A NNALI
DELLA
S CUOLA N ORMALE S UPERIORE DI P ISA
Classe di Scienze
A. T OGNOLI
G. T OMASSINI
Teoremi d’immersione per gli spazi analitici reali
Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 3e série, tome 21,
no 4 (1967), p. 575-598
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TEOREMI D’IMMERSIONE PER GLI SPAZI
ANALITICI REALI
A. TOGNOLI - G. TOMASSINI
(*)
Introduzione.
questo lavoro si dimostrano i seguenti teoremi :
1) Sia X un (1R)-spazio analitico di dimensione n e sia %2n+1 (.~) lo
spazio delle applicazioni analitiche reali di X in 1R2n+1 , con la topologia
della convergenza uniforme sui compatti. Allora l’insieme delle applicazioni
99 E 92~+i (X) che sono iniettive e proprie è denso in %2"+1 (X) (Corollario 3).
2) Se X è coerente allora l’insieme delle applicazioni g E
(X)
iniettive, proprie, regolari nei punti regolari di X e tali che g (X) sia un
è denso in ~2’~+~ (X). In particolare ogni
sottoinsieme analitico di
varietà analitica reale con topologia a base numerabile, di dimensione n, è
isomorfa ad una sottovarietà di 1R2?’+1 (Teorema 2 e Corollario 2).
3) Se X è coerente ed è localmente isomorfo ad un sottoinsieme analitico reale di un aperto di
n) allora esiste un’applicazione analitica
reale g :
che è iniettiva, propria ed è un isomorfismo di X sul
sottoinsieme analitico reale g (X) di
(Teorema 4).
Si osservi che N è un limite superiore per la dimensione dello spazio
tangente di Zariski in ogni punto di X.
É noto che (cf. [4]) se X è un (IR)-spazio analitico di dimensione
esiste uno spazio di Stein X, di dimensione n, su cui è definita un’« antiinIn
voluzione »
o :
i-&#x3E; i
tale che
dai risultati di Narasimhan (cf. [3]) si possono ottenere teoremi d’immersione per gli
analitici di dimensione n, in 1R4n+2.
Da ciò
e
Pervenuto alla R,edazione il 6 Aprile 1967 ed in forma definitiva il 3 Maggio 1967.
(1f) Lavoro eseguito nell’ambito del gruppo di ricerca n. 35 del C.N.R. nell’anno ac-
cademico 1966-67.
576
Sia
N
l’insieme delle
N
iÙ§ (a (X ))
~
N
=
Per
applicazioni
tali che
N
q~ (X ) per
ogni
x
E X.
dei teoremi d’immersione in 1R4n+2 ricalcando passo passo
la dimostrazione di Narasimhan ([3]) si prova che l’insieme delle applicazioni
mezzo
(X )
ÙÙÉ É
che
sono
iniettive, proprie
e
regolari
nei
punti regolari
di
X
(ài)
è denso in
(Teorema 1).
Da questo risultato seguono i teoremi enunciati dapprincipio.
Ringraziamo A. Andreotti per utili discussioni avute nella preparazione
del presente lavoro.
§ 1. Generalità.
per comodità del lettore, alcune definizioni
utilizzate nel lavoro.
Uno spazio anulato si dice spazio analitico (ridotto) reale
a.
che
Riportiamo,
e
proprietà
saranno
mente
complesso)
(rispettiva-
se :
1) è di Hausdorff e soddisfa al secondo assioma di numerabilità
2) è localmente isomorfo ad un sottoinsieme analitico (ridotto) di 1R.n
(rispettivamente di
Se X, Y sono due spazi analitici,
anulati)
nel
caso
g~ : X- Y
sono
reali o complessi, i morfismi (di spazi
comunemente detti applicazioni analitiche (olomorfe
complesso).
Dicesi spazio con fascio di anelli locali, uno spazio topologico Y su cui
è definito un fascio di anelli locali Ox, detto fascio strutturale.
Un iiiorfismo y
( f, 19) fra due spazi con fasci di anelli locali : (X,
è, per definizione, il dato di un’applicazione continua f : X-+ Y e
(Y,
di un omomorfismo, lS : Òyche induce degli omomorfismi di anelli
locali :
(ove
Ox, x sono le spighe di Oy ed Ox
nei punti f (x) ed x).
Un morfismo di dice un isomorfismo se ammette un inverso.
Sia ora lk un corpo valutato completo (nel seguito con ’I~ indicheremo
il corpo reale o complesso) e lkn il prodotto topologico di n copie di ’I~.
il fascio dei germi delle funzioni analitiche defiIndicheremo con
Sia G un aperto di
noteremo con AG la
nite in 1kn, a valori in
=
restrizione di
a
G.
Per ogni aperto G di 1kn la coppia (G, AG ) è uno spazio con fascio di
anelli locali.
