PROGRAMMA DI MECCANICA RAZIONALE A
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a. a. 2009/10
CALCOLO VETTORIALE. Operazioni coi vettori; vettori variabili e loro derivazione.
GEOMETRIA DELLE MASSE. Massa; baricentro; momento d’inerzia assiale; matrice ed ellissoide
d’inerzia; assi principali d’inerzia. Momento d’inerzia polare.
CINEMATICA. Cinematica del punto: legge oraria, velocità, accelerazione, moto armonico, moto
circolare. Cinematica del corpo rigido: angoli di Eulero; formule di Poisson, formula fondamentale;
stati cinetici elementari e loro caratteristiche; teorema di Mozzi; composizione degli stati cinetici.
Cinematica relativa del punto. Moto rigido piano, base e rulletta, polo delle accelerazioni. Moto di
un corpo rigido rispetto ad un suo punto. Sistemi di riferimento equivalenti.
NOZIONI ED ENTI FONDAMENTALI DELLA MECCANICA. Nozione di forza; leggi fondamentali; parametri lagrangiani; spostamenti infinitesimi; vincoli; forze attive e reazioni vincolari. Sistemi di forze:
vettori caratteristici; sistemi equivalenti; sistemi elementari, teorema di equivalenza; operazioni
elementari, teorema di riduzione; sistemi di forze parallele; forza peso, baricentro. Lavoro. Sistemi
conservativi di forze attive; esempi significativi. Potenza. Concetto di vincoli perfetti.
MECCANICA DEL PUNTO. Introduzione ai problemi della Meccanica. Moto ed equilibrio di un punto;
relazioni di Coulomb per l’attrito. Oscillazioni libere: smorzate e non. Teoremi delle forze vive e di
conservazione dell’energia. Pendolo semplice; piccole oscillazioni. Moto ed equilibrio relativo; forza
centrifuga.
MECCANICA DEI SISTEMI. Equilibrio dei sistemi. Principio dei lavori virtuali; applicazione ai
sistemi olonomi; metodo del potenziale. Stabilità. Equazioni cardinali della statica; equilibrio di
un corpo rigido con un asse fisso (anche con il principio dei lavori virtuali); problemi staticamente
determinati/indeterminati. Quantità di moto; momento della quantità di moto; energia cinetica;
esempi significativi. Equazioni cardinali della dinamica. Teoremi delle forze vive e di conservazione
dell’energia; integrali primi. Equazioni di Lagrange; caso conservativo; equazione del moto di un
corpo rigido con asse fisso.
PROGRAMMA DETTAGLIATO CON RIFERIMENTO ALLE DISPENSE
(inclusi gli esercizi svolti nelle esercitazioni e considerati materia d’esame)
Teoria:
— Capitolo 2 (Geometria delle masse): tutto, eccetto la dimostrazione del teorema del x2.5;
— Capitolo 3 (Cinematica): tutto, eccetto i paragrafi 3.17, 3.25 e le dimostrazioni del punto 3c)
del x3.14, del 2◦ teorema del x3.19, del x3.22 e del teorema del x3.24;
— Capitolo 4 (Concetti e nozioni fondamentali della Meccanica): tutto eccetto l’esempio 4) del x4.7
e le dimostrazioni dei teoremi dei xx 4.12, 4.13 e 4.15;
— Capitolo 5 (Meccanica del punto): tutto, la dimostrazione del x5.5;
— Capitolo 6 (Meccanica de sistemi): Sono esclusi: la dimostrazione della condizione necessaria
del principio dei lavori virtuali, i xx 6.9, 6.11, 6.19 e 6.22 e il calcolo di K(O)
per un corpo rigido
con asse fisso nel x6.13.
Esercizi:
— esercizi di cinematica: 3.3, 3.4 e 3.5 (e similari), 3.8;
— esercizi sulle forze: tutti (e similari);
— esercizi di meccanica del punto: da 5.1 a 5.4, 5.5 (solo fino alla scrittura dell’equazione differenziale
del moto), 5.6 (senza dimostrare che l’orbita è un’ellisse), 5.7, da 5.9 a 5.13;
— esercizi di meccanica dei sistemi: 6.1 (tutto eccetto lo studio dell’equilibrio col principio dei lavori
virtuali); 6.5 (studio dell’equilibrio con il potenziale e le equazioni cardinali della statica e del moto
con le equazioni di Lagrange).
N.B. Tutti gli argomenti trattati nel Capitolo 1 (Calcolo vettoriale) sono da considerarsi propedeutici al corso, e quindi noti. Essi non saranno oggetto di specifica domanda, ma potranno essere
richiesti a giustificazione di affermazioni o implicazioni relative ad argomenti di altri capitoli.
