Energia libera di una stringa bosonica

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea Triennale in Fisica
Tesi di Laurea
Energia libera
di una stringa bosonica
Candidato:
Relatore:
Andrea Marini
P rof. Gianluca Grignani
Anno Accademico 2005-06
Indice
Introduzione
1
1 Quantizzazione di una stringa bosonica
2
1.1
1.2
1.3
Stringa relativistica classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.1
Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.2
Espansione in modi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Quantizzazione di una stringa aperta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1
Lorentz invarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2
Spettro e stati della stringa aperta . . . . . . . . . . . . . . . 16
Quantizzazione di una stringa chiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Termodinamica di una stringa bosonica
2.1
21
Temperatura di Hagedorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Conclusioni
28
Bibliografia
30
iii
Introduzione
L’energia libera di una stringa bosonica è ormai da due decenni oggetto di grande
interesse. Ciò è dovuto al particolare comportamento che assume questa grandezza
termodinamica in determinate condizioni. É proprio tale comportamento che giustifica la scelta di sviluppare il presente lavoro intorno all’energia libera della stringa
bosonica. Vedremo infatti che per le stringhe è possibile definire una temperatura
critica, chiamata temperatura di Hagedorn, al di sopra della quale l’energia libera
diverge. Sottolineiamo per completezza che, all’interno della teoria di stringa, questa temperatura riveste un ruolo molto importante, per le possibili implicazioni di
carattere cosmologico.
Gli argomenti principali trattati nella tesi possono essere suddivisi in due parti, ad
ognuna delle quali è stato riservato un capitolo:
Capitolo 1: questa prima parte è stata dedicata all’analisi quantistica della stringa
bosonica, che di fatto costituisce il capitolo introduttivo della teoria delle stringhe.
Prendendo il più semplice caso classico come giuda, si procederà alla quantizzazione
nel gauge di cono-luce, che è il percorso più breve per giungere all’obiettivo.
Capitolo 2: questo costituisce il nucleo centrale della tesi. Utilizzando semplici
considerazioni di meccanica statistica e i risultati ottenuti nel precedente capitolo
verrà ricavata la formula dell’energia libera di stringa. Dall’analisi delle divergenze
di tale formula infine sarà possibile ottenere la temperatura di Hagedorn.
1
Capitolo 1
Quantizzazione di una stringa
bosonica
1.1
Stringa relativistica classica
Lo scopo di questo capitolo è quello di descrivere la meccanica di una stringa, cioè di
un oggetto unidimensionale, che si muove in uno spazio-tempo di dimensione D > 2.
Inizieremo da una trattazione relativistica classica.
È utile richiamare l’esempio di un oggetto 0-dimensionale, la ben nota particella
puntiforme. Per ottenere le equazioni del moto dobbiamo imporre che la variazione
prima dell’azione sia nulla. L’azione di una particella relativistica è proporzionale
alla lunghezza della world-line della particella (la traiettoria descritta dalla particella
nello spazio-tempo):
Z
S = −m
ove
Z
ds = −m
√
dτ ẋ2
(1.1)
dxµ dxν
dτ dτ
il tensore metrico dello spazio tempo D-dimensionale. Questa azione
ẋ2 ≡ gµν (x)
essendo gµν
presenta due importanti simmetrie: l’invarianza per trasformazioni di Poincaré dello
spazio-tempo; l’indipendenza dalla parametrizzazione scelta per svolgere il calcolo
dell’integrale, cioè l’azione è caratteristica della world-line e quindi non dipende
dalla particolare scelta di coordinate.
L’azione scritta in questa forma però risulta molto complicata da trattare, a causa
della presenza di derivate all’interno di una radice quadrata. Inoltre un’azione cosı̀
definita non è utilizzabile nel caso di una particella massless. Per superare queste
difficoltà si introduce una coordinata ausiliaria η(τ ), che può essere interpretata
2
come un “einbein” per la geometria unidimesionale della linea-universo:
Z
1
0
S =
dτ (η −1 x˙µ x˙µ − ηm2 )
2
(1.2)
Questa azione presenta ancora le stesse simmetrie delle precedente S. Dall’equazione
del moto per η si ottiene:
x˙µ x˙µ
(1.3)
m2
che rappresenta una condizione di mass-shell, generalizzata al caso di propagazione
η2 = −
in uno spazio curvo.
Torniamo ora al caso di nostro interesse, la stringa. Innanzitutto notiamo che per
descrivere il moto di una stringa sono necessari due parametri (τ, σ): τ è legato
alla coordinata temporale, σ descrive l’estensione spaziale della stringa. Mentre una
particella puntiforme descrive durante il suo moto una linea-universo, la regione
spazzata da una stringa è una superficie bidimensionale, la world-sheet, che verrà
descritta da una mappa X µ (τ, σ) nello spazio-tempo.
Questa osservazione ci permette di trovare una naturale estensione per l’azione al
caso di un oggetto unidimesionale, quale la stringa. Infatti per una particella puntiforme l’azione risultava essere proporzionale alla lunghezza della world-line, quindi
per una stringa essa sarà proporzionale all’area della world-sheet:
Z
p
T
SN G = −
dτ dσ −deth ab
2 Σ
(1.4)
ove hab = gµν ∂a X µ ∂b X ν è la metrica indotta sulla world-sheet Σ; T = (2πα0 )−1 è
la tensione della stringa. Questa azione, detta di Nambu-Goto, presenta le seguenti
simmetrie:
1. Invarianza per trasformazione di gruppo di Poincaré D-dimesionali:
X 0µ (τ, σ) = Λµν X ν (τ, σ) + aµ
(1.5)
ove Λµν è una trasformazione di Lorentz e aµ una traslazione.
2. Invarianza per trasformazioni di coordinate bidimensionali (invarianza per
diffeomorfismi):
X 0µ (τ 0 , σ 0 ) = X µ (τ, σ).
(1.6)
L’azione di Nambu-Goto è l’analogo di (1.1) e presenta anch’essa le difficoltà legate
alla presenza di derivate sotto radice. Sempre in analogia con il procedimento usato
nel caso della particella puntiforme introduciamo la metrica γαβ che descrive la
3
geometria intrinseca della varietà bidimensionale, con segnatura (−, +). Otteniamo
cosı̀ l’azione di Polyakov:
T
SP = −
2
Z
√
dτ dσ −γγ ab (σ)gµν ∂a X µ ∂b X ν
(1.7)
ove γ = detγab .
Per mostrare l’equivalenza tra le due azioni di stringa libera, è sufficiente sfruttare
l’equazione del moto per il tensore metrico della world-sheet:
1
hab = γab γ cd hcd .
2
(1.8)
Questa equazione costituisce una condizione di mass-shell, proprio come avveniva
per la particella puntiforme.
L’azione SP ha le seguenti simmetrie:
1. Invarianza per trasformazione di gruppo di Poincaré D-dimesionali:
X 0µ (τ, σ) = Λµν X ν (τ, σ) + aµ ,
0
γab
(τ, σ) = γab (τ, σ).
(1.9)
2. Invarianza per diffeomorfismi:
X 0µ (τ 0 , σ 0 ) = X µ (τ, σ),
∂σ 0c ∂σ 0d 0
γ (τ 0 , σ 0 )
∂σ a ∂σ b cd
= γab (τ, σ).
(1.10)
3. Invarianza di Weyl bidimensionale:
X 0µ (τ, σ) = X µ (τ, σ),
0
γab
(τ, σ) = e2ω(τ,σ) γab (τ, σ),
(1.11)
per un arbitrario ω(τ, σ).
Quest’ultima simmetria non è altro che l’invarianza per un rescaling locale della world-sheet, ed è assente nell’azione di Nambu-Goto. Si può comprendere se si
considera l’equazione del moto rispetto alla metrica (1.8), usata per mostrare l’equivalenza tra le azioni di Polyakov e di Nambu-Goto. Questa determina la metrica γab
soltanto a meno di un rescaling locale, cosı̀ metriche equivalenti per trasformazioni
di Weyl locali, corrispondono alle stesse coordinate immerse nello spazio-tempo. La
Weyl-invarianza è fondamentale nella teoria di stringa in quanto ci consente, tramite
4
la scelta di un gauge opportuno di eliminare il tensore metrico γab .
