Prerequisiti del corso di Fenomeni di trasporto I

BILANCI MACROSCOPICI DI QUANTITA’ DI MOTO
Come la materia, anche la quantità di moto è una grandezza fisica
fondamentale nel moto dei fluidi per la quale è possibile scrivere un’equazione di
bilancio.
Per scopi introduttivi consideriamo prima il caso semplice del moto di un
corpo di massa costante m. Come è noto dalla fisica generale, il moto di questo
corpo è governato dal secondo principio della dinamica:
Ft = ma
(1.25)
Nella (1.25) Ft è il risultante di tutte le forze agenti sul corpo, ed a è
l’accelerazione imposta al corpo a causa dell’azione delle forze stesse. Questo
bilancio, vettoriale nella sua natura, può essere visto sotto un’ottica diversa se
espresso in termini di quantità di moto. Infatti, la quantità di moto di un corpo a
massa costante, p, è definita come il prodotto della massa per la velocità del
corpo stesso:
p = mv
(1.26)
In base alla (1.26) e alla definizione di accelerazione come derivata
temporale della velocità, la (1.25) può essere riformulata nei seguenti termini:
Ft =
d
p
dt
−
−
BILANCIO DI QUANTITA’ DI MOTO PER SISTEMI MONODIMENSIONALI
Cerchiamo di applicare questi concetti al caso di un sistema
monodimensionale, riferendoci anche stavolta al generico “condotto”
schematizzato in Fig.1.2.
Cominciamo dai termini di ingresso e uscita convettivi, cioè quelli legati al
fluido che entra ed esce dal sistema. Assumiamo anche in questo caso che il
vettore velocità sia perpendicolare alle sezioni di ingresso e uscita. Assumiamo
anche densità costante lungo le sezioni. Permettiamo invece alla velocità del
fluido di variare lungo la sezione. La quantità di moto entrante per unità di
tempo nella sezione 1 sarà allora data da:
IN conv = ∫
−
(1.27)
Da questa prospettiva, il secondo principio della dinamica può essere
riformulato nel seguente modo: la somma di tutte le forzi agenti sul corpo
contribuisce ad un accumulo di quantità di moto. Le forze agenti sul corpo
possono quindi essere viste come contributi, per unità di tempo, in ingresso o in
uscita della quantità di moto del corpo, rispettivamente nel caso di forze
trasmesse dal mondo esterno al corpo (IN), o di forze trasmesse dal corpo al
mondo esterno (OUT). A tutti gli effetti, la (1.28) rappresenta una equazione di
bilancio di quantità di moto con la stessa struttura generale delle equazioni di
bilancio espressa dalla (1.2), anche in questo caso con assenza dei termini di
generazione. Si ricordi tuttavia che, al contrario della materia, la quantità di
moto è una grandezza vettoriale, e che quindi il corrispondente bilancio sarà
un’equazione anch’essa vettoriale.
Nel caso di un fluido in movimento il bilancio della quantità di moto
assume una forma più generale. La variazione di quantità di moto nel tempo per
un fluido contenuto in un generico volume di controllo potrà essere determinata
da due tipi di contributi diversi:
come nel caso del corpo di massa costante, vi saranno contributi provenienti
dalle forze applicate al volume di fluido;
inoltre, bisognerà considerare che quantità di moto può entrare e/o uscire dal
sistema a causa dell’ingresso o dell’uscita di fluido dotato di una certa
velocità
−
−
−
A1
( ρ1vdS )v = ρ1n ∫A v 2dS = ρ1 A1n
1
v2
1
= ρ1A1 v 2
1
(1.28)
Analizziamo in dettaglio i passaggi della (1.28).
Nel primo integrale il termine tra parentesi è la portata massica che entra
nel sistema attraverso la superficie differenziale dS; Questa, moltiplicata per
il vettore v, fornisce la quantità di moto entrante attraverso dS; l’integrale
su tutta la sezione A1 fornisce quindi l’intera quantità di moto entrante
attraverso la sezione 1.
Nel secondo integrale abbiamo semplicemente espresso la velocità come
v=vn, in base all’ipotesi che v è perpendicolare alla sezione e quindi parallelo
a n.
Nel passaggio successivo abbiamo applicato la definizione di media alla
quantità v2 (vedi Eq.(1.5)).
Nell’ultimo passaggio, tutta l’informazione vettoriale è stata trasferita nella
quantità A1=A1n, che rappresenta un vettore di modulo pari all’area della
sezione e di direzione e verso perpendicolari ad essa.
