1. analisi dinamica di un sistema di trasmissione in corrente

1. ANALISI DINAMICA DI UN SISTEMA DI TRASMISSIONE IN
CORRENTE CONTINUA
Lo schema tipico di un collegamento in corrente continua è rappresentato in Figura 1.1. Esso si
compone, per ciascun lato, che può in generale funzionare sia da raddrizzatore che da inverter, da:
•
un sistema di filtri AC atti a ridurre la distorsione della corrente scambiata dai convertitori
•
un trasformatore a rapporto variabile
•
un ponte a tiristori, solitamente a reazione dodecafase (impiegando un trasformatore con due
secondari)
•
un’induttanza di spianamento lato DC necessaria a limitare le ondulazioni della corrente
continua
•
un sistema di filtraggio lato DC
•
una linea di collegamento in corrente continua realizzata secondo soluzioni differenti (linea
aerea unipolare con ritorno a terra, cavo unipolare con ritorno a mare, linea aerea bipolare,
cavo bipolare, ecc, oltre a differenti combinazioni di esse)
LS
LS
Inverter
Raddrizzato re
Filtro
DC
Sistema
AC
Filtro AC
Linea
DC
Sistema
Filtro
DC
AC
Filtro AC
Figura 1.1 Schema generale di un sistema di collegamento in corrente continua
1.1. Modello del sistema
Per frequenze tipiche della risposta dei sistemi di controllo (fino ad alcune decine di Hz) Il sistema nel
suo complesso può essere schematizzato secondo lo schema di Figura 1.2 e Figura 1.3 (a seconda che
l’inverter funzioni ad α costante o a γ costante, come chiarito più oltre) in cui le resistenze Rr ed Ri
rappresentano l’equivalente, ai fini della valutazione del valor medio della tensione lato continua, delle
cadute di tensione dovute alla commutazione rispettivamente del raddrizzatore e dell’inverter.
Il valore di tale resistenza è pari a 3Xcr/π per il raddrizzatore e 3Xci/π per l’inverter con Xcr e Xci le
reattanze di commutazione pari alle reattanze equivalenti viste dai morsetti AC di ciascun convertitore.
Rr
Rl+sL l
2
sLs
Vor cosα
I dr
Vdr
Rl+sL l
2
1
Ri
sLs
I di
sC l
Voi cosα i
Vdi
Figura 1.2 Circuito elettrico equivalente di un collegamento HVDC con inverter funzionante ad α costante
Rr
Rl+sL l
2
sLs
Vor cosα
Vdr
I dr
Rl+sL l
2
1
sLs
I di
sC l
-R i
Voi cosγ
Vdi
Figura 1.3 Circuito elettrico equivalente di un collegamento HVDC con inverter funzionante a γ costante
La caratteristica esterna lato DC di un convertitore a commutazione forzata funzionante con un
definito angolo di accensione α è riportata in Figura 1.4 per differenti valori di α. È noto che, al
variare della corrente lato continua Id, l’angolo di commutazione u, definito ancora in Figura 1.4,
aumenta, facendo diminuire il valor medio della tensione lato continua. Il legame tra l’abbassamento
di tensione e la corrente è lineare ed è schematizzabile, ai soli fini del calcolo della variazione di
tensione e non per valutazioni energetiche, con una resistenza equivalente avente il valore sopra citato.
Al variare dell’angolo di accensione α, le caratteristiche traslano rimanendo parallele tra loro.
