Ingegneria dei Sistemi Elettrici

5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI STATICI
(ultima modifica 16/10/2015)
Campi magnetici statici
Premessa
Per studiare i Campi Magnetici è utile fare le analogie con i
modelli matematici studiati del Campo Elettrostatico.
Per lo studio dei campi elettrostatici nel vuoto dovuti a cariche
elettriche fisse (a riposo), l’intensità del campo elettrostatico E
è la grandezza fondamentale richiesta.
Per un mezzo materiale è necessario definire una seconda
grandezza di campo vettoriale, densità di flusso elettrico (o
spostamento elettrico) D per tener conto degli effetti della
polarizzazione.
M.Usai
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1
Postulati dell’Elettrostatica nello spazio vuoto ε =ε0
Il campo è perfettamente descritto da una sola grandezza: E
Forma differenziale
ρ V
E 
ε 0  m 
Forma integrale
Q
 E ds  
S
[Vm]
0
Legge di Gauss nel vuoto
V
E  0  
m
M.Usai
 E  d l  0 V
l
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2
Postulati dell’Elettrostatica in un mezzo di permettività ε =ε0 εr
Il campo è perfettamente descritto da due grandezze: E e D
Forma differenziale
Forma integrale
C
  ( 0 E  P)    D  ρ  3 
m 
 DdS  Q
[C]
S
Legge generale di Gauss
 V
E  0  
 m
M.Usai
 E  d l  0 V
l
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3
Equazioni del modello elettrostatico più generale :
  D  ρ

  E  0
Le proprietà elettriche del mezzo determinano le relazioni tra il
vettore spostamento elettrico D e il campo E .
Se il mezzo è lineare , isotropo e omogeneo , è valida la semplice
relazione costitutiva: D   E dove la permettività ε =ε0 εr è uno
scalare.
Quando una piccola carica test q è posta in un campo elettrico E ,
questa è sottoposta ad una forza elettrica F e , che dipende dalla
posizione della carica fissa q:
F e  q E [N].
M.Usai
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4
Se la carica è in movimento occorre fare altre considerazioni per
tener conto di tutti i fenomeni fisici del campo associato .
Infatti il moto delle cariche in movimento in equilibrio dinamico
é caratterizzato:
• non solo dalla densità di carica  ma
• anche dal vettore velocità delle cariche v .
Per affrontare il loro studio tener presente che il moto delle
cariche in equilibrio dinamico é governato dalla:
Equazione fondamentale di continuità, che soddisfa
il Principio di conservazione della carica.
M.Usai
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5
Conservazione della carica elettrica
La carica elettrica è una grandezza fisica conservativa,
cioè
essa non può ne essere creata, ne distrutta;
nella regione dello spazio nella quale si esamina un campo, in
ogni istante devono essere considerate tutte le cariche fisse e
tutte le cariche in movimento.
In base a questo principio la carica elettrica totale di un sistema
fisico isolato rimane costante.
Questa è una legge della natura e non può essere derivata da altri
principi o relazioni.
M.Usai
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6
Si consideri un volume arbitrario V delimitato da una superficie S.
Se all’interno di questa regione esiste:
V


S
carica netta Q: Q   Q   Q
ossia somma algebrica delle cariche presenti nel volume
e se una corrente netta I: (Iuscente – I entrante)
fluisce attraverso la superficie S racchiusa dal volume V,
↓
la carica nel volume Q deve diminuire a una velocità pari alla
velocità della corrente I.
Conseguentemente, la corrente che esce dalla regione di volume V
è pari al flusso totale verso l’esterno del vettore densità di
corrente attraverso la superficie:
Q
I   J dS  
t
S
M.Usai
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7
Se la distribuzione delle cariche è continua: Q   dV
V
La legge della conservazione viene espressa matematicamente:
Q
d

