Matematica Finanziaria - Gestione delle Pagine Web Personali

Matematica Finanziaria - A
Vito Fragnelli
A.A. 2010-2011
Parte I
Operazioni finanziarie
1
Capitolo 1
Operazioni finanziarie semplici
Il valore di un capitale è un concetto legato al tempo, cioè una somma in un certo istante
è equivalente ad un’altra somma, generalmente maggiore, in un istante successivo. Alcuni
classici esempi sono:
• deposito di un capitale per un certo tempo;
• apertura di un prestito;
• acquisto di titoli;
• anticipazione di un capitale.
Le operazioni finanziarie elementari più comuni sono:
Capitalizzazione
Una somma C (capitale) viene prestata ad un certo istante (data di investimento) e dopo
un certo tempo (data di scadenza) viene restituita una somma maggiore M (montante);
la maggiorazione (interesse) è I = M − C.
Sconto
Una somma S (valore attuale o scontato o anticipato) viene restituita in anticipo rispetto
alla somma dovuta C (capitale); la riduzione (sconto) è D = C − S.
Attualizzazione
Corrisponde a chiedere quale capitale ad una certa data è equivalente ad un altro in una
data diversa. In altre parole se la seconda data è posticipata risulta simile alla capitalizzazione, mentre se la data è anticipata risulta simile allo sconto. Solitamente si utilizza
per confrontare capitali diversi in date diverse.
1.1
Modelli di capitalizzazione
Capitalizzazione semplice - Interessi posticipati
Se il capitale è unitario I esprime l’interesse per unità di capitale, che in generale si
2
CAPITOLO 1. OPERAZIONI FINANZIARIE SEMPLICI
può scrivere come rapporto tra l’interesse e il capitale,
I
;
C
3
analogamente se l’intervallo di
tempo è unitario I esprime l’interesse per unità di tempo, che in generale è It . Se si vuole
esprimere il tasso di interesse i per unità di capitale e per unità di tempo si ha:
i=
I
Ct
cioè
I = Cit
e conseguentemente
M = C + Cit = C(1 + it)
E’ usata per brevi periodi.
Osservazione 1.1.1
• Il tasso di interesse i è detto anche intensità di interesse.
• Il tempo t e il tasso di interesse i devono essere espressi in riferimento alla stessa
unità di misura. Per i si parla di tasso di interesse annuo, semestrale, trimestrale,
mensile, giornaliero o altro e quindi t esprime il numero di “periodi” di capitalizzazione, salvo diversamente specificato. Se le unità di misura sono differenti, risulta
più semplice riportare t all’unità di misura di i, sfruttandone la linearità.
• Per periodi molto brevi può essere importante la valutazione del tempo; l’anno infatti
può contare 360 giorni (ordinario) o 365 giorni (esatto) e l’intervallo di tempo può
far riferimento al numero di giorni effettivi di ciascun mese (esatto) o supporre che
tutti i mesi abbiano 30 giorni (convenzionale).
Esempio 1.1.1 Quale interesse I si ottiene da un capitale C = 1000 investito in
capitalizzazione semplice dal 28 giugno al 3 settembre al tasso annuo del 12%?
67
360
65
I = 1000 × 0.12 ×
360
67
I = 1000 × 0.12 ×
365
65
I = 1000 × 0.12 ×
360
I = 1000 × 0.12 ×
= 22.333
ordinario - esatto (Banker0sRule − francese)
= 21.666
ordinario - convenzionale (tedesco)
= 22.027
esatto - esatto (inglese)
= 21.369
esatto - convenzionale
Capitalizzazione iperbolica - Interessi anticipati
Supponendo di investire il capitale C ∗ − C ∗it = C ∗(1 − it) e ottenere C ∗, la situazione è
equivalente al caso precedente con C = C ∗(1 − it) e M = C ∗, per cui
M=
C
1 − it
CAPITOLO 1. OPERAZIONI FINANZIARIE SEMPLICI
4
e
Cit
1 − it
Può essere usata per periodi non molto lunghi, poichè M > 0 ⇐⇒ it < 1, cioè se t <
I=
1
i
Esempio 1.1.2 Quale interesse I si ottiene da un capitale C = 1000 investito in capitalizzazione iperbolica al tasso annuo del 6% dopo 3 mesi? e dopo 16 anni? e dopo 16 anni
e 6 mesi? e quale è la durata massima dell’investimento?
15
1000 × 0.06 × 0.25
=
= 15.228
1 − 0.06 × 0.25
0.985
1000 × 0.06 × 16
960
I=
=
= 24000
1 − 0.06 × 16
0.04
1000 × 0.06 × 16.5
990
I=
=
= 99000
1 − 0.06 × 16.5
0.01
1
t<
= 16.666
0.06
I=
Capitalizzazione composta
Si supponga di stipulare un contratto in cui al tempo t0 si versa un capitale C che rende
il montante M al tempo t2 con un interesse I = M − C; questo tipo di contratto viene
detto a pronti. Se l’intervallo di tempo è diviso in due sottointervalli t1 − t0 e t2 − t1 la
capitalizzazione può essere vista o come un contratto a pronti che rende l’interesse I o
come due contratti, uno per ciascun intervallo dei quali il primo si applica al capitale C
al tempo t0 e produce il montante C + I1 al tempo t1 e il secondo si applica al capitale
C + I1 al tempo t1 e produce il montante C + I1 + I2 al tempo t2; supponendo che entrambi
i contratti siano stipulati al tempo t0, il primo è un contratto a pronti e il secondo un
contratto a termine.
Applicando la capitalizzazione semplice, fissato il tasso di interesse i e supponendo la
durata dei due periodi unitaria, nel primo caso si ottiene I = 2Ci, mentre nel secondo
caso si ha I1 = Ci e I2 = [C(1 + i)]i e quindi I1 + I2 = 2Ci + C(i)2 che risulta maggiore dell’interesse I calcolato nel primo caso. Per ovviare a questa situazione si usa la
capitalizzazione composta o ad interesse composto.
Per definire la capitalizzazione composta può essere più semplice fare riferimento al
montante; al termine del primo periodo si ha M1 = C(1 + i), che reinvestito alle stesse
condizioni produce al termine del secondo periodo il montante M2 = M1 (1+i) = C(1+i)2;
l’interesse I si esprime come I = C(1 + i)2 − C = C((1 + i)2 − 1).
In generale, per t periodi il montante finale è M = C(1 + i)t e l’interesse globale è
I = C((1 + i)t − 1).
E’ usata per periodi lunghi.
Per periodi non corrispondenti a multipli interi del periodo unitario, t ∈
/ N, si può
usare il valore t (metodo esatto o esponenziale) oppure la capitalizzazione composta per
CAPITOLO 1. OPERAZIONI FINANZIARIE SEMPLICI
5
la parte intera |t| e la capitalizzazione semplice per la parte frazionaria t − |t| (metodo
approssimato o lineare). Il metodo lineare rende più complessi i problemi inversi, ma è il
più usato nelle transazioni finanziarie.
Esempio 1.1.3 Quale montante M si ottiene in capitalizzazione composta da un capitale
C = 100 investito per 2 anni e 7 mesi al tasso annuo del 9% col metodo esponenziale e
col metodo lineare?
Metodo esponenziale M = 100(1 + 0.09)2.583 = 124.93
Metodo lineare
M 0 = 100(1 + 0.09)2
M = M 0 (1 + 0.09 × 0.583) = 118.81 × 1.0525 = 125.04
Esempio 1.1.4 Quale montante M si ottiene da un capitale C = 100 investito per 3
anni al tasso annuo del 6%?
Capitalizzazione semplice
Capitalizzazione iperbolica
Capitalizzazione composta
M = 100(1 + 0.06 × 3) = 118
100
= 121.95
M=
1 − 0.06 × 3
M = 100(1 + 0.06)3 = 119.10
Esempio 1.1.5 Quale montante M si ottiene da un capitale C = 100 investito per 2
anni al tasso trimestrale del 2%?
Capitalizzazione semplice
Capitalizzazione iperbolica
Capitalizzazione composta
M = 100(1 + 0.02 × 8) = 116
100
M=
= 119.05
1 − 0.02 × 8
M = 100(1 + 0.02)8 = 117.17
Nel caso della capitalizzazione composta si può dire che il capitale è investito al tasso
annuo dell’8% con capitalizazzione trimestrale.
La capitalizzazione iperbolica fornisce sempre il montante più alto; la capitalizzazione
semplice è più vantaggiosa per periodi inferiori al periodo di capitalizzazione e la composta
per periodi superiori.
Esempio 1.1.6 Quale montante M si ottiene da un capitale C = 100 investito per 6
mesi al tasso annuo del 12%?
Capitalizzazione semplice
Capitalizzazione iperbolica
Capitalizzazione composta
M = 100(1 + 0.12 × 0.5) = 106
100
M=
= 106.38
1 − 0.12 × 0.5
M = 100(1 + 0.12)0.5 = 105.83
CAPITOLO 1. OPERAZIONI FINANZIARIE SEMPLICI
1.1.1
6
Problemi inversi
Precedentemente si è visto quale interesse o montante si ottiene da un certo capitale
investito per un certo tempo ad un deto tasso di interesse. Talvolta è necessario dover
rispondere a domande diverse, originate dai cosiddetti problemi inversi.
* Quale tasso di interesse fornisce un montante M o un interesse I dopo un tempo t
investendo un capitale C?
• Capitalizzazione semplice
i=
M −C
I
=
Ct
Ct
• Capitalizzazione iperbolica
i=
• Capitalizzazione composta
i=
r
t
M −C
I
=
Mt
(C + I)t
M
−1=
C
r
t
C +I
−1
C
Esempio 1.1.7 Quale interesse permette di raddoppiare il capitale in 2 anni e quale
in 3 anni?
Capitalizzazione semplice
Capitalizzazione iperbolica
Capitalizzazione composta
1
1
= 50%
i3 = = 33.33%
2
3
1
1
i2 = = 25%
i3 = = 16.67%
4
6
√
√
2
3
i2 = 2 − 1 = 41.42% i3 = 2 − 1 = 25.99%
i2 =
Esempio 1.1.8 Investendo C = 1000 per 9 mesi si vuole ottenere un interesse I
= 30; quale deve essere il tasso mensile?
Capitalizzazione semplice
Capitalizzazione iperbolica
Capitalizzazione composta
30
= 0.333%
1000 × 9
30
i=
= 0.323%
1030 × 9
r
9 1030
i=
− 1 = 0.329%
1000
i=
* Dopo quale tempo si ottiene un montante M o un interesse I investendo un capitale
C al tasso i?
• Capitalizzazione semplice
t=
M −C
I
=
Ci
Ci
CAPITOLO 1. OPERAZIONI FINANZIARIE SEMPLICI
7
• Capitalizzazione iperbolica
t=
M −C
I
=
Mi
(C + I)i
• Capitalizzazione composta
t=
lg M
lg C+I
C
C
=
lg(1 + i)
lg(1 + i)
Esempio 1.1.9 Dopo quanti anni si triplica il capitale investendolo al tasso del 2%
trimestrale? e al tasso del 10% annuo?
Capitalizzazione semplice
t=
2
0.02
= 100 trimestri = 25 anni
t=
2
0.1
= 20 anni
t=
2
0.3
= 6.66 anni
t=
lg3
lg1.1
Capitalizzazione iperbolica
t=
2
0.06
= 33.33 trimestri = 8.33 anni
Capitalizzazione composta
t=
lg3
lg1.02
= 55.48 trimestri = 13.87 anni
= 11.53 anni
Esempio 1.1.10 Il capitale C = 5000 è investito per 20 anni al tasso del 12%
annuo composto. In quanti anni avrebbe reso lo stesso montante M investito al 12%
annuo composto mensilmente? e a quale tasso avrebbe dato lo stesso montante in
20 anni in capitalizzazione semplice?
M = 5000(1.12)20 = 48231
lg 48231
5000
t=
= 227.78 mesi = 18.98 anni
lg(1.01)
48231 − 5000
i=
= 43.23%
5000 × 20
Il seguente esempio riassume i concetti precedenti nell’ambito di un confronto di
investimenti.
Esempio 1.1.11 Quale alternativa è più conveniente per investire un capitale C = 1000
per un tempo t = 10 anni:
a) al tasso di interesse semplice annuo i = 11%
b) al tasso di interesse composto annuo i = 8%
c) al tasso di interesse composto semestrale i = 4%
d) al tasso di interesse semplice annuo i = 5% per i primi 4 anni e al tasso di interesse
composto annuo i = 10% per i successivi 6 anni
CAPITOLO 1. OPERAZIONI FINANZIARIE SEMPLICI
8
e) al tasso di interesse composto annuo i = 10% per i primi 6 anni e al tasso di
interesse semplice annuo i = 5% per i successivi 4 anni
f ) al tasso di interesse semplice annuo i = 7% per i primi 2 anni, aumentando il tasso
di un punto ogni 2 anni fino al tasso i = 11% per gli ultimi 2 anni
I rispettivi montanti M sono:
a) Ma = 1000(1 + 0.11 × 10) = 2100
b) Mb = 1000(1 + 0.08)10 = 2159
c) Mc = 1000(1 + 0.04)20 = 2191
d) M4 = 1000(1 + 0.05 × 4) = 1200; Md = 1200(1 + 0.10)6 = 2126
e) M6 = 1000(1 + 0.10)6 = 1772; Me = 1772(1 + 0.05 × 4) = 2126
f ) M2 = 1000(1 + 0.07 × 2) = 1140; M4 = 1140(1 + 0.08 × 2) = 1322; M6 = 1322(1 +
0.09 × 2) = 1560; M8 = 1560(1 + 0.10 × 2) = 1872; Mf = 1872(1 + 0.11 × 2) = 2284
La relazione d) = e) non è casuale. Infatti in generale si ha:
0
0
Md = [C(1 + it)](1 + i0)t = [C((1 + i0)t ](1 + it) = Me
1.1.2
Capitalizzazione con ulteriori elementi
Tasso di inflazione
In capitalizzazione semplice al tasso i un capitale C rende dopo un anno il montante M =
M
C(1 + i)
C(1+i); se c’è un tasso di inflazione j il valore reale del montante è M ∗ =
=
.
1+j
1+j
1+i
C(1 + i)
Dalla relazione M ∗ =
= C(1 + i∗) si ricava
= 1 + i∗ e quindi il tasso reale
1+j
1+j
i−j
∗
di interesse è i =
.
1+j
Esempio 1.1.12 Se il tasso di interesse è i = 10% e il tasso di inflazione è j = 3% il
tasso reale di interesse è i∗ = 6.796%, e non i − j = 7%.
Tassi equivalenti per periodi diversi
I tassi possono essere espressi in riferimento a differenti periodi. Il tasso equivalente permette di ricondursi ad un unico periodo, avendo come obiettivo il conseguimento dello
stesso montante.
In capitalizzazione semplice, detto im il tasso riferito all’intervallo
1 + m × im = 1 + n × in ⇒ in =
m
im
n
1
m
di anno, si ha:
CAPITOLO 1. OPERAZIONI FINANZIARIE SEMPLICI
9
In capitalizzazione composta, detto jm il tasso riferito all’intervallo
1
m
di anno, si ha:
m
(1 + jm )m = (1 + jn )n ⇒ jn = (1 + jm ) n − 1
Esempio 1.1.13 Determinare il tasso equivalente al tasso semplice trimestrale del 2% e
il tasso equivalente al tasso composto semestrale del 3%.
iS = 4 × 0.02 = 8%
iC = (1 + 0.03)2 − 1 = 6.09%.
Scindibilità
Vuol dire che un’operazione finanziaria è indifferente alle interruzioni, cioè investire un
capitale C per un tempo t al tasso i produce lo stesso montante M che si ha dallo stesso
capitale investito allo stesso tasso per un tempo t1 e reinvestendo il montante M1 per un
tempo t − t1 sempre al tasso i.
La capitalizzazione semplice non è scindibile:
M1 = C(1 + it1); M = M1 (1 + i(t − t1)) = C(1 + it1)(1 + i(t − t1)) = C(1 + it + i2(t1t − t21))
La capitalizzazione composta è scindibile:
M1 = C(1 + i)t1 ; M = M1 (1 + i)t−t1 = C(1 + i)t1 (1 + i)t−t1 = C(1 + i)t
1.2
Modelli di sconto
Sconto razionale
S=
C
1 + it
e
Cit
1 + it
E’ il reciproco della capitalizzazione semplice.
D=
Sconto commerciale
S = C(1 − it)
e
D = Cit
e si ha S > 0 ⇐⇒ t < 1i .
E’ il reciproco della capitalizzazione iperbolica.
Sconto composto
S = C(1 + i)−t = Cv t
CAPITOLO 1. OPERAZIONI FINANZIARIE SEMPLICI
10
e
D = C(1 − v t)
dove v = (1 + i)−1 .
E’ il reciproco della capitalizzazione composta.
Osservazione 1.2.1
• La reciprocità a cui si è fatto riferimento corrisponde a ricavare il capitale C in
funzione del montante M e sostituire S a C e C ad M.
Sconto razionale
Sconto commerciale
Sconto composto
1.2.1
M
C
M = C(1 + it) ⇒ C =
⇒S=
1 + it
1 + it
C
M=
⇒ C = M(1 − it) ⇒ S = C(1 − it)
1 − it
M = C(1 + i)t ⇒ C = M(1 + i)−t ⇒ S = C(1 + i)−t
Problemi inversi
* Quale tasso di interesse fornisce un valore attuale S rispetto ad un capitale C con
un anticipo t?
• Sconto razionale
• Sconto commerciale
i=
C −S
St
i=
C −S
Ct
• Sconto composto
i=
r
t
C
−1
S
Esempio 1.2.1 Acquisto un titolo di valore 100 con scadenza a 3 mesi al prezzo
96. Quale è il tasso di sconto razionale? e il tasso di sconto commerciale? e il tasso
di sconto composto?
4
= 16.67%
96 × 0.25
4
i=
= 16%
100
r× 0.25
0.25 100
i=
− 1 = 17.73%
96
i=
* Di quanto tempo si deve anticipare un capitale C al tasso i per avere un valore
attuale S?
• Sconto razionale
t=
C−S
Si
CAPITOLO 1. OPERAZIONI FINANZIARIE SEMPLICI
• Sconto commerciale
t=
• Sconto composto
t=
1.3
11
C−S
Ci
lg CS
lg(1 + i)
Attualizzazione
Come già accennato, sfruttando le formule di capitalizzazione e sconto è possibile trovare,
data una somma disponibile in un qualsiasi istante, la somma ad essa equivalente nell’istante attuale, da cui il nome. Ovviamente è possibile ricondursi non solo all’istante
attuale, ma ad un qualsiasi istante.
Le situazioni in cui questa operazione viene utilizzata sono numerose.
Esempio 1.3.1 A quale tasso di interesse annuo conviene pagare una somma 250 con
uno sconto del 2% alla scadenza invece che intera a 90 giorni?
Questo equivale a dire che subito si paga 245 e a 90 giorni si paga 250. Quindi si può
calcolare il tasso annuo che fornisce il montante 250 da un capitale 245 in un tempo t =
0.25.
Capitalizzazione semplice
Capitalizzazione iperbolica
Capitalizzazione composta
250 − 245
= 8.16%
245 × 0.25
250 − 245
i=
= 8.00%
250 × 0.25
r
0.25 250
− 1 = 8.42%
i=
245
i=
In particolare per un’operazione finanziaria estesa su un intervallo di tempo si può fare
riferimento all’istante iniziale che fornisce il valore attuale nominale (VAN) o all’istante
finale che fornisce il valore finale (VF).
Esempio 1.3.2 La somma di 200 può essere investita in un titolo che tra 4 anni rende
260 o in un titolo che ogni anno rende il 6% e dopo 4 anni viene rimborsato a 210. Se il
tasso annuo di attualizzazione è 5%, quale impiego è da preferire?
Modo 1
Per il primo titolo:
260
= 213.903
1.054
Per il secondo titolo che ogni anno rende Q = 200 × 0.06 = 12:
V AN1 =
V AN2 =
12
12
12
222
+
+
+
= 215.319
2
3
1.05 1.05
1.05
1.054
CAPITOLO 1. OPERAZIONI FINANZIARIE SEMPLICI
12
Modo 2
Per il primo titolo:
V F1 = 260
Per il secondo titolo:
V F2 = 12 × 1.053 + 12 × 1.052 + 12 × 1.05 + 222 = 261.721
Si osservi che il primo titolo rende monetariamente 260 contro 258 del secondo, che ha
un valore attualizzato maggiore
Esempio 1.3.3 E’ conveniente acquistare una casa per la somma di 300 sapendo di ricevere un affitto annuo anticipato di 10 e rivenderla dopo 5 anni per 350, se il tasso annuo
di attualizzazione è 7%?
Modo 1
V AN = −290 +
10
10
10
350
10
+
+
+
+
= −6.58
1.07 1.072 1.073 1.074 1.075
Modo 2
V F = 290 × 1.075 − 10 × 1.074 − 10 × 1.073 − 10 × 1.072 − 10 × 1.07 = 359.24
Osservazione 1.3.1
• L’istante di riferimento può influenzare, sia pur leggermente, il risultato.
Esempio 1.3.4 Un prestito può essere rimborsato in due modi: 200 dopo 5 mesi
e 300 dopo 10 mesi oppure α dopo tre mesi e 2α dopo sei mesi. Affinchè i due modi
risultino equivalenti quale cifra si deve rimborsare nel secondo modo, sapendo che il
tasso di interesse semplice è il 12% annuo?
Al sesto mese
3
α 1 + 0.12
12
1
+ 2α = 200 1 + 0.12
12
+
300
4
1 + 0.12 12
da cui α = 161.87 e quindi si rimborsa 485.61.
Al terzo mese
α+
2α
200
300
3 =
2 +
7
1 + 0.12 12
1 + 0.12 12
1 + 0.12 12
da cui α = 161.96 e quindi si rimborsa 485.88.
Adesso
α
2α
200
300
3 +
6 =
5 +
10
1 + 0.12 12
1 + 0.12 12
1 + 0.12 12
1 + 0.12 12
da cui α = 162.09 e quindi si rimborsa 486.27.
Capitolo 2
Operazioni finanziarie complesse
Nel caso di capitali rilevanti e/o tempi molto lunghi i capitali vengono frazionati nel
tempo, come già visto in alcuni esempi precedenti. In questo caso un’operazione finanziaria
è costituita da un insieme di flussi monetari x = {x1 , ..., xn}, detto vettore dei pagamenti
e dal corrispondente insieme di date t = {t1, ..., tn}, vettore delle scadenze.
Alcuni esempi sono dati da:
Costituzione di un capitale
• Continuous Input - Point Output (CIPO)
Si versano i capitali (rate) a istanti diversi per disporre di un capitale M ad un
istante che può coincidere con l’ultimo versamento o essere successivo.
• Point Input - Point Output (PIPO)
Il versamento è in una sola rata.
Rendite
• a rate costanti o variabili (progressione aritmetica o geometrica)
• temporanee o perpetue (rate finite o infinite)
• a rate anticipate o posticipate
• a rate periodiche o aperiodiche
– periodiche immediate o differite
– periodiche annue, frazionate o poliennali (frequenza delle rate)
Estinzione di un debito
Rimborso del capitale e degli interessi
• capitale e interessi alla scadenza
13
CAPITOLO 2. OPERAZIONI FINANZIARIE COMPLESSE
14
• capitale alla scadenza e interessi (semplici) anticipati
• capitale alla scadenza e interessi (semplici) periodici
• capitale graduale e interessi (semplici) periodici (ammortamento)
Un’operazione finanziaria è detta equa se la somma dei valori attualizzati dei flussi
monetari è nullo.
2.1
Costituzione di un capitale
In generale versando le rate R1 , ..., Rn alle date t1 , ..., tn si ottiene il capitale
X
Rs (1 + i)tn−ts
M=
s=1,...,n
Se viene costituito a rate costanti R e a intervalli costanti unitari si ha:
X
M=
R(1 + i)n−s
s=1,...,n
per cui volendo ottenere un capitale dato M dopo n periodi ad un tasso di interesse i la
rata deve ammontare a:
R=
2.2
Mi
(1 + i)n − 1
Rendite
Valore attuale (in 0 < t1 )
in capitalizzazione composta
V AN =
X
Rs (1 + i)−ts
s=1,...,n
Montante (in tn )
in capitalizzazione composta
M = (1 + i)tn
X
Rs (1 + i)−ts = (1 + i)tn V
s=1,...,n
Per rate costanti (Rs = R), posticipate e periodiche (ts = s) la capitalizzazione composta
fornisce:
V AN =
X
R(1 + i)−s = R
s=1,...,n
M=
X
s=1,...,n
X
X
1
1 − vn
s
=
R
v
=
Rv
= Ran|i
s
(1
+
i)
1
−
v
s=1,...,n
s=1,...,n
R(1 + i)
n−s
(1 + i)n − 1
=R
= Rsn|i
i
CAPITOLO 2. OPERAZIONI FINANZIARIE COMPLESSE
dove v =
15
1
.
1+i
Per rate costanti, anticipate e periodiche la capitalizzazione composta fornisce:
V AN =
X
R(1 + i)−s = R
s=0,...,n−1
M=
X
s=0,...,n−1
X
X
1 − vn
1
s
=
R
v
=
R
= Rän|i
(1 + i)s
1−v
s=0,...,n−1
s=0,...,n−1
R(1 + i)n−s = R
(1 + i)n − 1
(1 + i) = Rs̈n|i
i
an|i e sn|i sono il valore attuale e il montante per rendite unitarie posticipate e periodiche e si leggono “a [s] posticipato figurato n, al tasso i”; än|i e s̈n|i sono il valore attuale
e il montante per rendite unitarie anticipate e periodiche e si leggono “a [s] anticipato
figurato n, al tasso i”.
Due esempi molto comuni di rendite sono i titoli obbligazionari a cedola nulla e a
cedola fissa.
Titolo a cedola nulla
In questo caso il titolo, detto anche zero coupon bond, viene acquistato al prezzo di emissione C alla data t0 e rende il valore nominale M alla data di scadenza t1 . Il periodo t1 − t0
è detto vita residua del titolo.
M −C
, anche se il dato non ha
C(t1 − t0)
