Liceo Scientifico “G. Stampacchia” - Tricase
a.s. 2005-06
Prova di Fisica per il recupero dei debiti formativi assegnati agli alunni della classe 2D/PNI dell’a.s.
2004-05
Primo Appello: 8 ottobre 2005 - SOLUZIONE
Problema_1
Un ciclomotore si muove lungo il percorso A→B→C→D. I percorsi AB, BC, CD sono rettilinei e
disposti come indicato in Fig.1. Lungo ciascun tratto il moto è
rettilineo uniforme. E’ noto che:
• il tratto AB misura 5Km ed è percorso in 4min.;
• sul tratto BC il modulo della velocità è 60Km/h;
• il tratto CD misura 3 Km ed il ciclomotore impiega 3
minuti.
Risolvere i seguenti quesiti
1. Determinare la durata complessiva del moto.
2. Determinare il modulo della velocità scalare media, lo
spostamento subito dal ciclomotore ed il modulo della
velocità vettoriale media.
3. Rappresentare nel riferimento cartesiano (t;S) la legge
oraria del moto.
Soluzione
Completiamo la figura fornita dal testo come indicato in Fig.2
1.
Per determinare la durata del moto è necessario determinare il tempo necessario per la
percorrenza del tratto BC. Non si conosce la lunghezza di questo tratto, però dalla figura
fornita si evince che il triangolo BHC è rettangolo in H ed il cateto BH misura 5Km.
Pertanto possiamo determinare la misura dell’ipotenusa BC. Si ha
BH
10
BC =
=
Km 5, 77Km
cos 30°
3
A questo punto, conoscendo il modulo V2 (costante) della velocità mantenuta dal
ciclomotore nel tratto BC, dalla legge del moto rettilineo
uniforme ricaviamo la misura dell’intervallo di tempo
impiegato:
BC 10
Km
∆t2 =
=
Km : 60
=
V2
h
3
10
min 5, 77 min 5 min 46 s
3
Durata del percorso
Con
∆t1 = 4 min , durata del percorso AB;
, ∆t3 = 3min durata del percorso CD si
ha
∆t = ∆t1 + ∆t2 + ∆t3 = (4 + 5, 77 + 3) min = 12, 77 min = 12 min 46s .
2.
Velocità scalare media
Per definizione il valore della velocità scalare media è dato dal rapporto tra la lunghezza
del percorso coperto dal ciclomotore ed il tempo impiegato. Con l’ovvio significato dei
simboli si ha:
Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it
1
( 5 + 5, 77 + 3) Km = 13, 77 ⋅103 m 17,97 m
s1 + s2 + s3
=
12, 77 min
∆t1 + ∆t2 + ∆t3
12, 77 ⋅ 60 s
s
Velocità vettoriale media
Per quanto riguarda questa grandezza ricordiamo che è data dal rapporto tra il vettore
spostamento subito dal ciclomotore e la misura dell’intervallo di tempo in cui il
fenomeno si è verificato. Il vettore spostamento ∆s subito dal ciclomotore è
rappresentato dal vettore AD ed il modulo di questo si può determinare utilizzando le
coordinate cartesiane, ovvero applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo
AHD.
Osserviamo che il triangolo BHC è la metà di un triangolo equilatero ed il cateto HC
essendo opposto all’angolo di 30° ha misura uguale alla metà di quella dell’ipotenusa:
1
HC = BC 2,88 Km
2
HD = HC + CD (2,88 + 3) Km = 5,88 Km
scalare
Vmedia
=
2
2
102 + 5,882 Km 11, 60Km
AD = AH + HD
Il modulo della velocità vettoriale media è
3.
∆s
AD
11, 60 Km
m
15,14
∆t
∆t1 + ∆t2 + ∆t3 12, 77 min
s
Osservazione – Il modulo della velocità vettoriale media è sempre minore o uguale a
quello della velocità scalare media.
Per scrivere la legge oraria del moto su tutto il percorso utilizziamo le unità del S.I. e
fissiamo come origine delle ascisse (curvilinee) il punto A e come origine dei tempi
(t=0s) l’istante in cui il ciclomotore parte da A. Con queste convenzioni sussisto le
seguenti leggi orarie.