   dV   J  d S  I
t
dt V
S
la variazione della densità spaziale di carica ρ nel tempo, entro un
volume V è pari al flusso della densità di corrente J, attraverso
la superficie S che delimita il detto volume V.
Inoltre, la carica elettrica totale di un sistema Q è
un'invariante relativistico
ossia
il suo valore non dipende dal sistema di riferimento.
M.Usai
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8
Applicando il teorema della divergenza si può convertire
l’integrale superficiale di densità di corrente in un integrale della
divergenza della densità di corrente:
d
S J  d S  V   J dV   dt V dV
Quando le cariche sono in movimento la derivata temporale della
densità di corrente all’interno del volume, deve essere calcolata
usando le derivate parziali, perché la densità di corrente potrebbe
essere sia funzione del tempo che funzione delle coordinate
spaziali: ρ=ρ(x,y,z,t).
Equazione di Continuità
Dalla equazione precedente risulta che:   J  
M.Usai
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d
dt
A
 m 3 
9
La relazione puntuale:
 J  
d
dt
A
 m 3 
che deriva dal principio della conservazione della carica, è
chiamata equazione di continuità.
Per le correnti stazionarie la densità di carica non varia nel tempo,
ossia:
d
0
dt
e l’equazione di continuità diventa:
 J  0
Le correnti elettriche stazionarie sono solenoidali.
M.Usai
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10
Quindi l’equazione di continuità per correnti stazionarie è:
 J  0
in se si considera il flusso della densità di corrente attraverso una
superficie chiusa , la relazione precedente in forma integrale è:
 J dS  0
S
Che equivale a dire che il flusso della densità di corrente stazionaria
attraverso una superficie chiusa è nullo.
Per i circuiti la relazione precedente equivale alla I° legge di
Kirchhoff:
 I j  0 A
j
M.Usai
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11
Cariche introdotte all’interno di un conduttore .
Le cariche introdotte nell’interno di un conduttore si
muoveranno verso la superficie del conduttore e si
ridistribuiranno in modo tale che in condizioni di equilibrio
all’interno del conduttore risulti il campo E  0 e la densità
di carica ρ = 0.
In un mezzo semplice, possiamo provare questa dichiarazione e
calcolare il tempo necessario per raggiungere le condizioni di
equilibrio, combinando:
•
la legge di Ohm in forma puntuale con
• l’equazione di continuità e
•
assumendo costante la conducibilità γ.
M.Usai
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12
d 
Equazione di continuità    J   

dt   γ   E  t

Legge di Ohm
 J  E
In un mezzo semplice (lineare , omogeneo ed isotropo) :
D  εE  E 
D

ρ

  D  ρ    E  essendo :
 γ E  0
ε
t
ρ γ
 ρ0
δt ε
M.Usai
 ρ(t)  ρ 0
γ
- t
e ε
C
 m3 
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13
γ
-  t
ε
C

In un mezzo semplice, dunque : ρ(t)  ρ 0 e
 m 3 
dove ρ0 è la densità di carica iniziale all’istante t=0.
Sia ρ che ρ0 possono essere funzioni delle coordinate spaziali e la
funzione precedente dice che:
in un punto in mezzo semplice la densità di carica ρ (t) diminuisce
nel tempo con legge esponenziale , sino ad annullarsi, con una
costante di tempo detta tempo di rilassamento:
ε
τ
γ
La carica iniziale ρ0 decade a t=1 di (1/2.7182818284590= 0.3679) o
38,8% del suo valore nell’istante iniziale.
M.Usai
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14
Per un buon conduttore come il rame il tempo di rilassamento è
molto piccolo, infatti:
  8.85 10-12 [F/m]

7


5.80

10
[S/m]



   1.52 *1019 s 

Il tempo transitorio è così piccolo che per le applicazioni pratiche,
ρ può essere considerata nulla nell’interno del conduttore .
Per un buon isolatore il tempo di rilassamento non è infinito, ma
può essere dell’ordine delle ore o dei giorni.
M.Usai
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15
Campo Magnetico
Un Campo Magnetico può essere generato:
• da un magnete permanente oppure
• da correnti elettriche.
La limatura di ferro o piccoli pezzi di ferro sparsi su un
foglio di carta possono essere usati per rilevare la
presenza di effetti magnetici (ossia forze magnetiche) in
prossimità
• di un magnete permanente, dove la limatura si
distribuisce secondo linee che vanno da un polo all’altro
del magnete o
• di un filo percorso da corrente elettrica, dove la
limatura si dispone secondo linee concentriche circolari,
perpendicolari alla direzione del conduttore.
In entrambi i casi la distribuzione della limatura indica la
presenza di un campo magnetico e suggerisce la forma
delle linee del campo magnetico, ossia le linee lungo le
quali agiscono le forze del campo.
M.Usai
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16
Forze agenti sulle cariche in movimento in un Campo Magnetico
Quando la carica elettrica q è in movimento in presenza di un campo
magnetico con induzione magnetica B , essa è sottoposta ad una
forza di natura diversa detta forza magnetica F m così
caratterizzata:
• l’ampiezza è proporzionale a q, alla componente della velocità v
nella direzione normale alla induzione del campo magnetico B
nel punto in cui si trova la carica nell’istante considerato e a B;
• direzione normale alla direzione della velocità v della carica test
e alla direzione del campo B determinata in quel punto e
• verso definito dall’operatore vettoriale:
Fm
B
Fm  q vB
q
Si sottolinea come tale forza non è legata ai vettori D ed E .
M.Usai
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v
17
La forza magnetica F m può essere espressa completamente
attraverso la definizione della densità di flusso magnetico B ,
che specifica sia la direzione del campo che la natura del mezzo
in cui è presente il campo:
Fm  q vB
La forza elettromagnetica totale dovuta alla contemporanea
presenza dei campi elettrostatico e magnetico, che agiscono su
una carica q in movimento con velocità v è quindi:


