x x xx M + + + n n M =
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Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione Cristina Davino Gli indici sintetici Tendenza T d centrale t l Forma Variabilità Definizione del problema Raccolta dei dati Conclusioni Interpretazione dei risultati Consentono il passaggio da una pluralità à di informazioni ad un’unica misura numerica; Sintetizzano l’intera distribuzione in un singolo valore, consentendo così confronti nel tempo, nello spazio o tra circostanze differenti; In alcuni casi, consentono di verificare se le conseguenze di una determinata azione abbiano prodotto il risultato desiderato, in quale direzione e con quale intensità. Scelta del metodo di analisi Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione Cristina Davino Gli indici sintetici Posizione P i i Forma Variabilità Interpretazione dei risultati Scelta del metodo di analisi Dipendono dalla natura della variabile che si sta esaminando e sono espressi nella stessa unità di misura della variabile. Indici Sono svincolati dall’unità di misura perché costruiti come rapporti tra indici assoluti o tra indici assoluti e loro valori estremi. Sono, quindi, numeri puri, utili per confrontare fenomeni omogenei. relativi Indici normalizzati Definizione del problema Raccolta dei dati Conclusioni Indici assoluti Cristina Davino Definizione del problema Sono particolari indici relativi che variano in un intervallo finito, generalmente in [0, 1] oppure in [-1, +1]. Sono, quindi, di immediata interpretazione. La media aritmetica Conclusioni Esempio: distribuzione unitaria semplice unità età 1 35 2 37 3 59 4 54 5 44 6 38 7 62 8 71 9 56 10 60 11 33 12 46 13 41 14 53 15 38 16 55 17 50 18 63 19 35 20 51 totale 981 M Interpretazione dei risultati 981 49,05 20 k x x ... xn M 1 2 n x i 1 n i Raccolta dei dati Scelta del metodo di analisi Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione Cristina Davino k La media aritmetica M Esempio: distribuzione di frequenze Età studenti t d ti del Corso (xi) Frequenze assolute (ni) 18 19 20 21 22 23 24 25 Totale 2 44 66 32 18 13 9 6 190 x n i i 1 i Definizione del problema Raccolta dei dati Conclusioni n k M xi i 1 Cristina Davino Definizione del problema Interpretazione dei risultati ni n x*n Freq. Relative (fi) x*f 36 836 1320 672 396 299 216 150 3925 0,011 0 011 0,232 0,347 0 168 0,168 0,095 0,068 0 047 0,047 0,032 1,000 0,2 0 2 4,4 6,9 35 3,5 2,1 1,6 11 1,1 0,8 20,7 Scelta del metodo di analisi La media aritmetica Esempio: distribuzione in classi Tempo per raggiungere la Facoltà (in min.) ( ) 0 -|20 20 -|40 40 -|60 |60 60 -|120 Totale Frequenze assolute (ni) Raccolta dei dati Conclusioni valori centrali (c) 84 81 44 18 227 10 30 50 90 Interpretazione dei risultati Scelta del metodo di analisi c*n 840 2430 2200 1620 7090 In questo caso, la soluzione più ù comune consiste nell’utilizzare il valore centrale delle classi M 3925 M 20,7 190 7090 31,2 227 Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione La media aritmetica Cristina Davino M x Conclusioni k Media semplice: M Media con dati organizzati in f frequenze: M Media con le frequenze relative: xi ni i 1 n k x n i Media con dati organizzati g in classi: M i i1 k i 1 Interpretazione dei risultati Definizione del problema Raccolta dei dati Scelta del metodo di analisi La media aritmetica: le proprietà 1 Criterio di 1. internalità La m.a. m a è sempre compresa tra il minimo e il massimo della distribuzione osservata: Raccolta dei dati Conclusioni Interpretazione dei risultati Scelta del metodo di analisi 2. La media La somma degli scarti dalla media è nulla: n come baricentro x i 1 i 0 3. Linearità Se la variabile X ha media , allora la variabile Y=a+bX della m.a. ha media pari a a+bM : n M xi Cristina Davino