La variazione dell’azione rispetto alla metrica definisce il tensore energia-momento:
T ab = −4π √
1 δSP
1
1
= − 0 (∂ a X µ ∂ b Xµ − γ ab ∂c X µ ∂ c Xµ ).
−γ δγab
α
2
(1.12)
Come conseguenza dell’invarianza per diffeomorfismi, si ha la seguente legge di
conservazione:
∇a T ab = 0;
(1.13)
mentre l’invarianza per trasformazioni di Weyl implica l’annullamento della traccia
del tensore energia-momento:
γab
1.1.1
δSP
= 0 =⇒ T aa = 0.
δγab
(1.14)
Equazioni del moto
Abbiamo già ricavato l’equazione del moto per il tensore metrico (1.8) ottenuta
variando γab nell’azione di Polyakov. Questa può essere riscritta più brevemente in
termini del tensore energia-momento:
Tab = 0.
(1.15)
Analogamente le equazioni per il campo X µ si otterranno richiedendo l’invarianza
dell’azione per la variazione
X µ → X µ + δX µ .
(1.16)
La variazione dell’azione (1.7) sotto (1.16) presenta un termine di volume e un
termine di superficie:
Z
Z
©
ª
1
1
1/2 ab
µ
µ
µ
δSP = −
dτ dσ∂a (−γ) γ ∂b X δX −
dτ (−γ)1/2 ∂ σ X µ |σ=π
σ=0 δX .
2πα0
2πα0
(1.17)
Le equazioni del moto si ricavano annullando il termine di volume:
©
ª
∂a (−γ)1/2 γ ab ∂b X µ = (−γ)1/2 ∇2 X µ = 0.
(1.18)
Ponendo uguale a zero il termine di superficie otteniamo invece le condizioni al
contorno:
∂ σ X µ (τ, 0) = ∂ σ X µ (τ, π) = 0.
(1.19)
Riconosciamo in queste equazioni le condizioni al contorno di Neumann: quindi
questo sarà il caso delle stringhe aperte i cui estremi si muovono liberamente nello
5
spazio-tempo. Per le stringhe aperte il secondo integrale in (1.17) è nullo anche se
imponiamo le condizioni al contorno di Dirichlet
∂X µ
(τ, 0)
∂τ
=
∂X µ
(τ, π)
∂τ
µ
= 0, che
sono ovviamente possibili solo per le componenti spaziali di X . In generale per
ogni componente spaziale di X µ e per ogni estremo della stringa si può imporre
indipendentemente una condizione al contorno di Dirichlet o di Neumann. Le condizioni al contorno di Dirichlet compaiono quando gli estremi della stringa aperta
sono attaccati ad un oggetto fisico, chiamato D-brana. Cosı̀ ad esempio se tutte le
componenti spaziali delle estremità della stringa sono fisse le D-brane sono oggetti
0-dimensionali. Quando invece per ogni X µ valgono condizioni al contorno di Neumann, ovvero quando gli estremi sono liberi, avremo una D-brana che riempie tutto
lo spazio. Nella nostra trattazione ci limiteremo a considerare solo quest’ultimo caso.
Il termine di superficie di (1.17) si annulla anche se imponiamo:
X µ (τ, 0) = X µ (τ, π),
∂ σ X µ (τ, 0) = ∂ σ X µ (τ, π),
γab (τ, 0) = γab (τ, π),
(1.20)
cioè se i campi sono periodici. Questo è quindi il caso delle stringhe chiuse, topologicamente equivalenti a dei cerchi. Il tensore metrico della world-sheet ha tre componenti indipendenti, essendo una matrice bidimensionale simmetrica. Le tre simmetrie di gauge locali (due riparametrizzazioni e uno scaling di Weyl) ci permettono di
fissare queste componenti in maniera conveniente:
Ã
!
−1 0
γab = ηab =
,
0 1
ovvero γab risulta la metrica di uno spazio di Minkowski bidimensionale. Con questo
gauge l’azione Sp si semplifica:
T
SP = −
2
Z
dτ dσ∂α X µ ∂β X ν .
(1.21)
Le equazioni del moto (1.18) diventano semplici equazioni d’onda in due dimensioni:
µ 2
¶
∂
∂2
− 2 X µ (τ, σ) = 0.
(1.22)
2
∂σ
∂τ
La soluzione generale può essere scritta come la somma di due funzioni arbitrarie:
X µ (τ, σ) = XRµ (σ − ) + XLµ (σ + )
6
(1.23)
ove, per convenienza, abbiamo introdotto le coordinate light-cone della superficie
universo:
σ − = τ − σ,
σ + = τ + σ.
(1.24)
XRµ descrive i modi right-moving della stringa, mentre XRµ quelli left-moving.
Nelle nuove coordinate light-cone (σ + , σ − ) il quadrato dell’ elemento infinitesimo di
distanza nella world-sheet risulta:
ds2 = −dτ 2 + dσ 2 = −dσ + dσ − ,
(1.25)
e la metrica diventa quindi:
η+− = η−+ = − 21 , η++ = η−− = 0,
η +− = η −+ = −2, η ++ = η −− = 0,
(1.26)
∂τ = ∂+ + ∂− , ∂σ = ∂+ − ∂− .
(1.27)
inoltre
L’equazione d’onda (1.22) deve essere accompagnata dalle equazioni di vincolo (1.15),
che diventano:
T+− = T−+ = 0,
T++ = 12 (Tτ τ + Tτ σ ) =
1
∂ X µ ∂+ Xµ
α0 +
≡
1
Ẋ 2
α0 L
= 0,
T−− = 12 (Tτ τ − Tτ σ ) =
1
∂ X µ ∂− X µ
α0 −
≡
1
Ẋ 2
α0 R
= 0.
(1.28)
In due dimensioni, a causa delle equazioni T+− = T−+ = 0, la legge di conservazione
del tensore energia-momento ∇a T ab = 0 si riduce a
∂− T++ = 0 e ∂+ T−− = 0.
(1.29)
Questo è un risultato molto importante perché ci garantisce l’esistenza di un set
infinito di quantità conservate, infatti:
¢
¡
∂− f (σ + )T++ = 0
e
¢
¡
∂+ g(σ − )T−− = 0,
(1.30)
ove f (σ + ) è un’arbitraria funzione della sola σ + e g(σ − ) della sola σ − , in modo che
∂− f (σ + ) = 0 = ∂+ g(σ − ).
Nella teoria delle stringhe queste quantità conservate corrispondono a simmetrie
residue che rimangono dopo la scelta di gauge covariante γab = ηab . Notiamo infatti
7
che ogni combinazione di una riparametrizzazione e di uno scaling di Weyl per la
quale
∂ a ξ b + ∂ b ξ a = Λη ab
(1.31)
preserva la scelta di gauge. Espresso in termini delle combinazioni ξ ± = (ξ 0 ± ξ 1 ) ciò
significa che ξ + può essere un’arbitraria funzione di σ + e ξ − un’arbitraria funzione
di σ − . Questa simmetria residua verrà sfruttata per introdurre il light-cone gauge,
quando si procederà alla quantizzazione della teoria.
1.1.2
Espansione in modi
Cerchiamo ora le soluzioni delle equazioni del moto (1.22) che soddisfano le opportune condizioni al contorno (1.19) o (1.20) rispettivamente per le stringhe aperte e
le stringhe chiuse. Otteniamo quindi:
X µ (τ, σ) = xµ + 2α0 pµ τ + i(2α0 )1/2
X1
αnµ e−inτ cos nσ,
n
n6=0
(1.32)
per le stringhe aperte e
¶1/2 X
α0
1 µ −2inσ−
α e
,
2
n n
n6=0
µ 0 ¶1/2 X
α
1 µ −2inσ+
1 µ
µ
+
0 µ +
XL (σ ) = x + α p σ + i
α̃n e
,
2
2
n
n6=0
XRµ (σ − )
1
= xµ + α 0 p µ σ − + i
2
µ
(1.33)
per le stringhe chiuse. Affinché la soluzione sia reale è necessario imporre che:
µ
α̃−n
= (α̃nµ )∗ .