Sia I un fascio di ideali di AG generato da un numero finito di funzioni analitiche, definite su tutto G. Notiamo con 8 (I) il supporto di
577
è uno spazio con fascio di anelli locali. Un tale
coppia (S (I),
spazio viene detto 1k-spazio analitico locale. Supponiamo ora che I’ sia un
I.
secondo fascio di ideali di AG finitamente generato e sia
In questo caso si ha l’immersione f : ~S (I’) -~ ~ (I), e 1’omomorfismo cae
nonico 19 : AG/I -+ AGII’. Il dato del 1k spazio analitico locale (8 (1’),
La
del morfismo ( f, ~9) è detto sotto
Diamo infine la seguente :
1k-spalzio
analitico locale di
(S (I), AGII).
DEFINIZIONE. Dicesi 1k-Rpazio analitico uno spazio di Hausdorff (1), con
fascio di anelli locali (X,
tale che :
sia iso1) per ogni x E X esista un aperto U 3 x tale che
morfo ad un lk-spazio analitico locale.
2) la topologia di .X sia a base numerabile.
Diremo realizzazione di un aperto U di X un isomorfismo fra (U, OXv)
ed un lk-spazio analitico locale. Il dato di Ú e della realizzazione dicesi
carta locale.
Dicesi sotto 1k-spazio analitico di
0-x) un lk-spazio analitico (Y, Oy),
tale che Y sia un sottospazio topologico di X, e sia definito un morfismo
soddisfacente le condizioni :
i) f : Y - f(Y) è l’applicazione identica ed./’(Y)
è localmente chiuso
in X
ii) ( Y, Oy) col morfismo (f, v) è localmente un sotto lk-spazio analitico
locale di (X,
è uno spazio con fascio
un 1R-spazio analitico:
Sia
di anelli locali.
Dato un m-spazio analitico (X,
} diremo Ox -co&#x3E;ipiessifioazione (od Ox.
un (t-spazio analitico (Y,
e di un moril
di
di
.X
dato
c01nplessificato)
fismo
sia
tale che :
in Y e
sia un isomorfismo di ( Y,
dello spazio complessificato di
1’applicazione identica, f (X) sia chiuso
e
(X, Ox(9 C).
(X,
è unico.
Si prova
(cf. [4])
che il germe
(1) L’ipotesi che X sia di Hausdorff non è essenziale ad una teoria dei k-spazi analitici. Noi la introduciamo perchè nel seguito saremo interessati solo a spazi separati.
578
Sia IT il sottofascio di Ox dei germi di sezioni s di
nilpotenti.
uno
Il fascio IT è un fascio di ideali e lo spazio anulato (X,
analiad
cioè
localmente
isomorfo
un
analitico
sottoinsieme
spazio
(ridotto)
munito del fascio delle funzioni analitiche su A.
tico A di un aperto di
ed
è un sottospazio di
Se
lo spazio ridotto
=
il suo fascio strutturale è coerente. Ciò può non essere vero nel caso ’[~
1R
H. Cartan [1]).
si chiama lo spazio analitico
In ogni caso lo spazio anulato
Lo si indica brevemente con X.
iidotto associato ad (X,
Nel caso reale, secondo la terminologia adottata, lo spazio ridotto può
(cf.
non essere un
1R spazio.
Consideriamo un C spazio analitico locale dato su un aperto C di Cn
mediante un fascio di ideali I, generato da un numero finito di funzioni
olomorfe f~ , .., ,’18 su G.
Posto 8 (1)
= fs (x)
0 ~ esso è il supporto del fascio
(x E G : fl (s)
AG/I (ove AG è il fascio dei germi delle funzioni olomorfe su G) e lo spazio
considerato è dato da
_
=
=
...
ogni generatore fr la parte reale dalla parte immaginaria :
identifichiamo (tn ad 1R2n e consideriamo il fascio di ideali
(= fascio dei germi di funzioni analitiche reali su G) generato
Separiamo
in
fr = f r -~- i f r’;
IR di
AG
dalle funzioni f 11...
È chiaro che
, f s ; /i’... ,f s’ .
Possiamo considerare
Si verifica che
1’1R-spazio
analitico reale :
nè dalla realizzazione
del primo (t-spazio analitico locale come sottospazio di un aperto di
@
nè dalla scelta di un sistema di generatori dell’ideale I della realizzazione
locale.
Questo spazio si chiamerà 1’1R-spazio soggiacente al C-spazio analitico
locale dato.
Questa nozione si trasporta poi ai C-spazi analitici e permette di associare canonicamente ad ogni C-spazio analitico (X,
IIJR-spazio analitico
reale soggiacente (XR, Ò ~).
questo secondo spazio
non
dipende,
579
del corpo complesso è un automorfismo tale che o2
id.
Questo definisce su CI, un automorfismo antilineare involutivo che chiameremo ancora con i. Data una funzione olomorfa j: G -~ (~ definita su un
aperto G di CI esiste, unica, una funzione olomorfa f a su o (G) tale che il
Il
coniugio
=
o
diagramma :
sia commutativo.
Si definisce
un
automorfismo antilineare di fasci :
Sia (X,
un C spazio analitico locale su G definito da ~~n fascio di
ideali I su G : (X,
ove 8 (I) è il snpporto di
(8 (I),
Si consideri su o (G) il C-spazio analitico locale (S (0* (I )),
ove
S (6~ (I)) è il supporto di al (I). Questo secondo C-spazio non è, in generale,
isomorfo al primo ma esiste un antiisomorfismo (6, 6~) che fa passare dal
primo al secondo.
