Foglio di Esercizi 2

Foglio di Esercizi 2
Meccanica Razionale a.a. 2016/17
Canale A-L (P. Buttà)
Avvertenza. La domanda “si disegni il ritratto delle fasi, specificando
il numero di curve di fase su ciascun livello di energia ed il tipo di moto
corrispondente a ciascuna di esse” significa disegnare le curve di livello
ΓE = {(x, v) : H(x, v) = E} dell’energia H(x, v) = 12 mv 2 + U (x) al
variare di E, specificando il numero di curve di fase ed il tipo di moto
corrispondente a ciascuna di esse. Nel fare questo, occorre individuare
i livelli critici E1 , E2 , etc., e classificare distinguendo i casi E < E1 ,
E = E1 , E1 < E < E2 , E = E2 , etc.. Eventuali asintoti orizzontali
della funzione U (x) vanno considerati come livelli critici.
Esercizio 1. Descrivere qualitativamente il moto di un punto materiale P di massa m libero di muoversi sulla retta R e soggetto alla forza
di energia potenziale
U (x) = 3x2 − 2x3
x∈R.
In particolare si disegni il ritratto delle fasi, specificando il numero di curve di fase su ciascun livello di energia ed il tipo di moto
corrispondente a ciascuna di esse.
Esercizio 2. Descrivere qualitativamente il moto di un punto materiale P di massa m libero di muoversi sulla retta R e soggetto alla forza
di energia potenziale
U (x) = (x2 − 1)2
x∈R.
In particolare si disegni il ritratto delle fasi, specificando il numero di curve di fase su ciascun livello di energia ed il tipo di moto
corrispondente a ciascuna di esse.
Esercizio 3. Un punto materiale di massa m è libero di muoversi sulla
retta R ed è soggetto alla forza di energia potenziale
2
U (x) = x3 e−ax
essendo a ∈ R un parametro.
x∈R,
2
1) Si determinino le condizioni sulla massa m (al variare del parametro a ∈ R) tali che, detto x(t) il moto di dati iniziali x(0) = 1
e ẋ(0) = 1, si abbia lim x(t) = +∞.
t→+∞
2) Nei casi particolari a = 3/2 ed a = −3/2 discutere qualitativamente il moto di P . In particolare si disegni il ritratto delle
fasi, specificando il numero di curve di fase su ciascun livello di
energia ed il tipo di moto corrispondente a ciascuna di esse.
Esercizio 4. Un punto materiale P di massa m = 1 è libero di
muoversi sulla retta R ed è soggetto alla forza di energia potenziale
1 2
+x
U (x) = x2 e− 2 x
,
x∈R.
Si richiede:
1) Disegnare il ritratto di fase, specificando il numero di orbite su
ciascun livello di energia ed il tipo di moto corrispondente a
ciascuna di esse.
2) Esistono moti non definiti globalmente nel tempo?
3) Sia xv (t), v ∈ R, la soluzione del problema di Cauchy di dati
iniziali xv (0) = 0, ẋv (0) = v. Determinare i valori del parametro
v per i quali esiste il limite
C(v) = lim ẋv (t)
t→+∞
e calcolarlo.
√
4) Sia xv (t) il moto sopra definito e si assuma v > 2 max U .
Determinare (in funzione del parametro v ed a meno di un’integrazione) i valori che devono assumere i parametri a, b affinché
il moto rettilineo uniforme a + b t approssimi asintoticamente
xv (t), ovvero affinché si abbia
lim xv (t) − a − b t = 0 .
t→+∞
[Altrimenti detto, determinare nel piano (t, x) l’equazione cartesiana x = a + b t dell’asintoto obliquo alla curva x = xv (t).]