V
d
-V
i
Vo cosα 1
Funzionam. da
raddrizzatore
α
Vo cosα 2
Vo cosα 3
α
Funzionam.
da invertitore
u γ
β
β=π−α
γ=π−(α+u)
Vo cosα 4
-Vo cosγ 2
-Vo cosγ 1
α crescenti
I
d
γ crescenti
Figura 1.4 Caratteristiche esterne del convertitore a commutazione naturale
Il funzionamento a γ costante è il risultato dell’azione del preposto controllore il quale, variando
l’angolo αi di accensione delle valvole dell’inverter assicura il mantenimento dell’angolo minimo per
lo spengimento delle valvole stesse. Dato infatti che, all’aumentare della corrente, l’angolo u aumenta,
per garantire il mantenimento dell’angolo γ minimo è necessario ridurre l’angolo di accensione α. Il
superamento del limite di γ non garantirebbe lo spengimento della valvola e pertanto non
assicurerebbe la corretta commutazione. L’anello di controllo relativo ha pertanto una azione
estremamente più rapida degli altri sistemi di controllo. A seconda della sua implementazione, la
risposta si esaurisce nell’ambito del singolo sotto periodo tra una commutazione e la successiva.
Ai fini della caratteristica esterna, il funzionamento a γ costante corrisponde ad un aumento della
tensione Vd lato continua all’aumentare della corrente (ovvero ad una riduzione della tensione Vi=-Vd
assunta solitamente come riferimento per il convertitore in funzionamento da inverter), e corrisponde
ad una caratteristica con pendenza opposta a quella del funzionamento ad α costante. Il legame tra la
variazione di tensione e la corrente è pertanto schematizzabile con una resistenza negativa.
1.2. Anelli di regolazione
La caratteristica statica di ciascun convertitore (che può funzionare sia da raddrizzatore che da
inverter) è schematizzabile con tre possibili condizioni di funzionamento identificate nella Figura 1.5
con le rispettive caratteristiche statiche:
•
funzionamento ad α costante e pari al valore minimo αmin,
•
funzionamento a γ costante e pari al valore minimo γmin,
•
funzionamento a corrente costante Id, agendo sull’angolo α.
Vd
Vo cosα min
-Vi
αmincostante
Ι d costante
I
d
γmincostante
-Vo cosγ min
Figura 1.5 Caratteristice del convertitore con controllo di corrente e limiti di α e γ
Sono inoltre solitamente presenti altre condizioni di funzionamento corrispondenti a funzionamento a
tensione costante, ad angolo di accensione a massimo, in controllo di corrente con limite dipendente
dalla tensione sul collegamento (VDCOL Voltage Dependent Current Order Limiter) ecc. Il punto di
lavoro usuale dell’insieme del raddrizzatore e dell’inverter presenti su un collegamento (avendo
compreso nelle resistenze equivalenti dei convertitori anche la resistenza della linea in corrente
continua) è individuato nella Figura 1.6, in cui sono riportate le caratteristiche dei due convertitori che
differiscono tra loro per il diverso riferimento del controllo di corrente e per le diverse reattanze di
commutazione viste dai due convertitori. In condizioni normali (tensioni nominali sulle reti AC e
variatori sotto carico dei trasformatori appostati opportunamente) il raddrizzatore funziona in controllo
di corrente e l’inverter in controllo di γ (cfr. Figura 1.3).
Vd
Punto di lavoro
αmincostante
γmincostante
(Ι d -∆I) costante
Ι d costante
I
d
Raddrizzatore
Inverter
Figura 1.6 Funzionamento del sistema di trasmissione in condizioni normali di funzionamento
Data la rapidità del controllo stesso dell’angolo γ, rispetto alle costanti di tempo del controllo di
corrente e della risposta dinamica del collegamento stesso, il generatore di tensione Voicosγ indicato in
Figura 1.3 è schematizzabile come generatore ideale.
1.3. Modello dinamico del collegamento
Ai fini della valutazione della stabilità del sistema è opportuna una modellazione alle variazioni
intorno ad un punto di lavoro. In tali condizioni, in cui si suppone che l’inverter funzioni a γ costante
(per effetto del controllo di γ) o ad αi costante, le variazioni della forza elettromotrice Voicosαi o
Voicosγ (a seconda del caso) sono nulle. Pertanto il modello equivalente è quello indicato in Figura 1.7
avendo ovviamente raccolto tutti gli elementi resistivi ed induttivi nei parametri R1, R2, L1 ed L2.
