriveremo:
u(r) = u r (r, θ) r̂ + u θ (r, θ) ˆ .
Dovendo calcolare le due componenti della velocità, possiamo scrivere un sistema
di due equazioni costituito dalla condizione di incomprimibilit à e dalla definizione
della vorticità, che ha una sola componente non nulla. Usando le coordinate sferiche
e tenendo conto della forma dei campi = ωφ (r, θ) ˆ e u = u r (r, θ) r̂ + u θ (r, θ) ˆ
nel problema considerato, abbiamo
1 ∂(sin θ u θ )
1 ∂(r 2 u r )
+
= 0,
r 2 ∂r
r sin θ
∂θ
( ωr
r <a
1 ∂(r u θ ) 1 ∂u r
a sin θ,
−
=
r ∂r
r ∂θ
0,
r >a
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 84 colore nero
84
Dicembre 3, 2004
CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
Abbiamo un sistema di due equazioni differenziali alle derivate parziali, entrambe
del primo ordine. Per determinare la soluzione sono quindi necessarie delle condizioni al contorno, le quali tuttavia sono di tipo molto particolare considerate le
caratteristiche del dominio in cui si cerca la soluzione, che è tutto lo spazio, e la
natura delle coordinate spaziali impiegate, le coordinate sferiche. Per prima cosa
osserviamo che i limiti della variabile angolare θ sono gli estremi dell’intervallo
0 ≤ θ ≤ π, ma questi estremi non costituiscono dei veri contorni per il dominio
del campo di moto che comprende tutto lo spazio 3 , incluso tutto asse z. Di
conseguenza non sono richieste condizioni al contorno per θ = 0 o θ = π e le
uniche condizioni al contorno potranno essere imposte per r = 0 e r → ∞.
Per quanto riguarda il primo caso, r = 0, richiediamo solo che il campo di
moto sia regolare nel centro del vortice. Si noti che non si richiede l’annullamento
della componente radiale nel centro della sfera perché nemmeno questo punto costituisce un elemento del contorno. E non si richiede l’annullamento neanche della
componente angolare della velocità: ciò corrisponde ad ammettere la possibilità di
una velocità non nulla nel centro del vortice, ma che, in virt ù dell’assisimmetria del
flusso, dovrà essere diretta come l’asse z.
Per quanto riguarda il secondo caso, ovvero per r → ∞, non sappiamo con
quale velocità scorra il fluido a grande distanza dal core del vortice di Hill, ma
possiamo supporre che questa velocità sia uniforme e nella stessa direzione dell’asse
z. Questa condizione è espressa da U∞ ẑ, dove U∞ è una costante, il cui valore
sarà presumibilmente determinato risolvendo il problema. Poich é risulta ẑ =
cos θ r̂ − sin θ ˆ , possiamo provare a cercare la soluzione del campo di velocità
nella forma
u r (r, θ) = U (r ) cos θ
e
u θ (r, θ) = V (r ) sin θ
con la (sola) funzione U (r ) soggetta alla condizione di regolarit à al centro della
sfera. Sostituendo le due espressioni di u r e u θ nel sistema, otteniamo il seguente
sistema di due equazioni differenziali ordinarie del primo ordine, accoppiate,
1 d 2 r U + 2V = 0,
r dr
( ωr 2
se r < a
d(r V )
a
+U =
dr
0 se r > a
La prima equazione fornisce la variabile
V =−
1 d 2 r U
2r dr
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 85 colore nero
Dicembre 3, 2004
PARAGRAFO 3.11: Vortice di Hill
85
che può essere sostituita nella seconda ottenendo un’equazione di secondo ordine
per U :
( 2
2ωr
se r < a
d2 2 a
r
U
−
2U
=
2
dr
0
se r > a
che è equidimensionale ma in generale non omogenea.
Consideriamo per prima la soluzione del caso r < a. L’equazione precedente
assume la forma
d2 2 2ω 2
r U − 2U =
r
2
dr
a
ed è non omogenea. La sua soluzione generale è
U (r ) = −
ω 2
B
r + A + 3.
5a
r
Le due costanti d’integrazione A e B sono determinate imponendo la condizione di
regolarità in r = 0, per cui B = 0, e imponendo poi che la componente radiale della
velocità si annulli sulla sfera: u r (a, θ) = 0 ovvero U (a) = 0, per cui A = ωa/5.
Si ottiene allora
ωa
r2
U (r ) =
1− 2 ,
5
a
da cui si ricava subito
ωa
1 d 2
V (r ) = −
r U (r ) =
2r dr
5
2r 2
−1 .
a2
Dobbiamo osservare che al centro della sfera V (0) = − ωa
5 mentre per r = a si ha
V (a) = ωa
.
5
Consideriamo ora la soluzione all’esterno della sfera, r > a. In questo caso
l’equazione per U (r ) diventa omogenea:
d2 2 r U − 2U = 0
dr 2
e la sua soluzione è
U (r ) = A +
B
.
r3
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 86 colore nero
86
Dicembre 3, 2004
CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
Per trovare le due nuove costanti d’integrazione imponiamo che il vettore velocit à
sia continuo sulla superficie della sfera. La componente radiale si annulla sulla sfera
per cui deve essere U (a) = 0, da cui A = −B/a 3 ; scriveremo allora la soluzione
nella forma
a3
U (r ) = C 1 − 3
r
la cui costante C è determinata dall’imporre la condizione di continuità dell’altra
componente della velocità. Per r > a la seconda variabile incognita V (r ) è data
esplicitamente da
a3
1 d 2
r U (r ) = −C 1 + 3 ,
V (r ) = −
2r dr
2r
e imponendo la condizione V (a) =
V (r ) =
ωa
5
si ottiene C = − 2ωa
, per cui
15
a3
2ωa
1+ 3 ,
15
2r
e a sua volta la componente radiale
2ωa
a3
U (r ) =
−1 + 3 .
15
r
Scriveremo quindi il campo di velocità del vortice di Hill in tutto lo spazio nel
seguente modo: per la componente radiale