µ
α−n
= (αnµ )∗ ,
(1.34)
Le costanti xµ e pµ sono la posizione e il momento del centro di massa della stringa
rispettivamente. Convenzionalmente si identifica pµ con il modo zero dell’espansione:
α0µ = (2α0 )1/2 pµ
(stringhe aperte)
¢
¡
0 1/2
α0µ = α̃0µ = α2
pµ
(stringhe chiuse).
(1.35)
(1.36)
Notiamo che per le stringhe aperte le componenti left-moving e right-moving si
combinano in un’onda stazionaria a causa delle condizioni al contorno di Neumann
(1.19). Per le stringhe chiuse invece i modi sono quelli di una coppia di oscillatori
che viaggiano indipendentemente, muovendosi a destra e a sinistra lungo la stringa.
Si possono calcolare anche le espansioni in modi di ∂− XRµ e ∂+ XLµ :
∂− XRµ = ẊRµ = (2α0 )1/2
n=∞
X
n=−∞
8
αnµ e−2in(τ −σ)
∂+ XLµ
=
ẊLµ
0 1/2
= (2α )
n=∞
X
α̃nµ e−2in(τ +σ)
(1.37)
n=−∞
Il momento coniugato di X µ è:
δL
1 ˙µ
=
X ,
µ
δ(∂τ X )
2πα0
(1.38)
1
(∂σ X µ ∂σ Xµ − ∂τ X µ ∂τ Xµ ) .
4πα0
(1.39)
Pτµ =
ove L è la densità di lagrangiana
L=
Possiamo quindi scrivere le parentesi di Poisson a tempi uguali:
[Pτµ (τ, σ), X ν (τ, σ 0 )]P.B. = δ(σ − σ 0 )η µν ,
[X µ (τ, σ), X ν (τ, σ 0 )]P.B. = [Pτµ (τ, σ), Pτν (τ, σ 0 )]P.B. = 0,
(1.40)
che ci permettono di scrivere le seguenti relazioni di commutazione
µ
µ
[αm
, αnν ]P.B. = [α̃m
, α̃nν ]P.B. = imδm+n η µν ,
µ
[αm
, α̃nν ]P.B. = 0,
(1.41)
µ
dalle quali vediamo che i modi αm
soddisfano un’algebra di oscillatore armonico. Si
può quindi ricavare l’Hamiltoniana:
∞
1X
α−n · αn
H=
2 −∞
(stringhe aperte)
(1.42)
∞
H=
1X
(α−n · αn + α̃−n · α̃n )
2 −∞
(stringhe chiuse).
(1.43)
Sfruttando (1.37) possiamo calcolare anche i modi di Virasoro, ovvero l’espansione
in modi delle componenti di Fourier del tensore energia-momento (valutate a τ = 0):
1
Lm =
2π
1
L̃m =
2π
Z
π
e
−2imσ
0
Z
π
e
0
−2imσ
1
T−− dσ =
2πα0
1
T++ dσ =
2πα0
Z
∞
π
e
−2imσ
0
Z
π
0
ẊR2 dσ
1X
=
αm−n · αn
2 −∞
(1.44)
∞
e−2imσ ẊL2 dσ =
1X
α̃m−n · α̃n .
2 −∞
(1.45)
Da (1.41) si ottengono le parentesi di Poisson tra i modi di Virasoro
[Lm , Ln ]P.B. = i(m − n)Lm+n ,
[L̃m , L̃n ]P.B. = i(m − n)L̃m+n ,
[Lm , L̃n ]P.B. = 0,
9
(1.46)
dalle quali vediamo che Lm e L̃m soddisfano l’algebra di Virasoro.
Notiamo che
H = L0 per le stringhe aperte,
H = L0 + L̃0 per le stringhe chiuse.
(1.47)
Le equazioni di vincolo (1.28) ci costringono ad imporre Lm = 0 e L̃m = 0 per ogni
m. In particolare sviluppando L0 nel caso di stringa aperta e sfruttando la relazione
pµ pµ = −M 2 otteniamo:
∞
1X
1
α−n · αn
L0 = α02 + 2 ×
2
2 n=1
∞
X
0 µ
= α p pµ +
= −α0 M 2 +
α−n · αn
n=1
∞
X
α−n · αn .
(1.48)
n=1
La richiesta L0 = 0 si traduce in un’equazione che determina M 2 in termini dei modi
di oscillazione:
∞
1 X
M = 0
α−n · αn
α n=1
2
(stringhe aperte).
Utilizzando lo stesso procedimento per le stringhe chiuse si ottiene:
∞
1 X
M2 = 0
(α−n · αn + α̃−n · α̃n )
(stringhe chiuse).
α n=1
(1.49)
(1.50)
Le relazioni (1.49) e (1.50) forniscono la condizione di mass-shell, rispettivamente per
le stringhe aperte e le stringhe chiuse. Nella teoria quantistica in queste equazioni
comparirà una costante aggiuntiva, a causa della richiesta di normal-ordering degli
operatori.
Per le stringhe chiuse L0 +L̃0 , essendo l’Hamiltoniana, genera le traslazioni temporali
sulla world-sheet, mentre le traslazioni in σ sono generate da L0 − L̃0 , che deve
annullarsi a causa delle equazioni di vincolo. Questo comporta l’invarianza per le
traslazioni in σ, che fisicamente corrisponde alla completa arbitrarietà nella scelta
del punto di una stringa chiusa a cui assegnare σ = 0.
Inoltre sottolineiamo che L0 = L̃0 implica che i due termini in (1.43) e (1.50) diano
un contributo uguale. Questo si tradurrà a livello quantistico nella condizione di
level-matching
N = Ñ ,
essendo N l’operatore numero, definito da
∞
X
N=
α−n · αn .
n=1
10
(1.51)
(1.52)
1.2
Quantizzazione di una stringa aperta
Esistono diversi metodi per quantizzare una stringa bosonica. In questa sezione
verrà presentata la quantizzazione nel light-cone gauge.
Nella trattazione quantistica che seguiremo imporremo ancora il gauge γab = ηab ,
che nella precedente analisi classica ci aveva permesso di ridurre le equazioni del
moto a semplici equazioni d’onda (1.22), le quali insieme alle condizioni di vincolo
(Ẋ ± X 0 )2 = 0,
(1.53)
corrispondenti a T++ = T−− = 0, e alle opportune condizioni al contorno fornivano
una descrizione completa della dinamica. Un metodo standard per passare dalla
fisica classica alla fisica quantistica è quello di rimpiazzare le parentesi di Poisson
con le parentesi di commutazione, tramite la sostituzione:
[. . .]P.B. → −i[. . .].
(1.54)
In meccanica quantistica ogni variablie classica viene trasformata in un operatore, quindi le relazioni (1.40) vengono sostituite dalle relazioni di commutazione
canoniche a τ uguale:
[Pτµ (τ, σ), X ν (τ, σ 0 )] = −iδ(σ − σ 0 )η µν
[X µ (τ, σ), X ν (τ, σ 0 )] = [Pτµ (τ, σ), Pτν (τ, σ 0 )] = 0.
(1.55)
µ
µ
Analogamente otteniamo le relazioni di commutazione tra gli operatori αm
e α̃m
µ
[αm
, αnν ] = mδm+n η µν ,
µ
[αm
, α̃nν ] = 0,
(1.56)
µ
[α̃m
, α̃nν ] = mδm+n η µν ,
che soddisfano ancora, come nel caso classico, un’algebra di oscillatore armonico.
