x x xx M + + + n n M =

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a.a. 2014
2014--2015 Gli indici di posizione
Cristina Davino
Gli indici sintetici
Tendenza
T
d
centrale
t l
Forma
Variabilità
Definizione
del problema
Raccolta
dei dati
Conclusioni
Interpretazione
dei risultati

Consentono il passaggio da una pluralità
à di informazioni ad
un’unica misura numerica;

Sintetizzano l’intera distribuzione in un singolo valore,
consentendo così confronti nel tempo, nello spazio o tra
circostanze differenti;

In alcuni casi, consentono di verificare se le conseguenze di
una determinata azione abbiano prodotto il risultato
desiderato, in quale direzione e con quale intensità.
Scelta del
metodo di analisi
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Cristina Davino
Gli indici sintetici
Posizione
P
i i
Forma
Variabilità
Interpretazione
dei risultati
Scelta del
metodo di analisi
Dipendono dalla natura della variabile che si sta
esaminando e sono espressi nella stessa unità di
misura della variabile.
 Indici
Sono svincolati dall’unità di misura perché
costruiti come rapporti tra indici assoluti o tra
indici assoluti e loro valori estremi. Sono, quindi,
numeri puri, utili per confrontare fenomeni
omogenei.
relativi
 Indici
normalizzati
Definizione
del problema
Raccolta
dei dati
Conclusioni
 Indici
assoluti
Cristina Davino
Definizione
del problema
Sono particolari indici relativi che variano in un
intervallo finito, generalmente in [0, 1] oppure in
[-1, +1].
Sono, quindi, di immediata interpretazione.
La media aritmetica
Conclusioni
Esempio: distribuzione unitaria semplice
unità età
1
35
2
37
3
59
4
54
5
44
6
38
7
62
8
71
9
56
10
60
11
33
12
46
13
41
14
53
15
38
16
55
17
50
18
63
19
35
20
51
totale 981
M
Interpretazione
dei risultati
981
 49,05
20
k
x  x  ...  xn
M 1 2

n
x
i 1
n
i
Raccolta
dei dati
Scelta del
metodo di analisi
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Cristina Davino
k
La media aritmetica
M
Esempio:
distribuzione di frequenze
Età
studenti
t d ti
del Corso
(xi)
Frequenze
assolute
(ni)
18
19
20
21
22
23
24
25
Totale
2
44
66
32
18
13
9
6
190
 x n
i
i 1
i
Definizione
del problema
Raccolta
dei dati
Conclusioni
n
k
M   xi 
i 1
Cristina Davino
Definizione
del problema
Interpretazione
dei risultati
ni
n
x*n
Freq.
Relative
(fi)
x*f
36
836
1320
672
396
299
216
150
3925
0,011
0
011
0,232
0,347
0 168
0,168
0,095
0,068
0 047
0,047
0,032
1,000
0,2
0
2
4,4
6,9
35
3,5
2,1
1,6
11
1,1
0,8
20,7
Scelta del
metodo di analisi
La media aritmetica
Esempio: distribuzione in classi
Tempo per
raggiungere la
Facoltà
(in min.)
(
)
0 -|20
20 -|40
40 -|60
|60
60 -|120
Totale
Frequenze
assolute
(ni)
Raccolta
dei dati
Conclusioni
valori
centrali (c)
84
81
44
18
227
10
30
50
90
Interpretazione
dei risultati
Scelta del
metodo di analisi
c*n
840
2430
2200
1620
7090
In questo caso, la soluzione più
ù comune consiste
nell’utilizzare il valore centrale delle classi
M
3925
M
 20,7
190
7090
 31,2
227
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La media aritmetica
Cristina Davino
M