2
1 − ar 2 ,
ωa
u r (r, θ) =
cos θ 2  −1 +
5
3
a3
r3
r <a
,
r >a
e per la componente angolare
 2
 2ra 2 − 1,
ωa
sin θ 2 u θ (r, θ) =
 1 + a 33 ,
5
3
2r
r <a
r >a
La figura 3.10 mostra come variano le componenti della velocità in funzione della
distanza r dal centro del vortice, quando ωa = 5.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 87 colore nero
Dicembre 3, 2004
PARAGRAFO 3.11: Vortice di Hill
87
U (r) V (r)
1.0
uθ
0.5
1.0
Figura 3.10
Dipendenza dalla
distanza dal centro delle componenti
sferiche della velocità del vortice di Hill
per ωa = 5
2.0
3.0
−0.5
r/a
ur
−1.0
Considerando la velocità a grande distanza dal centro del vortice di Hill, per r → ∞
cos θ e u θ (r, θ) → 2ωa
sin θ, ovvero, per |r| → ∞,
abbiamo u r (r, θ) → − 2ωa
15
15
2ωa
risulta u(r) →= − 15 ẑ: il vortice di Hill consiste nel nucleo sferico posto al
centro del sistema di riferimento e da un flusso esterno che a grande distanza dal
nucleo diventa un flusso uniforme con velocità 2ωa
15 diretta in senso opposto al verso
positivo dell’asse z.
Linee di corrente
Per comprendere le caratteristiche del vortice di Hill pu ò essere utile disegnarne le
linee di corrente. Per un campo di moto incomprimibile assisimetrico, le componenti della velocità in coordinate sferiche possono essere descritte tramite le derivate
parziali di una funzione scalare Ψ (r, θ), chiamata funzione di corrente di Stokes,
secondo le relazioni seguenti
ur =
1 ∂Ψ
r 2 sin θ ∂θ
e
uθ = −
La condizione di incomprimibilità
1 ∂
r 2 ∂r
1 ∂Ψ
sin θ ∂θ
+
∂
1
r sin θ ∂θ
1 ∂Ψ
.
r sin θ ∂r
u = 0 è soddisfatta identicamente in quanto
−
1 ∂Ψ
r ∂r
per l’uguaglianza delle derivate seconde miste.
= 0,
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 3 – pagina 88
88
colore nero
Dicembre 3, 2004
CAPITOLO 3 Flussi incomprimibili non viscosi
Esercizi 3
1. La concentrazione c(x, y, t) di un inquinante che non
diffonde e non reagisce chimicamente dentro un fluido in
moto con velocità u(r) è governata dalla seguente equazione
di trasporto o di advezione
∂c
+ u(r)
∂t
c = 0.
3. Nel caso di flussi non viscosi ma comprimibili l’equazione
della quantità di moto può essere ancora scritta in forma
rotazionale a condizione di mantenere la densità come
quantità variable invece di assumere che essa sia costante.
L’equazione del momento in forma rotazionale per il moto
di un fluido comprimibile viscoso è infatti
Supponiamo che le componenti cartesiane u e v del campo
di velocità del flusso considerato siano date dalla relazioni
u(x, y) = αx,
v(x, y) = −αy,
dove α è una costante nota.
Supponiamo inoltre che l’evoluzione della concentrazione di
un inquinante trasportato dal campo di velocità considerato
sia espressa dalla relazione
c(x, y, t) = βx 2 ye−αt .
nella regione y > 0, dove α è la costante del campo di
velocità mentre β è un’altra costante. La concentrazione di
ogni particella del fluido varia con il tempo?
2. Il campo di velocità del vortice di Rankine espresso in
componenti e coordinate cilindriche (R, θ, z) è dato dalla
relazione
u θ (R) =

 Ω R,

Ωa 2
R
R<a
,
R>a
dove u θ (R) rappresenta la componente angolare della
velocità in un punto a distanza R dall’asse del vortice.
Determinare il campo della pressione in ogni punto di tale
vortice nel caso in cui la densità del fluido è uniforme:
ρ = ρ.
Mostrare che la pressione in R = 0 è inferiore di quella per
R → ∞ di una quantità ρΩ 2 a 2 , il che è coerente con la
presenza di una bassa pressione al centro di un tornado.
∂u
+
∂t
u=−
P
−
ρ
|u|2
+χ
2
dove =
u indica la vorticità.
Utilizzando la legge di conservazione della massa
dimostrare che la grandezza vettoriale /ρ, chiamata
vorticità specifica, è governata dall’equazione:
∂ + (u
∂t ρ
)
ρ
=
ρ
u+
1
( ρ) ( P).
ρ3
Dedurre che, se P dipende solo da ρ, allora l’equazione per
/ρ ha la stessa forma dell’equazione della vorticità ,
valida per i flussi incomprimibili con densità costante
ricavata nel paragrafo 3.8, con la sola differenza che la
variabile deve essere sostituita da /ρ.