nessun significato ai fini dell’investimento, nel senso che se il titolo viene riscattato prima
In questo caso il tasso di interesse è dato da i =
della scadenza l’interesse, e di conseguenza il tasso, può essere qualsiasi (vedi ad esempio
il paragrafo 3.2).
Titolo a cedola fissa
In questo caso il titolo, detto anche coupon bond, viene emesso al prezzo di emissione C
alla data t0 e alle date t1 , ..., tn rende l’interesse fisso I, detto cedola o coupon, inoltre
I
alla data tn rende il valore nominale o facciale M. Il rapporto
è detto tasso cedolare,
C
mentre il rapporto tra la somma delle cedole pagate in un anno e il prezzo C è detto tasso
4I
nominale. Ad esempio un titolo a cedola trimestrale ha un tasso nominale
.
C
Osservazione 2.2.1
• Se il titolo viene acquistato dopo l’emissione il prezzo può essere diverso da C, inoltre
è necessario pagare l’interesse maturato, detto rateo, calcolato proporzionalmente al
periodo di vita della cedola già trascorso; se l’acquisto avviene al tempo t tra le
t − tk
scadenze tk e tk+1 , il rateo è I
. Solitamente il rateo si misura in dietimi,
tk+1 − tk
cioè l’interesse giornaliero.
CAPITOLO 2. OPERAZIONI FINANZIARIE COMPLESSE
2.3
16
Estinzione di un debito
L’aspetto più interessante è quello di costruire un piano di ammortamento. Solitamente è
rappresentato con una tabella in cui vengono riportati per ogni periodo i dati essenziali:
quota
quota
debito
debito
scadenza rata capitale interessi residuo estinto
ts
Rs
Cs
Is
Ds
Es
con D0 = C; E0 = 0 e Dn = 0; En = C.
Esistono vari piani di ammortamento.
Quota capitale costante o italiano
Si pagano periodicamente una quota costante del capitale e gli interessi sul debito residuo,
quindi la rata è variabile e ammonta a:
Rs =
dove Is = Ds−1 i e Ds = Ds−1 −
Rate costanti o francese
C
+ Is
n
C
.
n
Si pagano periodicamente gli interessi e una quota del capitale, in modo che la rata sia
di importo costante. Gli interessi decrescono e le quote capitale crescono in progressione
geometrica:
R=
C
; Cs = C(1 + i)s−1
an|i
dove Is = Ds−1 i, Cs = R − Is e Ds = Ds−1 − Cs .
A due tassi o americano
Si pagano periodicamente gli interessi e si costituisce il capitale con rate Qs al tasso j
P
(j < i) in capitalizzazione composta, con s=1,...,n Qs (1 + j)n−s = C; per quote costanti
si ha Q =
C
;
sn|j
conseguentemente:
Rs = Qs + Is
dove Is = Ci e Ds = C.
La rata è detta costo periodico del debito, invece il valore di libro è la differenza tra il
capitale e il valore del fondo, cioè al tempo k è C − Qsk|j .
Esempio 2.3.1 Costruire un piano di ammortamento in 5 anni di C = 1000 al tasso
composto annuo i = 10%, utilizzando i vari metodi.
CAPITOLO 2. OPERAZIONI FINANZIARIE COMPLESSE
17
Piano italiano
t
0
1
2
3
4
5
R
C
I
D
E
1000
300 200 100 800 200
280 200 80 600 400
260 200 60 400 600
240 200 40 200 800
220 200 20
0
1000
Piano francese
t
0
1
2
3
4
5
R
C
I
D
E
1000
263.80 163.80 100.00 836.20 163.80
263.80 180.18 83.62 656.03 343.97
263.80 198.19 65.60 457.83 542.17
263.80 218.01 45.78 239.82 760.18
263.80 239.82 23.98
0
1000.00
Piano americano con j = 5%
t
0
1
2
3
4
5
R
Q
I
280.97
280.97
280.97
280.97
280.97
180.97
180.97
180.97
180.97
180.97
100
100
100
100
100
D
E
1000
1000
0
1000
0
1000
0
1000
0
0
1000
Per completezza si possono considerare anche la restituzione del capitale e degli interessi
in un’unica soluzione alla scadenza, che ammonta a 1000×1.15 = 1610.51 e la restituzione
del capitale alla scadenza e gli interessi (semplici) anticipati ogni anno, che ammonta a
100 all’inizio di ogni anno e 1000 alla fine dell’ultimo anno.
Volendo confrontare i differenti risultati si possono attualizzare le quote versate, in quanto
sommare semplicemente le quote equivale a supporre un tasso di attualizzazione nullo.
Nello schema seguente sono riportati i valori attualizzati alla fine dell’estinzione per i vari
piani utilizzando un tasso relativamente basso, 2%, e un tasso relativamente alto, 8%.
piano
Inizio I anno II anno III anno IV anno V anno
Italiano
0
324.73 297.14
270.50
244.80
220.00
F rancese
0
285.55 279.95
274.46
269.08
263.80
Americano
0
304.13 298.17
292.32
286.59
280.97
A scadenza
0
0
0
0
0
1610.51
Int. ant. Cap. sc 110.41 108.24 106.12
104.04
102.00 1000.00
T otale
1357.17
1372.83
1462.18
1610.51
1530.81
CAPITOLO 2. OPERAZIONI FINANZIARIE COMPLESSE
piano
Inizio I anno II anno III anno IV anno V anno
Italiano
0
408.15 352.72
303.26
259.20
220.00
F rancese
0
358.90 332.31
307.70
284.90
263.80
Americano
0
382.26 353.94
327.72
303.45
280.97
A scadenza
0
0
0
0
0
1610.51
Int. ant. Cap. sc 146.93 136.05 125.97
116.64
108.00 1000.00
18
T otale
1543.33
1547.61
1648.34
1610.51
1633.59
Esempio 2.3.2 Un capitale C = 10000 è impegnato per 8 anni al 6% annuo. Al termine il
montante viene prestato al tasso del 4% annuo con rimborso in 12 rate semestrali costanti.
Quale è l’importo delle rate?
M = 10000 × 1.068 = 15938
R=
15938
15938 × 0.02
=
= 1507.09
a12|0.02
1 − 1.02−12
Esempio 2.3.3 Un debito viene saldato versando 35 rate mensili R = 10 e un saldo di
100 al 36-esimo mese. Sapendo che il tasso di attualizzazione mensile è 0.5% determinare
l’importo del debito. Il debito equivale al valore attuale dei versamenti:
V =
X
10(1 + 0.005)−t + 100(1 + 0.005)−36 = 10a35|0.005 + 100(1.005)−36 = 403.92
t=1,...,35
Osservazione 2.3.1
• Nel metodo americano, si può far credere che pagando un tasso i e ricevendo un
tasso j (j < i) si paga solo i − j.
• Si può costruire un piano facendo credere di offrire di pagare gli interessi annualmente e il capitale in “comode rate” ad un tasso di favore if .
• Il metodo italiano risulta più costoso all’inizio, quando probabilmente c’è una minore
disponibilità da parte di chi ha chiesto il prestito.
• Il metodo francese presenta lo svantaggio che nelle rate iniziali il capitale rimborsato
è molto basso, per cui in caso di possibilità di estinzione anticipata del prestito,
anche dopo buona parte della durata del piano di ammortamento la quota è capitale
da riestituire è ancora molto elevata. Questo permette a chi ha concesso il prestito
di poter contare sulla riestituzione nei tempi previsti.
• Esistono altri piani di ammortamento, tra i quali il più noto è quello tedesco, simile
al piano francese in quanto ha le rate costanti, ma gli interessi vengono rimborsati
anticipatamente.
CAPITOLO 2. OPERAZIONI FINANZIARIE COMPLESSE
19
T.A.N. e T.A.E.G.
Un altro metodo di confronto tra vari piani di ammortamento è costituito dall’utilizzo del
tasso annuo effettivo globale (TAEG) rispetto al tasso annuo nominale (TAN).
Infatti il TAN è un indicatore troppo limitato, in quanto non tiene conto della periodicità delle rate né delle spese connesse al prestito.
• Tasso effettivo
Il TAN si riferisce al tasso che viene applicato su base annua, ma è facile osservare
che se le rate hanno una periodicità inferiore il tasso effettivamente pagato è più
alto. Il tasso annuo effettivo (TAE) si ottiene, come si è visto in 1.1.2, come:
nr
T AN
T AE = 1 +
−1
nr
dove nr è il numero annuo di rate. Se il capitale viene riestituito in due rate semestrali uguali, al tasso annuo nominale del 6%, il tasso annuo effettivo è (1+0.03)2 −1 =
0.0609, cioè il 6.09%. La differenza percentuale tra TAN e TAE è tanto maggiore
quanto maggiore è il numero delle rate ed è tanto più significativa, quanto più alto
è l’interesse.
• Spese
Le spese connesse al prestito possono influire sull’interesse effettivo. Le spese iniziali
(apertura, registrazione, ecc.) vanno sottratte dal capitale ricevuto in prestito e le
spese finali (chiusura, tasse, ecc.) vanno aggiunte ai costi di ammortamento, inoltre
le rate vanno maggiorate dei costi e delle spese relative.
Il TAEG recepisce sia la differenza tra TAN e TAE, sia le spese relative al prestito.
Se non ci sono spese finali e il prestito è a rate costanti, per un prestito C su cui gravano
spese iniziali pari a S, che viene riestituito in n rate di importo R a cui vanno sommate
spese per un ammontare s il tasso i per il periodo delle rate è la soluzione dell’equazione
(R + s)an|i = C − S. Il TAEG viene determinato riportando il tasso ottenuto i all’anno.
Esempio 2.3.4 Determinare il TAEG di un ammortamento a rata costante (metodo
francese) di un prestito di 1000 con spese iniziali pari a 30, al tasso annuo del 8% con
rate trimestrali, ciascuna con un costo aggiuntivo di 2, riestituito in 5 anni.
Applicando le formule precedenti la rata è pari a circa 61.16. In realtà il prestito è pari
a 1000-30 = 970 e le rate sono trimestrali e non annuali e ammontano a circa 63.16;
conseguentemente il tasso trimestrale effettivo è circa 2.658%, per cui il TAEG è circa
11.065%, cioè il 3.065% in più.
Tempo di capitalizzazione
E’ il tempo necessario a ottenere un montante M con rate di importo R, ad un tasso i.
CAPITOLO 2. OPERAZIONI FINANZIARIE COMPLESSE
Si ha:
lg 1 + MRi
n=
lg(1 + i)
20
Se n non risulta intero si studiano gli importi delle rate per i casi bnc ed dne.
Esempio 2.3.5 In quanti anni si può costituire un capitale M = 33 con rate R = 15 al
tasso del 20%.
lg 1 + 33×0.2
15
n=
=2
lg(1 + 0.2)
Esempio 2.3.6 In quanti anni si può costituire un capitale M = 100 con rate R = 15
al tasso del 7%.
lg 1 + 100×0.07
15
n=
= 5.66
lg(1 + 0.07)
In 5 anni si ha:
R = 100
0.07
= 17.39
1.075 − 1
R = 100
0.07
= 13.98
1.076 − 1
e in 6 anni
La scelta dipende da vari fattori.
Rinegoziazione
Quando i tassi di interesse subiscono forti variazioni può essere conveniente per chi ha
contratto il debito rinegoziare il credito, cioè cercare di avere condizioni di interesse più
favorevoli sulla restituzione del debito residuo, cioè il valore del capitale dedotto il valore
delle rate, tutto riferito all’istante di rinegoziazione, eventualmente pagando una penale.
Esempio 2.3.7 Un debito di 105000 verrà restituito in 25 anni a rate mensili all’interesse
annuo j12 = 10.5%; calcolare l’importo delle rate. Dopo 5 anni il debito viene rinegoziato
∗
al tasso j12
= 9.5%; calcolare il nuovo importo delle rate.
j12
Il tasso composto mensile è i =
= 0.875%.
12
R=
105000
a300|0.00875
=
105000 × 0.00875
= 991.39
1 − 1.00875−300
Il debito residuo (D) dopo 5 anni ammonta a:
D = 99299.96
(si noti che sono state effettivamente pagate solo 5700.04, cioè 5.429% del debito)
j∗
Il nuovo tasso mensile è i∗ = 12 = 0.75%, per cui l’importo delle nuove rate è:
12
R∗ =
99299.96
99299.96 × 0.0075
=
= 893.43
a240|0.0075
1 − 1.0075−240
CAPITOLO 2. OPERAZIONI FINANZIARIE COMPLESSE
21
Tasso interno di rendimento (TIR)
Il TIR permette di valutare le operazioni finanziarie. Si è già visto che un criterio di
confronto si basa sull’attualizzazione dei valori dei flussi monetari. Il TIR può essere
visto come il problema inverso, in quanto è rappresentato dal tasso di interesse i∗ al quale
l’operazione risulta equa. Data l’operazione costituita dai flussi x0 , ..., xn alle date t0, ..., tn,
si cerca il valore i∗ per cui:
X
xk (1 + i∗)t0 −tk = 0
k=0,...,n
cioè
P
k=0,...,n xk (v
∗ tk −t0
)
= 0 con v ∗ =
1
1 + i∗
Osservazione 2.3.2
• Il valore di i∗ potrebbe non essere unico, in quanto l’equazione
P
k=0,...,n xk (1
+
i∗)t0 −tk = 0 potrebbe avere più soluzioni. Per il Teorema di Cartesio la soluzione
è unica quando il flusso x contiene prima tutti i pagamenti e poi tutti gli incassi o
viceversa, cosa usuale nelle rendite e negli ammortamenti.
Esempio 2.3.8 Per un titolo a cedola nulla acquistato al prezzo C alla data di
emissione e riscattato al valore M dopo nranni, il TIR è dato dalla soluzione
C
e quindi:
dell’equazione −C + Mv n = 0, da cui v ∗ = n
M
r
1
n M
−1
i∗ = ∗ − 1 =
v
C
Esempio 2.3.9 Per un titolo a cedola fissa acquistato al prezzo C alla data di
emissione e riscattato al valore C dopo n anni nei quali ha prodotto la cedola I, il
P
TIR è dato dalla soluzione dell’equazione −C + I k=1,...,n v k + Cv n = 0, da cui
C
v∗ =
e quindi:
C +I
I
i∗ =
C
cioè il tasso cedolare.
Duration
Dato un flusso monetario x1 , ..., xn a valori non negativi, di cui almeno uno positivo, con
scadenze t1 , ..., tn, si può calcolare la media pesata rispetto ai valori attualizzati al tempo
t delle vite residue dei flussi, detta duration al tempo t, che è espressa da:
P
k=1,...,n x̄k (tk − t)
P
D(t, x) =
k=1,...,n x̄k
dove x̄k è il valore attualizzato al tempo t del flusso xk .
Poichè la duration è una media pesata delle vite residue vale la relazione:
t1 − t ≤ D(t, x) ≤ tn − t
CAPITOLO 2. OPERAZIONI FINANZIARIE COMPLESSE
22
Esempio 2.3.10 Per un titolo a cedola nulla z riscattabile al tempo t1 al prezzo M, la
duration al tempo t è:
M(t1 − t)
= t1 − t
M
cioè la duration è sempre uguale alla vita residua, qualunque siano il prezzo, il valore di
D(t, z) =
riscatto e l’interesse di attualizzazione.
L’esempio precedente dice che la duration può essere vista come un indice di rischiosità
del titolo, in quanto nel caso di un titolo a cedola nulla è massima, e in effetti questo titolo
risente maggiormaente della variazione dei tassi durante la sua vita. In altre parole più è
differito il pagamento delle cedole e del capitale, maggiore è la duration del titolo.
Parte II
Tra economia e giochi
23
Capitolo 3
Prestiti e investimenti
3.1
Concessione di prestiti
Si consideri una situazione in cui un agente I debba decidere se concedere un prestito
ad un agente II. La scelta dell’agente I se prestare la somma (P) o non prestarla (NP),
dipende dalla sua valutazione se il secondo agente potrà restituire la somma (R) o meno
(NR).
La situazione può essere rappresentata con il seguente albero decisionale:
I
@ NP
@
@
P
II
@ NR
@
c
@
R
a
b
dove a, b e c rappresentano i possibili esiti; in particolare:
a il prestito viene concesso e restituito
b
il prestito viene concesso ma non viene restituito
c
il prestito non viene concesso
E’ ragionevole ipotizzare che le preferenze degli agenti siano:
a c b per I
b a c per II
Infatti, supponendo che il prestito preveda che II restituisca a I una somma significativamente maggiore rispetto a quella ricevuta, cioè preferibile ad altre opzioni di
24
CAPITOLO 3. PRESTITI E INVESTIMENTI
25
investimento, I preferisce concedere il prestito e ottenere la restituzione, successivamente
non concedere il prestito e infine concedere il prestito e non ottenere la restituzione.
Analogamente, supponendo che il prestito sia utile per II, cioè gli permetta di raggiungere uno scopo prefissato che compensa la differenza che deve restituire in aggiunta
(interessi sul prestito e spese, anche in senso ampio), II preferisce ricevere il prestito e
non restituirlo, successivamente ricevere il prestito e restituirlo e infine non ricevere il
prestito.
Sulla base delle preferenze degli agenti, si deduce che l’esito più probabile è c, in quanto
il secondo agente, una volta ricevuto il prestito ha più interesse a non restituirlo e quindi
il primo agente sceglierà di non concedere il prestito, per evitare di perdere la somma
prestata. Questo esito risulta socialmente inefficiente, poichè l’esito a è preferibile per
entrambi: infatti il primo agente incrementa il suo capitale e il secondo agente consegue
lo scopo per cui ha chiesto il prestito.
Se si associa un’opprtuna funzione di utilità a ciascun agente, ad esempio
uI (a) = 2, uI (b) = 0, uI (c) = 1 e uII (a) = 1, uII (b) = 2, uII (c) = 0 si
può rappresentare la situazione come un gioco:
I
@ NP
@
@
P
II
@ NR
@
(1,0)
@
R
(2,1)
(0,2)
Si può notare che (NP, NR) è un equilibrio di Nash inefficiente. La situazione
ricorda il Dilemma del Prigioniero, pur non essendo identica, in quanto le
strategie non sono dominanti.
Per recuperare l’efficienza è necessario che esista un’autorità in grado di imporre al
secondo agente di restituire il prestito, ad esempio lo Stato.
Questo equivale a dire che l’esito b non è più preferibile all’esito a per il secondo agente.
Ad esempio si può introdurre una sanzione superiore alla somma da restituire, che II deve
pagare se non restituisce il prestito.
La situazione è più complessa se il secondo agente non può restituire il prestito, ad
esempio per fallimento. In questo caso si può considerare la possibilità che gli agenti
stipulino un’assicurazione sulla restituzione del prestito; in questo modo a fronte di una
piccola spesa entrambi sono tutelati.
CAPITOLO 3. PRESTITI E INVESTIMENTI
3.2
26
Recessione da un investimento
Si considerino due investitori che hanno acquistato al prezzo D una quota di investimento
vincolato; se l’investimento giunge a maturazione rende un capitale 2R, con R > D. I due
investitori possono riscattare la quota solo alla data 1, antecedente alla maturazione o alla
data 2, successiva alla maturazione. Se almeno uno dei due investitori riscatta la quota
alla data 1, l’investimento non può essere portato a termine e gli investitori ottengono
D
2r, con D > r > . Se alla data 1 entrambi gli investitori riscattano la quota ricevono
2
r ciascuno, se invece uno solo riscatta la quota riceve D e l’altro riceve solo 2r − D. Se
l’investimento giunge a maturazione, se entrambi riscattano la quota ricevono R ciascuno,
se invece uno solo riscatta la quota riceve 2R − D e per l’altro resta disponbile il capitale
D, infine se nessuno riscatta la quota per entrambi resta disponibile la quota R.
La scelta dei due investitori dipende da quanto ciascuno ritiene affidabile l’altro e dalla
propensione al rischio.
La situazione può essere rappresentata come un gioco in forma estesa a
informazione imperfetta:
I H
HH NR
R H
H
H
II
(r,r)
II
@ NR
@
@
I H
H NR
R HH
(D,2r-D) (2r-D,D)
H
H
@ NR
@
@
R
R
II
@ NR
@
@
R
(R,R)
(2R-D,D)
II
@ NR
@
@
R
(D,2R-D)
(R,R)
Oppure può essere rappresentato come una coppia di giochi in forma strategica, il primo relativo alla data 1 e l’altro alla data 2:
I \ II
R
NR
R
NR
r,r
D,2r-D
2r-D,D
Data 2
I \ II
R
NR
R
NR
R,R
2R-D,D
D,2R-D
R,R
Analizzando il secondo gioco, si può notare che (R, R) è l’unico equilibrio di
Nash ed è efficiente.
Allora il gioco alla data 1 può essere riscritto come:
CAPITOLO 3. PRESTITI E INVESTIMENTI
I \ II
R
NR
27
R
NR
r,r
D,2r-D
2r-D,D
R,R
Questo gioco ha due equilibri di Nash, (R, R) e (NR, NR). L’equilibrio (R,
R) è inefficiente ed è noto come corsa agli sportelli, una situazione comune
quando gli investitori sono colti da panico. Il secondo è un equilibrio efficiente.
La situazione ricorda il Dilemma del Prigioniero, pur non essendo identica,
essendoci due equilibri di Nash.
Capitolo 4
Duopolio
Su un mercato economico le imprese possono assumere vari ruoli, che possono essere
sintetizzati come monopolio, quando un’impresa è in grado di governare completamente il
mercato, stabilendo autonomamente quantità da produrre e prezzo di vendita; oligopolio,
quando poche imprese governano il mercato, ma devono ciascuna tenere conto delle altre
e della richiesta del mercato stesso; concorrenza, quando nessuna impresa è in grado di
attuare una propria politica, ma subisce le regole del mercato.
Il caso dell’oligopolio è certamente quello più interessante dal punto di vista delle
interazioni strategiche tra le imprese operanti; tra le varie situazioni la più semplice è il
duopolio, in cui sul mercato operano solo due imprese.
Per rendere la situazione più semplice dal punto di vista computazionale si suppone
che le due imprese producano allo stesso costo un unico bene identico, cioè nessuna delle
due può utilizzare una qualsiasi differenza per alterare la domanda del mercato a favore
del suo prodotto, ed inoltre le funzioni di costo e domanda sono supposte lineari a tratti.
4.1
Il modello di Cournot
Nel duopolio di Cournot (1838), due imprese, 1 e 2, devono decidere simultaneamente la
quantità di bene da produrre, mentre il prezzo è una funzione (solitamente decrescente)
della quantità complessiva prodotta e immessa sul mercato. Si suppone che non ci siano
costi fissi e che il costo per produrre un’unità di bene sia una costante strettamente
positiva c, identica per le due imprese.
Il prezzo per unità di bene dipende dalle quantità Q = q1 + q2 di bene che le imprese
producono:
P (Q) =
(
a − Q se Q ≤ a
0
se Q > a,
dove a > c è una costante.
28
CAPITOLO 4. DUOPOLIO
29
P 6
a @
@
@
@
-
a
0
Q
Il profitto dell’impresa i è dato da:
ui (q1, q2 ) = P (Q)qi − cqi,
i = 1, 2
Il caso a ≤ c è banale poichè, essendo il costo unitario di produzione non inferiore al
prezzo di vendita, le imprese sceglierebbero di non produrre.
Osservazione 4.1.1
• Affinchè un’impresa realizzi un profitto non negativo è necessario che valga P (Q) ≥
c, cioè Q ≤ a − c.
• Le quantità presenti in questa trattazione sono talvolta considerate solo come val-
ore, trascurando la dimensione; ad esempio in questa osservazione la relazione
Q ≤ a − c non ha senso dimensionalmente, poichè Q è la quantità di bene prodotta
complessivamente e c è il costo unitario.
Supponendo che la seconda impresa produca q2 ≤ a − c, la prima impresa deciderà di
produrre la quantità q1 che massimizza il suo profitto. Dalle ipotesi fatte risulta:

