elettromagnetismo 2
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Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n. 35 – 13.04.2016 Induzione elettromagnetica Anno Accademico 2015/2016 La scoperta di Faraday • Ricordiamo la scoperta di Oersted del 1820 sulla generazione di forze magnetiche con le correnti elettriche • Dopo questa scoperta parte una intensa attività sperimentale e teorica • Fra le altre cose si cercano nelle correnti fenomeni analoghi a quelli classificati come "induzione elettrostatica" • Si cerca di capire se le correnti possono "indurre" correnti • Pioniere di questi studi fu Michael Faraday, intorno al 1830 • Inizialmente gli studi furono poco fruttuosi • Un corrente circolante nel solenoide esterno NON induce una corrente in quello interno • Tuttavia una VARIAZIONE di corrente induce una corrente • Ad esempio all'apertura o alla chiusura dell'interruttore • Con questi studi Faraday scopre l'importante fenomeno dell'induzione elettromagnetica • Ci permetterà di completare l'equazione del rotore di E • Prima di passare alla formulazione definitiva del fenomeno studiamolo alla luce di quanto già conosciamo Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 126 Barretta conduttrice in moto (B ≠ 0) • Consideriamo una regione dello spazio in cui è presente un campo magnetico B, diretto lungo l'asse z • Utilizziamo un sistema inerziale S • Il campo B è uniforme e non varia nel tempo • Non ci sono campi elettrici • Consideriamo adesso una barretta conduttrice orientata parallelamente all'asse x • La barretta si muove con velocità costante v diretta lungo l'asse y • Poiché si tratta di un conduttore al suo interno ci sono portatori di carica che possono muoversi • Tutte le cariche della barretta hanno una velocità v • Appare una forza di Lorentz • La forza è diretta nel senso positivo delle x per le cariche positive • Sotto l'azione della forza le cariche si muovono • Tuttavia si giunge presto ad una condizione stazionaria • Le cariche spostandosi generano un campo elettrico E • In ogni punto all'interno della barretta la forza di Lorentz è bilanciata dalla forza elettrica qE Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 127 Barretta conduttrice in moto (B ≠ 0) • Le cariche elettriche si distribuiscono sulla superficie della barretta in modo da generare all'interno un campo elettrico uniforme • La forza di Lorentz è uniforme dentro la barretta • La forza elettrica bilancia la forza magnetica • La carica sulla superficie della barretta genera un campo anche all'esterno della barretta Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 128 Barretta conduttrice in moto (B ≠ 0) • Esaminiamo adesso il fenomeno descritto in un sistema inerziale S′ in cui la barretta conduttrice è a riposo • In questo sistema il campo magnetico è differente • Appare anche un campo elettrico • Ricordiamo il tensore campo elettromagnetico • La trasformazione in S′ è F′ = ΛFΛΤ • È facile verificare che La matrice Λ è • Nel sistema S′ il campo magnetico B′ è ancora diretto lungo l'asse z′ ed è diventato più intenso per il fattore relativistico γ • È comparso un campo elettrico E′ diretto lungo l'asse x′ Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 129 Barretta conduttrice in moto (B ≠ 0) • Interpretiamo quello che succede nella barretta conduttrice nel sistema S′ • C'è un campo magnetico B′ ma la barretta è ferma • Non ci sono forze magnetiche sulle cariche all'interno • Nel sistema S′ è presente un campo elettrico E′ • Le cariche si distribuiscono sulla superficie del conduttore in modo da annullare il campo elettrico al suo interno • Come abbiamo studiato in elettrostatica • In S′ la situazione è statica • Riepiloghiamo le due interpretazioni • Nel sistema S la barretta si muove e dentro la barretta c'è una forza magnetica che causa una redistribuzione della carica sulla superficie • La distribuzione di carica genera un campo elettrico che bilancia la forza magnetica • Nel sistema S′ c'è un campo elettrico E′ • La carica si redistribuisce sulla superficie del conduttore e genera un campo elettrico che, sommato a E′, annulla il campo all'interno del conduttore Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 130 Barretta conduttrice in moto (B ≠ 0) • Nel sistema inerziale S′ • Nel sistema inerziale S Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 131 Spira in campo non uniforme • Sostituiamo adesso la barretta con una spira conduttrice di lato w che si muove con velocità v lungo l'asse y • C'è sempre un campo uniforme