Il C-spazio analitico (8 (0* (I)),
(I)) si chiamerà il coniugato di
si
verifica
la
struttura
che
sua
non dipende dalla realizzazione
(8 (I),
del primo C-spazio nell’aperto di ~n .
La nozione si trasporta ai (t-spazi analitici e permette di definire per
ogni tale spazio un nuovo spazio coniugato del precedente ed un « antiisomorfismo » del primo sul secondo.
=
Dato
al
un
C spazio
analitico
(X,
)
(X, (9
può
ed anzi sia
accadere che
(XR,
esso
sia
somorfo
spazio analitico coincide, con la sua struttura reale soggiacente, con il coniugato.
In questo caso l’antiisomorfismo che fa passare dal C-spazio al suo coniugato diviene un antiisomorfismo di (X, Og) in sè che verrà detto antiinsuo
spazio coniugato
x
cioè il
=
x
x
(X,
voluzione di
0~ ).
Si può notare che un’antiinvoluzione induce
un
isomorfismo delle strut-
ture reali
soggiacenti.
Osserviamo in particolare
è definita an’antiinvoluzione
a :
che
se
X
X --~ X
e
è
varietà complessa su cui
z~". zn è un sistema di coordinate
una
580
in
un
intorno di un punto E ~ le funzioni ie,
sistema di coordinate in un intorno di 9(p).
In tali coordinate l’antiinvoluzione si scrive
un
=
Sia
un
analitico di
JR-spazio
sotto
danno
(
il morfismo associato.
Diremo che
a
=
(o,
(X, ~x )
è
od è
fisso,
parte fissa, per
la antiinvoluzione
se :
-
ed inoltre si ha :
le applicazioni fra i fasci strutturali.
La definizione di complessincato è di antiinvoluzione si trasportano immediatamente agli spazi analitici reali o complessi (per i dettagli vedasi [4]).
Nel seguito considereremo solo gli spazi analitici reali che sono riduzione di qualche m-spazio.
sono
Tali spazi
litiche reali, e
sono
quindi ridotti, dotati cioè
chiamati
verranno
b. Faremo
uso
nel
seguito
o :
X 2013~ JT
uno
spazio
della
seguente
analitico, di
Stein i
di
di
ed
X
è
un
complessificato
DIMOSTRAZIONE. È conseguenza della
n.
Esi-
un’ antiinvoluzione
di -V.
proposizione
6
e
del teorema
[4].
Sia X
un
punto x E X,
di
dimensione
tale che
coerente
8 di
ana-
(1R)-spazi.
PROPOSIZIONE 1. Sia X un
stono allora
del fascio delle funzioni
tipo N.
Analoga
Se X è
(m)-spazio
analitico. Sia 2’z lo spazio tangente di Zariski nel
dim1R Tx . Se N oo, diremo che X è localiiiente
sia N == sup
a?~X
definizione si ha per uno spazio complesso.
spazio analitico reale, coerente e localmente di
uno
complessifica~to X
lora esiste un
N (cf. [4] teorema 3).
che è
uno
spazio
di Stein
tipo N, allocalmente di tipo
581
-
-
PROPOSIZIONE 2. Sia
un’antiinvoluzione ed X
iniettiva
e
=
X uno spazio di
(x E X : a (x) x).
=
Stein di dimensione n, 1
Esiste un’applicazione
:
N
i --&#x3E;- i
tale che :
propria
ogni
per
regolare nei _punti regolari di X.
Inoltre se jr è localiiiente di tipo N &#x3E; n, esiste un’applicazione oloinorfa,
’; è
ii)
propria V: X ---&#x3E;- C2,,+2Y tale che
i’) ~ (o (~)) == ~ (.x?) per ogni x E ~r
ii~) l~: i--&#x3E; (1) è un isomorfismo.
DIMOSTRAZIONE. Per il teorema 5 di
’~: 1 _&#x3E; C2n+1,
iniettiva, propria
Usando la costruzione
eseguita
[3]
esiste
un’applicazione olomorfa,
di rango massimo nei punti regolari di .1.
nella dimostrazione del teorema 9 di [4] si
definisce l’applicazione (p.
Analogamente si ragiona per costruire l’applicazione y, considerando
però un’immersione di X in
(che esiste per il lemma 6 di [3]).
Sia X un (m)-spazio analitico e sia
l’algebra delle funzioni anaCon la topologia della convergenza uniforme sui compatti,
litiche f :
uno spazio vettoriale reale metrizzabile non completo.
X uno spazio complesso ;
Sia
zioni olomorfe
è
compatti
Sia
con
spazio
uno
la
topologia
fR : Òé 2013~ G
(X) l’algebi-a delle fun-
della convergenza uniforme sui
di Fréchet.
un’antiinvoluzione ed X
o :
una
morfa
indicheremo con sil
funzione olomorfa.