F  F e  Fm  q E  v  B
[N]
che è l’equazione della forza di Lorentz e la sua validità è stata
inequivocabilmente stabilita empiricamente.
M.Usai
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18
Come
• per la definizione di Campo Elettrico è stato utilizzata la
relazione:
Fe
E
q
• analogamente per la definizione della densità di flusso
magnetico o Vettore Induzione Magnetica B è valida la
seguente relazione :
Fm
vB 
q
M.Usai
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19
Per tener conto della natura del mezzo in cui il campo è generato
è stata quindi introdotta la grandezza magnetica intensità di
campo magnetico H  B , dove  permeabilità magnetica
del mezzo.

Sulla base di dati empirici si può affermare che
ogni moto di cariche elettriche da luogo ad azioni magnetiche
e che tali fenomeni si verificano anche in assenza di materia
ossia nel vuoto.
M.Usai
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20
Le cariche elettriche in movimento, ossia la causa della
generazione di un campo magnetico, H  B possono essere
di diversa natura, come:

-una corrente che circola in un conduttore, ma anche
-un insieme di elettroni che si muovono nel vuoto,
-una corrente ionica che attraversa un elettrolita o
-un gas ionizzato e altre.
M.Usai
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21
Definizione di Campo Magnetico H
In generale si può affermare che la presenza di una corrente o di
un magnete permanente, modifica lo stato fisico dello spazio
circostante.
Ciò induce a definire una grandezza di campo per ciascun punto
della regione d’azione di esso, in grado di quantificare l’entità
delle azioni magnetiche, ossia il campo magnetico H .
Per esempio, nel caso di un conduttore attraversato da una
corrente costante I:
I
P: punto in cui si valuta il campo
R
P
M.Usai
H
R: distanza del punto dal conduttore
nel quale circola la corrente I
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22
Si definisce campo magnetico H un vettore la cui intensità in un
punto del campo P, è
-proporzionale alla intensità di corrente I,
-inversamente proporzionale alla distanza R del punto P dal
conduttore
-direzione tangente alla circonferenza di raggio R in P
-verso legato alla direzione della corrente definito dalla regola della
vite destrogira (il verso è quello con cui deve ruotare una vite
destrorsa per farla avanzare nel senso della corrente).
I
M.Usai
+
H
I

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H
23
Legge di Biot Savart
Sulla base delle prove sperimentali si può descrivere l’esistenza di
un Campo Magnetico H attraverso l’applicazione della legge di
Biot-Savart.
L’intensità degli effetti elettromagnetici è uguale in tutti i punti
equidistanti dal conduttore (linee di forza); essa è proporzionale al
rapporto fra la corrente I e la distanza R dal conduttore e
indipendente dalla natura del mezzo:
I
A
H=
2πR  m 
H
R
H varia con legge iperbolica al variare di R.
M.Usai
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24
Tali risultati sperimentali possono essere espressi analiticamente
dalla seguente relazione, che tiene conto della natura del mezzo:
I
Bμ
B
R
I
2 πR
P
Nella formula l’influenza della natura del mezzo é indicata dalla
grandezza , ossia dalla permeabilità magnetica del mezzo.
Il fattore 1/2 é utilizzato per ottenere formule semplificate dette
“razionalizzate”. Il campo magnetico in ogni punto sarà:
H
M.Usai
B

in modulo 
H
B

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
I
2R
25
Magnetostatica nel vuoto
Per lo studio della magnetostatica (campi magnetici statici) nel
vuoto è necessario considerare solo il vettore densità di
flusso magnetico B , i due postulati fondamentali della
magnetostatica sono:
B  0
  B  o J
H 
7
J
μ

4π

10
dove
è la densità di corrente e o
 m 
dove μo è la permeabilità dello spazio libero:
M.Usai
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26
Considerando la II° relazione , poiché
la divergenza del rotore di un qualunque vettore e uguale a zero:
    A  0