x
Conclusioni
k
Media semplice:
M
Media con dati organizzati in
f
frequenze:
M
Media con le frequenze
relative:
 xi  ni
i 1
n
k
 x n
i
Media con dati organizzati
g
in
classi:
M
i
i1
k
i 1
Interpretazione
dei risultati
Definizione
del problema
Raccolta
dei dati
Scelta del
metodo di analisi
La media aritmetica: le proprietà
1 Criterio di
1.
internalità
La m.a.
m a è sempre compresa tra il minimo
e il massimo della distribuzione osservata:
Raccolta
dei dati
Conclusioni
Interpretazione
dei risultati
Scelta del
metodo di analisi
2. La media
La somma degli scarti dalla media è nulla:
n
come baricentro
 x  
i 1
i
0
3. Linearità Se la variabile X ha media , allora la variabile Y=a+bX
della m.a. ha media pari a a+bM :
n
M   xi 
Cristina Davino
Definizione
del problema
ni
n
Questa proprietà implica che:
.)) Se si aggiunge o si sottrae una costante a alla variabile X,
X la media sarà
modificata dello stesso ammontare (caso b=1)
C
c n
i 1
i
n
i
.)) Se la variabile X è moltiplicata per un coefficiente
moltiplicata per lo stesso ammontare (caso a=0)
b costante, la media risulterà
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Cristina Davino
Cristina Davino
Definizione
del problema
La media aritmetica: le proprietà
Raccolta
dei dati
Conclusioni
La media di una variabile osservata in p
più g
gruppi
pp
4 Proprietà
4.
associativa può essere ottenuta come media delle medie dei
singoli gruppi, tenuto conto della eventuale
della m.a.
Definizione
del problema
Interpretazione
dei risultati
Scelta del
metodo di analisi
Data una popolazione su cui è definita una variabile X con media , se
dividiamo la popolazione in k gruppi
gruppi, di numerosità n1, n2, …, nk, si ha:
2
i
i
7
Interpretazione
dei risultati
Genere
Scelta del
metodo di analisi
Kindle
La paura di Montalbano
10
Copertina rigida
Racconti di Montalbano
12
Copertina rigida
La tripla vita di Michele Sparacino (La scala)
3
Kindle
3,5
Kindle
Prezzo medio: 7,1€
7 1€
1. Criterio di internalità
La media aritmetica rende minima la somma
degli scarti al quadrato:
 x  
Raccolta
dei dati
Conclusioni
Prezzo
in €
Acqua in bocca
n1
n
n
 2  2    k  k
n
n
n
5. Minimizzazione dei
quadrati degli scarti
Libri
La gita a Tindari (La memoria)
differente numerosità:
  1 
La media aritmetica: le proprietà
3  7,1  12
(7-7,1) + (10-7,1)+(12-7,1)+(3-7,1)+(3,5-7,1)=0
2. La media
come baricentro
 min
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Cristina Davino
Cristina Davino
Definizione
del problema
La media aritmetica: le proprietà
Libri
Conclusioni
Prezzo
in €
La gita a Tindari (La memoria)
7
La paura di Montalbano
10
Racconti di Montalbano
12
Acqua in bocca
La tripla vita di Michele Sparacino (La scala)
Interpretazione
dei risultati
Prezzo
in $
7.9
Definizione
del problema
Raccolta
dei dati
Scelta del
metodo di analisi
La media aritmetica: le proprietà
Libri
Prezzo
in €
La gita a Tindari (La memoria)
7
11.3
La paura di Montalbano
10
13.6
Racconti di Montalbano
12
3
34
3.4
Acqua in bocca
3,5
3.9
La tripla vita di Michele Sparacino (La scala)
Interpretazione
dei risultati
Genere
Cambio €/$: 1,13
P e o medio in Dolla
Prezzo
Dollari:
i 7
7,1
1*1
1,13=8,02
13 8 02
4. Proprietà
associativa
della m.a.
Copertina rigida
Copertina rigida
3
Kindle
3,5
Kindle
Prezzo medio Kindle: 4,5€
Prezzo medio Copertina rigida: 11€
Prezzo medio:
4,5  3  11 2  7,1
5
Scelta del
metodo di analisi
Kindle
Prezzo medio: 7,1€
3. Linearità
della m.a.
Raccolta
dei dati
Conclusioni
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Cristina Davino
Cristina Davino
Definizione
del problema
La media aritmetica: le proprietà
Prezzo
P
in €
7
(P
(Prezzo-media)^2
di )^2
0.01
Raccolta
dei dati
Conclusioni
Interpretazione
dei risultati
(P
(Prezzo-c)^2
)^2
Definizione
del problema
8.41
0
12
24.01
4
3
16.81
49
3,5
12.96
42.25
Totale
62 2
62.2
104 25
104.25
5. Minimizzazione dei
quadrati degli scarti
Voto
Scelta del
metodo di analisi
9
10
La media aritmetica ponderata
Prezzo medio: 7,1€
c= 10
Esame
Crediti
Stud.
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
4
6
4
5
12
8
9
9
7
5
10
5
10
6
10
4
4
12
130
25
30
30
28
22
27
25
30
24
30
20
27
26
28
22
30
30
22
476
Voto*Crediti
Voto
Crediti
Stud.
Y
Stud.
X
Stud.
Y
25
30
27
24
22
30
25
28
30
30
27
20
28
26
30
22
22
30
476
100
180
120
140
264
216
225
270
168
150
200
135
260
168
220
120
120
264
3320
100
180
108
120
264
240
225
252
210
150
270
100
280
156
300
88
88
360
3491
Raccolta
dei dati
Conclusioni
Interpretazione
dei risultati
Scelta del
metodo di analisi
n
x p
 X  
p
i
i 1
i
i
i