=
(x E
Ad f
(.r)
=
x).
si associa la funzione olo-
definita da
___
f è a-invarianie se f -= fR (cioè se f = f°),
Un’applicazione f : à5 -+ (Im,1 (fl ... ,1m), si dice o-invariante se fj
(fi) R , 1 ---- iM Indichiamo con
(ÒÙ) lo spazio di Fréchet delle applicazioni olomorfe
Diremo che
=
=
N
N
X - (Im
plicazi oni
=
e con
s!lm (X)
IV
il
VI
sottospazio chiuso
formato dalle ap-
X una
antiinvoluzione ed
a-invarianti.
~
~
LEMMA 1. Sia
X=
~x
è
sottospazio
un
(X)
di
E X :
a
(11~)
=
X
x~.
uno
spazio
Allora
denso di CR
(X).
di
Stein,
o:
X -
N
582
(1). Sia
esiste un’applicazione
DIMOSTRAZIONE
i)
(x»
un
esiste
ii)
=
fismo di U
Se U è
(x)
;p
K
per
X
c
ogni
x
un
seguente :
E X
intorno aperto U di K in 2T tale che
è
sottoinsieme analitico di un aperto di Gq.
intorno relativamente compatto di K esso incontra
un
componenti irriducibili
analitico
Xi
di
JT
di X
di dimensione
2 esiste
Per la proposizione
[4]
contenuto in
quindi è
finita. Si può
e
si costruisce
un
un
isomor-
~
un numero
sottoinsieme
supporre che sia
un’applicazione :
Usando i
ogni
del teorema 11 di
o
tale che
=
x,.
(~))
=
ragionamenti fatti nella dimostrazione
un’applicazione olomorfa
ii) rispetto a -P.
Poichè i è uno spazio di Stein
i)
il fatto
su un
finito di
rificante
compatto. Proviamo
(tq tale che
e
zione
’~
si
può estendere
ad
una
applica-
(tq.
Posto ;¡; = ~ ~
soddisfa
i)
e
ii).
le coordinate in eq e sia
ed e &#x3E; 0. Per il teorema di approssimazione di Weierstrass esiste
(2) Siano z, Xl + iYi ,
...,
Zq
===
Xq
-~-
polinomio P’ 9... , z,,) a coefficienti reali tale che~(~/) - (I o (~~))(~/) !I 8
E
La funzione P
P’ V- è un elemento di sfla (X),
per ogni y
(x) - f (x) i e per ogni x E K. Per l’arbitrarietà di f, K, 8
(X, 1) e
ciò prova che c)2, (X, 1) è denso in 92 (X).
un
=
o
§ 2. Risultati preliminari.
a.
di
Sia
X
aperti C7j
i)
c
spazio complesso.
uno
X
U=
ii) esiste
si dice
U Uj
U;
una
U
è fl
un
Una
famiglia
localmente finita
sisterna ammissibile di
i
se :
Uj fln Uk ==
U;
o
se j # k,
(X).convesso
e
=
aperti di X tali che:
U sia sfl (X)-convesso per ogni v E 11.
successione
e
Osserviamo che’ si può supporre che se
di B,,
Infatti basta sostituire ~ con l’unione
e considerare una opportuna sottosuccessione
e
allora
tali che Uj
degli Uj
di J5~.
583
soddisfacente tale
Una successione
al sistema ammissibile
Sia
tali che
6 :
E
si dice associata
proprietà
in -
X - .X
a
=
un’antiinvoluzione. Se per ogni j, v E m esistono j’, v’ E ~1
allora il sistema si dice a-ammissibile.
Uj, e o (Bv)
=
Sia
PROPOSIZIONE 3.
X
spazio di
o : i -&#x3E; X un’autiinvoluzioue..Bsistono 2n + 1
A
1, ...,2n + 1 di X, tltli che
uno
Stein di diiiieiisione
sistemi
n
e
a-amrnissibili
sia
lo ,
~
DIMOSTRAZIONE
merabile T di
(1).
E’ sufficiente dimostrare che dato
punti di X esiste
un
sistema
o-ammissibile j
X - .U
un
insieme
nu-
itBtale che
sia un sottoinsieme anatitico reale A n T
0. Infatti da [5]
J Em
§ 8, si deduce che dato un sottoinsieme analitico reale A c X esiste un insieme numerabile S di punti di A tale che se B e X è un sottoinsieme analitico reale e B fl S
o allora dimr (A n B)
dim l , A.
E’ chiaro allora che si possono costruire 2n + 1 sistemi a-ammissibili
A
=
=
=
tali
ne
che,
risulti
se
segue che
(2) Dimostriamo quindi l’esistenza d’un sistema
soddisfacente le proprietà dette.
Sia 99 : X- C4 n+2 l’applicazione
sia
ogni
Per
risulta By
(E
per
ogni
o-ammissibile
olomorfa di cui alla
proposizione
2.
584
c X
un insieme numerabile di punti : mediante iperpiani reali
reali coordinati di G4"+2 si può ottenere una famiglia
iperpiani
paralleli agli
localmente finita di « rettangoli » aperti, disgiunti di G4?’+2 tali che:
Sia T
è
compatto
siamo supporre inoltre che il
in un rettangolo di
1Rjlj e o
Pos-
ogni
per
coniugio in C4n+2
(i. e.
trasformi ogni rettangolo di
adattato al coniugio).
un sistema a-ammissibile di C4,1+2
Per il lemma 1 di [3]
costruzione
adattato al coniugio in C4,,+2 .
