ESERCIZI E PROBLEMI
1. Spiegare perché sulla sfera non ci sono “rette parallele” e mostrare che per due “punti” passa
una ed una sola “retta”.
Basta ricordare che “retta” significa circonferenza massima su S, ossia intersezione di S con
un piano per O. I piani che individuano due “rette” si incontrano allora in una retta euclidea
passante per O, che interseca S in una coppia di punti antipodali, cioè proprio in un “punto”
della geometria sferica. Due di tali “punti” individuano due rette euclidee per O e quindi un
piano che, intersecato con S, fornisce l’unica “retta” passante per i “punti” dati.
2. I poli di un cerchio massimo s su S sono le intersezioni di S con la retta per O perpendicolare al
piano contenente s. Essi sono anche i due centri di s (ricordiamo che ogni circonferenza su S ha
due centri antipodali, che si trovano allo stesso modo). Spiegare come, dato il punto P su S, si
costruisce il cerchio massimo avente polo in P. Spiegare inoltre come, dati un punto P e una
“retta” s su S, si costruisce la ”retta” perpendicolare a s passante per P (che è unica eccetto
quando P è un polo di s, nel qual caso ogni “retta” per P è perpendicolare a s).
3. Descrivere le seguenti isometrie di S: la riflessione in una “retta” (che manda P nel punto P*
situato sulla “retta” passante per P, perpendicolare alla “retta” data e alla stessa distanza da
essa), la rotazione di un certo angolo attorno ad una retta per O, la simmetria centrale (che
manda P nel punto antipodale P’). Provare che figure antipodali sono congruenti, ma in
generale non sovrapponibili.
4. Sul mappamondo: la figura delimitata da due meridiani e da un parallelo è un triangolo
sferico?
Ci sono 4 figure del genere, che insieme compongono il mappamondo. La più “naturale” (la
più piccola) è un triangolo sferico solo se il parallelo è...l’equatore! (ricordare che i lati di un
triangolo sferico sono archi di cerchi massimo!).
5. Spiegare perché la somma di due lati di un triangolo sferico è maggiore del terzo lato.
Si può pensare di aver tracciato il primo lato AB del triangolo sferico, e di usare il compasso
(sferico) per disegnare gli altri due: affinché le due circonferenze di centri A e raggio AC e
rispettivamente centro B e raggio BC s’incontrino, la somma dei raggi deve superare il lato AB.
Alternativamente, si può studiare il triedro ABCO: due angoli piani sono maggiori del terzo!
6. Spiegare perché LAAL non compare fra i criteri di congruenza dei triangoli sferici.
Basta esibire due triangoli diversi con base su un cerchio massimo e vertice opposto in un
polo: i lati obliqui misurano 1/4 di circonferenza massima, gli angoli alla base misurano 90°.
7. Provare che gli angoli alla base di un triangolo sferico isoscele sono congruenti.
Basta applicare il criterio LAL ai due triangoli individuati dalla bisettrice dell’angolo al
vertice.
8. Dimostrare che il punto d’incontro I tre bisettrici di un triangolo sferico è il centro del
cerchio inscritto (incentro).
Si osserva innanzitutto che I non è polo di alcun lato del triangolo ABC dato (altrimenti,
angoli come IAB, IBC, … sarebbero retti e dunque il triangolo avrebbe qualche angolo interno
di 180°). Da I si tracciano allora le perpendicolari (uniche!) ai lati AB, AC, BC, che li incontrano
rispettivamente in H, K, J.
Quindi, riflettendo ad esempio AC nella bisettrice AI dell’angolo A, e ricordando che I non è
polo dei lati, si prova l’uguaglianza dei triangoli AIH, AIJ.
Si noti che per dimostrare con lo stesso procedimento l’analogo risultato nel piano si può
provare più rapidamente l’uguaglianza dei triangoli AIH, AIJ usando, ad esempio, la proprietà
che la somma degli angoli interni di un triangolo piano è di 180° (proprietà questa che, come
sappiamo, non vale sulla sfera!).
