PROBABILITÀ
Probabilità e Statistica per le Scienze e l’Ingegneria, 3/ed, P. Erto - Copyright © 2008, The McGraw-Hill Companies srl
Probabilità
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EVENTI. STATO DI CONOSCENZA. PROBABILITÀ
Molto spesso ci troviamo di fronte a fenomeni regolati da leggi non note, o
non completamente note. In questo ambito ci capita di dovere esaminare
delle asserzioni logiche (che chiamiamo eventi) che, in tutta coscienza, non
possiamo definire né vere né false, ma solo possibili.
Dire che un’asserzione (evento) è possibile, costituisce un’esplicita
ammissione di essere in uno stato di incertezza che è indubbiamente utile
per non commettere errori, più di quanto non lo sia un’affermazione di
certezza che invece mascheri una sostanziale mancanza di informazioni.
Solo i fatti successivi possono affermare o smentire un evento formulato in
precedenza. I fatti rappresentano le circostanze che permettono di verificare
gli eventi e, a differenza di questi ultimi, non ammettono le proprie
negazioni.
Consideriamo un ben definito fenomeno, quale l’età di una autovettura.
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“L'età di questa autovettura è superiore ai 200 anni” costituisce
un'affermazione (evento) che è manifestamente falsa.
“Quest'autovettura ha un'età superiore ai 200000 km (a giudicarla
dall'esterno)” costituisce solo un evento possibile, che si rivelerà vero o
falso soltanto dopo aver controllato il suo contachilometri.
L'età è per noi un numero aleatorio ossia sconosciuto, sebbene già fissato.
In generale, gli eventi sono espressi mediante asserzioni che riguardano
un ente (ad es. un numero, un parametro, una funzione) aleatorio, cioè
qualcosa non conosciuto ma ben determinato (ovvero individuato senza
possibilità di fraintendimenti).
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Ad un evento noi associamo una certa probabilità, la quale esprime il
grado di fiducia che noi attribuiamo al suo verificarsi (ossia al fatto che
esso sia vero).
L'insieme di tutte le alternative possibili (ossia di tutti gli eventi elementari
possibili in rapporto ad un ben definito fenomeno ed in rapporto ad un
preciso stato di conoscenza o ipotesi H) costituisce il nostro spazio di
riferimento o spazio campione S.
Lo spazio campione S rappresenta un evento certamente vero, nel senso che
l'asserzione che “esprime” tale insieme risulterà certamente vera, in quanto
almeno uno degli eventi elementari in esso compresi certamente si
verificherà.
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EVENTI. STATO DI CONOSCENZA. PROBABILITÀ
Lo spazio campione S costituisce il nostro spazio di riferimento: ogni
nostra valutazione di probabilità risulta condizionata dalla iniziale
individuazione dello spazio campione S.
E
S
Pr { E} = p ⇔ Pr { E} = 1 − p ;
E è la negazione di E.
Se E1, E2,...,En costituiscono una partizione dell'evento certo (o spazio
campione) S, le rispettive probabilità p1,…, pi, ..., pn devono essere tali che:
n
∑ pi = 1
i =1
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Operazioni con gli eventi
L’unione (o somma logica) di due eventi A e B è un evento, indicato con
A ∪ B , che si verifica quando almeno uno dei due eventi risulta vero.
L’intersezione (o prodotto logico o concomitanza) di due eventi A e B è un
evento, indicato con A ∩ B oppure con AB , che si verifica quando entrambi
gli eventi risultano veri.
Gli eventi A e B sono detti incompatibili (o disgiunti o alternativi) se è
impossibile che risultino veri entrambi, ossia quando A ∩ B = ∅ .
Il complementare (o negazione) di un evento E è un evento, indicato con
E , che si verifica quando e solo quando E risulta falso.
L’unione di eventi numerabili e tra loro incompatibili E1 , E2 ,…, En
costituisce una partizione di S se necessariamente ne risulta vero uno per
volta.
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Per costruire lo spazio campione S (ossia l'evento certo) applichiamo la
Tecnica del Prodotto Logico di tutti gli eventi considerati, in unione ai loro
rispettivi eventi complementari.
Fissati gli eventi A, B, C ed i loro rispettivi complementari
prodotto logico il seguente:
A, B, C ,
è detto
(A∪ A)(B ∪B)(C ∪C) =
= ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC
Gli eventi che compongono le unioni sono detti costituenti di S
(relativamente agli eventi A, B, C)
La definizione può essere generalizzata al caso di n eventi ottenendo un
numero totale di costituenti pari a 2n .
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ESEMPIO Consideriamo un aereo in fase di decollo, dopo il rilascio dei
freni e sino alla fine della pista. Siamo interessati ai seguenti eventi:
A) l'aereo decolla;
B) l'aereo abortisce il decollo;
C) l'aereo si disintegra.
S = (A ∪ A) × (B ∪ B ) × (C ∪ C ) =
= ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC
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Regole di coerenza:
I regola:
La probabilità Pr{E⏐H} di un evento E è il livello di fiducia che
attribuiamo al verificarsi di E condizionatamente al nostro stato di
conoscenza H.
H costituisce il riferimento delle nostre valutazioni, e se cambia (o evolve)
dobbiamo tassativamente rivedere dette valutazioni.
II regola:
Attribuiamo al verificarsi dello spazio campione S l'intera nostra fiducia,
viceversa, per un evento certamente falso la fiducia è nulla:
Pr {S } = 1;
Pr {∅} = 0
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III regola:
La probabilità di un qualsiasi evento E appartenente ad S risulta essere
sempre positiva ed al più pari ad 1 (essendo pari a una frazione di Pr {S }).
0 ≤ Pr { E} ≤ 1
IV regola:
La probabilità dell'unione di due o più eventi mutuamente incompatibili (il
verificarsi dell'uno esclude quello dei rimanenti) è pari alla somma delle
probabilità attribuite ai singoli eventi:
A
S
B
A ∩ B = ∅, Pr { A ∪ B} = Pr { A} + Pr { B}
continua...
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