Ora
V ---&#x3E;- IV è un’applicazione olomorfa tra spazi di Stein
un aperto di W che è
allora y-1 (Q) è
Ne
segue, ricordando che
= p-~ (Rj), B,,
l’applicazione
un
=
99
è
.
Per
e
Q è
propria, che, posto Uj =
X.
sistema o-ammissibile di
degli iperpiani reali che dividono C4 n+2 nei rettangoli Rj è un
insieme analitico reale quindi la sua immagine inversa mediante 99 è un sottoinsieme analitico reale di X, che per costruzione è disgiunto da T.
L’unione
Ciò conclude la dimostrazione.
OSSERVAZIONE l. Per costruzione
convessi. Inoltre posto Vj =
cui s
(cfr. [3]
a (Vj)
ha inoltre
=
PROPOSIZIONE
zione e
patto, fj
In
lemma
un
1)
Sia
sistema
JT
-j &#x3E; 0.
Esiste
uno
(Bv)
e
un
e
Vj, o (Bv)
4.
gli aperti
=
tali
aperti
sono
sistema a-ammiss bile in
B~.
spazio
una
di
Per
Stein,
ogni j E »
sia
funzione
Kj
c:
Uj
un com.
tale che
ove
DIMOSTRAZIONF,. Sia
1 = a (j)
definito da
Si può supporre,
o ( U) =
Per il
Kj’ :3 Kj, che
Narasimhan (cfr. [3], teorema 2) esiste f E sil (X)
eventualmente considerando compatti
teorema di
tale che
approssimazione
di
=
risulta
585
da cui segue
e
N
IV
Sia i
uno
spazio
di
Stein,
!V
X -- X un’antiinvoluzione,
a:
sistemi a-ammissibili. Siano
ed
compatti
ove
è
se
Al variare di
K,
KjÅ,e, ej
un
compatto si è posto
i sottoinsiemi
damentale di intorni di (0) per una
la Y&#x3E;i-topologia associata ai sistemi
è strettamente
V~, formano
topologia
sistema fon-
che chiameremo
su
=
un
1, ... ,
,
più
topologia naturale su
(JT).
Osserviamo inoltre che con una m-topologia lo spazio
(1) non è metrizzabile e non è uno spazio vettoriale topologico (la moltiplicazione per uno
scalare non è un’applicazione continua). Si può tuttavia dimostrare che
con la 1n-topologia
(1) è uno spazio completo, di Baire (cf. [0]).
Una
m-topologia
PROPOSIZIONE 5. Sia
Per
fine della
JT uno spazio d Stein,
o :
tale che
ogni compatto
coinpatto, per ogni f E A ~~ ) esiste ~ &#x3E;
allora g E A
sistemi
Siano
Allora
è denso in
sistefiii
In
DIMOSTRAZIONE
Sia
Si
può
1 B’)., ,n
(K).
In
_particolare A (K) è aperto.
per la
in-topologia
particolare
i
compatti,
saccessione associata al sistema ;
supporre che
una
0 tale che
associata ai
è denso in
586
A
Si può inoltre supporre che gli aperti
osservazione 1).
Sia
c BA un compatto contenente
Sia CA un intorno compatto di ’K/ in
Supponiamo
siano A (X}-convessi
B.i
ed i
KjA
(cf.
BA.
che stanno in
che
Si ha
Se K
f E A (K)
ed
K’ allora A
c
c
A
(R ) ; quindi
E9 chiaro
ogni compatto
per j C max jf i .
per
8
J
f E A (K+’) per ogni v E 11,
che si può supporre C c gl
se
A
è denso
(2)
quindi
esiste
f1= ( fl ,
tale che
Per
tale che
Poichè
sono A
stono
m
ne
E A
Sia
-convesso,5
(X)-convessi
I
esiste
iii)
allora
se
EA
... ,
B1
e
(.g1 )
3i &#x3E;
0
°1 =
gli aperti
~7/
e
funzioni
olomorfe
si abbia :
.
su
X,
tali
che
posto
D1
=
segue
D’altra parte
tale che
A
(g2 )
sIl:n (X
è denso in
)
quindi esiste ,
(g2 ),
Sia
tale
che
allora F E A
se -
(K2).
soddisfa
la
Per iterazione si trova
disegnaglianza
una
successione
587
tale che
Quindi
se
per
per
e
la
S è
un
X
uno
11
E
X. Scegliendo opportunamente
spazio complesso,
sottoinsieme analitico di
e
~." si ha :
i
Xe X -S
è
una
ex
punti singolari di
varietà complessa.
x
E
X -
S indichiamo
-
(g)
il rango jacobiano di
l’applicazione g nel punto x.