Con la stessa logica il termine di quantità di moto uscente per convezione è
dato da:
OUTconv = ρ 2 A 2 v 2
2
(1.29)
Passiamo al calcolo delle forze che agiscono sul volume di controllo. In
generale tali forze possono essere divise in due categorie: quelle che agiscono sul
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sistema in quanto il sistema stesso è dotato di massa, e che vengono perciò
chiamate forze di massa, e quelle che agiscono sul sistema attraverso le sue
superfici, e che appunto vengono chiamate forze di superficie. Tra le prime
l’unica di nostro interesse è la forza peso, Fp, facilmente scritta come:
z2
Fp = g ∫ ρ ( z ) A ( z ) dz
(1.30)
z1
dove g è il vettore accelerazione di gravità e l’integrale rappresenta la massa
complessiva del sistema. Per quanto riguarda le forze di superficie, è conveniente
separare le forze che agiscono sulle superfici di ingresso e uscita da quelle che
agiscono sulle altre superfici del volume di controllo. A meno di casi particolari,
infatti, le prime si riducono alle forze di pressione, cioè a forze perpendicolari
alla corrispondente sezione e dirette verso l’interno del volume di controllo. Le
somma di tutte le forze, Ft, che agiscono sul sistema può essere così scritta:
z2
Ft = A1 p1 − A 2 p2 + g ∫ ρ A ( z ) dz − F
v ρ ( z ) A ( z ) dz
∫
(1.32)
z1
In definitiva, il bilancio della quantità di moto assume la seguente forma:
A 1 ρ1 v
2
1
− A2ρ2 v
z2
2
2
+ A1 p1 − A 2 p2 + g ∫ ρ Adz − F =
z1
z2
∫
v ρ Adz (1.33)
z1
1
considerazione. Infatti in essi compare la quantità
+ A1 p1 − A 2 p2 + g ∫ ρ A ( z ) dz − F = 0
v 2 . Questa non è una
variabile particolarmente interessante. Molto più utile, infatti, sarebbe avere
informazioni sulla velocità media, e non sul sulla media del suo quadrato. Per
quanto già detto nel caso dei bilanci di materia (vedi in particolare Box 1) il
quadrato della velocità media e la media del quadrato della velocità coincidono
solo nel caso di velocità uniforme lungo la sezione. In generale, conviene far
comparire la velocità media nell’equazione di bilancio mediante la seguente
definizione:
v2
v
(1.37)
2
Sulla falsariga di quanto già riportato nel Box 1 è facile dimostrare che:
−
−
β=1
β=4/3
nel caso di profilo di velocità costante
nel caso di profilo di velocità parabolico
Con la definizione (1.37) il bilancio di quantità di moto può dunque
scriversi (ci riferiamo per semplicità a condizioni stazionarie):
z2
A1ρ1β1 v 1 − A 2 ρ 2 β 2 v 2 + A1 p1 − A 2 p2 + g ∫ ρ A ( z ) dz − F = 0
2
2
(1.38)
La (1.38) rappresenta la forma di bilancio di quantità di moto più
comunemente utilizzata per la risoluzione di problemi ingegneristici.
Box 2
z2
2
La stessa equazione (1.36) è anche valida nel caso in cui le condizioni di
velocità, sezione e densità di ingresso siano uguali a quelle di uscita, come
generalmente avviene in condotti rettilinei a sezione costante.
I termini convettivi di ingresso e uscita richiedono un ulteriore
z1
Come nel caso del bilancio di materia è interessante studiare alcune forme
particolari del bilancio (1.34). In condizioni stazionarie, la (1.34) diventa
ovviamente:
A 1 ρ1 v 2 − A 2 ρ 2 v 2
(1.36)
z1
β≡
dove con F è indicata la somma delle forze che il fluido esercita verso l’esterno su
tutte le superfici laterali. E’ facile mostrare infine che il termine di accumulo di
quantità di moto sarà dato da:
ACC =
A1 p1 − A 2 p2 + g ∫ ρ A ( z ) dz − F = 0
(1.31)
z1
z2
z2
(1.35)
z1
mentre, in assenza di moto (condizioni quiescenti) la (1.34) si riconduce al
bilancio di forze:
Il “problema” della pressione atmosferica
Il bilancio macroscopico della quantità di moto è molto utile in tutte quelle
situazioni pratiche in cui il fluido esercita spinte su parti dell’impianto in cui si
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trova a fluire. L’uso dell’equazione di bilancio richiede però una valutazione
corretta e precisa del termine —F, cioè della somma di tutte le forze che il fluido
esercita sul mondo esterno. Da questo punto di vista risulta utile riconsiderare il
contributo alle forze dovuto alla pressione atmosferica.
A questo proposito risulta particolarmente istruttivo l’esempio riportato in
Fig. 1.8a, dove si osserva un getto circolare di liquido che investe una parete. Il
getto in uscita dall’ugello ha diametro D e velocità v e giace su un piano
orizzontale. Si vuole calcolare la spinta, cioè la forza esercitata dall’ugello sulla
parete.
dove si è già utilizzata la relazione Q=A1v1. La forma delle (1.39) richiede un
attento commento.