Definizione del problema ni n Questa proprietà implica che: .)) Se si aggiunge o si sottrae una costante a alla variabile X, X la media sarà modificata dello stesso ammontare (caso b=1) C c n i 1 i n i .)) Se la variabile X è moltiplicata per un coefficiente moltiplicata per lo stesso ammontare (caso a=0) b costante, la media risulterà Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione Cristina Davino Cristina Davino Definizione del problema La media aritmetica: le proprietà Raccolta dei dati Conclusioni La media di una variabile osservata in p più g gruppi pp 4 Proprietà 4. associativa può essere ottenuta come media delle medie dei singoli gruppi, tenuto conto della eventuale della m.a. Definizione del problema Interpretazione dei risultati Scelta del metodo di analisi Data una popolazione su cui è definita una variabile X con media , se dividiamo la popolazione in k gruppi gruppi, di numerosità n1, n2, …, nk, si ha: 2 i i 7 Interpretazione dei risultati Genere Scelta del metodo di analisi Kindle La paura di Montalbano 10 Copertina rigida Racconti di Montalbano 12 Copertina rigida La tripla vita di Michele Sparacino (La scala) 3 Kindle 3,5 Kindle Prezzo medio: 7,1€ 7 1€ 1. Criterio di internalità La media aritmetica rende minima la somma degli scarti al quadrato: x Raccolta dei dati Conclusioni Prezzo in € Acqua in bocca n1 n n 2 2 k k n n n 5. Minimizzazione dei quadrati degli scarti Libri La gita a Tindari (La memoria) differente numerosità: 1 La media aritmetica: le proprietà 3 7,1 12 (7-7,1) + (10-7,1)+(12-7,1)+(3-7,1)+(3,5-7,1)=0 2. La media come baricentro min Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione Cristina Davino Cristina Davino Definizione del problema La media aritmetica: le proprietà Libri Conclusioni Prezzo in € La gita a Tindari (La memoria) 7 La paura di Montalbano 10 Racconti di Montalbano 12 Acqua in bocca La tripla vita di Michele Sparacino (La scala) Interpretazione dei risultati Prezzo in $ 7.9 Definizione del problema Raccolta dei dati Scelta del metodo di analisi La media aritmetica: le proprietà Libri Prezzo in € La gita a Tindari (La memoria) 7 11.3 La paura di Montalbano 10 13.6 Racconti di Montalbano 12 3 34 3.4 Acqua in bocca 3,5 3.9 La tripla vita di Michele Sparacino (La scala) Interpretazione dei risultati Genere Cambio €/$: 1,13 P e o medio in Dolla Prezzo Dollari: i 7 7,1 1*1 1,13=8,02 13 8 02 4. Proprietà associativa della m.a. Copertina rigida Copertina rigida 3 Kindle 3,5 Kindle Prezzo medio Kindle: 4,5€ Prezzo medio Copertina rigida: 11€ Prezzo medio: 4,5 3 11 2 7,1 5 Scelta del metodo di analisi Kindle Prezzo medio: 7,1€ 3. Linearità della m.a. Raccolta dei dati Conclusioni Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione Cristina Davino Cristina Davino Definizione del problema La media aritmetica: le proprietà Prezzo P in € 7 (P (Prezzo-media)^2 di )^2 0.01 Raccolta dei dati Conclusioni Interpretazione dei risultati (P (Prezzo-c)^2 )^2 Definizione del problema 8.41 0 12 24.01 4 3 16.81 49 3,5 12.96 42.25 Totale 62 2 62.2 104 25 104.25 5. Minimizzazione dei quadrati degli scarti Voto Scelta del metodo di analisi 9 10 La media aritmetica ponderata Prezzo medio: 7,1€ c= 10 Esame Crediti Stud. X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4 6 4 5 12 8 9 9 7 5 10 5 10 6 10 4 4 12 130 25 30 30 28 22 27 25 30 24 30 20 27 26 28 22 30 30 22 476 Voto*Crediti Voto Crediti Stud. Y Stud. X Stud. Y 25 30 27 24 22 30 25 28 30 30 27 20 28 26 30 22 22 30 476 100 180 120 140 264 216 225 270 168 150 200 135 260 168 220 120 120 264 3320 100 180 108 120 264 240 225 252 210 150 270 100 280 156 300 88 88 360 3491 Raccolta dei dati Conclusioni Interpretazione dei risultati Scelta del metodo di analisi n x p X p i i 1 i i i 3320 25,5 25 5 130 n y p Y p i i 1 i i i 3491 26, 9 130 Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione Cristina Davino Cristina Davino Definizione del problema La media aritmetica Raccolta dei dati Conclusioni Interpretazione dei risultati 5 15 25 Definizione del problema Le medie “robuste” Scelta del metodo di analisi Raccolta dei dati Conclusioni Interpretazione dei risultati Scelta del metodo di analisi La mediana 35 La mediana,, Me,, è il valore assunto dall’unità statistica che occupa la posizione centrale della distribuzione ordinata in modo non decrescente. 