,
cioè il rango della matrice
jacobiana
N
X uno spazio di Stein
T c X un insieme discreto
PROPOSIZIONE 6. Sia
un’antiinvoluzione. Sia
Per
quindi
S l’insieme dei
(tm un’applicazione olomorfa. Dato
-
con
v
proposizione è completamente dimostrata.
b. Sia
11:
Kc
ogni compatto
ogni
N
di dimensione n,
di punti,
Q :
del-
N
XX
a (X), q
ogni compatto K c X sia A (K) c sfla (X) l’insieme degli elementi f tali
i) f separa i punti di T fl (K u a (K))
è l’applicazione definita da
n.
che :
si ha
per
T n K U o (K) che sia un punto regolare di
Allora la jaY&#x3E;iiglifi degli insierni A (K) verifica
ogni xp E
posizione precedente (con
DIMOSTRAZIONE.
(1)
che separano
e
denso in
m
===
x:
le ipotesi
della
1).
Proviamo dapprima che l’insieme delle funzioni
un
numero
finito di
punti
di
X,
è aperto
588
Si
può supporre che sia a (xj) x~.~~~ con 1
Siano
...,f, funzioni di
(X) tali che
=
p per ogni 1 Saj Sa p.
( j)
~ 6
Consideriamo la funzione
tali che
numeri reali
allora
se
se
La funzione
f appartiene
a
separa i
e
punti
Sia 9 E g(a (X)
se ~ coincide
e AE
R : g +;’1
non
separa i
punti Xi ,
... ,
x.
dei valori
con uno
se e
che
solo
sono
in
segue che g è limite in (-V) di una successione
che separano i
funzioni
x, . E’ poi immediato
(y +
i
è aperto.
vedere che l’insieme delle funzioni che separano
numero
finito :
ne
Proviamo
(2)
la condizione
ora
che l’insieme delle funzioni
ii) dell’enunciato è aperto e denso
X un compatto e sia ~x1, ... ,x,)
Sia g c
Esistono coordinate olomorfe
xi e
a
(s;) rispettivamente,
tali
o
=
in
(X)
che verificano
,~~ (~ ).
T n K.
nell’intorno di
che si
esprima
in
questi
E’ noto che esistono n funzioni ~Oi’." , Wn olomorfe
x, valori assegnati e tali che i differenziali
... ,2 XP eguali a
~ in
=
Risulta allora chiaro che z, =
... ,
intorni
con
su i che
div, , ... ,
assumono
siano
%~ ~... ,
hanno la stessa
proprietà.
Le
funzioni Zl ,... ,zn
danno allora
l’intorno di ogni
un
sistema di coordinate locali nel-
xp .
-
Siano ~,~ ~... ,5 A.
In
un
punto
numeri
reali ;
1 ~ j ~,
~, è tale che il vettore
sia
con
risulta
se e
è
solo
se
combinazione li-
589
neare
dei vettorii
Quindi escluso al più un numero finito di valori di A, g + À( verifica
la condizione ii) dell’enunciato. Esiste allora una successione
di funzioni
per
convergente
a
g in
fla (1)
1 ~ j ~ p e per ogni
Da (1) e (2) segue che A (g) è
A (.g’) c A (K) ;
e
tale che
-
,
denso in
essendo
stia (X)
A (K)
-
ogni compatto .g c X.
A (K’ insiemi di appli-
per
e
o
cazioni olomorfe è facile verificare
se
E A
allora g
K c
K’,
esiste e &#x3E; 0 tale che
( ).
COROLLARI 0 1. Nelle ipotesi della proposizione
sistema o-ammissivile e _per
E 10, Kj c Uj,
Sia C c X urc compatto e &#x3E; 0, h E sIla
e
un
(X)
N
iV
sieme discreto T c X esiste
fE
(X)
i
_punti
precedente
(X ),
sia
E
compatto ed
un
n.
m
Dato
un
m
0.
in-
tale che :
per
f separi
se
ogni
di T
per
ogni
.K c X un compatto e sia A (g) definito come
proposizione precedente. Allora la famiglia degli A (g) verifica le ipotesi
proposizione 5. Dalla proposizione 5 segue che esiste f E A (K), per
ogni compatto .g c X, verificante i), ii), iii).
DIMOSTRAZIONE. Sia
nella
della
§ 3. Un teorem a a’immersione per gli
N
a.
Sia X
(1R)-spazi
analitici.
N
uno
spazio complesso
/V
di dimensione n, : X-
(tk un’appli-
cazione olomorfa.
Sia
M’
(99)
di
i X Ì~.
complesso di X X X contenente la diagonale A di X X i. Sia iV($) l’unione delle componenti irriducibili di àI’ (§$)
che non sono contenute in A : M(~) è un sottoinsieme analitico complesso
è
un
sottoinsieme analitico
590
singolari di X
Siain 8 1’insieme EdeiX -punti
S. Sia
di ~
N
un
N
X’ (99, m)
N
punto
x
sia o~
e
(T)
il rango
jacobiano
per
N
è
un
N
sottoinsieme analitico complesso di X - S la cui chiusura
sottoinsieme analitico di X. Chiaramente nessuna delle comN
è
X (p,
un
ponenti irriducibili
di
X (g~,
è contenuta in S.