−q 2 + (a − c − q2 )q1 se q1 ≤ a − q2
1
u1(q1, q2 ) = (P (Q) − c)q1 =
−cq
se q > a − q .
1
u1
1
6
a − c − q2
0
2
q1∗
-
q1
@
@
@
a − c − q2
.
2
Data la simmetria delle due imprese, ragionando in maniera analoga si ottiene che la
a − c − q1
quantità ottimale per l’impresa 2 è q2∗ =
.
2
Il risultato ottenuto è incompleto, in quanto per ogni impresa si suppone nota la
La quantità ottimale per l’impresa 1 è q1∗ =
quantità prodotta dall’altra. Si possono allora determinare simultaneamente le quantità
CAPITOLO 4. DUOPOLIO
30
q1∗ e q2∗, risolvendo il sistema:

∗

q1∗ = a − c − q2
2
a − c − q1∗

∗
 q2 =
2
(a − c)
(a + 2c)
che ha come soluzione q1∗ = q2∗ =
, a cui corrisponde il prezzo
e il profitto
3
3
2
(a − c)
.
u1(q1∗, q2∗) = u2(q1∗, q2∗) =
9
Il modello di Cournot può essere interpretato come un gioco in cui i giocatori
sono le due imprese, le strategie sono le quantità che ciascuna impresa può
produrre e le funzioni di utilità delle imprese coincidono con le funzioni di
profitto.
In questa situazione le quantità q1∗ e q2∗ possono essere viste come miglior
risposta di un’impresa alla strategia dell’altra; la determinazione dei valori
come soluzione del sistema può essere vista come equilibrio di Nash (equilibrio
di Cournot) del gioco non cooperativo.
q2
6
a−c
a−c
2
a−c
3
A
A
A
A
H
A
HHA (q ∗ , q ∗ )
As 1 2
H
AHH
A HH R2 (q1 )
H
A
H
HH A
a−c a−c
3
2
0
4.1.1
R1 (q2 )
A
a−c
q1
Soluzione dinamica (Best-reply)
La determinazione di q1∗ e q2∗ come soluzione del sistema può indurre a ritenere che le due
imprese debbano in qualche modo accordarsi tra loro. In realtà questo non è necessario,
infatti si può supporre che al tempo iniziale t0 le imprese producano le quantità arbitrarie
q10 e q20; al tempo t1 ciascuna impresa sceglie la miglior risposta alla scelta precedente
a − c − q20
a − c − q10
dell’impresa concorrente, cioè q11 =
e q21 =
; in generale al tempo tn
2
2
n−1
n−1
a − c − q2
a − c − q1
si ha q1n =
e q2n =
. E’ possibile verificare che:
2
2
lim q1n = lim q2n =
n→+∞
n→+∞
(a − c)
3
CAPITOLO 4. DUOPOLIO
q2
a−c
a−c
2
6
A
A
H
R1(q2 )
A
A
A
A
H
H
a−c
3
A
A
A
A
A
A
H
HH A
∗
HA sq
H
AH
A HsH
A q 2 HH
H
A
H
H
A s
HH
A 1
H
q
A
sq 0 HHR2 (q1 )
H
A
H
0
q2
a−c
a−c
2
a−c
3
0
a−c
2
a−c
-
q1
6
A
A
H
a−c
3
31
R1(q2 )
A
A
A
A
A
A
sq 0
A
A
A
H
A sq 2
HH
A
s HH A ∗
1
s sq
H
q
H
A
q 3 AHH
H
HH
A
H
A
H
HH
A
H
A
H
HHR2 (q1 )
A
H
A
H
a−c
3
a−c
2
a−c
-
q1
Il risultato può essere ottenuto anche supponendo che ad ogni stadio solo una delle
due imprese, alternativamente, ridetermini la sua produzione ottimale sulla base della
produzione dell’altra nello stadio precedente.
4.2
Il modello di Bertrand
Nel duopolio di Bertrand (1883), le due imprese decidono, indipendentemente e simultaneamente, i prezzi del loro prodotto, mentre la quantità di bene prodotta è tale da
CAPITOLO 4. DUOPOLIO
32
soddisfare la domanda che dipende dal prezzo fissato. Analogamente a quanto fatto per
il modello di Cournot, si suppone che non esistano costi fissi di produzione e che il costo
di produzione unitario, uguale per le due imprese, sia c.
Anche in questo caso i prodotti delle due imprese sono supposti indistinguibili e il
consumatore sceglie solo in base al prezzo. Detti p1 e p2 i prezzi scelti e P = min {p1 , p2 },
la domanda, in funzione del prezzo è data da

a − P
D(P ) =
0
se 0 ≤ P ≤ a
se P > a
dove a > c è il prezzo massimo che i consumatori sono disposti a pagare.
Si supponga che se le due imprese scelgono lo stesso prezzo, allora si dividono il mercato
a metà, altrimenti l’impresa che fissa il prezzo più alto non ha richiesta e quindi non
produce e l’altra soddisfa tutta la richiesta del mercato. Le funzioni di utilità per le due
imprese sono:



(p1 − c)(a − p1 )+ se p1 < p2



(p1 − c)(a − p1 )+
u1 (p1 , p2 ) =
se p1 = p2

2



0 se p1 > p2



(p2 − c)(a − p2 )+ se p2 < p1



(p2 − c)(a − p2 )+
u2 (p1 , p2 ) =
se p1 = p2

2



0 se p2 > p1
Questa situazione può essere vista come pura concorrenza; infatti ogni impresa è comunque in grado di soddisfare la domanda corrispondente al prezzo fissato, quindi l’unico
prezzo che garantisce il massimo guadagno è p1 = p2 = c. Infatti se pi < c, i = 1, 2 l’impresa i produce in perdita; allora deve essere verificata la condizione pi ≥ c, i = 1, 2, ma
se un’impresa fissa un prezzo strettamente maggiore di c l’altra può conquistare tutto il
mercato fissando un prezzo inferiore.
Osservazione 4.2.1
• Si potrebbe pensare che il risultato del modello sia assurdo in quanto se p1 = p2 = c
entrambe le imprese non realizzano alcun profitto. Nella realtà la pura concorrenza
non si verifica mai e in ogni caso il valore di c non è il mero costo di produzione,
ma tiene conto di tutti i costi connessi, compresa la distribuzione e un guadagno
minimo che giustifichi l’esistenza dell’impresa.
CAPITOLO 4. DUOPOLIO
33
Anche il modello di Bertrand può essere interpretato come un gioco in cui i
giocatori sono le due imprese, le strategie sono i prezzi possibili e le funzioni
di utilità sono date dalle funzioni di profitto.
E’ facile verificare che i prezzi p1 = p2 = c costituiscono l’unico equilibrio di
Nash (equilibrio di Bertrand).
(c, c) è equilibrio di Nash
Se un’impresa fissa il prezzo c, l’altra impresa non ha risposte migliori di c,
in quanto se sceglie un prezzo inferiore ottiene un payoff negativo, mentre se
ne fissa uno maggiore, ottiene comunque un’utilità nulla.
(c, c) è l’unico equilibrio di Nash
Nessun altro punto (p̄1 , p̄2 ) 6= (c, c) è di equilibrio, infatti:
• se il minore dei due prezzi è strettamente minore di c, l’impresa che
lo ha fissato ottiene un’utilità negativa, e può incrementarla fissando il
prezzo c;
• se il minore dei due prezzi è maggiore o uguale di c e i prezzi sono diversi,
l’impresa che lo ha fissato può incrementare la sua utilità fissando un
prezzo leggermente più alto;
• se i prezzi sono uguali e strettamente maggiori di c, ciascuna impresa
può aumentare la sua utilità riducendo leggermente il prezzo.
Questo risultato è noto come paradosso di Bertrand.
4.3
Il modello di Stackelberg
Nel duopolio di Stackelberg (1934), la situazione è simile al modello di Cournot in cui
ciascuna impresa deve decidere la quantità da produrre, ma le due imprese agiscono
in tempi differenti, precisamente l’impresa 1 è dominante (leader) e muove per prima e
l’impresa 2 è subordinata (follower) e muove per seconda. Quindi l’impresa leader fissa la
sua quantità ottimale q1∗ e l’impresa follower decide la sua quantità ottimale q2∗ sulla base
della scelta dell’impresa 1. La quantità Q = q1∗ + q2∗ determina il prezzo, come nel modello
di Cournot.
Osservazione 4.3.1
• L’impresa 1 sa di essere dominante e sa anche che l’impresa 2 fisserà la sua produzione q2∗ conoscendo la scelta q1∗, quindi nel decidere il valore di q1∗ l’impresa leader
terrà conto della succesiva scelta dell’impresa follower.
CAPITOLO 4. DUOPOLIO
34
Per semplicità di calcolo e per poter successivamente fare un confronto, si suppone
ancora che la funzione di prezzo sia
P (Q) =
(
a − Q se Q ≤ a
0
se Q > a,
e che il profitto dell’impresa i sia:
ui (q1, q2 ) = P (Q)qi − cqi,
i = 1, 2
Se l’impresa 1 produce la quantità q1 la produzione ottimale per l’impresa 2 è come
nel modello di Cournot:
q2∗ =
a − c − q1
2
e quindi l’impresa 1 produrrà la quantità:
q1∗
a − c − q1
= argmax
= argmax q1 a − q1 −
− cq1
2
1
a−c
a−c
= argmax − q12 +
q1 =
2
2
2
u1 (q1, q2∗)
da cui si ricava:
q2∗ =
Il prezzo risultante è P (q1∗ + q2∗) =
a−c
4
a + 3c
e i profitti sono rispettivamente u1 (q1∗, q2∗) =
4
(a − c)2
(a − c)2
e u2(q1∗, q2∗) =
.
8
16
Anche il modello di Stackelberg può essere interpretato come un gioco in cui
i giocatori, le strategie e le funzioni di utilità sono le stesse del modello di
Cournot. La variante è che il gioco è a informazione perfetta, per cui l’esito
si può ricavare con l’induzione a ritroso.
Anche in questo caso, la soluzione ottenuta costituisce un equilibrio di Nash
(equilibrio di Stackelberg).
4.4
Confronto tra i modelli
Prima di effettuare qualsiasi considerazione, si può analizzare anche il caso di monopolio,
supponendo che esista una sola impresa che decide quale qualtità produrre, sapendo di essere l’unica sul mercato. Utilizzando le stesse funzioni di prezzo e di profitto per semplicità
e per poter confrontare i risultati si ha Q∗ = argmax u(Q) = argmax {(a − Q)Q − cQ} =
a−c
2
a cui corrisponde il prezzo P (Q∗ ) =
a+c
2
e il profitto U(Q∗) =
(a−c)2
.
4
Per poter fare un confronto si può ipotizzare che le due imprese si accordino tra di loro,
gestendo la produzione, i prezzi e il mercato come se fossero in regime di monopolio, ad
CAPITOLO 4. DUOPOLIO
35
esempio dividendo equamente la produzione e conseguentemente i profitti, in un monopolio
alla Cournot. In questo caso il prezzo è
a+c
, q1∗
2
= q2∗ =
a−c
4
e u1 (q1∗, q2∗) = u2 (q1∗, q2∗) =
(a−c)2
.
8
I risultati ottenuti sono riassunti nella seguente tabella:
duopolio di
Cournot (i)
q1∗ =
produzione
duopolio di
Bertrand (ii)
a−c ∗ a−c
q1 =
3
2
a−c ∗ a−c
q2 =
3
2
2
(a − c)
0
9
q2∗ =
profitto
prezzo
(a − c)2
9
a + 2c
3
duopolio di
Stackelberg (iii)
q1∗ =
monopolio alla
Cournot (iv)
a−c
2
q1∗ =
a−c
4
(a − c)2
8
a−c
4
(a − c)2
8
q2∗ =
q2∗ =
(a − c)2
16
a + 3c
4
0
c
a−c
4
(a − c)2
8
a+c
2
Osservando che la produzione complessiva ha il seguente ordine decrescente:
ii − iii − i − iv
il profitto complessivo ha il seguente ordine decrescente:
iv − i − iii − ii
e il prezzo ha il seguente ordine decrescente (ricordando che a > c):
iv − i − iii − ii
si possono fare alcune considerazioni:
• la situazione socialmente migliore è il duopolio di Bertrand, o in generale la libera
concorrenza (massima disponibilità del bene al prezzo minimo);
la situazione socialmente peggiore è il monopolio alla Cournot, o in generale il monopolio (minima disponibilità del bene al prezzo massimo);
il duopolio di Stackelberg è socialmente preferibile al duopolio di Cournot in quanto
la disponibilità del bene è maggiore e il prezzo è minore;
• dal punto di vista delle imprese il monopolio alla Cournot garantisce ad entrambe il
profitto massimo e quindi si può dedurre che la soluzione di Cournot è inefficiente, ma
non risulta stabile. Infatti se un’impresa viola l’accordo e aumenta la sua produzione
può incrementare il suo profitto, nonostante il prezzo si riduca. Se l’impresa 1 decide
di produrre
a−c
4
+ ε il prezzo scende a
che risulta maggiore se ε <
Stackelberg;
a−c
.
4
a+c
2
− ε e il suo profitto è
Si noti che per ε =
a−c
4
(a−c)2
8
+ a−c
ε − ε2
4
si ottiene la soluzione di
CAPITOLO 4. DUOPOLIO
36
• dal punto di vista delle imprese il duopolio di Stackelberg è preferibile al duopolio
di Cournot per l’impresa leader ma non per l’impresa follower.
4.5
Il modello di Hotelling
Per completare la trattazione del duopolio, si può accennare al modello di Hotelling (1929),
che permette alcune interessanti osservazioni. La caratteristica principale è di includere
anche l’aspetto spaziale.
In questo caso i due agenti, che come nei casi precedenti producono un unico identico
bene, devono decidere dove collocarsi per vendere il loro prodotto, sapendo che i consumatori a parità di prezzo si recheranno dall’agente più vicino. Per semplificare il problema
si suppone che il mercato sia rappresentato dal segmento [0, 1] e che i consumatori siano
uniformemente distribuiti lungo il segmento stesso. L’esempio più classico del duopolio di
Hotelling è quello di due gelatai che devono decidere dove collocarsi lungo una spiaggia.
La soluzione ottimale è che gli agenti si collochino entrambi nel punto 12 , uno vicino
all’altro, in modo che uno ottenga il segmento [0, 12 ] e l’altro il segmento [ 12 , 1]. Questa
soluzione è stabile (equilibrio di Hotelling), infatti se un agente si colloca nel punto
l’altro nel punto
1
2
1
2
e
1
2
+ 2ε, il primo ottiene il segmento [0, + ε] e il secondo il segmento
[ 12 + ε, 1]; analogamente se il secondo agente si colloca nel punto
il segmento [ 12 − ε, 1] e il secondo il segmento [0, 21 − ε].
1
2
− 2ε, il primo ottiene
Osservazione 4.5.1
• Questa soluzione è socialmente inefficiente in quanto per i consumatori l’agente più
vicino è ad una distanza media di 14 .
E’ facile verificare che la soluzione efficiente si ha quando un agente si colloca nel
punto
1
4
e l’altro nel punto
distanza media di
[0,
1
]
2
1
.
8
3
,
4
poichè in questo caso l’agente più vicino è ad una
Si noti che anche in questo modo un agente ottiene il segmento
e l’altro il segmento [ 21 , 1]. Ma questa soluzione non è stabile.
• Questo modello permette di rappresentare il comportamento dei candidati nei sistemi
elettorali bipolari, ad esempio l’elezione del presidente degli Stati Uniti.
-
-
0 ≡ dem
-
-
1 ≡ rep
In questo caso il segmento rappresenta le posizioni degli elettori sull’asse DemocraticiRepubblicani e i due agenti sono i candidati che cercano di collocarsi al centro
CAPITOLO 4. DUOPOLIO
37
(rush for the middle), tenendo conto che la distribuzione degli elettori non è uniforme. Inoltre nelle primarie è necessario conquistare il centro pesato del partito e
successivamente nelle elezioni è necessario spostarsi al centro pesato dell’elettorato.
Capitolo 5
Interazione tra agenti
5.1
La tragedia dei comuni
Il tema dello sfruttamento delle risorse naturali è stato affrontato dagli economisti fin
dal ’700 (Hume, 1739). L’aspetto più interessante è che se ciascun agente pensa solo al
proprio utile, la ricchezza totale diminuisce e le risorse si esauriscono in breve tempo. Il
nome deriva dall’inglese tragedy of commons dove i common sono i pascoli pubblici dove
chiunque poteva portare le proprie pecore a pascolare.
Siano n il numero dei pastori di un villaggio, xi il numero di pecore possedute dal
P
pastore i = 1, ..., n e s = i=1,..,n xi il numero totale di pecore. Si supponga che il costo
di allevare una pecora, C, sia fisso e indipendente dal numero di pecore, mentre il ricavo
che si ottiene allevando una pecora, f(s), sia una funzione decrescente e concava di s.
Indicando con M il numero massimo di pecore che il pascolo può sopportare, f può essere
rappresentata come:
f(s)
6
A
C
-
0
M
s
dove A > C rappresenta il guadagno massimo ottenibile dall’allevare una pecora.
Se ciascun pastore decide di portare al pascolo xi , i = 1, ..., n pecore, la sua funzione
di utilità è:
ui (x1, ..., xn) = xi f(x1 + ... + xn ) − Cxi = (f(s) − C)xi
Se i pastori si accordassero per massimizzare l’utilità sociale u = u1 + u2 + ... + un e
poi dividessero in parti uguali il guadagno, otterebbero:
u(x1, ..., xn) = (f(s) − C)s
38
CAPITOLO 5. INTERAZIONE TRA AGENTI
39
cioè u dipende solo dal numero totale di pecore al pascolo, per cui può essere scritta come
u
e(s). Derivando u
e(s) rispetto ad s si ha u
e0(s) = f(s)+sf 0 (s)−C e u
e00(s) = 2f 0 (s)+sf 00 (s).
Per la decrescenza e la concavità di f, u
e(s) risulta concava inoltre, essendo u
e0 (0) = A−C >
0eu
e0(M) = Mf 0 (M) − C < 0, u
e(s) ha un’unico punto di massimo, s∗ . Questo equivale
s∗
a dire che ogni pastore i = 1, ..., n dovrebbe avere x∗i =
pecore ottenendo l’utilità
n
u
e(s∗ )
u∗i =
.
n
Esempio 5.1.1 (Problema delle terre comuni) Si suggonga di avere due pastori che
devono decidere il numero (non necassariamente intero) di pecore da portare al pascolo,
rispettivamente x e y. Si supponga che la funzione ricavo sia lineare, cioè f(s) = A(1− Ms ),
per cui:
u1 (x, y) = xf(x + y) − Cx = x(A − C − A x+y
)
M
)
u2 (x, y) = yf(x + y) − Cy = y(A − C − A x+y
M
e l’utilità sociale è:
x+y
u(x, y) = u1 (x, y) + u2 (x, y) = (x + y) A − C − A
M
cioè:
s u
e(s) = s A − C − A
M
δe
u(s)
(A − C)M
Il massimo dell’utilità sociale si ottiene ponendo
= 0, da cui s∗ =
e
δs
2A
2
(A − C) M
.
u
e(s∗ ) =
4A
(A − C)M
Se i due pastori portano la pascolo lo stesso numero di pecore si ha x∗ = y ∗ =
4A
(A − C)2M
∗ ∗
∗ ∗
. Ma se un pastore conosce il numero
e l’utilità è u1(x , y ) = u2 (x , y ) =
8A
di pecore dell’altro può determinare il numero di pecore che gli permette di massimizzare
y
(A − C)M
− e per
la sua utilità (miglior risposta). Per il primo pastore si ha xm (y) =
2A
2
(A
−
C)M
x
il secondo, simmetricamente, y m (x) =
− ; per entrambi la miglior rispos2A
2
3(A − C)M
m ∗
m ∗
. L’utilità corrispondente può essere u1(xm , y ∗) =
ta è x (y ) = y (x ) =
8A
9(A − C)2M
u2(x∗, y m ) =
se solo uno dei due pastori utilizza la miglior risposta e
64A
l’altro utilizza il valore di massima utilità sociale, oppure u1(xm , y m ) = u2 (xm, y m ) =
3(A − C)2 M
se entrambi passano alla miglior risposta. Si noti che nel primo caso il pa32A
store che adotta la miglior risposta ha un incremento di utilità, mentre l’altro ha una
3(A − C)2 M
perdita in quanto si ha u1 (x∗, y m ) = u2 (xm , y ∗) =
, mentre nel secondo caso
32A
entrambi hanno una perdita. A causa dell’inefficenza si innesca un meccanismo di miglior
risposta dinamica simile a quello già visto per il duopolio di Cournot.
♦
CAPITOLO 5. INTERAZIONE TRA AGENTI
40
La situazione può essere rappresentata con un gioco non cooperativo a n
giocatori i cui insiemi di strategie X1 , ..., Xn coincidono tutti con l’intervallo
[0, M] e la strategia xi del giocatore i = 1, ..., n è il numero di pecore che
decide di portare al pascolo e la sua funzione di utilità è ui = (f(s) − C)xi .
Si può dimostrare il seguente teorema:
Nelle ipotesi fatte il gioco delle terre comuni ha uno e un solo equilibrio di
Nash.
L’equilibrio di Nash è stabile ma non è ottimale nel senso che garantisce ai
pastori un guadagno minore della soluzione di massima utilità.
Con
riferimento all’Esempio5.1.1 il profilo di strategie dell’equilibrio di Nash è
(A − C)M (A − C)M
,
a cui corrisponde per entrambi i pastori l’utilità
3A
3A
(A − C)2M
che è inferiore a quella che massimizza l’utilità sociale.
9A
Il problema delle terre comuni si può applicare a varie situazioni reali, la più importante delle quali è la pesca in acque internazionali, in cui è opportuno che tutte le
nazioni peschino un quantitativo coordinato che preservi le possibilità negli anni successivi, mentre una pesca non coordinata porta ad un impoverimento del patrimonio ittico
ed eventualmente ad un esaurimento dello stesso.
5.2
Il problema del bar El Farol
Il problema è stato introdotto da Arthur nel 1994, con lo scopo di dimostrare la limitata
affidabilità di un criterio decisionale, qualunque esso sia, attendibile o meno, quando
questo criterio è condiviso da molti agenti.
Un’altra motivazione del problema è l’analisi del ragionamento deduttivo in condizioni
di razionalità limitata e del passaggio al ragionamento induttivo. Quando la complessità
del problema supera un certo livello, ad esempio nel gioco degli scacchi, il problema diventa
mal definito e la deduzione viene sostituita dall’induzione. Secondo la moderna psicologia,
l’uomo è in grado di identificare schemi e percorsi già noti all’interno di un problema e
quindi di modificare ipotesi e assunzioni, arrivando a costruire modelli con cui superare
le situazioni non ben definite per la sua razionalità.
Il bar El Farol di Santa Fé nel New Mexico, alla sera offre spettacoli di buona qualità;
essendo il bar di dimensioni ridotte, lo spettacolo diventa sgradevole se oltre il 60% della
popolazione è presente, per cui la scelta migliore è restare a casa, mentre se meno del 60%
della popolazione è presente lo spettacolo viene apprezzato dai presenti. Purtroppo non
è possibile decidere all’ultimo momento se andare o meno, aspettando di vedere quanti
entrano realmente.
CAPITOLO 5. INTERAZIONE TRA AGENTI
41
I potenziali clienti possono avvalersi di varie metodologie deterministiche o statistiche
per stimare la percentuale dei presenti, ad esempio:
- la stessa della settimana precedente,
- il complementare della settimana precedente,
- la media su un fissato numero di settimane,
ma qualunque sia il metodo e qualunque sia la precisione dello stesso, tutti quelli che
usano lo stesso metodo faranno la stessa scelta; se tutti usano lo stesso metodo il risultato
è che esso fallisce certamente. Infatti se la previsione è che il bar sarà affollato, tutti
preferiranno restare a casa e la scelta migliore sarebbe stata andare al bar, viceversa se la
previsione è un bar non affollato nessuno resterà a casa e la scelta migliore sarebbe stata
non andare al bar.
Il modello può essere esteso a comportamenti di tipo imitativo, comuni sui mercati
finanziari nei momenti di particolare euforia o di crisi.
Il problema del Bar El Farol ha dato origine ai cosidetti minority games.
Capitolo 6
Fair Division
6.1
Proprietà
La divisione di uno o più beni tra gli agenti dell’insieme N = {1, ..., n} presenta varie
difficoltà, la prima delle quali è che in generale gli agenti hanno preferenze eterogenee,
ossia non valutano allo stesso modo i beni da dividere.
In generale si considerano due tipi di problemi a seconda che gli oggetti siano perfettamente divisibili, o meno, cioè che nel caso vengano divisi il valore complessivo si riduca