µ
µ
I vari αm
e α̃m
possono quindi essere interpretati come operatori di creazione e
distruzione, rispettivamente per m negativo o positivo. Il ground state dell’oscillatore
µ
con m > 0. Specificando che
|0i è definito in modo da essere annullato da ogni αm
gli oscillatori sono nel loro ground state non si determina completamente lo stato di
una stringa, in quanto c’è un ulteriore grado di libertà dato dal momento del centro
µ
(con m > 0) il cui momento del centro di
di massa pµ . Lo stato annullato da αm
massa è pµ verrà indicato con |0; pµ i.
Convenzionalmente si introducono gli operatori di oscillatore armonico normalizzati:
√
µ
= m aµm , m > 0
αm
√
µ
α−m
= m aµ†
(1.57)
m , m > 0.
11
Abbiamo visto in (1.31) che c’è ancora una simmetria di gauge residua, la quale verrà
sfruttata per imporre un ulteriore gauge, che pur non essendo covariante risulterà
conveniente. Iniziamo introducendo le coordinate light-cone nello spazio-tempo:
1
X + = √ (X 0 + X 1 ),
2
1
X − = √ (X 0 − X 1 ).
2
(1.58)
Queste sembrano piuttosto simili alle coordinate light-cone σ ± , ma in realtà c’è
un grande differenza. Nello spazio-tempo abbiamo D coordinate e in (1.58) ne
compaiono solo due, X 0 e X 1 , per cui risulta evidente che la covarianza viene persa.
Nella world-sheet invece, essendoci solo due coordinate, non c’è alcuna arbitrarità
nella definizione di σ ± .
In un sistema di coordinate (X + , X − , X i ), con i = 2, . . . , D−1, le uniche componenti
del tensore metrico diverse da zero sono:
η+− = η−+ = −1,
ηii = 1.
(1.59)
In queste coordinate le componenti di un vettore v µ diventano
1
v ± = √ (v 0 ± v 1 )
2
(1.60)
e v i , i = 2, . . . , D − 1. Il prodotto scalare tra due vettori è:
v · w = −v + w− − v − w+ + v i wi ;
(1.61)
inoltre valgono le seguenti relazioni:
v + = −v− ,
v − = −v+ ,
v i = vi .
(1.62)
L’ulteriore invarianza di gauge che deve essere sfruttata corrisponde alla possibilità
di un’arbitraria riparametrizzazione in termini di σ ± :
σ + → σ̃ + (σ + ),
σ − → σ̃ − (σ − ).
(1.63)
Questa riparametrizzazione trasforma τ = 12 (σ + + σ − ) e σ = 12 (σ + − σ − ) in:
τ̃ = 12 [σ̃ + (τ + σ) + σ̃ − (τ − σ)]
σ̃ = 12 [σ̃ + (τ + σ) − σ̃ − (τ − σ)] .
(1.64)
Dalla prima equazione in (1.64) risulta evidente che τ̃ è un’arbitraria soluzione
dell’equazione d’onda:
µ
∂2
∂2
−
∂σ 2 ∂τ 2
12
¶
τ̃ = 0.
(1.65)
Notiamo che una volta scelto τ̃ anche σ̃ risulta completamente determinato. L’equazione d’onda (1.65) è la stessa equazione che devono soddisfare le coordinate X µ nel
gauge conforme. Quindi l’ulteriore grado di libertà corrisponde al fatto che possiamo
fare una riparametrizzazione in cui τ̃ risulta uguale ad una delle coordinate X µ . Nel
light-cone gauge in particolare si sceglie τ̃ =
1
X+
b α0 p+
+ c, con b e c costanti. Con
questa scelta in pratica vengono posti uguali a zero tutti i modi αn+ con n 6= 0 nello
sviluppo di X + :
X + = x+ + b α0 p+ τ.
(1.66)
Le equazioni di vincolo (1.53) diventano:
Ẋ − ± X 0− =
1
(Ẋ i ± X 0i )2 .
2 b α0 p+
(1.67)
Scegliamo b = 2 per le stringhe aperte e b = 1 per le stringhe chiuse.
Focalizziamo ora la nostra attenzione al solo caso delle stringhe aperte. Le equazioni
(1.67) ci permettono di ottenere X − in termini di X i più una costante di integrazione.
Questo significa che nell’espansione in modi di X − ,
X1
X − (τ, σ) = x− + 2α0 p− τ + i(2α0 )1/2
αn− e−inτ cos nσ,
n
n6=0
gli operatori αn− possono essere scritti in termini di αni :
√
1
2α0 αn− = + Ln ,
p
(1.68)
(1.69)
ove Ln sono gli operatori di Virasoro, definiti da
∞
1 X i
Ln ≡
α
αi .
2 m=−∞ n−m m
(1.70)
L’indice i ripetuto è sommato sulle componenti trasversali (i = 2, . . . , D − 1). Notiamo che questa definizione di Ln può risultare ambigua: i modi αni sono infatti
degli operatori che seguono le regole di commutazione riassunte in (1.56). È opportuno chiedersi se l’ordine con cui compaiono gli operatori in (1.70) è quello corretto.
Poiché due operatori αn non commutano solo quando la somma dei loro mode numbers è nulla L0 è l’unico operatore ambiguo.
Possiamo riscrivere L0 come:
∞
1
1 X i
i
=
L0 =
α−m αm
2 m=−∞
2
Ã
α0i α0i +
∞
X
m=1
i
i
+
αm
α−m
∞
X
!
i
i
.
α−m
αm
(1.71)
m=1
La prima somma nel membro destro ha un ordinamento “normale”: gli operatori
di distruzione compaiono alla destra di quelli di creazione. È necessario fare in
13
modo che anche gli operatori all’interno della seconda sommatoria siano ordinati
normalmente:
∞
∞
¢
1X i i
1 X¡ i
i
i
i
αm α−m =
α−m αm
+ [αm
, α−m
]
2 m=0
2 m=1
∞
¢
1 X¡ i
i
=
α−m αm
+ mη ii
2 m=1
=
(1.72)
∞
∞
X
1
1X i
i
+ (D − 2)
α−m αm
m.
2 m=1
2
m=1
L’ultimo termine nella relazione precedente è chiaramente divergente. Cambiamo
quindi la definizione dell’operatore L0 in modo che sia ordinato normalmente ma
senza l’aggiunta della costante infinita:
∞
∞
X
1 i i X i
i
0 i i
i
mai†
L0 = α0 α0 +
α−m αm = α p p +
m am .
2
m=1
m=1
Con questa nuova definizione ovviamente cambia anche la relazione (1.69):
√
1
2α0 p− = 2α0 α0− = + (L0 + a),
p
ove a è la costante di ordering, che secondo (1.72) dovrebbe essere
∞
X
1
a = (D − 2)
m.
2
m=1
(1.73)
(1.74)
(1.75)
L’aggiunta di questa costante modifica anche il quadrato dell’operatore massa, infatti:
1
M 2 = −p2 = 2p+ p− − pi pi = 0 (L0 + a) − pi pi
α !
Ã
∞
X
1
i
=
a+
α−n
αni .
α0
n=1
(1.76)
Per regolarizzare la somma divergente in (1.75) sfruttiamo la funzione Zeta di
Riemann ζ(s), definita come
ζ(s) =
∞
X
1
.
s
n
s=1
(1.77)
La funzione ζ(s) converge solo per <(s) > 1, essa però ammette un’unica continuazione analitica in tutto il piano complesso, nella quale ζ(s) risulta finita per ogni
valore di s eccetto per s = 1. In particolare ζ(−1) = −1/12. Sostituendo questo
P
valore a ∞
m=1 m in (1.75), otteniamo per a :
1
(1.78)
a = − (D − 2).
24
Sebbene le argomentazioni usate siano di tipo euristico, questo risultato è corretto,
come avremo modo di dimostrare successivamente in maniera più rigorosa.
