Elettromagnetismo
Prof. Francesco Ragusa
Università degli Studi di Milano
Lezione n. 35 – 13.04.2016
Induzione elettromagnetica
Anno Accademico 2015/2016
La scoperta di Faraday
• Ricordiamo la scoperta di Oersted del 1820 sulla generazione di forze
magnetiche con le correnti elettriche
• Dopo questa scoperta parte una intensa attività sperimentale e teorica
• Fra le altre cose si cercano nelle correnti fenomeni analoghi a quelli
classificati come "induzione elettrostatica"
• Si cerca di capire se le correnti possono "indurre" correnti
• Pioniere di questi studi fu Michael Faraday, intorno al 1830
• Inizialmente gli studi furono poco fruttuosi
• Un corrente circolante nel solenoide esterno NON induce
una corrente in quello interno
• Tuttavia una VARIAZIONE di corrente induce una corrente
• Ad esempio all'apertura o alla chiusura dell'interruttore
• Con questi studi Faraday scopre l'importante fenomeno
dell'induzione elettromagnetica
• Ci permetterà di completare l'equazione del rotore di E
• Prima di passare alla formulazione definitiva del fenomeno
studiamolo alla luce di quanto già conosciamo
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Barretta conduttrice in moto (B ≠ 0)
• Consideriamo una regione dello spazio in cui è presente
un campo magnetico B, diretto lungo l'asse z
• Utilizziamo un sistema inerziale S
• Il campo B è uniforme e non varia nel tempo
• Non ci sono campi elettrici
• Consideriamo adesso una barretta conduttrice
orientata parallelamente all'asse x
• La barretta si muove con velocità costante v
diretta lungo l'asse y
• Poiché si tratta di un conduttore al suo interno ci
sono portatori di carica che possono muoversi
• Tutte le cariche della barretta hanno una velocità v
• Appare una forza di Lorentz
• La forza è diretta nel senso positivo delle x per le cariche positive
• Sotto l'azione della forza le cariche si muovono
• Tuttavia si giunge presto ad una condizione stazionaria
• Le cariche spostandosi generano un campo elettrico E
• In ogni punto all'interno della barretta la forza
di Lorentz è bilanciata dalla forza elettrica qE
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Barretta conduttrice in moto (B ≠ 0)
• Le cariche elettriche si distribuiscono sulla superficie
della barretta in modo da generare all'interno un
campo elettrico uniforme
• La forza di Lorentz è uniforme dentro la barretta
• La forza elettrica bilancia la forza magnetica
• La carica sulla superficie della barretta genera un campo anche
all'esterno della barretta
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Barretta conduttrice in moto (B ≠ 0)
• Esaminiamo adesso il fenomeno descritto in un sistema
inerziale S′ in cui la barretta conduttrice è a riposo
• In questo sistema il campo magnetico è differente
• Appare anche un campo elettrico
• Ricordiamo il tensore campo elettromagnetico
• La trasformazione in S′ è F′ = ΛFΛΤ
• È facile verificare che
La matrice Λ è
• Nel sistema S′ il campo magnetico B′ è ancora diretto lungo
l'asse z′ ed è diventato più intenso per il fattore relativistico γ
• È comparso un campo elettrico E′ diretto lungo l'asse x′
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Barretta conduttrice in moto (B ≠ 0)
• Interpretiamo quello che succede nella barretta conduttrice nel sistema S′
• C'è un campo magnetico B′ ma la barretta è ferma
• Non ci sono forze magnetiche sulle cariche all'interno
• Nel sistema S′ è presente un campo elettrico E′
• Le cariche si distribuiscono sulla superficie
del conduttore in modo da annullare il campo
elettrico al suo interno
• Come abbiamo studiato in elettrostatica
• In S′ la situazione è statica
• Riepiloghiamo le due interpretazioni
• Nel sistema S la barretta si muove e dentro la barretta c'è una forza
magnetica che causa una redistribuzione della carica sulla superficie
• La distribuzione di carica genera un campo elettrico
che bilancia la forza magnetica
• Nel sistema S′ c'è un campo elettrico E′
• La carica si redistribuisce sulla superficie del conduttore e genera un
campo elettrico che, sommato a E′, annulla il campo all'interno del
conduttore
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Barretta conduttrice in moto (B ≠ 0)
• Nel sistema inerziale S′
• Nel sistema inerziale S
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Spira in campo non uniforme
• Sostituiamo adesso la barretta con una spira conduttrice
di lato w che si muove con velocità v lungo l'asse y
• C'è sempre un campo uniforme B
• Il campo elettrico è nullo
• Siamo in una situazione analoga a quanto già visto
• I due lati della spira si caricano positivamente
e negativamente
• Non succede altro
• Immaginiamo tuttavia che il campo magnetico non sia uniforme anche se è
costante nel tempo
• Abbiamo già analizzato un problema simile (diapositiva 821
91 )
• Supponiamo la spira vincolata a muoversi parallelamente all'asse y
• Sulle cariche all'interno dei lati paralleli all'asse y ( lati 2 e 4 )
si esercitano forze perpendicolari al filo
• Sulle cariche dei lati paralleli all'asse x (1 e 3) le forze sono lungo il filo
• Calcoliamo la circuitazione della forza magnetica
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Spira in campo non uniforme
• Pertanto viene compiuto un lavoro sui portatori di
carica del conduttore della spira
• Se viene fatto un lavoro significa che è stata
generata una corrente elettrica
• Nella spira è presente una forza elettromotrice
• È conveniente riscrivere questa relazione in funzione del flusso del campo
magnetico B attraverso la superficie della spira
• Consideriamo due posizioni a e b della spira a due istanti di tempo t e t + dt
• Il flusso del campo magnetico è
• Calcoliamo la variazione del flusso
• Confrontando con l'espressione per E
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Chi fa lavoro?