Prima di tutto, nella proiezione lungo y i termini di quantità di moto e di
pressione sono annullati in quanto il getto esce simmetricamente lungo due versi
opposti.
Si ricordi ora che nel bilancio della quantità di moto il termine F
rappresenta la somma di tutte le forze che il fluido esercita lungo il contorno del
volume di controllo con l’esclusione delle sezioni di ingresso e uscita. Ciò significa
che in tale termine sono presenti le forze che agiscono su:
−
−
Fig. 1.8
Il volume di controllo rilevante è quello del getto di liquido, compreso tra la
sezione 1, in uscita dall’ugello, e quella 2, attraverso la quale il fluido lascia il
piatto dopo averlo colpito.
Il bilancio di quantità di moto, vettoriale, può essere decomposto secondo
le direzioni rilevanti del problema, x (la direzione del moto) e y (quella
perpendicolare al moto stesso) che determinano un
piano x-y orizzontale.
Con questa scelta del sistema di riferimento si può notare che, rispetto alla
(1.44):
−
−
il vettore A1 è diretto secondo x, mentre quello A2 secondo y.
La forza peso non è rilevante, in quanto agisce secondo la direzione
perpendicolare al piano x-y.
Su questa base, le componenti lungo x e y del bilancio diventano (si assume
profilo piatto lungo le sezioni di ingresso e di uscita):
Q ρ v1 + A1 p1 − Fx = 0
Fy = 0
(1.39)
La superficie laterale (libera del getto);
La superficie della parete.
La Fig. 1.8b rappresenta un diagramma vettoriale delle sole forze di
pressione che, essendo atmosferica dappertutto, è rappresentata da vettori tutti
dello stesso modulo. E’ facile a questo punto capire che:
− La componente orizzontale della forza di pressione lungo la superficie libera
curva del getto è bilanciata dalla componente di pressione sulla
corrispondente superficie della parete (che rappresenta proprio la proiezione
lungo la direzione x della superficie curva);
− La componente di forza di pressione lungo la superficie di ingresso è
anch’essa bilanciata da quella che agisce nel centro della parete, sulla
rimanente parte di superficie.
Per quanto su detto, il bilancio di quantità di moto lungo x si riduce a:
Q1ρ v1 − Fp = 0
−
(1.40)
dove Fp è ora la spinta netta che il fluido trasmette alla parete.
I concetti espressi nell’esempio appena illustrato possono essere
rielaborati in forma più generale. Consideriamo infatti il generico volume di
controllo di Fig.1.9. Le forze di superficie su di esso agenti comprendono
ovviamente anche quelle di pressione, che possono essere scritte come:
Π = ∫ pndA
A
(1.41)
dove Π è il risultante delle forze di pressione ed n, come al solito, è il versore
della superficie dA rivolto verso l’interno del volume di controllo. La pressione p
può sempre essere scritta come:
p = patm + pr
(1.42)
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dove patm è la pressione atmosferica, una costante, e pr=p-patm è la cosiddetta
pressione relativa (o gage pressure). La pressione relativa può assumere anche
valori negativi (se il fluido è in depressione) purchè il suo valore assoluto sia
sempre maggiore della pressione atmosferica, altrimenti si arriverebbe
all’assurdo di pressioni assolute negative!
varie superfici del volume di controllo possono trovarsi a pressioni
diverse.
Fig. 1.10
Fig. 1.9
Con questa nuova definizione la (1.41) può essere riscritta come:
Q ρ v + A1 p1 − Fx = 0
Π = ∫ ( patm + pr ) ndA = ∫ patmndA + ∫ pR ndA
A
A
(1.43)
A
Il primo dei due integrali nella (1.43) è ovviamente pari a zero, per le stesse
argomentazioni riportate nell’esempio del getto.
Come conseguenza della (1.43) l’equazione di bilancio della quantità di moto
(1.38) può essere riscritta come:
z2
A1 ρ1β1 v 1 − A 2 ρ 2 β 2 v 2 + A1 pr ,1 − A 2 pr ,2 + g ∫ ρ A ( z ) dz − F = 0 (1.44)
2
2
In questo caso, quindi le proiezioni del bilancio della quantità di moto
(1.44) lungo le direzioni x ed y fornisce:
z1
dove compaiono le pressioni relative e la forza —F va intesa al netto delle
forze di pressione atmosferica. Per evitare di appesantire troppo la
simbologia, da questo momento in poi la pressione relativa verrà sempre indicata
con il simbolo p, omettendo il pedice “r”.