14
1.2.1
Lorentz invarianza
Come abbiamo già evidenziato il gauge di cono-luce non è Lorentz invariante. Imporre la covarianza è un passaggio fondamentale nella teoria quantistica di stringa
che ci permetterà di ricavare la dimensione dello spazio-tempo D e la costante di
normal ordering a. Per fare questo bisogna costruire i generatori di Lorentz M µν i
quali dovranno soddisfare la seguente algebra di Lie
[M µν , M ρσ ] = iη µρ M νσ − iη νρ M µσ + iη µσ M ρν − iη νσ M ρµ ,
(1.79)
chiamata algebra di Lorentz.
Iniziamo scrivendo i generatori di Lorentz “classici” in termini dei modi di oscillazione:
M
µν
∞
X
1 µ ν
ν
αnµ ).
=x p −x p −i
(α−n αn − α−n
n
n=1
µ ν
ν µ
(1.80)
Nel light-cone gauge il più “delicato” tra i generatori di Lorentz quantistici è M −i , in
quanto X − è una funzione non banale delle coordinate trasversali. Ci aspettiamo che
un M −i consistente generi trasformazioni di Lorentz accompagnate da riparametrizzazioni della world-sheet, in modo da preservare le condizioni di gauge. Inoltre come
conseguenza di (1.79) M −i deve soddisfare la relazione di commutazione
[M −i , M −j ] = 0.
(1.81)
Una scelta soddisfacente per il generatore quantistico M −i richiede che questo sia
un operatore Hermitiano ed ordinato normalmente. Quindi, partendo da (1.80)
definiamo:
M
−i
∞
X
1 i −
1 − i
− i
i
= x p − (x p + p x ) − i
(α−n αn − α−n
αn− ).
2
n
n=1
− i
(1.82)
Utilizzando (1.74) e scrivendo gli operatori αn− in termini degli operatori di Virasoro
ordinati normalmente otteniamo:
1
(xi (L0 + a) + (L0 + a)xi )
4α0 p+
∞
X
i
1
i
− √
(L−n αni − α−n
Ln ).
2α0 p+ n=1 n
M −i = x− pi −
(1.83)
Possiamo quindi procedere al calcolo di [M −i , M −j ]:
∞
1 X i j
j
αni )
(α α − α−n
α0 p+2 n=1 −n n
½ ·
¸
¸¾
·
1
1 1
×
n 1 − (D − 2) +
(D − 2) + a .
24
n 24
[M −i , M −j ] =
15
(1.84)
Questo commutatore risulta uguale a zero se e solo se i coefficienti all’interno della
parentesi graffe si annullano per ogni n intero positivo:
·
¸
·
¸
1
1 1
n 1 − (D − 2) +
(D − 2) + a ,
24
n 24
∀ n ∈ Z+ .
(1.85)
È sufficiente esaminare questa condizione per concludere che l’unico modo per soddisfarla è richiedere:
1−
1
(D − 2) = 0
24
e
1
(D − 2) + a = 0.
24
(1.86)
La prima equazione fissa la dimensione dello spazio-tempo:
D = 26,
(1.87)
mentre la seconda fissa la costante a:
a=−
1
(D − 2) = −1.
24
(1.88)
Questa espressione per a coincide con quella ottenuta in (1.78) ordinando L0 ed
interpretando la somma divergente tramite la funzione zeta.
Possiamo ora ricavare anche l’Hamiltoniana. Sappiamo che p− genera traslazioni in
X + e che l’Hamiltoniana dovrà generare traslazioni in τ , dunque sfruttando la scelta
di gauge di cono-luce X + = x+ + 2α0 p+ τ e (1.74) otteniamo:
H = 2α0 p+ p− = L0 − 1.
1.2.2
(1.89)
Spettro e stati della stringa aperta
La stringa aperta classica non fornisce una ragionevole teoria fisica in quanto le masse
degli stati di stringa variano in un range continuo di valori. Inoltre solo il ground
state è a massa nulla e non possiede alcun indice di polarizzazione. Come risultato
non c’è nessuno stato della stringa aperta classica che può essere identificato con il
fotone. Entrambi questi problemi vengono risolti nella teoria quantistica di stringa.
Lo spettro continuo scompare dopo la quantizzazione e l’abbassamento della massa
al quadrato dovuto alla costante di ordinamento fa in modo che gli stati massless
abbiano indici di polarizzazione.
Uno stato generico può essere costruito facendo agire gli operatori di creazione sullo
stato fondamentale |0; pµ i
#
λin
i
)
(α
−n
|0; pµ i.
|λ; pµ i =
λ
1/2
in
(n λin !)
i=2 n=1
" 25 ∞
YY
16
(1.90)
Lo spazio di Hilbert a cui appartengono gli stati di stringa è uno spazio vettoriale
con dimensione infinita, generato da una base formata da infiniti stati linearmente
indipendenti |λ; pµ i.
Per comprendere il significato fisico degli stati |λ; pµ i consideriamo l’operatore massa
al quadrato (1.76), che avendo fissato a = −1 diventa:
1
(−1 + N ),
α0
M2 =
(1.91)
essendo N l’operatore numero:
N=
∞
X
i
α−n
αni .
(1.92)
n=1
Il generico stato di base |λ; pµ i è autostato dell’operatore numero con autovalore
pari alla somma dei mode numbers n degli operatori di creazione che compaiono
nello stato.
N |λ; pµ i = Nλ |λ; pµ i,
Nλ =
25 X
∞
X
nλin .
(1.93)
i=1 n=1
Sfruttando questo risultato e (1.91) otteniamo lo spettro di M 2 :
M 2 |λ; pµ i = Mλ2 |λ; pµ i,
Mλ2 =
1
(−1 + Nλ ).
α0
(1.94)
Lo stato fondamentale |0; pµ i è l’unico per cui Nλ = 0, quindi la sua massa al
quadrato è negativa M02 = 1/α0 < 0. Questo stato è chiamato tachione. Nella teoria
di campo l’energia potenziale è 12 M 2 φ2 , dunque una massa al quadrato negativa
indica che la posizione di equilibrio φ = 0 è instabile.
Gli stati eccitati con M 2 minore sono quelli corrispondenti a Nλ = 1. La massa
al quadrato risulterà in questo caso nulla. Questi stati si ottengono facendo agire
uno qualsiasi degli operatori di creazione sullo stato fondamentale. Avremo quindi
D − 2 = 24 stati privi di massa:
i
α−1
|0; pµ i
i
M 2 α−1
|0; pµ i = 0.
(1.95)
Un generico stato a massa nulla si ottiene come combinazione di questi stati:
25
X
i
ξi α−1
|0; pµ i.
(1.96)
i=2
Questa è espressione è praticamente la stessa che si ricava per gli stati del fotone
dall’analisi della teoria di Maxwell nelle coordinate di cono-luce. La teoria quantistica di stringa aperta contiene quindi gli stati del fotone.
17
1.3
Quantizzazione di una stringa chiusa
Analizziamo ora la teoria quantistica di stringa chiusa nel gauge di cono-luce. Il
procedimento che seguiremo è analogo a quello impostato per la teoria di stringa
aperta.
Partiamo riscrivendo (1.67) nel caso di stringa chiusa, cioè ponendo b = 1:
Ẋ − ± X 0− =
1
(Ẋ i ± X 0i )2 .
0
+
2α p
(1.97)
Come per le stringhe aperte questa relazione può essere sfruttata per esprimere
X − = XR− + XL− in termini delle coordinate trasversali. Infatti:
−
Ẋ + X
0−
=
√
2α0
∞
X
α̃n− e−in(τ +σ) ,
−
Ẋ − X
0−
=
√
n=−∞
(Ẋ i +X 0i )2 = 4α0
∞
X
∞
X
2α0
αn− e−in(τ −σ)
n=−∞
L̃n e−in(τ +σ) ,
(Ẋ i −X 0i )2 = 4α0
n=−∞
∞
X
(1.98)
Ln e−in(τ −σ) , (1.99)
n=−∞
ove Ln e L̃n sono gli operatori di Virasoro:
L̃n ≡
∞
1 X i
α̃
α̃i ,
2 m=−∞ n−m m
Ln ≡
∞
1 X i
α
αi ,
2 m=−∞ n−m m
(1.100)
i quali soddisfano entrambi l’algebra di Virasoro (1.46).