• Nell'analisi del sistema precedente abbiamo visto che ai portatori di carica
viene trasferita energia
• Viene compiuto un lavoro
• A prima vista sembra che siano le forze magnetiche a compiere lavoro
• Abbiamo detto che le forze magnetiche non fanno lavoro
• Per approfondire questo punto consideriamo il sistema seguente
• Il sistema è immerso in un campo magnetico
uniforme B che entra nel piano
• Al tempo t il conduttore rosso è ad una distanza vt
• Il flusso concatenato è
la forza elettromotrice è
• Questa forza elettromotrice mette in moto le cariche
• Se la resistenza del conduttore è R dissipa una potenza
• Consideriamo in dettaglio cosa succede al conduttore rosso
• Le cariche hanno due componenti della velocità
• La componente uy legata alla corrente
• La componente ux = v dovuta al moto della barretta
• La forza magnetica sui portatori di carica è pertanto Fm
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Chi fa lavoro?
• Assumiamo di essere in una condizione stazionaria
• La corrente è costante
• La velocità dalla barretta è costante
• Tutte le forze sono in equilibrio
• Scomponiamo la forza magnetica in una componente
verticale e una orizzontale
• La componente orizzontale bilancia la forza esterna
• La velocità della barretta è costante
• La componente verticale mantiene costante la corrente
contro l'effetto dissipativo delle collisioni con gli ioni
• Consideriamo il lavoro fatto dalle forze nell'unità di tempo
• La componente verticale della forza magnetica
effetto Joule contro FR
• La componente orizzontale della forza magnetica
si oppone alla forza esterna
• Osserviamo che la potenza totale Px + Py della forza Fm è nulla
• La forza magnetica non compie lavoro
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Chi fa lavoro?
• Notiamo infine che le potenze sono tutte uguali in modulo
• L'agente esterno che applica Fext eroga una potenza qBuxuy = qBvuy
• La forza magnetica si oppone all'agente esterno e dissipa –qBuxuy
• La forza magnetica eroga la potenza necessaria a mantenere la corrente
pari a qBuxuy
• L'effetto Joule dissipa una potenza qBuxuy
• Per finire un analogo meccanico
• Un piano inclinato senza attrito
• Il diagramma delle forze è lo stesso di quello
della diapositiva precedente
• La forza normale non compie lavoro
• La reazione normale si scompone in due componenti
• La forza esterna orizzontale compie un lavoro aumentando l'altezza e quindi
l'energia potenziale gravitazionale della massa
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Il flusso del campo magnetico
• Nel calcolo precedente abbiamo utilizzato una spira piana
• La superfice che abbiamo utilizzato era anch'essa piana
• Tuttavia si tratta di restrizioni non essenziali
• La spira potrebbe non essere piana e la superficie
utilizzata potrebbe essere una qualunque
• Ad esempio il flusso attraverso la superficie S1
delimitata dal cammino C
• Oppure attraverso la superficie S2
• Dimostriamo che
• Consideriamo la superficie chiusa formata da S1 + S2
• Le normali alle superfici sono verso l'esterno
• Ma si ha da3 = −da2
• Nel sistema MKS il flusso si misura in Weber
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