9. Provare che, intersecando due lune con assi (bisettrici) perpendicolari che si tagliano a
metà, si ottiene un quadrilatero equiangolo con lati opposti uguali.
Usando il criterio ALA si può dimostrare la congruenza dei quattro triangoli in cui i due assi
suddividono una stessa luna. Si continua provando la congruenza di altri triangoli, esterni al
quadrilatero intersezione delle due lune. Si può notare che i vertici di due qualsiasi lune stanno
su un cerchio massimo s; in generale i loro assi non sono perpendicolari e, se anche lo sono, non
sempre si tagliano a metà. Se però, come nella situazione proposta, gli assi sono perpendicolari
e si tagliano a metà, allora la loro intersezione coincide con uno dei due poli di s.
Dimostrare che tale polo è proprio il centro della circonferenza s.
10. Indichiamo con Q il quadrato sferico con angoli di 120° e con T il triangolo sferico pure con
angoli di 120°. Provare che il lato di T è uguale alla diagonale di Q.
Costruire un triangolo regolare equiangolo di angoli 120°, si prolunghino i due lati del
triangolo in modo da ottenere una luna con angoli di 120°. Si osserva che la parte di luna T1
esterna a T ha angoli 120°- 60°- 60°. Basta allora osservare che T1 insieme alla sua immagine
riflessa nel lato comune con T è esattamente Q.
11. Calcolare l’area della luna di angolo 72°.
12. Calcolare l’area dei triangoli sferici di angoli 45°, 60°, 90° e rispettivamente 60°, 60°, 90°.
La risposta è 1/48 e rispettivamente 1/24 dell’area di S. Si può osservare che con 6 triangoli
del primo tipo si ottiene un triangolo trirettangolo, e che con 4 del secondo tipo si ottiene il
quadrato sferico con angolo di 120°.
13. Calcolare area e perimetro del triangolo sferico isoscele di angoli 90°, 90°, 60°.
Tale triangolo ha base lunga 1/6 di cerchio massimo e vertice opposto nel suo polo. L’area è
1/12 dell’area di S, il perimetro misura 240°.
14. Descrivere la costruzione di un “trapezio isoscele” sulla sfera, avente base maggiore di 90°,
angoli alla base maggiore di 90° e angoli alla base minore di 120°. Calcolarne l’area.
Si costruisce intersecando due lune di assi perpendicolari: la prima con vertici nei Poli Nord e
Sud e angolo di 90°, la seconda con un lato sull’equatore. L’area è 1/12 dell’area di S.
15. Presi tre punti A,D,B su un cerchio massimo (in quest’ordine!) e un quarto punto C al di fuori,
si provi che Area(ADC)+Area(DBC)=Area(ABC).
16. Verificare analiticamente che l’intersezione di un piano con una sfera di raggio R è una
circonferenza, oppure un punto, oppure l’insieme vuoto.
Usare l’equazione cartesiana di S: x2+y2+z2=R2 e quella di un piano orizzontale: z=c.
17. Qual è il raggio euclideo della circonferenza di raggio sferico uguale a 45°? In generale, qual
è il rapporto fra raggio euclideo e raggio sferico di una circonferenza su S? Quale relazione
c’è fra “segmento sferico” AB (arco di cerchio massimo) e segmento euclideo (corda) AB?
Il raggio sferico (arco di cerchio massimo che sottende un angolo di 45°) misura R/4, il
raggio euclideo Rsen(/4).
18. La Terra è, con buona approssimazione, una sfera di raggio 6378 Km. Immaginiamo di
costruirvi intorno, sul piano equatoriale, un anello circolare, concentrico con l’equatore e di
lunghezza superiore di un metro della lunghezza dell’equatore. Quale spessore ha
l’intercapedine che si forma?
Come varia lo spessore ripetendo la stessa costruzione su sfere di raggio diverso? Provare, ad
esempio, su una sfera di raggio 20 cm.