Sostituendo (1.98) e (1.99) in (1.97), troviamo le epressioni per gli oscillatori αn− e
α̃n− :
√
√
2
2
L̃
,
2α0 αn− = + Ln .
(1.101)
n
+
p
p
Anche per le stringhe chiuse gli operatori di Virasoro risultano tutti ben definiti,
2α0 α̃n− =
tranne quelli di ordine zero. Per risolvere le ambiguità di ordinamento negli operatori
L0 e L̃0 ne modifichiamo la definizione, in modo che risultino ordinati normalmente
ma senza l’aggiunta di alcuna costante addizionale:
α0 i i
L̃0 = p p Ñ ,
4
α0 i i
L0 = p p N,
4
(1.102)
Ñ e N sono gli operatori numero definiti cosı̀:
Ñ ≡
∞
X
i
α̃−n
α̃ni ,
N≡
n=1
∞
X
i
α−n
αni .
(1.103)
n=1
La nuova definizione degli operatori L0 e L̃0 , rende necessaria l’aggiunta di due
costanti ã e a nelle relazioni (1.101) di ordine zero:
√
2α0 α̃0− =
√
2
(L̃0 + ã),
p+
18
2α0 α0− =
2
(L0 + a).
p+
(1.104)
Il procedimento che ci porta alla determinazione della dimensione dello spazio-tempo
D e delle costanti di ordinamento ã e a è lo stesso seguito per la stringa aperta, ovvero
la richiesta che la teoria sia Lorentz invariante. Anche questa volta si ottengono gli
stessi risultati:
D = 26,
a = ã = −1.
(1.105)
Non è una coincidenza che la dimensione critica per le stringhe chiuse sia uguale
a quella per le stringhe aperte. Questo significa che i due tipi di stringa possono
coesistere. Sarebbe risultato piuttosto strano ottenere differenti dimensioni critiche,
dato che, in generale, le estremità di una stringa aperta possono unirsi per formare
una stringa chiusa.
Anche il valore delle costanti di ordering non ci stupisce, dal momento che le parti
left-moving e right-moving della stringa chiusa si comportano come stringhe aperte.
Inoltre tale risultato si poteva prevedere utilizzando ancora le argomentazioni euristiche basate sulla funzione zeta.
Noti i valori di ã e a, possiamo riscrivere (1.104):
√
2α0 α̃0− =
√
2
(L̃0 − 1),
p+
2α0 α0− =
2
(L0 − 1).
p+
(1.106)
Da (1.36) sappiamo che deve essere rispettata la relazione α0− = α̃0− , la quale impone
il vincolo
L0 = L̃0 ,
(1.107)
che, come è gia stato anticipato, riflette l’impossibilità, nel caso di stringhe chiuse, di
fissare completamente la parametrizzazione. Risulta evidente per le relazioni (1.103)
che da questa uguaglianza deriva la condizione
N = Ñ ,
(1.108)
detta di level-matching, la quale esprime l’eguaglianza tra il numero di oscillatori
eccitati right-moving e left-moving. Mediando le due espressioni per α0− in (1.106),
ricaviamo:
√
2α0 α0− ≡
1
(L0 + L̃0 − 2) = α0 p− .
p+
(1.109)
Conoscendo p− possiamo calcolare la massa al quadrato:
M 2 = −p2 = 2p+ p− − pi pi =
da cui sfruttando (1.106):
M2 =
2
(L0 + L̃0 − 2) − pi pi ,
0
α
2
(N + Ñ − 2).
α0
19
(1.110)
(1.111)
L’Hamiltoniana risulta pari alla somma di una Hamiltoniana di stringa aperta L0 −1
per gli operatori right-moving e di una Hamiltoniana di stringa aperta L̃0 − 1 per
gli operatori left-moving:
H = α0 p+ p− = L0 + L̃0 − 2.
(1.112)
Per generare gli stati di stringa chiusa bisogna far agire gli operatori di creazione αni
e α̃ni sullo stato fondamentale |0, 0; pµ i:
" 25 ∞
#
λin
i
λ̃in
i
Y Y (α−n
)
)
(α̃
−n
|λ, λ̃; pµ i =
|0, 0; pµ i.
λ
λ̃
1/2
in
in
(n λin ! n λ̃in !)
i=2 n=1
(1.113)
Gli stati |λ, λ̃; pµ i sono autostati degli operatori numero con autovalori
Nλ =
25 X
∞
X
nλin
Ñλ̃ =
i=1 n=1
25 X
∞
X
nλ̃in .
(1.114)
i=1 n=1
Per la condizione di level-matching (1.108) un vettore di base |λ, λ̃; pµ i appartiene
allo spazio degli stati se e solo se Nλ = Ñλ̃ .
Le masse degli stati possono essere ricavate da (1.111):
M 2 |λ; pµ i = Mλ2λ̃ |λ, λ̃; pµ i,
Mλ2λ̃ =
2
(Nλ + Ñλ̃ − 2).
α0
(1.115)
Il ground state corrisponde a stati per i quali Nλ = Ñλ̃ = 0. La massa al quadrato
di questi stati è pari a −4/α0 < 0, e quindi sono tachioni. I successivi stati eccitati
devono essere costruiti con due operatori di creazione applicati allo stato fondamentale, uno left-moving e uno right-moving, in modo che sia verificata la condizione
Nλ = Ñλ̃ . Gli stati che si ottengono in questo modo sono identificati con gli stati
del gravitone.
20
Capitolo 2
Termodinamica di una stringa
bosonica
Prima di iniziare la nostra discussione sulla termodinamica della stringa è opportuno
richiamare alcuni dei principi alla base della meccanica statistica.
Consideriamo un sistema fisico per il quale conosciamo gli stati {α} accessibili e le
energie ad essi associate Eα . La probabilità che il sistema, all’equilibrio statistico,
sia nello stato i-esimo con energia Ei è uguale a
Pi =
e−βEi
,
Z
β=
1
,
kB T
(2.1)
ove kB è la costante di Boltzman, T la temperatura e Z la funzione di partizione:
Z=
X
e−βEα .
(2.2)
α
La funzione di partizione è molto utile in quanto ci permette di calcolare molte
quantità termodinamiche, tra cui l’energia libera di Helmholtz F :.
F =−
1
ln Z.
β
(2.3)
Il nostro obiettivo sarà proprio quello di determinare l’energia libera di una stringa
bosonica. Per fare ciò ricaveremo innanzitutto l’energia libera per una particella
relativistica, utilizzando la relazione (2.3).
Supponiamo di avere un insieme di stati di energia ε(~p) e che np~ indichi il numero
di occupazione dei vari stati. L’energia risultante per una determinata distribuzione
{np~ } è pari a:
E=
X
ε(~p)np~ .
p
~
21
(2.4)
La funzione di partizione si ottiene facendo la somma di e−βE per ogni possibile
distribuzione di {np~ }, ovvero sommando su tutti gli np~ da zero a infinito:
Z =
X
e−β
P
p
~
ε(~
p)np~
=
=
p
~
e−βε(~p)np~
~
{np~ } p
{np~ }
YX
XY
e−βε(~p)np~ .
(2.5)
np~
Notiamo che quest’ultima somma è una semplice serie geometrica di ragione e−βε(~p) ,
e può quindi essere calcolata esplicitamente:
Z=
Y
p
~
1
.
1 − e−βε(~p)
(2.6)
La relazione (2.3) ci permette di ricavare l’energia libera:
F =−
1
1X
ln Z =
ln(1 − e−βε(~p) ).