3320
 25,5
25 5
130
n
y  p
 Y  
p
i
i 1
i

i
i
3491
 26, 9
130
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Cristina Davino
Cristina Davino
Definizione
del problema
La media aritmetica
Raccolta
dei dati
Conclusioni
Interpretazione
dei risultati
5
15
25
Definizione
del problema
Le medie “robuste”
Scelta del
metodo di analisi
Raccolta
dei dati
Conclusioni
Interpretazione
dei risultati
Scelta del
metodo di analisi
La mediana
35
La mediana,, Me,, è il valore assunto dall’unità statistica che
occupa la posizione centrale della distribuzione ordinata in modo
non decrescente.
5
15
15
25
25
35
45
E’ un indice “robusto” in quanto non dipende da variazioni che si
verificano nelle code della distribuzione (dove si possono trovare
i c.d.
c d “valori
valori anomali”)
anomali )
La mediana è è il valore assunto dall’unità
dall unità statistica che divide il
collettivo in due parti di uguale numerosità: una parte formata
dalle unità che presentano una modalità inferiore o uguale a
quella dell
dell’unità
unità centrale e una parte formata dalle unità che
presentano una modalità superiore o uguale a quella dell’unità
centrale
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a.a. 2014
2014--2015 Gli indici di posizione
Cristina Davino
Cristina Davino
Definizione
del problema
Le medie “robuste”
Definizione
del problema
Raccolta
dei dati
Conclusioni
Interpretazione
dei risultati
2. Si calcola la posizione mediana
pari:
np
Pos  Me  
Interpretazione
dei risultati
Scelta del
metodo di analisi
La mediana è l’osservazione che, nella serie ordinata dei dati, lascia
alla sua destra il 50% delle osservazioni e alla sinistra il 50% delle
osservazioni.
osservazioni
Posizioni
n1
occupate dalle Variabile x
Posizione mediana: Pos  Me  
unità statistiche
2
1. Si ordina la distribuzione in modo non decrescente
Posizione mediana
Raccolta
dei dati
Conclusioni
Scelta del
metodo di analisi
I passi per il calcolo della mediana
n dispari: Pos  Me  
La mediana
n 1
2
1
2
3
4
5
n
n
;
1
2
2
19
22
25
26
27
Mediana: 25
(Media=23,8)
3. Si osserva il valore che occupa la posizione mediana
Posizioni
occupate dalle
unità statistiche
1
2
3
4
Posizione mediana Pos  Me  
Variabile x
19
22
25
26
n
n
;
1
2
2
Mediana: 23,5
(Media=23)
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Cristina Davino
Cristina Davino
Definizione
del problema
La mediana
Conclusioni
Interpretazione
dei risultati
Esempio
Età studenti
del Corso
18
19
20
21
22
23
24
25
1. Si ordina la distribuzione in
modo non decrescente
Posizione mediana:
2. Si calcola la posizione
mediana
n dispari:
3. Si osserva il valore che
occupa la posizione mediana
n pari:
Frequenze
F
F
Freq.
F
Freq.
Freq. ass.
F
assolute Relative percentuali cumulate
(n i)
(N i)
(f i)
(p i)
2
44
66
32
18
13
9
6
190
0,011
0
011
0,232
0,347
,
0,168
0,095
0,068
0,047
0 032
0,032
1,000
1 1
1,1
23,2
34,7
16,8
,
9,5
6,8
4,7
3 2
3,2
100,0
2
46
112
144
162
175
184
190
Definizione
del problema
Raccolta
dei dati
Scelta del
metodo di analisi
n 1
2
n
n
P  Me  
;
1
2
2
P  Me  
Freq. rel.
F
l
cumulate
(F i)
F
Freq.
%
cumulate
(Pi)
0,011
0
011
0,242
0,589
0,758
,
0,853
0,921
0,968
1 000
1,000
1 1
1,1
24,2
58,9
75,8
,
85,3
92,1
96,8
100 0
100,0
La mediana per dati raggruppati
in classi
Raccolta
dei dati
Conclusioni
Interpretazione
dei risultati
Scelta del
metodo di analisi
I passi per il calcolo della mediana
1. Si ordina la distribuzione in modo non decrescente
2. Si calcola la posizione mediana
Posizione mediana
n 1
2
n
n
P  Me  
1
;
2
2
n dispari: P  Me  
pari:
np
3. Si osserva la classe mediana
N
Me  Linf 
ampiezza
della classe = c
 NCl Prec