5 15 15 25 25 35 45 E’ un indice “robusto” in quanto non dipende da variazioni che si verificano nelle code della distribuzione (dove si possono trovare i c.d. c d “valori valori anomali”) anomali ) La mediana è è il valore assunto dall’unità dall unità statistica che divide il collettivo in due parti di uguale numerosità: una parte formata dalle unità che presentano una modalità inferiore o uguale a quella dell dell’unità unità centrale e una parte formata dalle unità che presentano una modalità superiore o uguale a quella dell’unità centrale Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione Cristina Davino Cristina Davino Definizione del problema Le medie “robuste” Definizione del problema Raccolta dei dati Conclusioni Interpretazione dei risultati 2. Si calcola la posizione mediana pari: np Pos Me Interpretazione dei risultati Scelta del metodo di analisi La mediana è l’osservazione che, nella serie ordinata dei dati, lascia alla sua destra il 50% delle osservazioni e alla sinistra il 50% delle osservazioni. osservazioni Posizioni n1 occupate dalle Variabile x Posizione mediana: Pos Me unità statistiche 2 1. Si ordina la distribuzione in modo non decrescente Posizione mediana Raccolta dei dati Conclusioni Scelta del metodo di analisi I passi per il calcolo della mediana n dispari: Pos Me La mediana n 1 2 1 2 3 4 5 n n ; 1 2 2 19 22 25 26 27 Mediana: 25 (Media=23,8) 3. Si osserva il valore che occupa la posizione mediana Posizioni occupate dalle unità statistiche 1 2 3 4 Posizione mediana Pos Me Variabile x 19 22 25 26 n n ; 1 2 2 Mediana: 23,5 (Media=23) Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione Cristina Davino Cristina Davino Definizione del problema La mediana Conclusioni Interpretazione dei risultati Esempio Età studenti del Corso 18 19 20 21 22 23 24 25 1. Si ordina la distribuzione in modo non decrescente Posizione mediana: 2. Si calcola la posizione mediana n dispari: 3. Si osserva il valore che occupa la posizione mediana n pari: Frequenze F F Freq. F Freq. Freq. ass. F assolute Relative percentuali cumulate (n i) (N i) (f i) (p i) 2 44 66 32 18 13 9 6 190 0,011 0 011 0,232 0,347 , 0,168 0,095 0,068 0,047 0 032 0,032 1,000 1 1 1,1 23,2 34,7 16,8 , 9,5 6,8 4,7 3 2 3,2 100,0 2 46 112 144 162 175 184 190 Definizione del problema Raccolta dei dati Scelta del metodo di analisi n 1 2 n n P Me ; 1 2 2 P Me Freq. rel. F l cumulate (F i) F Freq. % cumulate (Pi) 0,011 0 011 0,242 0,589 0,758 , 0,853 0,921 0,968 1 000 1,000 1 1 1,1 24,2 58,9 75,8 , 85,3 92,1 96,8 100 0 100,0 La mediana per dati raggruppati in classi Raccolta dei dati Conclusioni Interpretazione dei risultati Scelta del metodo di analisi I passi per il calcolo della mediana 1. Si ordina la distribuzione in modo non decrescente 2. Si calcola la posizione mediana Posizione mediana n 1 2 n n P Me 1 ; 2 2 n dispari: P Me pari: np 3. Si osserva la classe mediana N Me Linf ampiezza della classe = c NCl Prec 2 c nCl( Med ) ; Me Linf 0,5 FCl Prec fCl( Med ) c Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione La mediana Cristina Davino Per dati raggruppati in classi: n pari: i N Me Linf 0,370 0 370 0,357 0,194 , 0,079 1,000 37,0 37 0 35,7 19,4 7,9 , 100,0 Scelta del metodo di analisi NCl Prec P 2 c nCl( Med ) Frequenze q Freq. q Freq. q Freq. q ass. assolute Relative percentuali cumulate (ni) (fi) (pi) (Ni) 84 81 44 18 227 n n ; 1 2 2 Interpretazione dei risultati P Me M Definizione del problema Raccolta dei dati n 1 Conclusioni n dispari: P Me 2 2. Si calcola la posizione mediana 3 Si osserva il valore 3. l che h occupa la posizione mediana Esempio Tempo per raggiungere i la Facoltà (in min.) 0-|20 0 |20 20-|40 40-|60 >60 Posizione mediana: 1 Si ordina la distribuzione in 1. modo non decrescente 84 165 209 227 Cristina Davino Definizione del problema Freq. q rel. cumulate (Fi) Freq. q % cumulate (Pi) 0,370 0 370 0,727 0,921 1,000 , 37,0 37 0 72,7 92,1 100,0 , I quartili Interpretazione dei risultati Il primo quartile, Q1, è il valore tale che il 25% delle osservazioni è più piccolo di Q1 e il 75% è più grande di Q1 Scelta del metodo di analisi Il terzo quartile, Q3, è il valore tale che il 75% delle più p piccolo di Q3 e il 25% è p più g grande di Q3 osservazioni è p Posizioni occupate dalle unità statistiche Variabile x 1 18 19 2 3 4 5 20 21 22 26 27 28 6 Me 20 Raccolta dei dati Conclusioni 7 114 84 (40 20) 81 8 Q1: 19,5 Q3: 26,5 Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione Cristina Davino Cristina Davino Definizione del problema I quartili Conclusioni Interpretazione dei risultati N non è un numero intero: Q1 è l’elemento che occupa il posto 4 N N N 4 1 nella successione ordinata ( 4 è la parte intera di 4 ) Posizioni occupate dalle unità statistiche 1 2 3 4 5 Definizione del problema Raccolta dei dati Scelta del metodo di analisi I quartili Interpretazione dei risultati Scelta del metodo di analisi N è un numero intero: Q1 è la media aritmetica degli elementi che 4 N N occupano il posto ed il posto 1 nella successione ordinata 4 4 Variabile x 20 21 23 25 26 Raccolta dei dati Conclusioni Posizioni occupate dalle unità statistiche 1 2 3 4 Variabile x 20 21 23 25 Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione Cristina Davino Cristina Davino Definizione del problema La moda Un esempio: un un’impresa impresa produttrice di vasellame Scelta del metodo di analisi Raccolta dei dati Conclusioni Interpretazione dei risultati Scelta del metodo di analisi vuole controllare la qualità della creta utilizzata nella lavorazione. Viene rilevato il numero medio di impurità per cm2 su 410 pezzi Frequenze assolute l t 2 2 5 10 19 20 22 25 26 totale Interpretazione dei risultati 90 16 80 14 70 12 60 frequenza Variabile x La moda Raccolta dei dati Conclusioni La moda è il valore p più frequente q in un insieme di dati Definizione del problema 10 8 6 50 40 30 4 20 2 10 0 14.0 16.0 15.0 18.0 17.0 20.0 19.0 22.0 21.0 24.0 23.0 26.0 25.0 28.0 27.0 30.0 29.0 31.0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 numero medio di impurità per cm2 Reddito pro capite 1997 (in milioni di lire) Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione Cristina Davino Definizione del problema La moda Raccolta dei dati Conclusioni Interpretazione dei risultati Osservazione: la creta utilizzata Scelta del metodo di analisi proviene da due diverse cave cava1 cava2 Cristina Davino Definizione del problema Un “caso studio” Nome Posizione in graduatoria Età Residenza Precedenti esperienze Punteggio Interpretazione Scelta del metodo di analisi dei risultati Marchi S. 1 24 MC SI Loreti G. 2 43 MC SI 165 155 Baresi C. 3 34 Prov. MC NO 113 90 Rossi M. 4 27 Altra regione NO 98 80 Bianchi S. 5 36 Prov. MC NO 91 70 1. Definire il profilo socio-anagrafico dei primi 5 classificati 60 Fre equenza Raccolta dei dati Conclusioni 50 Età media: (24+43+34+27+36)/5=32.8 40 Punteggio medio: (165+155+113+98+91)/5=124.4 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Numero di impurità per cm2 La presenza di due L d mode d in i una distribuzione