    B      o J  0
si ottiene:
J  0
che è coerente con le equazioni precedentemente determinate per
le correnti stazionarie.
Dal confronto della relazione:   B  0 con l’analoga equazione

per l’elettrostatica nello spazio libero:   E 
0
si vede come non ci sia alcuna analogia magnetica, ossia alcuna
grandezza magnetica analoga, per la densità di carica elettrica .
M.Usai
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27
1) La forma integrale del primo postulato delle magnetostatica
si ottiene facendo l’integrale volumico della relazione   B  0
e applicando il teorema della divergenza si ha:
   B dv   B  d s  0
V
S
dove la superficie di integrazione è la superficie che delimita il
volume arbitrario di integrazione.
Confrontando questa relazione con l’espressione della legge di
Gauss:
Q
 E ds  
S
o
si verifica anche analiticamente la non esistenza di cariche
magnetiche isolate.
M.Usai
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28
Non esistono sorgenti di flusso magnetico, e le linee di flusso
magnetico si richiudono sempre su se stesse.
Inoltre l’equazione :
 Bds  0
S
é anche una espressione della legge della conservazione del
flusso magnetico, perché essa afferma che il flusso totale
uscente attraverso una superficie chiusa è nullo.
M.Usai
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29
Magneti Permanenti
Un magnete permanente è un corpo che sottoposto
agli effetti di un campo magnetico, è in grado di
generare un campo magnetico proprio.
Essi mantengono una induzione Br residua
elevata e necessitano di un campo magnetico Hc
elevato per annullare il magnetismo residuo, detto
forza coercitiva.
N
S
La tradizionale definizione dei poli nord e sud in una
barretta di materiale magnetico permanente non implica
che esista una carica magnetica positiva isolata nel polo
nord e una carica negativa isolata nel polo sud.
M.Usai
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30
Infatti se il magnete viene tagliato in due parti compaiono in
ciascun elemento un polo nord e un polo sud, ottenendo così due
nuovi magneti più piccoli.
Questo processo si potrebbe ripetere sino a che i magneti
assumono dimensioni atomiche, per cui si può concludere che i
poli magnetici non possono essere isolati, ma ciascun magnete
infinitamente piccolo ha ancora un polo nord e uno sud.
N
N
S
N
N
S
N
S
N
S
N
S
M.Usai
S
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S
31
Le linee di flusso magnetico seguono percorsi chiusi, da una
estremità del magnete all’altra estremità, all’esterno del magnete e
quindi proseguono all’interno del magnete richiudendosi verso
l’estremità di partenza.
N
S
M.Usai
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32
La definizione di polo nord e sud é
coerente con il fenomeno fisico,
verificabile empiricamente, per il quale
una barretta magnetica liberamente
sospesa sotto l’effetto del campo
magnetico terrestre, tende a disporsi
secondo la direzione nord sud.
S
Polo Nord
N
Precisamente il polo magnetico nord
della barretta punta nella direzione
del nord geografico.
S
N
Polo Sud
• Il polo magnetico terrestre nella regione artica (polo nord) deve
essere un polo magnetico sud.
• Il polo magnetico terrestre nella zona antartica (polo sud) deve
essere un polo magnetico nord.
M.Usai
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33
2) La forma integrale del secondo postulato della magnetostatica:
  B  o J
può essere ottenuta integrando su una superficie aperta, entrambi i
membri e applicando il teorema di Stokes al primo membro:
   B  d s  μ  J  d s
o
oppure:
S
S
 Bdl  μ I
o
dove:
C
• il percorso C per l’integrale lineare é il contorno che delimita la
superficie S e
• I é la corrente totale attraverso la superficie S.
M.Usai
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34
Il senso di percorrenza del contorno C e il flusso seguono la
regola della mano destra.
 Bdl  μ I
o
C
L’equazione trovata é una espressione della legge della
circuitazione di Ampere, che stabilisce che:
la circuitazione della densità del flusso magnetico nel vuoto B
lungo un percorso chiuso qualsiasi, é uguale a o volte la
corrente I totale che fluisce attraverso la superficie delimitata
da tale percorso.
M.Usai
5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI STATICI
35
Riassumendo
i due postulati fondamentali della magnetostatica nel vuoto
sono:
forma differenziale
B  0
forma integrale
 Bds  0
S
  B  o J
M.Usai
 Bdl  μ I
o
C
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36
Potenziale vettore magnetico
Il postulato   B  0 , garantisce che B sia solenoidale.
Quindi per le proprietà dei vettori, B può essere espresso come il
rotore di un altro vettore di campo , chiamato A , tale che:
B    A [T]
infatti per la II° identità nulla: div (rot (A))    ( A)  0





se   B  0 e     A  0    B      A  B    A
Il vettore A così definito è chiamato potenziale magnetico
vettoriale:
Wb 
A  
m
M.Usai
5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI STATICI
37