2
c
nCl( Med )
;
Me  Linf 
0,5  FCl Prec

fCl( Med )

c
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2014--2015 Gli indici di posizione
La mediana
Cristina Davino
Per dati raggruppati
in classi:
n pari:
i
N
Me  Linf 
0,370
0
370
0,357
0,194
,
0,079
1,000
37,0
37
0
35,7
19,4
7,9
,
100,0
Scelta del
metodo di analisi
 NCl Prec
P 
2
c
nCl( Med )
Frequenze
q
Freq.
q
Freq.
q
Freq.
q ass.
assolute Relative percentuali cumulate
(ni)
(fi)
(pi)
(Ni)
84
81
44
18
227
n
n
;
1
2
2
Interpretazione
dei risultati
P  Me
M 
Definizione
del problema
Raccolta
dei dati
n 1
Conclusioni
n dispari: P  Me   2
2. Si calcola la posizione
mediana
3 Si osserva il valore
3.
l
che
h
occupa la posizione mediana
Esempio
Tempo per
raggiungere
i
la Facoltà
(in min.)
0-|20
0
|20
20-|40
40-|60
>60
Posizione mediana:
1 Si ordina la distribuzione in
1.
modo non decrescente
84
165
209
227
Cristina Davino
Definizione
del problema
Freq.
q rel.
cumulate
(Fi)
Freq.
q %
cumulate
(Pi)
0,370
0
370
0,727
0,921
1,000
,
37,0
37
0
72,7
92,1
100,0
,
I quartili
Interpretazione
dei risultati
Il primo quartile, Q1, è il valore tale che il 25% delle
osservazioni è più piccolo di Q1 e il 75% è più grande di Q1
Scelta del
metodo di analisi
Il terzo quartile, Q3, è il valore tale che il 75% delle
più p
piccolo di Q3 e il 25% è p
più g
grande di Q3
osservazioni è p
Posizioni
occupate dalle
unità statistiche
Variabile x
1
18
19
2
3
4
5
20
21
22
26
27
28
6
Me  20 
Raccolta
dei dati
Conclusioni
7
114  84
(40  20)
81
8
Q1: 19,5
Q3: 26,5
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
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a.a. 2014
2014--2015 Gli indici di posizione
a.a. 2014
2014--2015 Gli indici di posizione
Cristina Davino
Cristina Davino
Definizione
del problema
I quartili
Conclusioni
Interpretazione
dei risultati