di t ib i può ò essere dovuta alla presenza di due gruppi di unità distinti rispetto ad una variabile non osservata Età mediana 24 27 34 36 43 Punteggio mediano 91 98 113 155 165 Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione Cristina Davino Cristina Davino Definizione del problema Altri indici “robusti” I quartili I percentili I quantili I decili Raccolta dei dati Conclusioni Definizione del problema Interpretazione dei risultati Qualche considerazione Scelta del metodo di analisi La moda Raccolta dei dati Conclusioni Interpretazione dei risultati Scelta del metodo di analisi La scelta dell’indice di tendenza centrale dipende dal tipo e dalle caratteristiche della distribuzione; Le medie troncate Più che individuare l’indice “migliore g in assoluto” ((che non esiste), ), è importante anche valutare le differenze tra le diverse misure, che possono fornire ulteriori, importanti informazioni anche, ad esempio, sulla forma della distribuzione; C Caratteri, i informazione i f i e indici i di i Variabili q quantitative Media,, Mediana,, Moda Mutabili ordinabili Mediana, Moda Mutabili sconnesse Moda Volendo comunque definire delle caratteristiche dei diversi indici di posizione, possiamo dire che: (Piccolo, 2004) Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione Cristina Davino Cristina Davino Definizione del problema Qualche considerazione Conclusioni Interpretazione dei risultati Definizione del problema Raccolta dei dati Dove e come studiare Scelta del metodo di analisi La moda è utile quando occorre “minimizzare gli scontenti”, e quindi in tutte quelle situazioni in cui il consenso e il numero delle singole unità ha significato per la decisione. decisione In breve, breve la moda è un indice per governare; Interpretazione dei risultati • Raccolta dei dati Conclusioni Scelta del metodo di analisi Libro di testo: D. Piccolo (2004) – Statistica per le decisioni – Il Mulino. Cap. 4 (escluso pagine da 78 a 81 e paragrafo 4.8) • Libro di testo: S. S Borra, B A. A Di Ci Ciaccio i (2008) – Statistica St ti ti – Metodologie M t d l i per le l scienze economiche e sociali – McGraw-Hill. Cap. 3 (escluso paragrafo 3.3) La mediana minimizza i costi complessivi ed è resistente ai valori estremi. Quindi, la mediana è un indice per decisioni che implicano costi elevati nei casi estremi; La media aritmetica è il baricentro dei dati e propone, quindi, un valore che equi-ripartisce il fenomeno tra le unità statistiche, pervenendo così a decisioni nelle quali contano, contano a parità numerica, numerica gli estremi molto più dei valori centrali. Quindi, la media aritmetica è un indice di equilibrio generale. Esercizio n. 1 – punto 5 Esercizio n. 2 File “esercizi indici sintetici.pdf” p Esercizio n.3 – punto c Esercizio n. 4 Esercizio n. 5 – punto a E Esercizio i i n. 7 – punto t c Esercizio n. 12 – punto b Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali a.a. 2014 2014--2015 Gli indici di posizione Cristina Davino Definizione del problema Riepilogo Gli iindici di i sintetici: i t ti i tendenza t d centrale t l Conclusioni Interpretazione dei risultati Media (nel caso di una distribuzione unitaria semplice, di una di t ib i distribuzione di ffrequenza, di una di distribuzione t ib i iin classi) l i) Moda (nel caso di una distribuzione unitaria semplice, di una di t ib i distribuzione di ffrequenza, di una di distribuzione t ib i iin classi) l i) Mediana (nel caso di una distribuzione unitaria semplice, di una distribuzione di t ib i di ffrequenza, di una di distribuzione t ib i iin classi) l i) Quartili (nel caso di una distribuzione unitaria semplice, di una distribuzione di t ib i di ffrequenza, di una di distribuzione t ib i iin classi) l i) Decili, percentili Raccolta dei dati Scelta del metodo di analisi