La lunghezza di una circonferenza è C=2r, chiamate C1,C2 le lunghezze dell’equatore e
dell’anello maggiore, di raggi r1 e r2, si ha quindi C2-C1=2(r2-r1); ma C2-C1=1m, dunque r2r1=1/2, cioè circa 16 cm.
Questo è lo spessore costante dell’intercapedine!
19. Calcolare l’area di un cerchio sulla sfera (calotta sferica).
Osservando il disegno, che rappresenta in
sezione la calotta di centro B e raggio sferico ρ,
risulta evidente che Area(calotta)>π r2 in quanto
π r2 è l’area della proiezione della calotta sul piano
perpendicolare a BO.
Inoltre
Area(calotta)<πρ 2
in
quanto,
immaginando di schiacciare sulla sfera S il cerchio
piano di centro B e raggio ρ (tangente ad S in B e la
cui area è πρ 2), ci troveremmo a doverlo “ripiegare
o accartocciare” per farvelo ben aderire.
Questo significa che c’è un eccesso di superficie.
In totale risulta quindi π r2<Area(calotta)<π ρ 2.
Il valore esatto di quest’area è π c2, dove c è la
lunghezza della corda AB. Vediamo ora come si
arriva a questo risultato usando gli integrali per il calcolo di aree di superfici di rotazione.
Sia F la superficie ottenuta ruotando attorno all’asse x il grafico della funzione f definita per
≤ ≤ .
Un risultato del calcolo integrale afferma che
= π
Ricordiamo che ∫
∫
+ + rappresenta la lunghezza del grafico di f, cioè della linea
che, ruotata, genera F. Il disegno che segue spiega come la calotta in questione possa essere
ottenuta dalla rotazione dell’arco AB (grafico della funzione ( ) = − ) attorno all’asse x.
(
= − = ( )
− < < ≤ ≤ ( ) =
)
− ⎛
⎞
⎟⎟ si ottiene = π ( − ) = π , e questo
Svolgendo i conti ⎜⎜ ( ) = −
( ) ⎠
⎝
grazie al teorema di Pitagora.
20. Verificare che v-l+f=2 (dove v, l, f sono rispettivamente il numero dei vertici, dei lati e delle
facce della tassellazione), nel caso dell’ottaedro,del cubo e del tetraedro sferico.
I valori di v,l,f sono 6,12,8 per l’ottaedro; 8,12,6 per il cubo; 4,6,4 per il tetraedro.
21. Come si può costruire un esagono regolare su S? Quali valori può avere il suo angolo?
Ad esempio, affiancando 6 triangoli isosceli con angolo al vertice di 60° e angoli alla base di
ampiezza maggiore di 60° e minore di 90°. Gli angoli dell’esagono regolare possono variare fra
120° e 180°.
22. Spiegare se è possibile pavimentare la sfera con esagoni regolari.
L’angolo interno di un esagono regolare sferico supera i 120°, quindi non è possibile metterne
più di due intorno a un vertice.
23. Quanti triangoli si formano suddividendo la sfera con tre cerchi massimi non concorrenti in un
“punto”?
In quanti modi diversi è possibile distribuire due segni in tre caselle? (Se i segni sono x, o
abbiamo ad esempio xxx, xoo, oxo, …)
Utilizzare questo metodo per rispondere alla prima domanda.
I tre cerchi massimi si incontrano in tre coppie di punti antipodali A, A’,B, B’, C, C’.
I triangoli che si formano (come ad esempio ABC, A’BC, A’B’C, …) hanno come vertici le
lettere A, B, C prese con l’indice oppure senza.
Le tre lettere corrispondono alle tre caselle, l’indice e la mancanza di indice ai segni x, o.
24. Si può tassellare la sfera con pentagoni regolari tutti uguali? Quanti ne servono? Qual è l’area
di ciascuno di essi?
Il dodecaedro sferico regolare ha 20 vertici, 30 lati e 12 facce: 20-30+12=2!