o meno; ad esempio il denaro è chiaramente un bene divisibile (forse è l’unico bene realmente divisibile), mentre un quadro è un bene indivisibile in quanto se viene “tagliato”
non ha più alcun valore. Si noti che le compensazioni monetarie possono rendere divisibile
anche un bene indivisibile.
Per valutare la bontà (fairness) di una divisione si possono utilizzare alcuni criteri
di soddisfazione degli agenti.
Definizione 6.1.1 Ciascun agente i attribuisce alla parte ricevuta dall’agente j un valore
Pij , ∀ i, j ∈ N.
• EFFICIENZA SECONDO PARETO
Una divisione è efficiente se non esiste una differente divisione, con valutazioni Q
tali che Qii ≥ Pii , ∀ i ∈ N ed esiste i∗ tale che Qi∗ i∗ > Pi∗ i∗ .
• PROPORZIONALITA’
Una divisione è proporzionale se Pii ≥
1
n
• EQUITABILITA’ (EQUITABILITY)
P
j∈N
Pij , ∀ i ∈ N.
Una divisione è equitabile se Pii = Pjj , ∀ i, j ∈ N, cioè i due agenti danno la stessa
valutazione alle parti ricevute. Spesso ci si riconduce alle valutazioni percentuali
invece di quelle assolute.
42
CAPITOLO 6. FAIR DIVISION
43
• ASSENZA DI INVIDIA (ENVY FREENESS)
Una divisione è priva di invidia se non esiste un agente i ∈ N per cui Pij > Pii per
qualche j ∈ N (si noti che Pij e Pii sono valutazioni dell’agente i).
Osservazione 6.1.1
• L’assenza di invidia implica la proporzionalità; infatti dato un agente i ∈ N, Pii ≥
P
Pij , ∀ j ∈ N; sommando su tutti gli indici j si ha nPii ≥ j∈N Pij e quindi la tesi.
• Nel caso di due agenti è vero anche il viceversa, cioè che una divisione proporzionale
è priva di invidia; infatti se P11 ≥
1
(P11
2
analogamente per l’agente 2.
+ P12 ) allora P12 ≤
1
(P11
2
+ P12 ) e
• L’assenza di invidia e l’efficienza possono essere definite in termini di preferenze,
senza introdurre le funzioni di utilità, mentre ciò non è possibile per proporzionalità
ed equitabilità:
Una divisione è efficiente se non esiste una differente divisione che sia preferita
debolmente da ogni agente e strettamente da almeno uno.
Una divisione è priva di invidia se nessun agente preferisce la parte di un altro alla
propria.
• L’efficienza può non essere raggiungibile in assenza di scambio di informazioni tra
gli agenti sulle loro valutazioni o preferenze.
La divisione di beni avviene utilizzando delle procedure, cioè una sequenza di operazioni (step) compiute dagli agenti.
Le precedenti proprietà di una divisione vengono attribuite ad una procedura se questa
permette di ottenere una divisione per cui valgono le proprietà, semplicemente richiedendo
che ogni agente esegua “correttamente” le operazioni che è chiamato a compiere, senza
necessità che anche gli altri agenti si comportino in modo da favorire il raggiungimento
di una data proprietà.
Inoltre una procedura consente non solo di ottenere una divisione dei beni (o del bene)
e le relative eventuali compensazioni, ma permette anche agli agenti di rendersi conto, dal
loro stesso operare, che le proprietà della divisione sono state effettivamente conseguite.
Esempio 6.1.1 (Divisione di una torta (bene divisibile)) Si supponga di dover dividere tra due agenti una torta eterogenea, ad esempio con più sapori e/o decorazioni; si
supponga anche che i due agenti abbiano gusti (preferenze) differenti. La procedura più
semplice e comune di divisione è la seguente: uno taglia la torta in due parti e l’altro
sceglie uno dei due pezzi. Si noti che:
CAPITOLO 6. FAIR DIVISION
44
• ognuno dei due può ottenere una parte che egli ritiene essere almeno metà della
torta; basta che il primo agente divida la torta in due parti per lui indifferenti e il
secondo scelga quella che considera essere per lui il pezzo preferito (proporzionalità);
• nessuno dei due pensa che l’altro abbia ricevuto un pezzo preferibile al suo (assenza
di invidia);
• il primo agente ottiene esattamente metà della torta, mentre il secondo agente può
ottenere più della metà se ritiene che il pezzo scelto sia più grande della metà della
torta (assenza di equitabilità);
• una differente divisione della torta potrebbe soddisfare maggiormente i due agenti
(inefficienza).
♦
Se tre persone si dividono una torta, anche se tutti e tre pensano di aver ricevuto
almeno un terzo della torta (proporzionalità) può anche succedere che un agente ritenga
che uno degli altri due abbia ottenuto più di un terzo della torta (invidia).
Si supponga di dividere una torta tra tre agenti; il primo taglia tre parti che valuta
1 1 1
, ,
3 3 3
se il secondo le valuta 14 , 14 , 12 sceglie la terza parte; se il terzo le valuta 16 , 13 , 12 sceglie
la seconda parte e al primo resta la prima; la divisione è proporzionale, ma il terzo invidia
il secondo.
6.2
Procedure per un bene divisibile
Si consideri un bene eterogeneo che deve essere diviso tra n agenti; gli agenti non rendono
note le proprie preferenze sulle possibili parti del bene.
Dividi e scegli per n = 2 (Dubins-Spanier, 1961)
Si supponga di avere una torta rettangolare.
1. un arbitro muove un coltello attraverso la torta, partendo dal margine sinistro, in
modo che si mantenga parallelo al bordo di partenza;
2. ad un certo istante uno dei due agenti chiama “taglio”;
3. l’agente che ha chiamato il taglio riceve il pezzo a sinistra del coltello e l’altro agente
riceve il pezzo a destra; STOP
Se un agente chiama il taglio quando pensa che il coltello divida la torta in due parti per lui indifferenti riceve esattamente metà della torta; il secondo agente, invece, può
ricevere un pezzo che considera preferibile alla parte ricevuta dal primo agente, quindi la
CAPITOLO 6. FAIR DIVISION
45
procedura è proporzionale, priva di invidia, ma non è equitabile; inoltre non è efficiente
perchè un agente potrebbe preferire la parte in alto e l’altro la parte in basso.
Moving Knives per n = 2 (Austin, 1982)
Questa procedura è una variante della precedente, che soddisfa anche l’equitabilità,
cioè ogni agente può ricevere, nella propria stima, esattamente metà della torta:
1. un arbitro muove un coltello lentamente attraverso la torta dal bordo sinistro a
quello destro (come nella procedura di Dubins-Spanier);
2. ad un certo istante un agente, e sia I, dice “stop”;
3. un secondo coltello viene situato sul lato sinistro della torta e l’agente I muove
entrambi i coltelli attraverso la torta in modo parallelo; se il coltello di destra arriva
al bordo destro della torta, il coltello di sinistra deve trovarsi nella stessa posizione
in cui era il primo coltello quando I aveva detto “stop”;
4. mentre i due coltelli si muovono, l’agente II può dire “stop” in ogni momento;
5. un arbitro (o il caso) decide chi deve scegliere una delle due parti; STOP
Se l’ agente I fa in modo che il pezzo tra i due coltelli e il pezzo rimanente siano
per lui indifferenti (variando la distanza fisica tra i coltelli), allora si garantisce metà
della torta e se l’agente II chiama “stop” quando la parte compresa tra i coltelli e la
rimanente sono indifferenti si ottiene una divisione in cui gli agenti hanno ricevuto una
uguale percentuale di torta; per motivi analoghi alla procedura precedente non è efficiente.
Dividi e scegli per n ≥ 3 (Dubins-Spanier, 1961)
1. un arbitro muove un coltello attraverso la torta, partendo dal margine sinistro, in
modo che si mantenga parallelo al bordo di partenza;
2. ad un certo instante uno degli agenti chiama “taglio”;
3. l’agente che ha chiamato il taglio riceve il pezzo a sinistra del coltello e viene
“eliminato” dal gioco;
4. se ci sono almeno due agenti, si torna al passo 1);
altrimenti la torta viene assegnata all’agente rimasto; STOP
La procedura è solo proporzionale, perchè se un agente pensa che uno degli agenti
succesivi a scegliere abbia ricevuto una parte preferibile alla propria si ha invidia.
Last Diminisher per n ≥ 3 (Banach-Knaster, 1949; Steinhaus, 1948)
CAPITOLO 6. FAIR DIVISION
46
1. un arbitro (o il caso) ordina gli agenti;
2. il primo agente taglia una fetta;
3. il successivo può tagliare o meno la fetta, riducendola;
4. se ci sono altri agenti si torna al passo 3);
altrimenti l’agente che ha fatto l’ultimo taglio riceve la fetta (come lui l’ha tagliata)
e viene “eliminato” dal gioco;
5. le rimanenti parti della torta vengono “riassemblate”;
6. se ci sono almeno due agenti, si torna al passo 2);
altrimenti la torta viene assegnata all’agente rimasto; STOP
Analogamente alla precedente, anche questa procedura può non essere priva di invidia.
6.3
Procedure per m beni indivisibili
Si supponga di dover dividere un insieme di beni indivisibili M = {b1, ..., bm}, tra un
insieme di agenti N = {1, ..., n}. Il valore dei beni è additivo, cioè è uguale alla somma
dei valori dei singoli beni. Le procedure seguenti tengono conto delle valutazioni che ogni
agente da dei beni da dividere, cioè ciascun agente i ∈ N attribuisce a ciascun bene
bk ∈ M il valore vik ; se Bj , j ∈ N indica l’insieme dei beni ricevuti dall’agente j, il valore
P
che l’agente i assegna ai beni ricevuti dall’agente j è Vij =
vik .
bk ∈Bj
Ciascun bene verrà assegnato ad un solo agente, con una compensazione monetaria
per gli altri agenti.
Offerta segreta (Knaster-Steinhaus, 1948)
Come in un’asta ogni agente da una valutazione monetaria di ognuno dei beni.
1. ogni agente i ∈ N assegna a ciascun bene bk ∈ M il valore vik e sia Ei =
la quota proporzionale secondo i;
1
n
P
vik
bk ∈M
2. il bene bk viene assegnato all’agente i(k) che ha dato la massima valutazione del
P
P
bene, cioè i(k) = argmax {vik , i ∈ N} e sia vk = vi(k),k con
vk =
Vii ;
bk ∈M
3. sia s =
P
i∈N
i∈N
(Vii − Ei ) il surplus e sia Vi = Ei + ns ;
4. ogni agente i ∈ N, riceve, oltre ai beni già ricevuti, la quantità monetaria Vi − Vii
se è positiva;
altrimenti deve dare la quantità monetaria Vii − Vi ; STOP
CAPITOLO 6. FAIR DIVISION
47
Osservazione 6.3.1
• La divisione è proporzionale poichè ogni agente ritiene di aver ricevuto almeno un
n-esimo della sua valutazione complessiva dei beni.
• La divisione è equitabile se e solo se tutti gli agenti danno la stessa valutazione della
totalità dei beni.
• Il surplus s è non negativo, infatti:
s=
X
i∈N
(Vii − Ei ) =
X
bk ∈M
vk −
X1 X
X
X X1
vik ≥
vk −
vk = 0
n
n
i∈N
bk ∈M
bk ∈M
bk ∈M i∈N
• La somma delle compensazioni è nulla, infatti:
!
X
X
X
Xs
(Vii − Vi ) =
Vii −
Ei −
=s−s=0
n
i∈N
i∈N
i∈N
i∈N
Esempio 6.3.1 (Procedura di Knaster) Dividere 4 oggetti A, B, C, D tra 3 agenti
I, II, III
I
II
III
Valutazione di A
4
11
6
Valutazione di B
6
4
4
Valutazione di C
5
16
11
Valutazione di D
6
11
15
Valutazione totale
21
42
36
Oggetti ricevuti
B
A, C
D
Valore ricevuto (Vii )
6
27
15
Divisione iniziale equitabile (Ei )
7
14
12
−1
13
3
5
5
5
12
19
17
B+6
A, C − 8
D+2
Differenza
Divisione del surplus ( ns )
Adattamento divisione equitabile (Vi )
Situazione finale
I valori monetari finali di I (12), II (19) e III (17) danno ad ognuno rispettivamente il
57.14%, 45.24%, 47.22% della loro valutazione totale, per cui la divisione è proporzionale.
♦
In generale la procedura di Knaster non produce una divisione priva di invidia. Infatti,
se ci sono 3 agenti che si devono dividere un solo oggetto e la valutazione di I è maggiore
CAPITOLO 6. FAIR DIVISION
48
di quella di II che a sua volta è maggiore di quella di III, I riceve l’oggetto e deve
compensare II e III ma II riceverà più di III e allora III sarà invidioso di II.
Nell’Esempio 6.3.1 I riceve 12 e ritiene che II abbia ricevuto 1 e III abbia ricevuto
8; II riceve 19 e ritiene che I abbia ricevuto 10 e III abbia ricevuto 13; III riceve 17 e
ritiene che I abbia ricevuto 10 e II abbia ricevuto 9.
Se la valutazione di I dell’oggetto D fosse 14 riceverebbe B + 7.78 = 13.78 ed invidierebbe
III che secondo lui riceverebbe D + 1.11 = 15.78.
La procedura di Knaster fornisce sempre una divisione priva di invidia se ci sono 2
agenti, essendo proporzionale.
6.4
Procedure per m beni divisibili
Si supponga di dover dividere un insieme di beni divisibili, con valore additivo, tra due
agenti I e II.
In questa situazione, i due agenti indicano quanto valutano i diversi oggetti distribuendo 100 punti sui beni (con punteggi non nulli). Questa informazione diventa la base per
una divisione equitabile. Successivamente per ogni oggetto si calcola il rapporto tra la valutazione dell’agente II e dell’agente I e si riordinano gli oggetti per valori non decrescenti
del rapporto (nei casi di uguaglianza l’ordine è deciso dal caso). L’insieme degli oggetti
cosı̀ riordinati è indicato con M = {b1, ..., bm} e le corrispondenti valutazioni di I con
P
P
x1, ..., xm e quelle di II con y1, ..., ym con
xk =
yk = 100.
bk ∈M
bk ∈M
Adjusted Winner (AW) (Brams-Taylor, 1994)
Questa procedura determina una divisione dei beni, basata sull’annuncio delle valutazioni percentuali, che è priva di invidia (o equivalentemente proporzionale), efficiente e
equitabile e in cui al più un bene viene diviso tra gli agenti.
1. ciascun agente assegna una valutazione percentuale agli oggetti e riceve gli oggetti a
cui a dato una valutazione strettamente maggiore dell’altro agente (se un oggetto ha
ricevuto la stessa valutazione dai due agenti viene assegnato tirando una moneta);
2. se per i due agenti la somma dei punti dei beni ricevuti è uguale STOP;
altrimenti sia I l’agente che ha ricevuto un punteggio maggiore;
P
3. siano b1, ..., br i beni ricevuti dall’agente I, X =
xk , br+1, ..., bm i beni ricevuti
k=1,...,r
P
dall’agente II, Y =
yk e si pone h = r;
k=r+1,...,m
4. se X − xh ≥ Y + yh l’oggetto bh viene “trasferito” all’agente II, si pone X =
X − xh , Y = Y + yh e h = h − 1 e si va al passo 5);
CAPITOLO 6. FAIR DIVISION
49
altrimenti si determina α tale che X − αxh = Y + αyh e la frazione α dell’oggetto
bh viene “trasferita” all’agente II; STOP;
5. se X = Y STOP;
altrimenti si torna al passo 4);
Esempio 6.4.1 (Adjusted Winner)
Dividere 4 oggetti A, B, C, D tra 2 agenti I, II di cui sono riportate le valutazioni
percentuali e i rapporti:
A
B
C
D
I
30 30 40
0
II
0
70
Rapporti
0
10 20
1
3
1
2
+∞
I riceve gli oggetti A, B, C con valore 100 e II riceve l’oggetto D con valore 70. Se l’oggetto
C fosse trasferito all’agente II, questi otterrebbe di più, per cui si risolve l’equazione
100 − 40α = 70 + 20α che fornisce α =
1
2
e la procedura termina. Entrambi gli agenti
♦
hanno ricevuto il valore 80.
Proportional Allocation (PA) (Brams-Taylor, 1994)
Come nel caso precedente due agenti devono dividersi un insieme di oggetti M =
{b1, ..., bm} su cui distribuiscono 100 punti, non assegnando mai entrambi allo stesso
oggetto un punteggio nullo.
1. gli agenti I e II assegnano agli oggetti le valutazioni percentuali x1 , ..., xm e y1 , ..., ym
P
P
con
xk =
xk = 100;
bk ∈M
bk ∈M
xk
2. per ogni oggetto bk ∈ M si assegna all’agente I la frazione
e all’agente II
xk + yk
yk
;
la frazione
xk + yk
La procedura produce una divisione dei beni, basata sull’annuncio delle valutazioni
percentuali, che è priva di invidia (e quindi proporzionale), equitabile ma non efficiente;
infatti se esistono due oggetti bs e bt tali che
xs
xt
<
ys
yt
è possibile scambiare opportunamente
una frazione α di bs da I a II e β di bt da II a I con
xs
xt
<
β
α
<
ys
,
yt
in modo che lo scambio
sia vantaggioso per entrambi gli agenti.
Si consideri il seguente esempio:
Esempio 6.4.2 (Proportional Allocation) Con riferimento all’esempio 6.4.1, la procedura assegna le seguenti frazioni e valutazioni in punti degli oggetti:
A
B
I
1 30
II
0
0
3
4
1
4
22.50
2.50
C
2
3
1
3
D
26.66 0
6.66
punti
0
79.16
1 70 79.16
CAPITOLO 6. FAIR DIVISION
50
In questo caso la divisione non è efficiente (ma è equitabile), in quanto xxCB < yyBC 40
< 20
30
10
1/4
20
<
<
le nuove frazioni
per cui trasferendo 16 di C da I a II e 14 di B da II a I 40
30
1/6
10
e valutazioni sono:
A
B
C
I
1 30 1 30
II
0
0
0
0
1
2
1
2
20 0
D
punti
0
80
10 1 70
80
Entrambi gli agenti migliorano il proprio risultato. Entrambi gli oggetti B e C hanno ricevuto una valutazione maggiore dall’agente I. La situazione finale coincide con la soluzione
della procedura Adjusted Winner.
6.4.1
♦
Un caso reale di divorzio
Il caso analizzato (vedi Brams and Taylor, 1994), è relativo ad una coppia di coniugi
statunitensi, con 41 anni di matrimonio, di cui 33 convissuti.
La moglie era una promettente cantante, che ha interrotto la carriera a causa del
matrimonio e della nascita di quattro figli. Il marito era un mercante di diamanti operante
tra New York e Parigi che in seguito ha abbandonato la moglie per un’altra donna e al
momento della causa ricopriva il ruolo di presidente della “Diamond Distributor’s Inc.”,
con un patrimonio di oltre 5 milioni di US$, due terzi dei quali in azioni della compagnia.
La prima parte del dibattito processuale ha riguardato la definizione del patrimonio da
dividere, anche sulla base della situazione dei due coniugi; la seconda parte ha analizzato la
divisione del patrimonio; infine la terza parte la definizione dell’assegno di mantenimento
assegnato alla moglie. La causa di divorzio si concluse nel 1983.
In questo caso l’interesse è rivolto principalmente alla suddivisione del patrimonio.
Nella prima parte la corte eliminò tutti gli elementi di proprietà personale di uno dei
coniugi o richiesti da uno solo di essi; questi vennero dichiarati “già assegnati” e “di valore
