SOLUZIONE PROVA SCRITTA 30 GENNAIO 2015 I Parte Domanda 1 (5 punti) Due liquidi di pari densità vengono fatti fluire lungo lo stesso piano inclinato. Nel primo esperimento lo spessore del film di fluido 1, di viscosità µ1, è pari a δ1. Nel secondo esperimento lo spessore del film di fluido 2, di viscosità µ2=100µ1, è pari a δ2=10δ1. Si determini quale dei fluidi esibisce la portata volumetrica maggiore. N.B. La risposta va motivata. In caso di sola risposta "secca" (1 o 2), anche corretta, verrà attribuito punteggio zero. Soluzione A parità di tutte le altre condizioni (densità, angolo di inclinazione del piano), la portata volumetrica è direttamente proporzionale al quadrato dello spessore e inversamente proporzionale alla viscosità. In particolare si ha infatti: Q= W ρ g sin αδ 3 3µ (1) con ovvio significato dei simboli. Inglobando quindi nel coefficiente A tutti i termini costanti si può quindi scrivere: δ 13 Q1 = A = µ1 δ3 Q2 = A 2 µ2 (2) da cui: 3 3 Q1 ⎛ δ 1 ⎞ µ2 ⎛ δ 1 ⎞ 100 µ1 100 = = = <1 Q2 ⎜⎝ δ 2 ⎟⎠ µ1 ⎜⎝ 10δ 1 ⎟⎠ µ1 1000 (3) La (3) indica quindi che il fluido 2 esibisce la portata maggiore, in particolare dieci volte più grande rispetto al fluido 1. Domanda 2 (5 punti) Scegliendo un esempio a vostra scelta, definite il numero di Sherwood, indicando con chiarezza il significato di tutte le grandezze che lo compongono, e spiegatene il suo significato fisico e ingegneristico. Soluzione Vedi ad esempio gli appunti del corso II parte Domanda 1 (10 punti) Un pallone aerostatico per rilievi metereologici di forma sferica e diametro D=2.5 m deve essere predisposto per un lancio ascensionale. Il pallone ha una massa propria (quella del materiale che costituisce l’involucro) pari a mp=7.5 Kg e viene riempito con elio (peso atomico PAHe=4). La densità e la viscosità dell’aria atmosferica possono ritenersi costanti e pari rispettivamente ai ρ=1.3Kg/m3 e µ=2⋅10-5 Pa s. Si calcoli la pressione dell’elio all’interno del pallone, PHe(in atm) che garantisca una velocità ascensionale, in condizioni stazionarie, pari a v∞=1.5 m/s. Si consideri comportamento da gas perfetto per l’elio e si assuma trascurabile lo spessore dell’involucro. La temperatura è costante e pari a 25°C. La soluzione del problema consiste essenzialmente nella determinazione della massa di elio, mHe, che garantisce la richiesta velocità ascensionale. Nota la massa, la pressione è immediatamente calcolata dalla equazione di stato dei gas. Il bilancio di forze sul pallone sancisce, in condizioni stazionarie, l’equilibrio della forza peso (rivolta verso il basso), della forza di Archimede (rivolta verso l’alto) e della forza di drag tra l’aria e il pallone (rivolta verso il basso). Scelto un asse verticale orientato (per esempio) verso il basso, il bilancio assume la forma: ( ) mp + mHe g − π D3 ρ g + FD = 0 6 (4) Dove FD è il modulo della forza di drag. La massa di elio viene dunque ricavata come: F π D3 mHe = ρ − D − mp = 0 6 g (5) La forza di drag è sua volta calcolabile come: FD = cDπρ v∞2 D 2 8 (6) Il coefficiente di attrito cD è ottenibile dalla correlazione