β
β
(2.7)
p
~
L’insieme dei momenti p~ è stato, come è evidente, considerato discreto. Per capirne
la motivazione limitiamoci all’esempio di particelle libere. Poiché ogni esperienza in
fisica viene fatta in uno spazio finito, consideriamo che il nostro sistema sia confinato
all’interno di una scatola di lato L. Dobbiamo dunque richiedere che la funzione
d’onda si annulli ai bordi della scatola. Nel caso di particella libera la funzione
d’onda è un’onda piana ψ ∼ ei~p·~r/~ , quindi le condizioni al contorno richiedono che
p~ sia discreto: pi = 2πni /(~L) con i = 1, . . . , D − 1. A questo punto, mandando L
a infinito la separazione tra pi contigui tende a zero, quindi possiamo sostituire in
R dD−1 p~
P
(2.7) la somma con un integrale in questo modo ~k → (2π)
D−1 V , ottenendo:
Z
dD−1 p~
ln(1 − e−βε(~p) ).
(2.8)
(2π)D−1
p
L’energia di ogni stato ε(~p) è data da ε(~p) = p~ 2 + M 2 , essendo M la massa.
F
1
=
V
β
Sfruttiamo ora l’identità
δ(p0 − ε(~p)) = 2p0 θ(p0 )δ(p2 − M 2 )
√ +
=
2(p + p− )θ(p+ + p− )δ(2p+ p− − p~⊥2 − M 2 )
(2.9)
per scrivere l’integrale in (2.8) in termini dei momenti di cono-luce
Z
F
1
dp+ dp− dD−2 p~⊥ +
√
(p + p− )θ(p+ + p− )δ(2p+ p− − p~⊥2 − M 2 )
=
D−2
V
β
( 2π2π)
³
´
− √β (p+ +p− )
· ln 1 − e 2
.
(2.10)
22
Integriamo in p− servendoci della simmetria nello scambio tra p+ e p− per uguagliare
i due termini che si ottengono da (2.10):
F
1
=
V
β
Z
∞
0
dp+
√
2π
Z
Ã
µ 2
¶!
p
~⊥ +M 2
+
− √β
+p
dD−2 p~⊥
+
ln 1 − e 2 2p
.
(2π)D−2
Il logaritmo all’interno dell’integrale può essere espanso in serie di Taylor:
µ
¶
Z ∞ +
´Z
³ 2
∞
nβ~
p2
D−2
X
M
√ ⊥
+
−
d
p
~
F
1
dp − √nβ2 2p
+
⊥
+ +p
√ e
=−
e 2 2p .
D−2
V
nβ 0
(2π)
2π
n=1
(2.11)
(2.12)
L’integrale nei momenti trasversali p~⊥ è un semplice integrale Gaussiano e può
dunque essere calcolato esplicitamente:
µ
¶D/2
·
µ
¶¸
∞ Z ∞
X
F
dp+
p+
nβ M 2
+
√
+p
=−
exp − √
+
+
V
p
2p
2πnβ
2
0
n=1
É utile a questo punto fare un cambiamento di variabili da p+ a s, ove s =
L’energia libera per unità di volume risulta quindi uguale a:
·
¸
∞ Z ∞
X
ds
F
M 2 s n2 β 2
−D/2
=−
(2πs)
exp −
−
V
s
2
2s
n=1 0
(2.13)
√nβ .
2p+
(2.14)
Per ottenere l’energia libera di una stringa bisogna sostituire ad M 2 le formule (1.91)
e (1.111) ricavate nel precedente capitolo. Cominciamo dalla stringa aperta:
M2 =
1
(−1 + N ).
α0
(2.15)
Essendo N un operatore, in pratica bisogna calcolare la traccia di e−N :
à ∞
!24
Y
¡ −N ¢
†
Tr e
= Tr
e−mam am
Ã
=
∞
Y
∞
X
m=1
!24
−m N
e
=
m=1 N =0
∞ µ
Y
m=1
1
1 − e−m
¶24
.
(2.16)
La formula (2.14) diventa:
· 2 2¸
Z ∞
∞
∞ ³
h s iY
h ms i´−24 X
ds
nβ
F
−13
=−
(2πs) exp
exp −
1 − exp − 0
0
V
s
2α m=1
2α
2s
0
n=1
(2.17)
Operando infine il cambiamento di variabili s = 4πα0 τ , l’energia libera di una stringa
aperta risulta:
F
−13
= − (2πα0 )
V
Z
∞
0
½ µ
·
¸¶
¾
dτ
β2
−13 −24
(πτ ) η (iτ ) θ3 0, exp −
−1 ,
2τ
8πα0 τ
23
(2.18)
ove si è fatto uso della funzione η di Dedekind
·
¸ ∞
πiτ Y
η(τ ) = exp
(1 − exp[2πimτ ]),
12 m=1
(2.19)
e della funzione θ3 di Jacobi
θ3 (x, y) =
∞
X
2
y n exp [2πinx].
(2.20)
n=−∞
Per la stringa chiusa la massa al quadrato è invece data da:
M2 =
2
(N + Ñ − 2).
α0
(2.21)
In questo caso, come visto nel precedente capitolo, è necessario imporre anche la
condizione di level-matching N − Ñ = 0, che riscriviamo nella forma
Z 1/2
h
i
dτ1 exp 2πiτ1 (N − Ñ ) = 1,
(2.22)
−1/2
per inserirla nell’espressione (2.14), che diventa:
"
"
#Z
#
Z ∞
h
i
1/2
F
ds
(N − Ñ )s
−13
= −
(2πs) Tr exp −
dτ1 exp 2πiτ1 (N − Ñ )
V
s
α0
0
−1/2
· 2 2¸
∞
X
nβ
·
exp −
.
(2.23)
2s
n=1
Cambiando variabile τ2 = (2πα0 )−1 s e introducendo il parametro di Teichmuller,
τ = τ1 + iτ2 , otteniamo:
·
¸
Z ∞
∞
X
F
dτ2
n2 β 2
0 −13
−13
†
= − (2πα )
(2πτ2 ) exp [4πτ2 ]Tr(Z Z̃ )
exp −
,
0τ
V
τ2
4πα
2
0
n=1
(2.24)
ove Z = exp[2πiN τ ] e Z̃ = exp[2πiÑ τ ].
La formula finale è data da:
¸¶
¾
½ µ
·
Z ∞
Z
1
dτ2 1/2
F
β2
−48
=−
dτ1 |η(τ )|
−1 .
θ3 0, exp −
V
2(4π 2 α0 )13 0 τ214 −1/2
4πα0 τ2
(2.25)
2.1
Temperatura di Hagedorn
Analizziamo ora le espressioni ricavate per l’energia libera, partendo da quella
relativa alla stringa aperta (2.18):
½ µ
·
¸¶
¾
Z ∞
dτ
β2
F
−13 −24
0 −13
= − (2πα )
(πτ ) η (iτ ) θ3 0, exp −
−1 .
V
2τ
8πα0 τ
0
24
(2.26)
Notiamo che nel limite τ → ∞ l’integrando va come τ −14 exp[2πτ ], quindi l’energia
libera diverge. Questa è nota come divergenza infrarossa ed è dovuta al termine
exp[2πτ ], che compare a causa dello shift di −1/α nello spettro della massa (2.15).
Per questo tale divergenza è strettamante legata alla presenza del tachione nello
spettro.
Nel limite ultravioletto, τ → 0, il comportamento dell’energia libera è ancora più
interessante. In questo limite le funzioni η di Dedekind e θ3 di Jacobi si comportano
come:
·
η
−24
(iτ ) ∼ τ
12
¸
2π
exp
,
τ
µ
·
¸¶
· 2 ¸
β2
β
θ3 0, exp −
−
1
∼
2
exp
, (2.27)
8πα0 τ
8πα0 τ
e l’integrando tende quindi all’espressione:
·
¸
2π
β2
−2
τ exp
−
.