quasi equivalente”. Inoltre venne assegnato alla moglie un assegno annuo di mantenimento
di 65,000 US$.
Gli elementi oggetto della disputa giudiziaria e i loro valori monetari in US$ stimati
dalla corte sono riportati nella seguente tabella:
CAPITOLO 6. FAIR DIVISION
51
Valore
Oggetto
1 - 90% dell’appartamento di Parigi (residenza)
642,856
2 - Monolocale di Parigi
42,850
3 - Appartamento di New York
103,079
4 - Fattoria nella contea di Duchess (quota)
119,200
5 - Liquidità e crediti
42,972
6 - Garanzie e cauzioni
176,705
7 - Utili pianificati
120,940
8 - Valore di riscatto dell’assicurazione sulla vita del marito
Totale
24,500
1,273,102
Sulla base delle dichiarazioni nella fase processuale, si possono stimare le seguenti
valutazioni dei coniugi per ciascuno degli oggetti riportati nella precedente tabella:
Oggetto
1 - Appartamento di Parigi
Marito Moglie
35
55
2 - Monolocale di Parigi
6
1
3 - Appartamento di New York
8
1
4 - Fattoria
8
1
5 - Liquidità e crediti
5
6
6 - Garanzie e cauzioni
18
17
7 - Utili pianificati
15
15
5
4
100
100
8 - Assicurazione
Totale
La procedura AW assegna inizialmente al marito gli oggetti 2, 3, 4, 6, e 8 e alla moglie
gli oggetti 1, 5 e 7, per cui il marito ottiene 45 punti e la moglie 76. Trasferendo gli
utili pianificati (rapporto 15/15) al marito i nuovi punteggi sono rispettivamente 60 e 61;
trasferendo
1
11
della liquidità e crediti al marito entrambi i coniugi ottengono 60.455 punti.
Osservazione 6.4.1
• I valori monetari sono rispettivamente 591,180 US$ per il marito e 681,922 US$ per
la moglie. Questo non altera l’equitabilità della procedura che si basa sulle valutazioni
soggettive dei coniugi e non sui valori monetari oggettivi.
• Se i due coniugi avessero assegnato agli oggetti valori non veritieri questo non si
tradurrebbe necessariamente in un vantaggio al termine della procedura. Si considerino i seguenti esempi:
CAPITOLO 6. FAIR DIVISION
52
Esempio 1
Se il marito prevedendo di perdere l’oggetto 1 ripartisse i suoi 100 punti sugli oggetti
secondo i valori 0, 10, 12, 12, 8, 28, 23 e 7 otterrebbe gli oggetti 2, 3, 4, 6, 8 e
7
38
dell’oggetto 7 corrispondenti a 73.237 punti fittizi e 47.763 punti reali.
Esempio 2
Se invece cercasse di incrementare i punti assegnati all’oggetto 1, ma sbagliasse la
valutazione della moglie, assegnando all’oggetto 1 un valore superiore a quello della
moglie, ad esempio 56, 4, 6, 6, 3, 12, 10 e 3 otterrebbe gli oggetti 2, 3, 4 e
27
37
del-
l’oggetto 1 corrispondenti a 56,865 punti fittizi e 47.541 punti reali.
Ovviamente se assegnasse i valori 45, 2, 2, 2, 7, 20, 17 e 5 otterrebbe tutti gli oggetti
tranne l’oggetto 1 corrispondenti a 55 punti fittizi e 65 punti reali.
6.4.2
Il caso del Canale di Panama
Nel Giugno 1974 il trattato del Canale di Panama è stato oggetto di una negoziazione tra
gli Stati Uniti e la repubblica di Panama, a seguito della fine del controllo statunitense.
Sulla base di interviste ai negoziatori statunitensi, è stato possibile ricostruire le valutazioni delle due parti sugli elementi oggetto della trattativa, come riportato nella seguente
tabella:
US Panama
Diritti di difesa US
22
9
Diritti di utilizzo
22
15
Territorio
15
15
Diritti di espansione
14
3
Durata
11
15
Direzioni di espansione
6
5
Compensazioni
4
11
Giurisdizione
2
7
Diritti militari US
2
7
Ruolo difensivo di Panama
2
13
100
100
Totale
(vedi The Art and Science of Negotiation, Howard Raiffa, Harvard University Press).
L’applicazione della procedura AW porta alla seguente soluzione:
Elementi ricevuti Valore
US
Panama
2
3
15
10, 13
3
15
1, 2, 4, 6,
5, 7, 8, 9,
66
66
CAPITOLO 6. FAIR DIVISION
53
Si noti che l’unico elemento diviso risulta essere il territorio, che è certamente quello
più facilmente divisibile.
Capitolo 7
Mercati
7.1
Economia di puro scambio
Questa situazione si basa sui giochi di mercato, introdotti da Edgeworth (1881) e rielaborati da Shubik (1959).
Sia N = {1, ..., n} l’insieme degli agenti; ogni agente i ∈ N ha una “dotazione iniziale”,
cioè un paniere di beni wi ∈ R`≥ dove ` è il numero dei beni considerati, e una relazione
di preferenza wi definita su R`≥ ; a partire dalla relazione di preferenza si può definire per
ogni agente i ∈ N una opportuna funzione di utilità ui : R`≥ → R che assegna un valore
ai beni dell’agente i.
Gli agenti possono adottare una ridistribuzione (xi )i∈N ∈ R`≥ del complesso delle
P i
P i
dotazioni iniziali, in modo che
x =
w . In particolare, si cercano le ridistribuzioni
i∈N
i∈N
x̄ per cui non esiste alcun insieme di agenti S che possa ridistribuire le proprie dotazioni
iniziali in modo che ogni agente di S preferisca una nuova distribuzione y rispetto a x̄,
cioè:
@S
e @y
t.c. ui (y i ) > ui(x̄i ) ∀i ∈ S
oppure:
con
P
i∈S
yi =
P
i∈S
y i Ai x̄i ∀i ∈ S
wi , y j = wj , j ∈ N \ S.
Questa è una versione semplificata del modello di Walras di equilibrio economico
generale, senza la produzione e i prezzi di equilibrio.
Ad un’economia di puro scambio si può associare un gioco NTU G = (N, V )
dove:
• N è l’insieme degli agenti.
• V (S) = {(zi)i ∈ S ∃(xi)i∈N , xi ∈ R`≥ con xj = wj
P
P
se j ∈ N\S, i∈S xi = i∈S wi , zi = ui (xi )}, S ⊆ N
54
CAPITOLO 7. MERCATI
55
V (S) esprime la possibilità dei giocatori di S di ridistribuire tra di loro
solo le proprie dotazioni iniziali.
Le ridistribuzioni x̄ precedenti costituiscono il nucleo del gioco in quanto non
possono essere migliorate da un giocatore senza danneggiare qualche altro
giocatore.
L’approccio precedente non necessita delle funzioni di utilità degli agenti, ma
solo delle preferenze. Disponendo delle funzioni di utilità e supponendo che
risultino equivalenti e additive, è possibile associare un gioco TU G = (N, v)
dove:
• N è l’insieme degli agenti.
P
P
P
i
i
• v(S) = {max i∈S ui (xi) |
x
=
i∈S
i∈S w }, S ⊆ N
v(S) esprime la possibilità dei giocatori di S di ridistribuire tra di loro le
proprie dotazioni iniziali in modo da massimizzare il valore complessivo
dei panieri.
Si cercano le ridistribuzioni x̃ per cui ogni coalizione S ⊂ N ottenga un’utilità
complessiva pari almeno all’utilità complessiva iniziale:
X
i∈S
ui (x̃i ) ≥
X
ui (wi )
i∈S
e il valore dell’utilità complessiva sia massimo.
Le ridistribuzioni x̃ precedenti costituiscono il nucleo del gioco.
7.1.1
Scatola di Edgeworth
E’ uno strumento che permette di rappresentare e analizzare un’economia di puro scambio
con due beni e due agenti.
Si considera una situazione in cui ci sono due beni, B1 e B2 , l’agente I possiede
una quantità w1I e w2I dei due beni e l’agente II possiede una quantità w1II e w2II dei
due beni. Per ogni agente si considera un riferimento cartesiano ortogonale, (O, x1 , x2 ) e
(O0 , y1, y2 ) rispettivamente. Un punto del primo ortante di ciascun riferimento può essere
interpretrato come un paniere per il rispettivo agente. Facendo riferimento alla funzione
di utilità del corrispondente agente si possono tracciare le curve di indifferenza, cioè le
curve di livello della funzione di utilità.
CAPITOLO 7. MERCATI
56
x2 6
y2 6
-
-
x1
O
O
y1
0
I valori ammissibili dei beni per ciascun agente sono compresi tra (0, 0) e (Q1, Q2 ), dove
Q1 e Q2 sono le quantità totali disponibili di ciascun bene, cioè Qi = wiI + wiII , i = 1, 2.
Questa semplice osservazione è alla base dell’idea della scatola di Edgeworth, che consiste
nel rappresentare i due sistemi di riferimento su un unico piano, mantenendo gli assi
relativi a ciascun bene paralleli ma con verso opposto e facendo coincidere l’origine di
ciascun sistema con il punto (Q1, Q2) dell’altro.
y1
x2 6
w1II
O0 ≡ (Q1, Q2)
tX̃
w2I
X̄
t
t
W
w2II
-
O ≡ (Q1 , Q2)
w1I
y2
x1
?
Supponendo che il punto W rappresenti la situazione iniziale, si può osservare che
l’area compresa tra le curve passanti per W corrisponde a ridistribuzioni dei panieri iniziali
preferite (almeno debolmente) da entrambi gli agenti. I punti X̄ e X̃ rappresentano due
ridistribuzioni che non sono migliorabili, nemmeno debolmente, per entrambi gli agenti.
E’ possibile identificare tutta una linea interna alla scatola che rappresenta le ridistribuzioni non migliorabili per entrambi gli agenti, cioè efficienti secondo Pareto. Tale
linea è detta curva dei contratti, in quanto qualunque sia la distribuzione iniziale delle
quantità Q1 e Q2 , i due agenti trovano un accordo “stabile” su un punto che appartiene
a questa curva.
CAPITOLO 7. MERCATI
7.2
57
Mercati bilaterali
La situazione precedente si riferisce ad un mercato in cui ogni agente può scambiare i
suoi beni con qualunque altro agente, al fine di raggiungere un paniere che sia di suo
gradimento, cioè un paniere al quale attribuisce un’utilità almeno pari a quella del suo
paniere iniziale.
La situazione seguente considera un mercato nel quale sono presenti due gruppi di
agenti N v = {1, 2, ..., nv } ed N c = {1, 2, ..., nc }, con N v ∩ N c = ∅, detti rispettivamente
venditori e compratori. Per semplicità di trattazione si suppone che esista un unico bene
che viene trattato nel mercato. Ciascun venditore possiede pi , i ∈ N v unità di bene da
vendere e ciascun compratore è disposto a comprare un massimo di qj , j ∈ N c unità di
bene. Le unità di bene di ciascun venditore sono equivalenti, ma quelle dei vari venditori
possono essere significativamente differenti; conseguentemente, se un’unità passa dal venditore i al compratore j si genera un surplus di valore bij , che può essere ripartito tra i
due agenti in qualsiasi modo. Riassumendo una situazione di mercato è rappresentata da
una quintupla M = (N v , N c , p, q, B).
Gli agenti possono avere un approccio non cooperativo o cooperativo. Nel primo caso
i singoli agenti cercano di massimizzare la quota complessiva di surplus che ricevono,
mentre nel secondo caso lo scopo è massimizzare il surplus complessivo derivante dagli
scambi in una data situazione M
Nel caso cooperativo è possibile definire differenti giochi. Il gioco più semplice assegna ad ogni coalizione il massimo surplus che i suoi membri possono ottenere scambiando tra loro le unità di bene che possiedono. Detta
xij la quantità non negativa di bene che il venditore i ∈ N v trasferisce al
compratore j ∈ N c , si ha:
v(S) = max
P P
(bij xij )
i∈S v j∈S c
s.t.
P
j∈S c
xij ≤ pi , i ∈ S v , S ⊆ N
i∈S v
xij ≤ qj , j ∈ S c
P
dove N = N v ∪ N c , S v = N v ∩ S e S c = N c ∩ S.
E’ interessante osservare che è possibile un approccio “coopetitivo” (SanchezSoriano e Fragnelli, 2010), cioè in cui vi è una fase competitiva e una cooperativa. In questo caso la fase competitiva termina con una serie di contratti
bilaterali, caratterizzati da inefficienza, ad esempio nel mercato elettrico in
cui la rapidità va a danno dell’efficienza, e la fase cooperativa permette di
migliorare la precedente situazione, pur nel rispetto dei contratti esistenti.
CAPITOLO 7. MERCATI
58
Il valore della funzione caratteristica del gioco cooperativo risultante è legato
alle seguenti domande:
1. Un agente può fare un pagamento ad un altro agente col quale non ha
un contratto?
2. Una coalizione può fare un pagamento ad un agente che è stato estromesso per recedere da un contratto preesistente?
Poichè una risposta negativa alla prima domanda implica una risposta negativa alla seconda, si possono considerare tre giochi (N, v y,y ), (N, v y,n ), (N, v n,n ).
Il seguente esempio mostra che il gioco (N, v n,n ) dipende da come viene
ripartito il surplus di ogni contratto.
Esempio 7.2.1 (Mercato con contratti preesistenti) Si consideri una situazione con due venditori, N v = {1, 2}, e due compratori N c = {3, 4}. Cias-
cun venditore possiede un’unità di bene e ciascun compratore chiede un’unità
di bene. Lo scambio tra 1 e 3 produce un surplus di 3$ e gli altri scambi un
surplus di 2$.
1
3$ - 3
*
2$
HH
H H
H
H
2$
HH
j
- 4
2
2$ Si supponga che esistano due contratti già stipulati, 1 ↔ 4 e 2 ↔ 3. Se la
risposta alla prima domanda è positiva, la grande coalizione può rinegoziare
entrambi i contratti per cui passando alla situazione 1 ↔ 3 e 2 ↔ 4 si
ha un incremento di 1$, per cui v y,y (N) = v y,n (N) = 1, mentre per le
altre coalizioni il valore è sempre nullo. Per v n,n (N) è necessario conoscere
come viene ripartito il valore del surplus. Infatti se in entrambi i contratti
preesistenti sia il venditore che il compratore ricevono 1$ è possibile passare
alla nuova situazione riassegnando 1$ a 2 e 4 e ripartire i 3$ tra 1 e 3
assegnando almeno 1$ ciascuno, per cui v n,n (N) = 1. Invece se nei contratti
preesistenti i giocatori 1 e 3 ricevevano 1.75$ ciascuno e i giocatori 2 e
4 0.25$ ciascuno non è possibile passare alla nuova situazione in quanto il
contratto 1 ↔ 3 non permette ai due giocatori di ottenere complessivamente
3.50$ come nei contratti preesistenti e d’altra parte i giocatori 2 e 4 non
possono effettuare nessun pagamento non avendo più contratti in corso, per
cui v n,n (N) = 0.
♦
Tralasciando quindi il gioco (N, v n,n ), si possono definire formalmente gli
altri due giochi.
Sia µij il numero di contratti al termine della fase competitiva tra il venditore
CAPITOLO 7. MERCATI
59
i ∈ N v e il compratore j ∈ N c ; data una coalizione S ⊆ N, si possono
introdurre le situazioni di mercato bilaterale con contratti preesistenti MµS =
P
P
(S v , S c , pµS , qSµ , BS ), dove pµi = pi − j∈N c\S c µij e qjµ = q j − i∈N v \S v µij
sono le unità di bene che ciascun venditore i ∈ S v e ciascun compratore
j ∈ S c non ha scambiato al di fuori di S e BS è la matrice B ristretta ad S.
Si possono introdurre introdurre due giochi preliminari (N, v1µ ) e (N, v2µ ):
v1µ (S) = max
s.t.
P P
P
j∈S c
xij ≤ pµi , i ∈ S v , S ⊆ N
i∈S v
xij ≤ qjµ, j ∈ S c
P
v2µ (S) = max
s.t.
P P
i∈S v j∈S c
P
j∈S c
P
(bij xij )
i∈S v j∈S c
(bij xij ) −
P
P
(µij bij yij )
i∈S v j∈N c \S c
−
P
P
(µij bij yij )
i∈N v \S v j∈S c
xij ≤ pµi , i ∈ S v
xij ≤ qjµ, j ∈ S c
P
P
xij − pµi , i ∈ S v
(µij yij ) ≥
i∈S v
jS c
j∈N c \S c
P
i∈N v \S v
,S ⊆ N
(µij yij ) ≥
P
iS v
xij − qjµ , j ∈ S c
yij ∈ {0, 1}, (i, j) ∈ S v × N c \ S c ,
(i, j) ∈ N v \ S v × S c
Il gioco (N, v1µ ) rappresenta il guadagno che la coalizione S può ottenere
rinegoziando le unità di bene non scambiate al di fuori di S; il gioco (N, v2µ )
rappresenta il guadagno che la coalizione S può ottenere anche pagando per
annullare i contratti preesistenti con giocatori al di fuori di S.
A questo punto si ha:
v y,n (S) = v1µ(S) −
v y,y (S) = v2µ (S) −
P P
(µij bij )
i∈S v j∈S c
P P
i∈S v j∈S c
(µij bij )
,S ⊆ N
Capitolo 8
Aste
Un asta è un meccanismo di vendita flessibile ed efficiente per un mercato bilaterale, in
cui una delle due parti ha un ruolo attivo, mentre l’altra ha un ruolo passivo. Un’asta
può essere usata sia per vendere che per comprare e in questo caso viene detta reverse
auction. Le caratteristiche e le proprietà delle due aste sono del tutto identiche, a meno
di rovesciare ruoli e definizioni; ad esempio nell’asta per vendere il venditore ha il ruolo
passivo, tranne in una fase preliminare in cui stabilisce le regole, cioè sceglie il tipo di asta,
mentre simmetricamente nell’asta per vendere è il comratore che ha il ruolo passivo, ma
sceglie il tipo di asta. Questa trattazione si riferisce alle aste per vendere. Un’asta richiede,
solitamente, che ci sia carenza dei beni venduti e che gli acquirenti siano in competizione
tra loro.
Per cominciare si può analizzare una breve storia delle aste. La prima asta di cui si
ha notizia certa fu tenuta a Babilonia nel 500 A.C. per “assegnare” ragazze a possibili
mariti; all’asta poterono partecipare anche donne senza bellezza che pagarono per entrare
nell’asta. Nell’antica Roma le aste erano molto comuni per vendere gli schiavi e più in
generale i bottini di guerra; si pensi che il termine “asta” deriva dall’abitudine romana
di piantare un’asta nel luogo dove si svolgeva la vendita e l’inglese “auction” deriva dal
latino “augere” = aumentare. Un caso limite di asta si tenne nel 193 D.C. quando l’intero
impero romano fu venduto all’asta dalle guardie del pretorio dopo aver ucciso l’imperatore
Pertinace. Il vincitore, Didio Giuliano, fu decapitato due mesi dopo dalle stesse guardie
come segno di benvenuto per Settimio Severo dopo la conquista di Roma (un eccellente
esempio della rovina del vincitore). In seguito le aste furono istituzionalizzate: la prima
casa d’aste, la Stockholms Auktionwerk, nacque nel 1674 e succesivamente nel 1744 fu la
volta di Sotheby’s, seguita da Christie’s nel 1766.
60
CAPITOLO 8. ASTE
8.1
61
Caratteristiche delle aste
Sebbene le aste siano molto diffuse, il loro meccanismo esatto può essere molto complesso
e variegato e va oltre quello che è il semplice “un, due, tre: aggiudicato!”. L’origine della
complessità risiede nel fatto che non ci sono regole da rispettare, tranne che ogni dettaglio
deve essere reso noto ai partecipanti prima dell’asta. Un esempio delle possibilità offerte
da un’asta è la cosidetta one dollar auction (Shubik, 1971), che consente di vendere con
profitto un bene che viola le caratteristiche di carenza e ad un prezzo superiore al suo
“oggettivo” valore, 1 dollaro, a fronte di una situazione in cui sembrerebbe impossibile
concludere una vendita. Un capitolo a parte sono le aste su web, che pongono problemi