X
PROPOSIZIONE 7. Sia
un’antiínvoluzione. Sia
uno
m
di Stein di dimenssione n,
sistema a-ammissibile.
spazio
un
a :
i--&#x3E; X
tale che :
DIMOSTIP.AZIONF,. Siano
Scegliamo in ciascun Mq
sieme discreto di
X (!k, in)
i&#x3E; i.
n - k+
vq&#x3E; É A :
punto
JT~
m.
Dall’ipotesi bk)
è
l’unione delle
Xm è contenuta in
quindi ogni componente
che non appartiene a
segue
8
poi
+
e
111
(O
(x.
+ m 2013 i ,
dimz
y m 2013
sottoin-
componenti irriducibili di
n). Nessuna compo-
conseguentemente
irriducibile À/j§
8
un
-:.---- in
contiene
un
punto
1).
~,
~(~ , ~ 2013 l)y "m
1n. Inoltre i punti
é
m
~~
19n - 1, formano un sottoinsieme discreto di X.
Poichè
01
Sia
componenti irriducibili di 1JI (!k).
le
che hanno dimensione n - le
nente irriducibile di
e
Mq, q E 11,
un
=
Sia T l’insieme formato dai
Per il corollario 1
punti xP
esiste! E Au (X)
per
e
ogni
ogni
e
Xq , Yq
tale che
=
m
=
0~... ~ 2013 i.
591
Sia fk+, == (fk f ) e proviamo che fk+, soddisfa le condizioni ack+1) e
non contenuta in d,
Infatti sia M una componente irriducibile di
E
Ma
e
Allora M c
per qualche q.
M, quindi dime
(Xq, yQ)
ne segue
cioè Q’k+l)-
Se A è
in
una
pure A
allora o A è contenuta
componente irriducibile
di
n - lc + 7yi opdimensione
componente irriducibile di
è contenuta in una componente irriducibile X~ di
Ma allora
una
A ~ .rP E XP
in
cosicchè
i
Possiamo provare
dim ~ A
k +
teoremi.
n
seguenti
-
1n
cioè
bk+1).
k+l)-
-
TEOREMA 1. Sia
-
X
di Stein di dimensione n,
delle applicazioni E stl;n+l
spazio
g~
antiinvoluzione. Allora
tive
À
_proprie
e
regolari
nei
punti regolari
X
è denso in
DIMOSTRAZIONF,. Consideriamo 2n + 1 sistemi
un compatto
c
=1, ..., 2n + 1, e per ogni
3
1
C
proposizione
5 esistono in
Poichè le condizioni ao)
tale che
esiste y~1 E gla
un
1
N
X ---&#x3E; X
unac
(X) che sono
(X).
a-ammissibili
Kj Uj
Uj
Sia
le
di
o :
E
m’
tale che
Per
compatto di
tali che per,
e
bo)
della
proposizione precedente
sono
vuote,
(.~)
Possiamo sucessivamente trovare per la proposizione 7, ’~P2 , ...
tali che
1’applicazione X __&#x3E; ek definita da x -
se Vk è
...,
allora
in
(x),
...
592
con
è
L’applicazione
propria poichè
Poiché
’~; è iniettiva
e
regolare
TEOREMA l’. Nelle
2n
punti regolari di X. Ciò
ipotesi
prova il teorema l.
del teorema 1 siano
sistemi o-am1nissibili tali che
+ 1
Allora
e
nei
regolari
ai siste&#x3E;ii
nei
delle
a licazioni
(29t + 1)-topologia
_punti regolari di i è denso,
(X)
e n’ nel sottospazio delle applicazio&#x3E;ii g E
associata
c
che
sono
proprie.
DIMOSTRAZIONE. Sia
pria.
Sia
un
compatto
tiva
e
ed
regolare
esiste
nei
è
di
X,
Ciò prova il teorema 1’.
segue che
iniet-
tale che
propria : infatti per ogni successione
sottosuccessioni convergenti si ha
L’applicazione g
di
punti regolari
pro-
compatti
e
Dalla dimostrazione del teorema 1
tali che .
fissati
un’applicazione
priva
593
N
N
Sia X nno spazio di Stein,
N
un’antiinvoluzione
:
sistemi o-ammissibili
Siano
su
compatta
poniamo :
Al variare di K,
gli insiemi V m formano un sistema fondamen~
tale di intorni di (0) per una topologia su
(~) che chiameremo la 1n-to’
A
ai
associata
=1, ... ,m.
sistemi
pologia
Vale il seguente.
LEMMA. 2. Sia
.X
uno
spazio
di
un’antiinvoluzione ed
Stein,
sisteini a-aminissibili. Al-
mz
lora lo
sistemi
è denso in c)2,11
spazio
(X)
per- la
associata ai
m-topologia
DIMOSTRAZIONE. ÌiJ conseguenza immediata del lemma 1
sizione 4.
della propo-
e
(1R)-spazio analitico di di1nensione n. Esiste un’applicazione analitica, iniettiva,’ propria cp : X- 1{r~n+], tale che g~ (X) è un sottoinsieme analitico di 1R2n+l. Se X è coerente, 99 è regolare nei punti regolari
TEOREMA 2. Sia X
un
di X.