τ
8πα0 τ
(2.28)
Come immediata conseguenza otteniamo che c’è una convergenza ultravioletta solo
se:
√
β > βH = 4π α0
=⇒
T < TH =
1
√
4πkB α0
(2.29)
Nella teoria di stringa bosonica TH è chiamata temperatura di Hagedorn (o temperatura critica).
Nel caso di stringa chiusa si segue lo stesso procedimento e, come vedremo, si
ottengono gli stessi risultati. Riscriviamo la formula dell’energia libera (2.25):
F
1
=−
V
2(4π 2 α0 )13
Z
∞
0
dτ2
τ214
Z
½
1/2
dτ1 |η(τ )|
−1/2
−48
µ
θ3
·
¸¶
¾
β2
0, exp −
−1 .
4πα0 τ2
(2.30)
Nel limite τ2 → ∞ l’integrando si comporta come τ −27/2 exp[4πτ2 ], quindi troviamo
anche qui la divergenza infrarossa dovuta alla presenza del tachione. Nel limite
ultravioletto (τ2 → 0) il comportamento dell’integrando è
·
¸
4πτ2
β2
24
−14
τ2 |τ | exp
−
.
|τ |2
4πα0 τ2
(2.31)
Questa espressione è massima quando la parte reale di τ è uguale a zero (τ1 = 0
quindi τ = iτ2 ). Vediamo immmediatamente che la temperatura critica è, anche in
√ ¢−1
¡
questo caso, TH = 4πkB α0
e coincide dunque con quella per le stringhe aperte.
Per completezza e per cercare di dare un’interpretazione più chiara alla temperatura di Hagedorn, analizziamo brevemente il comportamento della temperatura di
25
una stringa ad alte energie.
Sia Ω(E) il numero di stati ad energia E, l’entropia S è data dalla famosa formula
di Boltzmann:
S(E) = kB ln Ω(E).
(2.32)
La temperatura del sistema è definita in termini della derivata dell’entropia rispetto
all’energia:
1 ∂S
.
(2.33)
kB ∂E
Iniziamo, come al solito, concentrandoci sul caso della stringa aperta. La degeneβ=
razione nell’energia Ω(E) è pari al numero di stati corrispondenti allo stesso N ,
pb (N ), dato dalla seguente formula (della quale omettiemo la dimostrazione):
h √ i
1
pb (N ) ' √ N −27/4 exp 4π N .
2
(2.34)
Se consideriamo stringhe prive di momento spaziale allora l’energia risulta uguale
alla massa a riposo. La massa nell’approssimazione per grandi N è data da:
M2 =
1
N
(−1 + N ) ' 0 .
0
α
α
(2.35)
Di conseguenza l’energia E = M è legata all’operatore numero dalla relazione:
√
N'
√
α0 E.
(2.36)
Sostituendo (2.36) in (2.34) otteniamo Ω(E):
h √
i
1 √ 0 −27/2
0
Ω(E) = √ ( α E)
exp 4π α E .
2
(2.37)
Ricordando che S(E) = kB ln Ω(E), dalla formula (2.33) possiamo ricavare β:
β=
√
1 ∂Ω(E)
27 1
=−
+ 4π α0
Ω(E) ∂E
2 E
(2.38)
Nel limite per alte energie β tende ad una costante
√
lim β = 4π α0 = βH ,
E→∞
(2.39)
che corrisponde proprio alla temperatura di Hagedorn definita precedentemente.
Per le stringhe chiuse ripetiamo lo stesso procedimento. In questo caso la massa
risulta:
M2 =
4
2
(N + Ñ − 2) ' 0 N,
0
α
α
26
(2.40)
Limitandoci sempre al caso di stringhe con momento spaziale nullo, possiamo facilmente ricavare la relazione tra l’energia e l’operatore numero
√
√
2 N ' α0 E.
(2.41)
Questa volta Ω(E) è uguale al prodotto tra il numero di stati disponibili per il
settore left-moving e quello right-moving, cioè a (pb (N ))2 :
1
Ω(E) =
2
Ã√
α0 E
2
!−27
h √
i
exp 4π α0 E
(2.42)
Possiamo infine calcolarci β, che risulta uguale a
β=
√
1 ∂Ω(E)
27
= − + 4π α0
Ω(E) ∂E
E
(2.43)
Quindi nel limite per grandi energie β tende, anche per le stringhe chiuse, a βH .
27
Conclusioni
Tra i risultati ottenuti nel primo capitolo il più importante è sicuramente lo spettro
in massa della stringa
1
(N − 1)
(stringhe aperte),
α0
2
(N + Ñ − 2)
(stringhe chiuse),
=
α0
M2 =
M2
in quanto è quello che ci permette di affrontare l’argomento centrale della tesi,
il calcolo dell’energia libera della stringa bosonica. Il procedimento seguito per
raggiungere tale scopo si basa su considerazioni di meccanica statistica del tutto
generali, usate per trovare la formula dell’energia libera di una particella relativistica
in uno spazio-tempo D-dimensionale (2.14). In questa espressione abbiamo poi
sostituito i valori della massa della stringa sopra riportati. Questo è il passaggio
fondamentale, l’unico in cui emerge che l’oggetto della nostra speculazione sono le
stringhe. Quindi di fatto lo spettro della stringa costituisce l’unica informazione di
cui abbiamo bisogno per ottenere l’energia libera di stringa (con l’aggiunta della sola
condizione di level-matching per le stringhe chiuse).
Abbiamo poi riscontrato che, sia nel caso di stringa aperta che di stringa chiusa,
l’energia libera presenta una divergenza per temperature superiori alla temperatura
di Hagedorn
1
√
4πkB α0
Non è semplice dare un’interpretazione certa alla temperatura di Hagedorn. Si
TH =
tratta, infatti, di un problema tuttora aperto. In pratica sono due le possibili ipotesi:
da una parte può essere interpretata come la massima temperatura possibile per
qualsiasi sistema di stringa nell’Universo. Altrimenti si può pensare che questa sia
la temperatura critica alla quale avviene una transizione di fase. Solo se l’energia
libera risulta finita alla temperatura di Hagedorn è possibile una transizione di
fase. Se, al contrario, a questa temperatura l’energia libera diverge il significato da
attribuire a TH è effettivamente quello di temperatura limite. Una discussione di
28
questo tipo comunque esula dagli obiettivi di questa tesi.
Quanto ricavato in questo lavoro ci permette solo di concludere che, ad alte energie,
la temperatura di una stringa bosonica diventa una costante, pari alla temperatura
critica di Hagedorn. Questa è la stessa temperatura al di sopra della quale l’energia
libera della stringa diverge. La causa di questo comportamento è in ultima analisi
riconducibile alla crescita esponenziale della densità degli stati in funzione della
massa.
29
Bibliografia
[1] Joseph Polchinski. String theory, volume 1. Polchinski, first edition, 1998.
[2] Michael B. Green, John H. Schwarz, and Edward Witten. Superstring theory,
volume 1. Cambridge University Press, second edition, 1987.
[3] Barton Zwiebach. A First Course in String Theory. Cambridge University Press,
first edition, 2004.
[4] G. Grignani and G. W. Semenoff. “Thermodynamics Partition Function of
Matrix Superstrings”. Nucl. Phys., B 561: 243, (1999); hep-th/9903246.
[5] S. D. Odintsov. “String Theory at Nonzero Temperature and Two-dimensional
Gravity”. Riv. Nuovo Cim., 15N2: 1–64, (1992).
[6] E. Alvarez and M. A. R. Osorio. “Superstring at Finite Temperature”. Phys.
Rev., D 36: 1175, (1987).
[7] J. J. Atick and E. Witten. “The Hagedorn Transition and the Number of Degrees
of Freedom of String Theory”. Nucl. Phys., B 310: 291–334, (1988).
[8] K. H. O’Brien and C. Tan. “Modular Invariance of the Thermo–partition Functionand Global Phase Structure of the Heterotic String”. Phys. Rev., D 36:
1184, (1987).
30