5 Km
m
Tratto AB
V1 =
= 20,83 ;
4 min
s
s1 = V1 ⋅ t = 20,83t (t in secondi ed s1 in metri); t B = 240 s
Km
m
Tratto BC
V2 = 60
= 16, 67 ;
h
s
S 2 = V2 ⋅ ( t − t B ) + S B 16, 67 ( t − 240 ) + 5000
con
240s≤ t ≤ 586,2s
Nell’istante t=586,2s il ciclomotore arriva in C ed ha percorso
SC = AB + BC (5 + 5, 77) Km = 10770m
3Km 1000m
m
Tratto CD
V3 =
=
= 16, 67 ;
3min
60 s
s
S3 = V3 ⋅ ( t − tC ) + SC 16, 67 ( t − 586, 2 ) + 10770 con 586,2s≤ t ≤ 766,2s
La rappresentazione grafica della legge oraria la ricaviamo con Derive V.6 .
vett .
Vmedia
=
=
Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it
2
Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it
3
Problema_2
Un ragazzo mantiene in rotazione con moto circolare uniforme una massa m=50g legata ad un
elastico in un piano orizzontale. La frequenza di rotazione è di due giri al secondo ed il raggio della
traiettoria è 50cm.
1.
Determinare il periodo di rotazione ed il modulo della velocità periferica della massa.
2.
Determinare l’accelerazione centripeta.
3.
Determinare l’intensità della forza che il ragazzo deve applicare per mantenere in
rotazione la massa con le caratteristiche indicate per il moto.
4.
Supponendo che l’elastico verifichi la legge di Hooke ed abbia costante elastica
k=50N/m stabilire la sua deformazione durante il moto indicato e la lunghezza
dell’elastico a riposo.
Soluzione
Premessa
Il moto della massa è circolare uniforme e si svolge in un piano orizzontale. Durante il moto
il modulo della velocità della massa è costante e l’accelerazione è diretta verso il centro
della traiettoria. Dal punto di vista dinamico il moto della massa è spiegato dall’azione della
forza centripeta che il ragazzo deve esercitare sulla massa. Questa forza ha modulo costante
e per la seconda legge della dinamica è uguale al prodotto della massa per l’accelerazione
che questa subisce. Utilizziamo i seguenti simboli:
R
raggio della traiettoria descritta;
T
periodo di rotazione;
V
modulo della velocità periferica;
ac
modulo dell’accelerazione centripeta.
Sussistono le seguenti leggi
V2
V2
2π R
V=
, (*)
ac =
(**),
F = mac = m
(***).
T
R
R
Rispondiamo ora ai quesiti
1.
Poiché la frequenza di rotazione è f=2giri/s la massa impiega mezzo secondo per
compiere un giro, dunque T=0, 5s. Dalla relazione (*), essendo R=0,5m, ricaviamo il
modulo della velocità periferica:
2π R 2 ⋅ 3,14 ⋅ 0, 5m
m
V=
=
6, 28
T
0,5s
s
2.
Il modulo dell’accelerazione centripeta si determina applicando la (**):
2 −2
V 2 ( 6, 28 ) m s
m
=
78,88 2
R
0,5m
s
L’intensità della forza applicata dal ragazzo sulla massa si determina con la (***).
m
F = mac = 50 ⋅10−3 Kg ⋅ 78,88 2
3,95N
s
Poiché l’elastico verifica la legge di Hooke l’intensità della forza applicata dal ragazzo e
trasmessa alla massa determina nell’elastico una dilatazione ∆l direttamente
proporzionale all’intensità della forza di trazione. Precisamente risulta
F
3,95 N
Felast . = k ⋅ ∆l
∆l = elast . =
7,9cm
k
50 Nm −1
Concludiamo che durante il moto l’elastico si dilata di 7,9cm.
Calcolo della lunghezza dell’elastico a riposo
La lunghezza lo dell’elastico a risposo è data dalla differenza tra la lunghezza quando è
in tensione e la misura della deformazione subita:
lo = l − ∆l = (50 − 7,9)cm = 42,1cm
2
ac =
3.
4.
Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it
4