N
non è un numero intero: Q1 è l’elemento che occupa il posto
4
N
N 
N 
 4   1 nella successione ordinata (  4  è la parte intera di 4 )
Posizioni
occupate dalle
unità statistiche
1
2
3
4
5
Definizione
del problema
Raccolta
dei dati
Scelta del
metodo di analisi
I quartili

Interpretazione
dei risultati
Scelta del
metodo di analisi
N
è un numero intero: Q1 è la media aritmetica degli elementi che
4
N
N
occupano il posto
ed il posto
 1 nella successione ordinata
4
4
Variabile x
20
21
23
25
26
Raccolta
dei dati
Conclusioni
Posizioni
occupate dalle
unità statistiche
1
2
3
4
Variabile x
20
21
23
25
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
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2014--2015 Gli indici di posizione
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Cristina Davino
Cristina Davino
Definizione
del problema
La moda
Un esempio: un
un’impresa
impresa produttrice di vasellame
Scelta del
metodo di analisi
Raccolta
dei dati
Conclusioni
Interpretazione
dei risultati
Scelta del
metodo di analisi
vuole controllare la qualità della creta utilizzata nella
lavorazione. Viene rilevato il numero medio di impurità
per cm2 su 410 pezzi
Frequenze
assolute
l t
2
2
5
10
19
20
22
25
26
totale
Interpretazione
dei risultati
90
16
80
14
70
12
60
frequenza
Variabile x
La moda
Raccolta
dei dati
Conclusioni
La moda è il valore p
più frequente
q
in un insieme di dati
Definizione
del problema
10
8
6
50
40
30
4
20
2
10
0
14.0
16.0
15.0
18.0
17.0
20.0
19.0
22.0
21.0
24.0
23.0
26.0
25.0
28.0
27.0
30.0
29.0
31.0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
numero medio di impurità per cm2
Reddito pro capite 1997 (in milioni di lire)
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2014--2015 Gli indici di posizione
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Cristina Davino
Definizione
del problema
La moda
Raccolta
dei dati
Conclusioni
Interpretazione
dei risultati
Osservazione: la creta utilizzata
Scelta del
metodo di analisi
proviene da due diverse cave
cava1
cava2
Cristina Davino
Definizione
del problema
Un “caso studio”
Nome
Posizione in
graduatoria
Età
Residenza
Precedenti
esperienze
Punteggio
Interpretazione
Scelta del
metodo di analisi
dei risultati
Marchi S.
1
24
MC
SI
Loreti G.
2
43
MC
SI
165
155
Baresi C.
3
34
Prov. MC
NO
113
90
Rossi M.
4
27
Altra regione
NO
98
80
Bianchi S.
5
36
Prov. MC
NO
91
70
1. Definire il profilo socio-anagrafico dei primi 5 classificati
60
Fre
equenza
Raccolta
dei dati
Conclusioni
50
Età media: (24+43+34+27+36)/5=32.8
40
Punteggio medio: (165+155+113+98+91)/5=124.4
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Numero di impurità per cm2
La presenza di due
L
d mode
d in
i una distribuzione
di t ib i
può
ò essere
dovuta alla presenza di due gruppi di unità distinti rispetto ad
una variabile non osservata
Età mediana
24
27
34
36
43
Punteggio mediano
91
98
113
155
165
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2014--2015 Gli indici di posizione
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Cristina Davino
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Definizione
del problema
Altri indici “robusti”