B • Il campo elettrico è nullo • Siamo in una situazione analoga a quanto già visto • I due lati della spira si caricano positivamente e negativamente • Non succede altro • Immaginiamo tuttavia che il campo magnetico non sia uniforme anche se è costante nel tempo • Abbiamo già analizzato un problema simile (diapositiva 821 91 ) • Supponiamo la spira vincolata a muoversi parallelamente all'asse y • Sulle cariche all'interno dei lati paralleli all'asse y ( lati 2 e 4 ) si esercitano forze perpendicolari al filo • Sulle cariche dei lati paralleli all'asse x (1 e 3) le forze sono lungo il filo • Calcoliamo la circuitazione della forza magnetica Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 132 Spira in campo non uniforme • Pertanto viene compiuto un lavoro sui portatori di carica del conduttore della spira • Se viene fatto un lavoro significa che è stata generata una corrente elettrica • Nella spira è presente una forza elettromotrice • È conveniente riscrivere questa relazione in funzione del flusso del campo magnetico B attraverso la superficie della spira • Consideriamo due posizioni a e b della spira a due istanti di tempo t e t + dt • Il flusso del campo magnetico è • Calcoliamo la variazione del flusso • Confrontando con l'espressione per E Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 133 Chi fa lavoro? • Nell'analisi del sistema precedente abbiamo visto che ai portatori di carica viene trasferita energia • Viene compiuto un lavoro • A prima vista sembra che siano le forze magnetiche a compiere lavoro • Abbiamo detto che le forze magnetiche non fanno lavoro • Per approfondire questo punto consideriamo il sistema seguente • Il sistema è immerso in un campo magnetico uniforme B che entra nel piano • Al tempo t il conduttore rosso è ad una distanza vt • Il flusso concatenato è la forza elettromotrice è • Questa forza elettromotrice mette in moto le cariche • Se la resistenza del conduttore è R dissipa una potenza • Consideriamo in dettaglio cosa succede al conduttore rosso • Le cariche hanno due componenti della velocità • La componente uy legata alla corrente • La componente ux = v dovuta al moto della barretta • La forza magnetica sui portatori di carica è pertanto Fm Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 134 Chi fa lavoro? • Assumiamo di essere in una condizione stazionaria • La corrente è costante • La velocità dalla barretta è costante • Tutte le forze sono in equilibrio • Scomponiamo la forza magnetica in una componente verticale e una orizzontale • La componente orizzontale bilancia la forza esterna • La velocità della barretta è costante • La componente verticale mantiene costante la corrente contro l'effetto dissipativo delle collisioni con gli ioni • Consideriamo il lavoro fatto dalle forze nell'unità di tempo • La componente verticale della forza magnetica effetto Joule contro FR • La componente orizzontale della forza magnetica si oppone alla forza esterna • Osserviamo che la potenza totale Px + Py della forza Fm è nulla • La forza magnetica non compie lavoro Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 135 Chi fa lavoro? • Notiamo infine che le potenze sono tutte uguali in modulo • L'agente esterno che applica Fext eroga una potenza qBuxuy = qBvuy • La forza magnetica si oppone all'agente esterno e dissipa –qBuxuy • La forza magnetica eroga la potenza necessaria a mantenere la corrente pari a qBuxuy • L'effetto Joule dissipa una potenza qBuxuy • Per finire un analogo meccanico • Un piano inclinato senza attrito • Il diagramma delle forze è lo stesso di quello della diapositiva precedente • La forza normale non compie lavoro • La reazione normale si scompone in due componenti • La forza esterna orizzontale compie un lavoro aumentando l'altezza e quindi l'energia potenziale gravitazionale della massa Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 136 Il flusso del campo magnetico • Nel calcolo precedente abbiamo utilizzato una spira piana • La superfice che abbiamo utilizzato era anch'essa piana • Tuttavia si tratta di restrizioni non essenziali • La spira potrebbe non essere piana e la superficie utilizzata potrebbe essere una qualunque • Ad esempio il flusso attraverso la superficie S1 delimitata dal cammino C • Oppure attraverso la superficie S2 • Dimostriamo che • Consideriamo la superficie chiusa formata da S1 + S2 • Le normali alle superfici sono verso l'esterno • Ma si ha da3 = −da2 • Nel sistema MKS il flusso si misura in Weber Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 137