Ovviamente, nel caso di funzionamento dell’inverter a γ costante la quota Ri compresa in R2 sarà
negativa, mentre sarà positiva nel caso di funzionamento ad αi costante (ovvero R2=Rl/2-Ri nel
funzionamento a γ costante e R2=Rl/2+Ri nel funzionamento ad αi costante). Inoltre supponendo, nei
tempi interessati dalla dinamica del controllo di corrente, che le tensioni lato AC siano costanti, le
variazioni di Vorcosα dipendono solo dalle variazioni di α, ovvero ∆(Vorcosα)=Vor∆(cosα).
A
R1
∆I d
∆(Vor cosα)
sL2
sL1
R2
1
sC
B
Figura 1.7 Modello equivalente alle variazioni del collegamento
L’ammettenza equivalente vista dai morsetti A e B vale:
Y (s ) =
1
⋅
R1 + R 2
1+
⎛
2ζ z
1
s + 2 s2
ωnz
ωnz
(1 + sT )⎜⎜1 +
⎝
⎞
2ζ p
1
s + 2 s2 ⎟
ωnp
ωnp ⎟⎠
in cui i parametri sono definiti dalle relazioni:
1
⎧
⎪ωnz = CL
⎪
2
⎨
⎪ζ z = 1 R 2 C
⎪⎩
2
L2
e
⎧
2ζ p L1 + L 2 CR 1 R 2
=
+
⎪T +
ωnp R 1 + R 2 R 1 + R 2
⎪
⎪ 2ζ p
C(R 1L 2 + R 2 L1 )
1
T+ 2 =
⎨
R1 + R 2
ωnp
⎪ ωnp
⎪ T
CL1L 2
⎪ 2 = R +R
1
2
⎩ ωnp
Con i parametri tipici dei sistemi di collegamento in corrente continua e supponendo che L1=L2=L i
due sistemi di equazioni si semplificano riducendosi a:
⎧
1
⎪ωnz =
CL
⎪
⎪ζ = 1 R C
⎪ z 2 2 L
⎪
⎨T = 2 L
⎪
R1 + R 2
⎪ω = ω
2 nz
⎪ np
⎪
1
C
(R 1 + R 2 )
⎪ζ p =
4 2 L
⎩
In termini di variazioni quindi lo schema a blocchi del sistema con controllo di corrente operato dal
raddrizzatore è riportato in Figura 1.8. Esso è linearizzato intorno al punto di funzionamento e tiene
conto del fatto che normalmente il controllore C(s) ha come uscita l’angolo di accensione espresso in
gradi sessagesimali e che i corrispondenti parametri dei guadagni proporzionale e integrale del
controllore sono espressi in termini di °/p.u e °/p.u./sec rispettivamente.
∆I ref
1
In
C(s)
∆α
π
180
∆cosα
-sinα o
Vor
Vor∆cosα
Y(s)
∆I
Figura 1.8 Schema a blocchi del sistema di trasmissione in controllo di corrente in termini di variazioni e
linearizzato intorno ad αo.
Normalizzando rispetto ai valori nominali di tensione e corrente del collegamento e supponendo
Vor=1p.u., l’espressione dell’ammettenza diviene:
y(s ) =
1
⋅
r1 + r2
1+
⎛
2ζ z
1
s + 2 s2
ωnz
ωnz
(1 + sT )⎜⎜1 +
⎝
⎞
2ζ p
1
s + 2 s2 ⎟
ωnp
ωnp ⎟⎠
= y o ⋅ y1 (s ) ,
con y o =
1
,
r1 + r2
ed il diagramma a blocchi espresso in p.u. con angolo α misurato in gradi sessagesimali assume la
forma riportata in Figura 1.9.