I quartili

I percentili

I quantili
I decili
Raccolta
dei dati
Conclusioni


Definizione
del problema
Interpretazione
dei risultati
Qualche considerazione
Scelta del
metodo di analisi
La moda
Raccolta
dei dati
Conclusioni
Interpretazione
dei risultati
Scelta del
metodo di analisi
 La scelta dell’indice di tendenza centrale dipende dal tipo e dalle
caratteristiche della distribuzione;
Le medie troncate
 Più che individuare l’indice “migliore
g
in assoluto” ((che non esiste),
), è
importante anche valutare le differenze tra le diverse misure, che
possono fornire ulteriori, importanti informazioni anche, ad esempio,
sulla forma della distribuzione;
C
Caratteri,
i informazione
i f
i
e indici
i di i
Variabili q
quantitative
Media,, Mediana,, Moda
Mutabili ordinabili
Mediana, Moda
Mutabili sconnesse
Moda
 Volendo comunque definire delle caratteristiche dei diversi indici di
posizione, possiamo dire che: (Piccolo, 2004)
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Cristina Davino
Cristina Davino
Definizione
del problema
Qualche considerazione
Conclusioni
Interpretazione
dei risultati
Definizione
del problema
Raccolta
dei dati
Dove e come studiare
Scelta del
metodo di analisi
 La moda è utile quando occorre “minimizzare gli scontenti”, e quindi
in tutte quelle situazioni in cui il consenso e il numero delle singole
unità ha significato per la decisione.
decisione In breve,
breve la moda è un indice per
governare;
Interpretazione
dei risultati
•
Raccolta
dei dati
Conclusioni
Scelta del
metodo di analisi
Libro di testo: D. Piccolo (2004) – Statistica per le decisioni – Il Mulino.
Cap. 4 (escluso pagine da 78 a 81 e paragrafo 4.8)
•
Libro di testo: S.
S Borra,
B
A.
A Di Ci
Ciaccio
i (2008) – Statistica
St ti ti – Metodologie
M t d l i per le
l
scienze economiche e sociali – McGraw-Hill.
Cap. 3 (escluso paragrafo 3.3)
 La mediana minimizza i costi complessivi ed è resistente ai valori
estremi. Quindi, la mediana è un indice per decisioni che implicano
costi elevati nei casi estremi;

La media aritmetica è il baricentro dei dati e propone, quindi, un
valore che equi-ripartisce
il fenomeno tra le unità statistiche,
pervenendo così a decisioni nelle quali contano,
contano a parità numerica,
numerica gli
estremi molto più dei valori centrali. Quindi, la media aritmetica è un
indice di equilibrio generale.
Esercizio n. 1 – punto 5
Esercizio n. 2
File “esercizi indici sintetici.pdf”
p
Esercizio n.3 – punto c
Esercizio n. 4
Esercizio n. 5 – punto a
E
Esercizio
i i n. 7 – punto
t c
Esercizio n. 12 – punto b
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Cristina Davino
Definizione
del problema
Riepilogo
Gli iindici
di i sintetici:
i t ti i tendenza
t d
centrale
t l
Conclusioni
Interpretazione
dei risultati
 Media (nel caso di una distribuzione unitaria semplice, di una
di t ib i
distribuzione
di ffrequenza, di una di
distribuzione
t ib i
iin classi)
l
i)
 Moda (nel caso di una distribuzione unitaria semplice, di una
di t ib i
distribuzione
di ffrequenza, di una di
distribuzione
t ib i
iin classi)
l
i)
 Mediana (nel caso di una distribuzione unitaria semplice, di
una distribuzione
di t ib i
di ffrequenza, di una di
distribuzione
t ib i
iin classi)
l
i)
 Quartili (nel caso di una distribuzione unitaria semplice, di
una distribuzione
di t ib i
di ffrequenza, di una di
distribuzione
t ib i
iin classi)
l
i)
 Decili, percentili
Raccolta
dei dati
Scelta del
metodo di analisi