con il numero di Reynolds, calcolabile in quanto tutti i parametri che lo compongono sono noti. Una volta determinata la massa di elio, la corrispondente pressione del gas è data da mHe RT 6mHe RT = PAHeV PAHeπ D 3 (7) ρ v∞ D 1.3⋅1.5⋅ 2.5 = = 244000 µ 2 ⋅10−5 (8) PHe = Passando ai numeri si ha: Re= In tali condizioni si ha cD=0.44, per cui: FD = cDπρ v∞2 D 2 0.44 ⋅ π ⋅1.3⋅1.52 ⋅ 2.52 = = 3.16N 8 8 FD π D3 π ⋅ 2.53 3.16 mHe = ρ+ − mp = ⋅1.3− − 7.5 = 2.81Kg 6 g 6 9.81 (9) (10) e infine (occhio alle unità di misura per l’equazione di stato, con R=0.082 moli/L°K la massa è in grammi e il volume in dm3!): PHe = 6mHe RT 6 ⋅ 2810 ⋅0.082 ⋅ 298 = = 2.10atm PAHeπ D 3 4 ⋅ π ⋅ 253 (11) Problema 2 (10 punti) Un setto poroso di spessore δ=1mm separa due ambienti (vedi figura). L’ambiente di sinistra contiene aria umida che, a sufficiente distanza dalla superficie del setto, può considerarsi satura d’acqua. Quello di destra contiene aria che, a sufficiente distanza dalla superficie del setto, si può considerare completamente secca. Il coefficiente di diffusione effettivo dell’acqua nel setto vale Deff=0.15 cm2/s. Il coefficiente di scambio di materia convettivo per l’acqua in fase gas, sia a sinistra che a destra, vale KC=5 cm/s. Sapendo che, alla temperatura di 50°C costante in tutto il sistema, la tensione di vapore dell’acqua vale po=92.5 mmHg, e assumendo comportamento di gas perfetto, si calcoli in condizioni stazionarie: -­‐ La concentrazione in peso di acqua, wd (in g/L), sulla superficie destra del setto -­‐ Il flusso di acqua, mw (in g/cm2 s) che attraversa il setto w∞ = 0 w∞ = wsat δ Si tratta di un problema di trasporto di materia in serie in cui l’acqua viene trasportata dall’ambiente di sinistra a quello di destra. Dette ws e wd le concentrazioni ponderali sulle due superfici del setto e wsat quella di saturazione (che si realizza nell’ambiente di sinistra), il flusso di acqua può essere espresso come: mw = K C ( wsat − ws ) D ( ws − wd ) δ mw = K C ( wd − 0 ) mw = (12) Le tre equazioni, espresse in termini di concentrazione e sommate membro a membro conducono alla classica espressione del trasporto di materia in serie: (w sat − ws ) = mw KC (w − w ) = m s d w δ D m wd = w KC ⎛ 2 δ ⎞ wsat = mw ⎜ + ⎟ ⎝ KC D ⎠ (13) da cui: mw = wsat 2 δ + KC D (14) Dalla (14) è possibile calcolare il flusso di materia. Rientrando con tale valore nella terza delle (13) è possibile calcolare anche la concentrazione sulla superficie destra del setto. Il calcolo richiede ovviamente la conoscenza della concentrazione di acqua on condizioni di saturazione. Ciò è possibile utilizzando il comportamento da gas perfetto, per il quale vale la relazione: p0 M w wsat = RT (15) dove Mw è il peso molecolare dell’acqua. Passando ai numeri, la concentrazione di saturazione dell’acqua b(attenzione alle unità di misura!): p 0 M w ( 92.5 / 760 ) ⋅18 g g wsat = = = 0.0827 = 8.27 ⋅10−5 3 RT 0.082 ⋅323 L cm (16) Di conseguenza si ha: 8.27 ⋅10−5 g mw = = = 7.75⋅10−5 2 2 δ 2 0.1 cm s + + KC D 5 0.15 wsat mw 7.75⋅10−5 g wd = = = 1.55⋅10−5 = 0.0155 KC 5 L (17) (18)