di sicurezza informatica che esulano dallo scopo di questo capitolo.
In un’asta ci sono tre agenti fondamentali: il banditore (auctioneer) che è il principale
responsabile dello svolgimento dell’asta e che talvolta può fungere da garante della qualità
dell’oggetto in vendita, il venditore (seller che è il proprietario dell’oggetto in vendita, che
spesso è lo stesso banditore e infine gli acquirenti o offerenti (buyers, bidders) ai quali è
devoluto il ruolo attivo, poichè fanno le offerte.
Un’asta è caratterizzata da vari elementi. Innanzitutto il numero di oggetti in vendita
che possono essere uno solo o più di uno e in questa seconda sitauzione si può differenziare
tra il caso in cui ogni vincitore ottiene un solo oggetto e il caso in cui un vincitore può
ottenere più oggetti. Un secondo elemento sono le regole d’asta, cioè i criteri di ammissione,
il modo di sottoporre le offerte e la decisione di chi è il vincitore. L’ammissione può essere
aperta a tutti o riservata ad un gruppo chiuso di persone. L’offerta può essere pubblica
(gridata) o segreta (in busta chiusa) e può esserci anche un prezzo di riserva reserve
price che può essere visto come un’offerta del venditore. Il vincitore può essere scelto in
vari modi, ad esempio il miglior offerente, il miglior offerente con offerta unica il peggior
offerente con offerta unica. L’ultimo elemento si riferisce alle regole di pagamento per cui
c’è un solo pagante per ogni oggetto o più paganti per ogni oggetto. Nel primo caso può
pagare il primo prezzo o il secondo prezzo. Nel secondo caso possono essere molti, ad
esempio i primi k migliori offerenti oppure tutti, come nel caso delle aste in cui vince il
peggior offerente con offerta unica o più classicamente nelle lobby politiche.
Come si è detto all’inizio, le aste sono diffuse quando non esiste in prezzo di mercato
e/o la “qualità” del bene è incerta; infatti classici esempi di beni venduti all’asta sono
vini, quadri, fiori, pesce, obbligazioni, diritti di trivellazione, prestiti e mutui a rischio
incerto.
Si possono distinguere due classi di aste: a valore privato private value e a valore
comune common value. Nel primo caso ciascun acquirente conosce la propria valutazione
del bene che considera una sua informazione privata; la valutazione di ogni acquirente è
independente da quelle degli altri acquirenti. In altre parole il valore del bene è legato
CAPITOLO 8. ASTE
62
all’utilità di possederlo (valore duale); nel secondo caso alla fine dell’asta il bene ha lo
stesso valore per tutti gli acquirenti, ma all’inizio dell’asta ciascun acquirente lo può solo
stimare utilizzando informazioni private differenti, i cosidetti segnali. In altre parole il
valore del bene deriva dall’utilità di rivenderlo.
A questo punto ci si può chiedere perchè le aste sono cosı̀ diffuse. Alcune motivazioni
sono la possibilità di vendere un oggetto o un bene ad un prezzo elevato anche quando
il venditore non ha alcuna idea del suo valore reale, spesso con una trattativa molto
rapida. Un altro vantaggio per il venditore è che il prezzo viene fissato dagli acquirenti che
possono avere informazioni migliori sul valore reale del bene, ma comunque il venditore
può cautelarsi fissando un prezzo di riserva. si può ancora osservare che un opportuno
meccanismo d’asta può difendere un venditore debole nei confronti di acquirenti molto
forti (esperti) o massimizzare il profitto di un venditore forte. Talvolta il venditore può
bandire un’asta al solo fine di accrescere e migliorare le sue informazioni sul valore reale
dell’oggetto; in questo caso è necessario informare il banditore.
8.2
Qual’è il meccanismo d’asta migliore?
Questa domanda ha risposte differenti a seconda che si analizzi la situazione dal punto
di vista del venditore o da quello degli acquirenti, ma si può evidenziare qualche aspetto
comune quali il tempo, soprattutto nel caso di beni deperibili rapidamente (fiori, pesce),
la possibilità di colludere, cioè di creare alleanze illegali e la necessità di essere presenti
in un preciso momento. I tipi d’asta più classici sono quattro: asta inglese, asta olandese,
asta in busta chiusa al primo prezzo e asta in busta chiusa al secondo prezzo o asta Vickrey.
Asta inglese
E’ il modello d’asta più diffuso ed anche il più noto grazie al cinema e alla televisione; è
detta anche asta aperta gridata o asta ascendente. Il banditore propone un prezzo di apertura e gli acquirenti rilanciano con offerte crescenti; gli aumenti possono essere prefissati
o liberi. L’oggetto viene assegnato al miglior offerente che paga la sua offerta, a meno che
esista un prezzo di riserva più alto o altri diritti, ad esempio lo state right per cui in alcuni
casi, ad esempio beni archeologici o culturali di interesse nazionale, lo stato può acquistare
il bene allo stesso prezzo del miglior offerente. In questo tipo di asta il banditore ha un
ruolo molto importante perchè può accendere l’interesse per l’oggetto in vendita e sollecitare ulteriori offerte. Un aspetto negativo è la necessità della presenza degli acquirenti,
o almeno di un rappresentante che ha però un ruolo decisionale importante. Un’atmosfera di competizione ed entusiasmo possono trascinare il prezzo verso l’alto, anche molto
oltre il ragionevole valore del bene. Esistono numerose varianti, tra cui la possibilità ri-
CAPITOLO 8. ASTE
63
tirarsi in qualunque momento, pubblicamente o meno, e successivamente di rientrare o no.
Asta olandese
Il nome deriva dal fatto di essere utilizzata per la vendita dei fiori nei Paesi Bassi; è detta
anche asta discendente. Viene utilizzata anche nei mercati all’ingrosso del pesce, ad esempio Tokio, e in generale per situazioni in cui i beni sono facilmente deperibili. L’elemento
centrale è un contatore che scende rapidamente fino a quando un acquirente accetta il
prezzo e arresta il contatore mettendo fine all’asta; l’oggetto gli viene assegnato al prezzo indicato. L’intera procedura richiede pochi secondi, tenendo conto che la regolazione
dell’acquisto avviene in una fase successiva. Anche in questo caso è necessaria la presenza
degli acquirenti, o almeno di un rappresentante che però ha un ruolo molto semplice.
Asta in busta chiusa al primo prezzo
Ogni acquirente fa un’offerta in busta chiusa, o qualcosa di simile che permette di mantenere la segrettezza dell’offerta; le offerte sono simultanee in senso stretto, o pervengono
entro una scadenza prefissata, senza che alcun dato venga rivelato agli altri acquirenti.
All’apertura delle buste l’oggetto viene assegnato al miglior offerente che paga il prezzo
da lui indicato. Con questo meccanismo è possibile che si verifichi la rovina del vincitore,
in quanto la differenza con le altre offerte può essere anche rilevante. L’aspetto peggiore è
che l’intera procedura può richiedere anche mesi, ma ha il vantaggio che non è necessaria
la presenza degli acquirenti.
Asta in busta chiusa al secondo prezzo o asta Vickrey
Prende nome da William Vickrey, premio Nobel nel 1996 (Vickrey, 1961). Nella fase delle
offerte questo meccanismo è simile al precedente, salvo che il vincitore paga la seconda
offerta più alta. Si tenga presente che essendo le regole note, questo non porta ad un prezzo di aggiudiucazione necessariamente inferiore all’asta al primo prezzo. L’importanza di
quest’asta, e quindi la motivazione del premio Nobel, dipende dal fatto di incentivare
la dichiarazione della valutazione reale da parte degli offerenti. Si ha infatti il seguente
teorema (Milgrom, 1989):
Offrire la valutazione reale è una strategia debolmente dominante
Sia v la valutazione “reale” di un oggetto per un acquirente. Se offre v − 2ε (ε > 0) un
altro acquirente che offra v ottiene l’oggetto pagando v − 2ε. Se invece offre v + 2ε e la
seconda offerta è v + ε l’acquirente ottiene l’oggetto pagando v + ε.
Cioè con un’offerta inferiore l’acquirente può perdere il bene ad un prezzo inferiore alla
sua valutazione e con un’offerta superiore l’acquirente può ottenere il bene ad un prezzo
maggiore della sua valutazione.
CAPITOLO 8. ASTE
64
L’assenza di regole permette di definire altri tipi di asta, o di combinare i tipi di asta
visti, ad esempio l’asta anglo-olandese che comprende una fase discendente e una successiva fase in cui il prezzo fissato precedentemente costituisce il prezzo base per un’asta
ascendente. Una curiosità è l’asta a tempo con candela da cui deriva il detto essere al
verde, legato al colore della cera nella parte inferiore della candela.
Esistono alcune relazioni tra i prezzi di aggiudicazione del bene nei vari meccanismi
d’asta. In generale l’asta inglese è (quasi) equivalente all’asta Vickrey e l’asta olandese
è equivalente all’asta in busta chiusa al primo prezzo, in assenza di ulteriori ipotesi. Un
risultato meno generale, ma apparentemente sorprendente è il seguente teorema (vedi
Klemperer, 2004).
Revenue Equivalence Theorem - RET
Supponendo che ogni potenziale acquirente di un oggetto sia neutrale al rischio risk-neutral
e abbia un segnale privato, tratto indipendentemente da una distribuzione di probabilità
non atomica, comune e strettamente crescente, allora ogni meccanismo d’asta per cui:
(i) l’oggetto viene sempre assegnato all’acquirente con il segnale maggiore
(ii) ogni acquirente con il minimo segnale ammissible ha un surplus atteso nullo
ha lo stesso valore atteso. Inoltre ogni offerente ha la stessa vincita attesa come funzione
del suo segnale.
Le ipotesi del teorema sono difficilmente soddisfatte per cui ha senso chiedersi quale
meccanismo risulti migliore.
Molti elementi possono influenzare il risultato di un’asta, tra cui l’atteggiamento degli
acquirenti verso il rischio (risk-aversion, risk-neutrality, risk-propension), se l’asta è a valore privato o a valore comune e le informazioni di cui dispongono gli agenti, in particolare
l’asimmetria informativa, cioè il fatto che le informazioni dei singoli agenti sono molto
diverse, qualitativamente o quantitativamente.
Due semplici esempi teorici sono:
• se gli offerenti hanno valore comune (le ipotesi di RET non sono soddisfatte) si
ha il seguente ordinamento decrescente: asta inglese, asta Vickrey e asta olandese
e asta in busta chiusa al primo prezzo alla pari, secondo la capacità di generare
informazione;
• se gli offerenti hanno valore privato ma sono avversi al rischio (le ipotesi di RET non
sono soddisfatte) l’asta olandese e l’asta in busta chiusa al primo prezzo danno lo
stesso risultato, maggiore di quello dell’asta inglese e dell’asta Vickrey che danno un
uguale risultato; in questo caso l’avversione al rischio genera offerte più alte poichè
gli acquirenti temono di perdere l’oggetto.
CAPITOLO 8. ASTE
8.3
65
Strategie d’asta per gli offerenti
Per i quattro principali tipi di asta si hanno i seguenti risultati generali:
• Asta inglese
L’acquirente dovrebbe offrire appena di più dell’ultima offerta, fino a raggiungere la
sua valutazione e poi ritirarsi; in questo caso possono sorgere incertezze nel caso in
cui i rilanci siano vincolati e un giocatore debba superare la sua valutazione con un
rilancio e da questo deriva la non perfetta equivalenza con l’asta in busta chiusa al
primo prezzo.
• Asta olandese
L’acquirente ha solo la strategia di fermare il contatore al raggiungimento della sua
valutazione; ogni ritardo è legato alla sua propensione al rischio.
• Asta in busta chiusa al primo prezzo
L’acquirente deve cercare un compromesso tra la possibilità di aumentare il suo
profitto, facendo un’offerta più bassa e incrementare la possibilità di vincere, con
offerta più alta, ma non superiore alla sua valutazione.
• Asta Vickrey
Secondo il risultato di Milgrom, l’acquirente può solo offrire la sua valutazione.
8.4
Rovina del vincitore (Winner’s curse)
Un aspetto insito in ogni meccanismo di asta è la possibilità che il vincitore pensi che se gli
altri acquirenti hanno fatto offerte minori allora il valore del bene potrebbe essere inferiore
a quello che lui stimava. Una situazione in cui questo si verifica frequentemente è lo
sfruttamento di diritti minerari o petroliferi. Inoltre nel caso dell’asta olandese e dell’asta
in busta chiusa al primo prezzo il vincitore può avere il dubbio che poteva ottenere il bene
pagando un prezzo inferiore.
8.5
Collusioni
Durante lo svolgimento di un’asta, approfittando della fase di preparazione e anche nella
fase delle offerte è possibile che alcuni agenti concludano degli accordi illegali, genericamente chiamati collusioni. In particolare alcuni acquirenti possono accordarsi per limitare
le offerte, il cosidetto ring; se gli agenti che hanno colluso ottengono l’oggetto, lo riassegnano in base ad accordi precedentemente stipulati o con una successiva asta ristretta tra i
collusori nel qual caso potrebbe verificarsi un ultriore collusione sottoring. Il meccanismo
CAPITOLO 8. ASTE
66
d’asta è tanto più esposto al rischio di collusioni tra gli acquirenti quanto più permette lo
scambio di informazioni; quindi si ha il seguente ordine: asta inglese, asta Vickrey, asta
in busta chiusa al primo prezzo e asta olandese. Sono possibili anche collusioni tra il venditore e alcuni acquirenti con lo scopo di far crescere il prezzo a danno di altri acquirenti.
Infine nel caso delle aste in busta chiusa possono aversi collusioni tra il banditore e qualche
acquirente, ad esempio con scambio di informazioni sulle offerte pervenute o addirittura
la possibilità di modificare l’offerta dopo l’apertura delle buste.
Un caso reale interessante accadde nel 1999, quando la Germania bandı̀ un’asta ascendente simultanea per dieci blocchi di frequenze, con il vincolo che ogni nuova offerta
doveva incrementare il valore precedente di almeno il 10%. la prima offerta di Mannesmann fu 18.18 milioni di marchi per i blocchi da 1 a 5 e 20 milioni di marchi per i blocchi
da 6 a 10. E’ possibile che T-Mobile abbia interpretato quest’offerta come “offri 20 milioni
di marchi (≈ 18.18 × 1.1) per i blocchi da 1 a 5 e lascia i blocchi da 6 a 10”.
8.6
Aste multiple
Nel caso classico vengono messi in vendita più beni identici, o perfetti sostituti o almeno
buoni sostituti, che vengono assegnati al termine di un’unica asta. si possono differenziare
due casi che dipendono dal numero di beni che ciascun acquirente può vincere, Se è
possibile ottenere al più un oggetto, solitamente si consente di fare una sola offerta; se è
possibile ottenere più di un oggetto, gli offerenti possono fare un’offerta per ciascun oggetto
a cui sono interessati. Al termine dell’asta i vincitori possono pagare lo stesso prezzo
(uniform pricing) o prezzi differenti (discriminatory pricing). Un sistema di pagamento
molto importante è il cosidetto Vickrey pricing che richiede che ogni acquirente faccia
un’offerta, eventualmente nulla, per tutti gli oggetti; solitamente le offerte sono decrescenti
riflettendo valutazioni subadditive. Il vincitore con l’offerta più bassa paga la prima offerta
non vincente e cosı̀ via con pagamenti decrescenti fino al vincitore con l’offerta più alta,
come raffigurato nella figura seguente in cui si assegnano k oggetti:
u
b1
u
b2
···
u
bk
u
bk+1
u
bk+2
···
u
u
b2k b2k+1
···
Nel caso di beni complementari con valori superadditivi, il venditore può trarre vantaggio dal crescente interesse degli acquirenti per ottenere un bene complementare. Un caso
particolare sono le aste combinatorie in cui sono venduti all’asta differenti oggetti e gli
acquirenti possono fare offerte sia per oggetti singoli che per gruppi di oggetti. Questo tipo
di aste ha caratteristiche interessanti dal punto di vista computazionale per determinare
CAPITOLO 8. ASTE
67
come assegnare gli oggetti massimizzando i profitti (problema NP-completo); da quello
economico al fine di incentivare offerte veritiere (asta Vickrey); infine ci sono tematiche
sulle rappresentazioni efficienti della situazione corrente e relativamente ai problemi di
comunicazione.
Capitolo 9
Assicurazioni
9.1
Contratto di assicurazione
Un cliente C vuole assicurare un determinato rischio R ∈ L, dove L indica l’insieme delle
variabili casuali non negative con valore atteso finito; la distribuzione cumulativa di R è
data da una funzione F : R → [0, 1] con F (x) = P(R < x). Si assume che F sia continua
(almeno a sinistra), crescente (almeno debolmente) e lim F (x) = 1; inoltre si suppone
x→+∞
che F (x) = 0 per x ≤ 0. La controparte è l’assicuratore o compagnia di assicurazione I.
Si suppone che entrambi gli agenti siano avversi al rischio, cioè le rispettive funzioni
di utilità uC e uI siano strettamente crescenti e concave. Infine, si suppone che entrambi
gli agenti vogliano massimizzare l’utilità attesa, nel senso che entrambi preferiscono una
variabile casuale X ad una variabile casuale Y se l’utilità attesa di X è maggiore di quella
di Y .
L’assicuratore richiede di pagare un premio π in cambio dell’assicurazione del rischio
R. In apparenza sembra impossibile che i due agenti trovino un accordo, in quanto se il
premio è vantaggioso per un agente risulta svantaggioso per l’altro e viceversa.
Formalmente si richiede che il premio verifichi le seguenti condizioni:

 u (−π) ≥ E(u (−R))
C
C
 E(uI(π − R)) ≥ uI(0)
dove E(X) è il valore atteso di una variabile casuale X.
La possibilità di concludere il contratto dipende dal fatto che solitamente il cliente
è più avverso al rischio dell’assicuratore. In questo caso giocano un ruolo fondamentale
la percezione del rischio, le informazioni disponibili e i valori non strettamente monetari attribuiti all’oggetto del contratto. Tutto questo permette di affermare che vale la
disuguaglianza π C > π I, dove π C e π I sono le uniche soluzioni delle equazioni:
uC(−π) = E(uC(−R))
68
CAPITOLO 9. ASSICURAZIONI
69
E(uI(π − R)) = uI(0)
I valori π C e π I possono essere interpretati come la valutazione del rischio dei due
agenti, cioè l’equivalente certo del rischio R. Si tenga presente che nel caso dell’assicuratore
π I non rappresenta il premio minimo che lui può chiedere in quanto è necessario aggiungere
spese e costi di tipo commerciale.
Esempio 9.1.1 Supponendo che le funzioni di utilità dei due agenti C e I siano uC(x) =
1
αC
I
(1 − e−αC x ) e uI(x) =
π =
1
αI
1
lnE(eαI R).
αI
(1 − e−αI x ), con αC > αI > 0 allora π C =
1
lnE(eαC R )
αC
Si può costruire un gioco non cooperativo (Fragnelli e Marina, 2005) per
studiare il comportamento strategico dei due agenti. Si può supporre che
il cliente abbia due strategie: accettare qualunque contratto, indicata con
A, e accettare fino ad un valore massimo, solitamente π C, indicata con D.
Analogamente l’assicuratore ha varie strategie, corrispondenti al valore del
premio richiesto, che per semplicità si può supporre che siano in numero
finito e indicate con π1 < π2 < · · · < πn , dove π I < π1. Il gioco può essere
rappresentato in forma strategica come:
I/C
π1
A
E(uI(π1 − R))
D
E(uI(π1 − R))
uC(−π1)
π2
E(uI(π2 − R))
uC(−π1)
E(uI(π2 − R))
uC(−π2)
···
···
πk̄
E(uI(πk̄ − R))
uC(−π2)
···
···
E(uI(πk̄ − R))
uC(−πk̄ )
πk̄+1
E(uI(πk̄+1 − R))
uC(−πk̄ )
uI(0)
uC(−πk̄+1 )
···
···
πn
E(uI(πn − R))
···
···
E(uC(−R))
···
···
uI(0)
uC(−πn )
E(uC(−R))
dove k̄ è l’unico indice per cui πk̄ ≤ π C < πk̄+1 .
Il gioco ha un unico equilibrio di Nash in strategie pure identificato dal profilo
di strategie (πk̄ , D), che assegna il payoff E(uI(πk̄ − R)) all’assicuratore e
e
CAPITOLO 9. ASSICURAZIONI
70
uC(−πk̄ ) al cliente. L’equilibrio di Nash può essere ottenuto per dominanza
iterata in quanto πk̄ domina πi , i = 1, ..., k̄ − 1 e πn domina πi , i = k̄ +
1, ..., n− 1; successivamente D domina A e infine πk̄ domina πn . Le strategie
di equilibrio coincidono con le strategie di maxmin per entrambi i giocatori.
9.2
Co-assicurazione
Quando un rischio è molto grande, una singola compagnia assicuratrice può ritenere troppo rischioso accettare un contratto di assicurazione. Esiste la possibilità di un’operazione
congiunta tra differenti compagnie assicurative, ciascuna delle quali assume una parte del
rischio ricevendo una parte del premio. Questo contratto è detto co-assicurazione. La divisione del rischio può essere fatta in percentuali o in specifiche parti che vengono assicurate
dalle differenti compagnie. Due esempi classici sono l’assicurazione di una nave mercantile e l’assicurazione di un parco vetture. Nel primo caso si può separare l’assicurazione
del carico, quella della nave e quella dell’equipaggio. Nel secondo caso ogni compagnia
assicura un determinato numero di vetture, chiaramente identificate nel contratto.
La co-assicurazione non va confusa con la riassicurazione. Nel secondo tipo di contratto
una compagnia riduce il rischio cedendone una parte a compagnie specializzate, dette
compagnie di riassicurazione, che si assumono il rischio e gli impegni che derivano dal
contratto di assicurazione. La riassicurazione può coprire una percentuale fissa del rischio
o coprire tutto l’indennizzo oltre un valore prefissato. Una compagnia di riassicurazione
può a sua volta riassicurarsi.
Un contratto di co-assicurazione genera due domande: Come determinare il valore del
premio? Come suddividere equamente tra le compagnie il premio e il rischio? Le domande
sono correlate tra loro in quanto una “buona” suddivisione del rischio e del premio può
rendere interessante il contratto per più compagnie, permettendo di essere più competitivi
sul mercato e conseguentemente di ridurre il premio richiesto.
Sia N = {1, ..., n} l’insieme delle compagnie e siano ui, i ∈ N le loro funzioni di utilità.
Possibili esempi di funzioni di utilità relative ad un rischio (variabile casuale) X sono:
• u(X) = E(X) principio del valore atteso;
• u(X) = E(X) + aV (X), a > 0 principio della varianza;
• u(X) = E(X) + β
p
V (X), β > principio dello scarto quadratico.
In un problema di co-assicurazione è necessario introdurre alcuni concetti relativi ad
P
ogni sottoinsieme S ⊆ N di compagnie. D(S) = (di )i∈S ∈ R|S| s.t.
d
=
π
rapi
i∈S
P
|S|
presenta le divisioni ammissibili del premio; A(S) = (Xi )i∈S ∈ L , s.t. i∈S Xi = R
rappresenta le divisioni ammissibili del rischio; una allocazione (di , Xi )i∈S ∈ D(S) × A(S)
CAPITOLO 9. ASSICURAZIONI
71
indica che ciascun compagnia i ∈ S riceve il premio di e assume il rischio Xi . Infine si supP
pone che esista min(Xi )i∈S ∈A(S)
u
(X
)
= P (S). P (S) rappresenta la valutazione
i
i
i∈S
complessiva da parte delle compagnie di S del rischio R suddiviso in modo ottimale.
Si possono definire alcuni criteri di “fairness” e gli insiemi di allocazioni che li soddisfano.
Razionalità individuale
B(S) = {(di , Xi )i∈S ∈ D(S) × A(S)| di − ui (Xi ) ≥ 0, i ∈ S}
Decomposizione ottimale del rischio
(
O(S) =
(di , Xi )i∈S ∈ B(S) |
X
ui (Xi ) = P (S)
i∈S
)
Ottimalità secondo Pareto
PO(S) = {(di , Xi )i∈S ∈ B(S) |
6 ∃ (d0i , Xi0 )i∈S ∈ B(S), s.t. d0i − ui (Xi0 ) > di − ui (Xi ), i ∈ S}
Per gli insiemi sopra definiti valgono le seguenti proprietà:
• B(S) 6= ∅ ⇐⇒ P (S) ≤ π;
• B(S) 6= ∅ ⇒ B(T ) 6= ∅, T ⊃ S poichè P (T ) ≤ P (S) se ui (0) = 0, i ∈ N;
• O(S) = PO(S).
Per evitare situazioni banali si suppone che π > P (N), cioè che l’insieme di tutte le
compagnie possa avere un guadagno.
Tra le soluzioni Pareto ottimali relative a N si possono considerare quelle per cui la restrizione ad un sottoinsieme S ⊂ N non può essere migliorata da nessuna soluzione Pareto
ottimale in PO(S); formalmente Q(N) = {(di , Xi )i∈N ∈ PO(N) | 6 ∃ (d0i , Xi0 )i∈S ∈ PO(S)
s.t. d0i − ui (Xi0 ) > di − ui (Xi ), i ∈ S, S ⊂ N s.t. B(S) 6= ∅}. Un altro sottoinsieme inter-
ssante di PO(N) è quello delle soluzioni per cui la restrizione ad un sottoinsieme S ⊂ N
non può essere migliorata dalle compagnie in S, concludendo il contratto separatamente;
P
formalmente CO(N) = (di , Xi )i∈N ∈ PO(N) | i∈S (di − ui (Xi )) ≥ max {0, π − P (S)},
S ⊆ N}.
E’ possibile dimostrare che CO(N) = Q(N), cioè i due approcci conicidono.
La situazione precedente può essere rappresentata con un gioco TU (N, v)
(Fragnelli e Marina, 2004) dove N è l’insieme delle compagnie assicuratrici e
v è definita da v(S) = max {0, π −P (S)}, S ⊆ N. Il nucleo di questo gioco
è caratterizzato dalla seguente proprietà Core(v) 6= ∅ ⇐⇒ CO(N) 6= ∅.
Riordinando i giocatori in modo che P (N) ≤ P (N \{n}) ≤ ... ≤ P (N \{1})
si hanno i seguenti risultati:
CAPITOLO 9. ASSICURAZIONI
•
P
j∈N
P (N \ {j}) − (n − 1)P (N) ≥ P (N \ {i}), i ∈ N;
• π ≤ P (N \ {1}) ⇒ Core(v) 6= ∅;
P
• π > i∈N P (N \ {i}) − (n − 1)P (N) ⇒ Core(v) = ∅;
• Esiste b
π tale che Core(v) 6= ∅ ⇐⇒ π ≤ π
b.
72
Capitolo 10
Allocazione di costi
I primi esempi di allocazione di costi (cost allocation) risalgono agli anni ’30 col problema
della Tennessee Valley Authority (Ransmeier, 1942 - Straffin e Heaney, 1981).
Il problema nasce quando è necessario determinare una ripartizione dei costi di un
progetto tra i diversi utenti, tenendo conto del diverso ruolo e dei differenti interessi.
Esiste ovviamente il problema corrispondente di allocazione di profitti, per il quale valgono
analoghe considerazioni.
Formalmente, un problema di allocazione di costi è una coppia:
AC = (N, c)
dove N = {1, ..., n} è l’insieme degli utenti e c : 2N → R è una funzione che associa ad
ogni sottoinsieme di utenti il costo per realizzare un progetto che soddisfi le loro richieste.
Sono state sviluppate soluzioni specifiche per questo problema che si basano sui costi
separabili. In particolare, per il problema della Tennessee Valley Authority vennero proposte tre soluzioni. Il problema consisteva nella costruzione di una infrastruttura per il
controllo del flusso idrico del fiume Tennessee con tre obiettivi: produzione di energia elettrica, controllo delle inondazioni e miglioramento della navigazione. Le allocazioni x ∈ Rn
dovevano rispettare i seguenti criteri:
• stand-alone cost test: x(S) ≤ c(S), S ⊆ N
• incremental cost test: x(S) ≥ c(N) − c(N \ S), S ⊆ N
dove x(S) =
P
i∈S
xi . Il primo criterio richiede che nessun sottoinsieme di utenti debba
pagare più del costo di un progetto specifico per le loro richieste; il secondo criterio richiede
che un gruppo di utenti debba sostenere almeno il sovraccosto dovuto all’estensione del
progetto secondo le loro esigenze. Si può notare che i criteri sono equivalenti se viene
ripartito esattamente il costo c(N) del progetto.
73
CAPITOLO 10. ALLOCAZIONE DI COSTI
10.1
74
Metodi dei costi separabili
Definizione 10.1.1
• Dato un problema di allocazione di costi AC si chiama costo separabile dell’utente i
il suo contributo marginale o costo marginale:
mi = c(N) − c(N \ {i})
• Se la somma dei costi separabili degli utenti è minore del costo complessivo, si
chiama costo non separabile la differenza tra i due valori, cioè:
g(N) = c(N) −
X
mi
i∈N
I vari metodi si differenziano per come viene ripartito il costo non separabile.
10.1.1
Equa ripartizione (ECA)
Il costo non separabile viene ripartito in parti uguali tra gli utenti. In questo modo l’utente
i deve pagare il costo:
ECAi = mi +
10.1.2
1
g(N)
n
Costi di alternativa risparmiati (ACA)
Il costo non separabile viene ripartito tra gli utenti proporzionalmente al risparmio ottenuto da ciascuno per aver pagato il proprio costo separabile invece del costo che avrebbe
pagato da solo; in altre parole definendo il risparmio dell’utente i come:
ri = c(i) − mi
si ha:
ACAi = mi + P
ri
j∈N
10.1.3
rj
g(N)
Cost Gap (CGA)
Il costo non separabile viene ripartito tra gli utenti proporzionalmente al migliore (minimo) massimo contributo che ciascuno è disposto a pagare facendo parte di un sottoinsieme
di utenti, cioè definendo il relativo costo non separabile:
g(S) = c(S) −
X
i∈S
mi
CAPITOLO 10. ALLOCAZIONE DI COSTI
75
si ha che l’utente i è disposto a pagare al più tutto il minimo costo non separabile dei
sottoinsiemi di cui può far parte, per cui ponendo:
gi = min {g(S)|i ∈ S}
si ha:
CGAi = mi + P
gi
j∈N
gj
g(N)
Nella Teoria dei Giochi, esiste un concetto di soluzione equivalente al CGA,
il valore τ , introdotto da Tijs nel 1981, definito da τ = αm + (1 − α)M,
dove mi = c(N) − c(N \ {i}), ∀ i ∈ N (utopia = miglior payoff per ogni
P
singolo giocatore), Mi = min {c(S) − j∈S\{i} mj |i ∈ S, S ⊆ N}, ∀ i ∈ N
P
(peggior payoff per ogni singolo giocatore) e α è tale che i∈N τi = c(N).
Il valore τ richiede che il gioco sia quasi-bilanciato, cioè valgano le seguenti
condizioni:
1 - mi ≤ Mi , ∀ i ∈ N
P
P
2 - i∈N mi ≤ c(N) ≤ i∈N Mi
Per un gioco di profitti il vettore utopia è definito come Mi = v(N) − v(N \
P
{i}) e il peggior payoff come mi = max {v(S) − j∈S\{i} Mj |i ∈ S, S ⊆
N}, ∀ i ∈ N.
Il valore τ si basa sul principio di compromesso tra il migliore e il peggiore
tra i possibili risultati; questo fatto rafforza reciprocamente i due concetti di
soluzione.
Esempio 10.1.1 (Allocazione di costi) Sia dato il seguente problema di allocazione di
costi AC:
N = {1, 2, 3}
c(1) = 50; c(2) = 60; c(3) = 100; c(12) = 91; c(13) = 110; c(23) = 130; c(N) = 150
di cui le figure seguenti sono una rappresentazione bidimensionale e tridimensionale:
CAPITOLO 10. ALLOCAZIONE DI COSTI
76
(0, 0, 150)
J
J
J
J
J
JJ
J
J
J
J
J
J
J
J
J
x3 ≤ 100
J J
Js(20, 40, 90)J
J
J
J
J J
s
J J(20, 60, 70)J
(50, 40, 60)
J
J x3 ≥ 59
ss
s
J
(x + x2 ≤ 91)
J
(31, 60,J59)
J 1
(50, 41, 59)
J J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
(150, 0, 0)
x2 ≥ 40 x2 ≤ 60
(x1 + x3 ≤ 110)
x1 ≤ 50
x1 ≥ 20 (0, 150, 0)
(x2 + x3 ≤ 130)
x3 6
(0, 0, 100)
(0, 30, 100)
(10, 0, 100)
@
(10, 30, 100)B
@
(50, 0, 60) B
(20, 40, 90)Bs
@
@
@
@
@
@
@(0, 60, 70)
@s
(31, 60, 59) s
(50, 40, 60) s s
(20, 60, 70)
(50, 41, 59)
(0,60, 0)
x2
(31, 60, 0)
(50, 0, 0)
x1
(50, 41, 0)
Applicando le definizioni precedenti si ha:
Costi separabili
m1 = c(N) − c(N \ {1}) = 150 − 130 = 20
m2 = c(N) − c(N \ {2}) = 150 − 110 = 40
m3 = c(N) − c(N \ {3}) = 150 − 91 = 59
Costo non separabile
g(N) = c(N) −
P
i∈N
mi = 150 − (20 + 40 + 59) = 31
CAPITOLO 10. ALLOCAZIONE DI COSTI
77
Risparmi
r1 = c(1) − m1 = 50 − 20 = 30
r2 = c(2) − m2 = 60 − 40 = 20
r3 = c(3) − m3 = 100 − 59 = 41
Costi non separabili
g(1) = c(1) − m1 = 50 − 20 = 30
g(2) = c(2) − m2 = 60 − 40 = 20
g(3) = c(3) − m3 = 100 − 59 = 41
g(12) = c(12) − (m1 + m2) = 91 − (20 + 40) = 31
g(13) = c(13) − (m1 + m3) = 110 − (20 + 59) = 31
g(23) = c(23) − (m2 + m3) = 130 − (40 + 59) = 31
Minimi costi non separabili
g1 = min{g(1), g(12), g(13), g(N)} = min{30, 31, 31, 31} = 30
g2 = min{g(2), g(12), g(23), g(N)} = min{20, 31, 31, 31} = 20
g3 = min{g(3), g(13), g(23), g(N)} = min{40, 31, 31, 31} = 31
I differenti criteri forniscono:
ECA
ECA1 = m1 + n1 g(N) = 20 + 31 31 = 30.333
ECA2 = m2 + n1 g(N) = 40 + 31 31 = 50.333
ECA3 = m3 + n1 g(N) = 59 + 31 31 = 69.333
ACA
ACA1 = m1 +
ACA2 = m2 +
ACA3 = m3 +
r1
g(N)
r1 +r2 +r3
r2
g(N)
r1 +r2 +r3
r3
g(N)
r1 +r2 +r3
= 20 +
g1
g(N)
g1 +g2 +g3
g2
g(N)
g1 +g2 +g3
g3
g(N)
g1 +g2 +g3
= 30.220
= 59 +
30
31
91
20
31
91
41
31
91
= 20 +
30
31
81
= 31.481
= 40 +
20
31
81
= 47.654
= 59 +
31
31
81
= 70.864
= 40 +
= 46.813
= 72.967
CGA
CGA1 = m1 +
CGA2 = m2 +
CGA3 = m3 +
Per confronto si può calcolare il valore di Shapley.
CAPITOLO 10. ALLOCAZIONE DI COSTI
P ermutazioni
78
Contributi marginali
123
50
41
59
132
50
40
60
213
31
60
59
231
20
60
70
312
10
40
100
321
20
30
100
V alore di Shapley 30.167 45.167 74.667
Per avere un immediato raffronto dei risultati dell’esempio si può fare riferimento alla
tabella e alla figura seguenti:
Allocazioni
Criterio
x1
x2
x3
ECA
30.333 50.333 69.333
ACA
30.220 46.813 72.967
CGA
31.481 47.654 70.864
V alore di Shapley 30.167 45.167 74.667
(20, 40, 90)
(50, 40, 60) J
(50, 41, 59)
ϕs
ACA
CGA
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
s
s
J
J
sECA
J
J(20, 60, 70)
(31, 60, 59)
♦
CAPITOLO 10. ALLOCAZIONE DI COSTI
Bibliografia
Arthur B (1994) Inductive Reasoning and Bounded Rationality, American
Economic Association Papers 84 : 406-411.
Austin AK (1982) Sharing a Cake, Mathematical Gazette 66 : 212-215.
Bertrand J (1883) Théorie mathématique de la richesse sociale, Journal des
Savants 48 : 499-508.
Brams SJ, Taylor AD (1994) Fair-Division, Cambridge University Press, New
York.
Cournot A (1838) Recherchers sur le Principes Mathématique de la Théorie
des Richess, Paris.
Dubins LE, Spanier EH (1961) How to Cut a Cake Fairly, American Mathematical Monthly 84 : 1-17.
Edgeworth FY (1881) Mathematical Psychics: An Essay on the Application of
Mathematics to the Moral Sciences, C. Kegan Paul& Co, London.
Fragnelli V, Marina ME (2004) Co-Insurance Games and Environmental Pollution Risk, in Game Practice and the Environment (Carraro C, Fragnelli
V eds.), Edward Elgar, Cheltenham : 145-163.
Fragnelli V, Marina ME (2005) Subscribing an Insurance Policy Is Gambling?,
Atti del X Convegno di Teoria del Rischio (Campobasso) : 153-160.
Hotelling H (1929) Stability in Competition, The Economic Journal 39 : 41-57.
Klemperer P (2004) Auctions: Theory and Practice, Princeton University Press,
USA. (available on line at http://www.paulklemperer.org/)
Knaster B (1946) Sur le Problème du Partage Pragmatique de H Steinhaus,
Annales de la Societé Polonaise de Mathematique 19 : 228-230.
Milgrom P (1989) Auctions and Bidding: A Primer, Journal of Economic
Perspectives 3 : 3-22.
Ransmeier JS (1942) The Tennessee Valley Authority: A Case Study in the
Economics of Multiple Purpouse Stream Planning, The Vanderbilt University Press, Nashville.
Sánchez-Soriano J, Fragnelli V (2010) Two-sided Market Situations with Existing Contracts, Social Choice and Welfare 34 : 295-313.
Shubik M (1959) Strategy and Market Structure: Competition, Oligopoly, and
the Theory of Games, Wiley, New York.
79
CAPITOLO 10. ALLOCAZIONE DI COSTI
Shubik M (1971) The Dollar Auction Game: A Paradox in Noncooperative
Behavior and Escalation The Journal of Conflict Resolution 15 : 109-111.
Stackelberg von H (1934) Marktform und Gleichgewicht, Julius Springer, Wien.
Steinhaus H (1948) The Problem of Fair Division, Econometrica 16 : 101-104.
Straffin PD, Heaney JP (1981) Game Theory and the Tennessee Valley Authority, International Journal of Game Theory 10 : 35-43.
Tijs SH (1981) Bounds for the Core and the τ -Value, in Game Theory and
Mathematical Economies (Moeschlin O, Pallaschke D eds.), North Holland,
Amsterdam : 123-132.
Vickrey W (1961) Counterspeculation, Auctions, and Competitive Sealed Tenders, Journal of Finance 16 : 8-37.
80
Indice
I
Operazioni finanziarie
1
1 Operazioni finanziarie semplici
2
1.1 Modelli di capitalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.1
Problemi inversi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.2
Capitalizzazione con ulteriori elementi . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2 Modelli di sconto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.1
Problemi inversi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Attualizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Operazioni finanziarie complesse
13
2.1 Costituzione di un capitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Estinzione di un debito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II
Tra economia e giochi
23
3 Prestiti e investimenti
24
3.1 Concessione di prestiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Recessione da un investimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Duopolio
28
4.1 Il modello di Cournot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.1
Soluzione dinamica (Best-reply) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Il modello di Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Il modello di Stackelberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4 Confronto tra i modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5 Il modello di Hotelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Interazione tra agenti
38
5.1 La tragedia dei comuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
81
INDICE
82
5.2 Il problema del bar El Farol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 Fair Division
42
6.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2 Procedure per un bene divisibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3 Procedure per m beni indivisibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.4 Procedure per m beni divisibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.1
Un caso reale di divorzio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.4.2
Il caso del Canale di Panama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7 Mercati
54
7.1 Economia di puro scambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.1.1
Scatola di Edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2 Mercati bilaterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8 Aste
60
8.1 Caratteristiche delle aste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.2 Qual’è il meccanismo d’asta migliore? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.3 Strategie d’asta per gli offerenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.4 Rovina del vincitore (Winner’s curse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.5 Collusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.6 Aste multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9 Assicurazioni
68
9.1 Contratto di assicurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.2 Co-assicurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10 Allocazione di costi
73
10.1 Metodi dei costi separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10.1.1 Equa ripartizione (ECA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10.1.2 Costi di alternativa risparmiati (ACA) . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10.1.3 Cost Gap (CGA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74