Per esemplificare ulteriormente quanto detto esaminiamo il seguente
problema: vogliamo calcolare la spinta che un fluido in moto esercita su un
gomito orizzontale, situazione schematizzata in Fig.1.10. In questo caso il fluido
è confinato nel volume di controllo costituito dalle due sezioni di ingresso e di
uscita e dalle pareti solide del condotto. A differenza del caso del getto, quindi, le
− ( Q ρ v + A2 p2 ) − Fy = 0
(1.45)
dove le pressioni sono quelle relative e quindi Fx ed Fy sono già le componenti
della spinta netta del fluido sulle pareti del gomito.
In questo problema si è assunto che le sezioni di ingresso e di uscita, e
quindi le velocità sono uguali (risultato fornito dal bilancio di materia). Questo
non sempre si verifica. Inoltre, nota la pressione di ingresso, quella di uscita
dipende dalle condizioni di flusso del sistema e, come si vedrà in seguito, potrà
essere determinata atraverso la risoluzione del bilancio di energia. In
particolare, in un condotto a sezione costante la pressione diminuisce
lungo la direzione del flusso, e quindi risulterà p1>p2. Al contrario, in
condotti a sezione variabile può aversi sia p1>p2 che p1<p2. In generale,
comunque, può esistere uno sbilanciamento tra la forza di pressione nella
sezione di ingresso e in quella di uscita. assumendo l’ipotesi semplificativa p1= p2
si ha:
Fx = − Fy = Q ρ v + A1 p1
(1.46)
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Appendice
Espressione generale del bilancio macroscopico di quantità di moto
Sulla falsariga del bilancio di materia, quanto detto in precedenza per i
sistemi mono-dimensionali può essere esteso a qualunque volume di controllo, in
modo da giungere ad una espressione del tutto generale per il bilancio
macroscopico di materia.
Scriviamo allora il bilancio di quantità di moto sul generico volume di
controllo V di Figura 1.7, delimitato dalla superficie S. In particolare, i termini di
ingresso e uscita di q.d.m. convettivi (legati cioè al moto stesso del fluido)
andranno scritti come:
( IN − OUT )conv = ∫S v ( ρ v ⋅ n ) dS
(1.47)
In particolare, il termine in parentesi nell’integrale, moltiplicato per dS,
rappresenta la portata massica entrante (o uscente) attraverso la superficie
elementare dS; questa moltiplicata a sua volta per il vettore v, rappresenta a sua
volta la portata di quantità di moto entrante (o uscente) attraverso dS. Come nel
bilancio di materia, sarà il segno del prodotto scalare v⋅n a stabilire se la q.d.m è
entrante (v⋅n>0) o uscente (v⋅n<0).
Introducendo anche in questo caso il concetto di vettore superficie:
dA = dAn
∫
S
vρ v ⋅ dS + g ∫ ρ dV − F = 0
V
(1.51)
Se poi il fluido è incomprimibile, la costanza della densità permette anche di
scrivere:
ρ ∫ vv ⋅ dS + gm − F = 0
S
(1.52)
dove m è la massa (a questo punto costante) contenuta nel volume di controllo.
Nel caso in cui il sistema sia in quiete, invece, sono zero i termini di quantità di
moto convettivi, ma anche quello di accumulo per cui il tutto si riduce a:
gm − F = 0
(1.53)
che è la ben nota condizione di equilibrio per qualunque corpo a massa costante,
ricavabile anche dalla (1.27) ponendo a zero il termine a secondo membro. Si noti
che la (1.53) vale anche nel caso in cui, per fluidi incomprimibili, il campo di
velocità è uniforme, cioè il vettore v è costante dappertutto. In questo caso,
infatti, i termini di quantità di moto convettiva entranti e uscenti devono per
forza annullarsi, e quindi la (1.53) rappresenta anche l’equazione di bilancio per
il moto rettilineo uniforme di un liquido incomprimibile.
(1.48)
la (1.47) si riscrive come:
( IN − OUT )conv = ∫S vρ v ⋅ dS
(1.49)
Per completare il bilancio di quantità di moto non resta che aggiungere a
primo membro i termini di ingresso e/o uscita dovuti alle forze agenti sul
sistema, e a secondo termine il termine di accumulo, che viene costruito con la
stessa logica del bilancio di materia. Effettuando la solita distinzione tra forze di
superficie e forze di massa si giunge a:
∫
S
vρ v ⋅ dS + g ∫ ρ dV − F =
V
d
ρ vdV
dt ∫V
(1.50)
dove questa volta con —F si indicano tutte le forze che agiscono sulla superficie S.
La (1.50) assume ovviamente varie forme a seconda delle assunzioni o
semplificazioni che si presentano caso per caso. Consideriamo alcune delle più
rilevanti. In condizioni stazionarie, il termine di accumulo è nullo, per cui si ha:
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