∆i ref
C(s)
α
π
y sinα oo
180 o
y1(s)
∆i
Figura 1.9 Schema a blocchi in valori in per unità del collegamento
La funzione di trasferimento y1(s) presenta due zeri complessi coniugati z1 e z2, due poli complessi
coniugati p1 e p2 ed un polo reale p3 in -1/T. Nel funzionamento dell’inverter a γ costante solitamente
R2<0 in quanto la resistenza equivalente della commutazione dell’inverter Ri ha valore maggiore della
Rl/2 di metà del collegamento. Pertanto i due zeri sono a parte reale positiva risultando ζz<0. Il segno
di ζp invece dipende dalla somma R1+R2 che diviene negativa al diminuire della potenza di corto
circuito della rete AC lato inverter ovvero quando Ri>Rr+Rl. Il polo reale in -1/T cambia anch’esso
segno diventando positivo quando R1+R2 diviene negativo, così come il valore statico yo di y(s).
Sul piano di Gauss i poli e gli zeri della funzione y(s) occupano le aree indicate in Figura 1.10.
Im
p
1
z1
p
3
Re
z2
p
2
Figura 1.10 Localizzazione dei poli e degli zeri della funzione y(s)
1.4. Stabilità del sistema
Considerando che sia il polo reale che i due poli complessi coniugati assumono parte reale negativa in
relazione al segno di R1+R2, il sistema a ciclo aperto, privo di regolazione della corrente, ovvero con
raddrizzatore funzionante ad angolo di accensione α costante, è asintoticamente stabile solo se
R1+R2>0 ovvero se la potenza di corto circuito della rete ricevente (lato inverter) è sufficientemente
elevata da portare ad avere Ri<Rr+Rl.
Nel caso in cui entrambi i convertitori funzionino invece ad α costante il sistema risulta sempre stabile
essendo R2=Rl/2+Ri>0.
Introducendo sul raddrizzatore il controllo della corrente mediante un controllore proporzionale
integrale con guadagno proporzionale Kp e guadagno integrale Ki,
C(s ) = K p +
⎛
⎛
Ki
K ⎞
1 ⎞
⎟⎟ ,
= K p ⎜1 + i ⎟ = K p ⎜⎜1 +
⎜ sK p ⎟
s
sT
i
⎝
⎠
⎝
⎠
si introducono un polo pc nell’origine ed uno zero reale zc in –1/Ti. A seconda che il sistema a ciclo
aperto senza regolazione della corrente fosse asintoticamente stabile o meno, si avranno le due
configurazioni di poli e zeri rappresentate qualitativamente in Figura 1.11.
Im
p
1
z1
zc
p
3
p
c
Re
z2
p
2
Im
p
1
z1
zc
p
p
c
3
Re
z2
p
2
Figura 1.11 Poli e zeri della funzione di trasferimento complessiva ad anello aperto del sistema con controllore
di corrente proporzionale integrale
La stabilità del sistema chiuso in retroazione può essere valutata mediante la rappresentazione del
luogo delle radici. Nei due casi rappresentati, esso assume l’andamento qualitativo illustrato in Figura
1.12.
p
1
Im
Im
p
1
z1
zc
p
zc
p
3
z1
c
p
p
c
3
Re
Re
z2
z2
p
p
2
2
Figura 1.12 Luogo delle radici del sistema con controllore di corrente proporzionale integrale
È evidente che i margini per garantire la stabilità del sistema nell’ipotesi di avere tutti i poli a ciclo
aperto a parte reale negativa sono più ampi che nel caso in cui ciò non sia valido.
Nell’ipotesi poi che l’inverter funzioni ad αi costante anziché a γ costante, tutti i poli e tutti gli zeri del
sistema a ciclo aperto sono a parte reale negativa (R2>0). In tal caso, l’intero luogo delle radici si
sviluppa nel semipiano dei numeri a parte reale negativa ed il sistema è sempre stabile anche con una
bassissima potenza di corto circuito.
Tuttavia, una ridotta potenza di corto circuito provoca, oltre ai descritti problemi di stabilità, anche
notevoli variazioni della tensione lato alternata al variare della potenza reattiva assorbita dall’inverter
e all’atto dell’inserzione dei filtri AC.