Quindi si può determinare il potenziale magnetico vettore A di
una distribuzione di corrente e calcolare B in funzione di A con
l’operatore differenziale (il rotore).
Questa procedura è del tutto simile a quella usata per introdurre
del potenziale elettrico scalare V per il calcolo del campo
elettrostatico E con la relazione:
E  V.
Infatti per la I° identità nulla: rot (grad (V))    ( V)  0
se   E  0 e   ( V)  0    E    ( V)  E   V
Tuttavia la definizione del vettore potenziale magnetico A
richiede la specificazione sia del rotore che della divergenza,
infatti per calcolare: B    A
occorre conoscere A e specificare la sua divergenza.
M.Usai
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38
Scelta della divergenza di A
Si intende ora determinare una espressione di A , che presenti
analogie con l’ espressione scalare di Poisson valida per
l’elettrostatica, per la quale sono note le soluzioni analitiche.
Dalle relazioni:
  B  μo J

    A  μo J

B    A
e ricordando che il rotore del rotore di un vettore è:
 
A      A      A
2
 A    A   A

2
o
queste equazioni possono essere considerate come la definizione
2
del Laplaciano di A :  A.
M.Usai
5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI STATICI
39
Se si sviluppa l’equazione:     A  μo J
secondo la relazione:     A    A   A
2
si ottiene:


2
   A   A  μo J
Per semplificare questa espressione, si sceglie A tale che :
  A=0
e si ottiene l’equazione vettoriale di Poisson, espressa con il
potenziale vettore magnetico A :
2
 A   μo J
M.Usai
5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI STATICI
40
Quindi per semplificare l’equazione precedente è conveniente
scegliere il vettore A tale che   A  0 da cui:
    A  μo J

2
 A  - μo J
In coordinate cartesiane è dimostrabile la validità della relazione :
2
2
2
2
 A  a x  Ax  a y  Ay  a z  Az
Si sottolinea che in coordinate cartesiane il Laplaciano del vettore
di campo A é un vettore di campo, le cui componenti sono i
Laplaciani (divergenza del gradiente) delle corrispondenti
componenti .
(Ciò non è vero per gli altri sistemi di coordinate.)
M.Usai
5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI STATICI
41
Questa proprietà, valida solo in coordinate cartesiane,
consente di esprimere l’equazione vettoriale di Poisson con
↓
tre equazioni scalari equivalenti
per le quali è calcolabile la soluzione:
↓
 2 Ax   μo J x
 2
 Ay   μo J y
 2
 Az   μo J z
Ciascuna di queste equazioni è matematicamente analoga alla
equazione scalare di Poisson valida per l’elettrostatica e
analogamente risolvibile.
M.Usai
5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI STATICI
42
Per l’analogia con il modello elettrostatico nel vuoto, poiché
l’equazione  2V   ρ ha la soluzione particolare :
ε0
1

V
dv'

4 o V ' R
si avrà che:
 2 Ax  μ o J x
 2
 Ay  μ o J y
 2
 Az  μ o J z
M.Usai
Ax 

μo
4π
Jx
V' R dv'
μo
Ay 
4π
V'
μ
Az  o
4π
Jz
V' R dv'
Jy
 R dv'
5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI STATICI
43
Combinando le tre componenti, si ha l’espressione della soluzione
in forma vettoriale compatta:
μo
A
4π
J
Wb 
V' R dv'  m 
tale equazione consente di determinare il potenziale magnetico
vettore A dalla densità di corrente volumica J .
La densità di flusso magnetico B può essere ottenuta da B    A
differenziando in maniera analoga a come fatto per ottenere il
campo elettrostatico E dalla relazione E  V .
Il potenziale vettore A lega il flusso magnetico  attraverso una
superficie data S delimitata da un contorno C in modo semplice,
infatti :
Φ  Bds

S
M.Usai
5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI STATICI
44
Poiché B    A , applicando il teorema di Stokes, si ha:
Φ   B  ds     A  ds   A  dl
S
S
[Wb]
C
In base a questa relazione, il vettore potenziale magnetico A
assume un significato fisico in quanto l’integrale lineare di A
lungo un qualsiasi percorso chiuso è uguale al flusso magnetico
totale Φ che attraversa l’area delimitata da tale percorso.
Nel SI il flusso magnetico Φ si misura in weber [Wb], che è
equivalente al tesla per metro quadrato [T·m2].
M.Usai
5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI STATICI
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