DI3IOSTRAZIONE. Per la
proposizione
N
di dimensione
n
1 esistono
uno
N
ed un’antiinvoluzione a : X- X tale che X =
Per il teorema 1 esiste
punti regolari di X;
q;
[x E X : o (x)
_ ~~ ~ è allora
ha cp
(X)
C
se e
analitico di
D’altra
e
parte esquindi g (X)
=
sottoinsieme analitico di 1R2,,+I.
coerente, X è un complessificato di X e quindi x E X
solo se è regolare per X : ne segue che 99 è regolare
Se X è
per X
un
x).
propria e regolare nei
un’applicazione analitica iniettiva e
1V
è
=
che è iniettiva
propria ; inoltre essendo Esil;n+ (X) si
sendo propria (X) è un sottoinsieme
= ~ (x) (Ì lR2n+1
di Stein X
spazio
N
è
regolare
punti
nei
regolari di X.
OOROLLARIO 2. Una varietà analitica reale X di di1uensione n con topo..
logia a base numerabile è isomorfa ad una sottovarietà analitica reale di ’n+1.
594
analitico
COROLLARIO 3. Sia X 2cn
spazio analitico reale
di dimensione n e sia
(.X) lo spazio delle ai&#x3E;plicazioni analitiche
che sono
L’ insieme delle
reali
iniettive e _proprie, (iniettive, proprie e regolari nei punti regolari di X) è
denso in
(X).
coerente)
-
-
-
X uno spazio di Stein di dimensione n e a : 1 X - X
che X=(x E X : 6 (x)
x . Per il lemma del paragrafo 1
DIMOSTRAZIONE. Sia
un’antiinvoluzione tale
=
(X) che sono restrizioni ad .X di applicazioni
denso. Dal teorema 1 segue
(X ) formano un sottospazio à’+1
che l’insieme
(X, X) che sono iniettive e proprie (iniettive, proprie
e regolari nei punti regolari di X) è denso in
(X, X ).
le
applicazioni
g E
COROLLARIO 4. Sia X
analitico
un
(uno spazio analitico
N
N
reale
N
X uno spazio di Stein, Q : X -+ X un’antiinvol1tzione tale che X=(x E .X : a (x) = x e 1
líl, A =--- il ..., 2n + 1, sistemi a-a1ndi dimensione
coerente)
Sia
n.
Allora l’insiente delle
missibili tali che
applicazioni 99 E
(X) che sono íniettire e proprie (iniettive, _proprie e regolari nei _punti
regolari di X) è denso, per la (2n + 1)-topologia associata cci sistemi~~~~ E m ,
nel sottospazio delle applicazioni (r E
(X) che sono proprie.
E
DIMOST’RAziONE. É analoga alla dimostrazione
presenti il teorema 1’ ed il lemma 2.
N
N
X
è
N
uno
N
N
X uno spazio
compatto e K c X
PROPOSIZIONE 8. Sia
í".J
Sia
K c
X
di
Stein,
/V
ítnlantíínvo litzione.
Q :
o
í".J
un
,
un
coiiipatto
tale
che
Sia
f E _-2r la (X ) un’applicazione iniettiva e regolare su K. Allora esiste
che se g E Aà {X) e Il f - gK’
E, g è iniettiva e regolare su K.
DIMOSTR,AZIONE. cf.
[3]
un
aperto
(X ).
E&#x3E; 0 ta,le
lemma 5.
COROLLARIO. 4. L’insieme delle
su K è
3, tenendo
spazio complesso, a : ’ - X un’antiinvoluzione. Diremo
di tipo N rispetto a. a se per ogni x E X esiste un’applicazione
che è regolare in x.
b. Sia
che
X
del Corollario
Inoltre
(X )
fE
se
f
che
è iniettiva
sono
e
iniettive
regolare
in
e
regolari
un
intorno
595
U di K allora eszstono
e g - f 11 K’ E allora
8
&#x3E; 0,
gè
compatto
regolare
e un
iniettiva
e
(X )
U tale che se g E
intorno di K.
su un
N
N
N
X uno spazio di Stein di di1nensione n, a : X - X
{x E : a (x) x}. Supponia1no che X sia di tipo l.T
PROPOSIZIONE 9. Sia
un’antiinvoluzione
rispetto
a a con
cazioni g E
e
N &#x3E;
(X)
N
X =
ii. Allora dato
che
=
un
iniettive
sono
compatto K
e
regolari
in
c
X l’insieiiie delle
un
appli-
intorno di
denso
(X).
in
DIMOSTRAZIONE. (1). Si fa uso del seguente risultato dimostrato nel
[2]. Sia D c en nn dominio d’olomorfia, sia A c D un sottoinsieme
analitico complesso con la struttura indotta da .D, K c D un compatto. Esiste una costante M = MK dipendente solo da K tale che se f è una funzione
olomorfa su A e sup ) f (x) C 1 allora esiste F: D - G olomorfa, tale che
~ 8 di
Ciò
un
per il corollario 4 basta provare che per
intorno U di x in X tale che l’insieme delle
tive
ogni x E .K esiste
posto,
~6~~(~)
regolari su ~7 è denso in
Segue, per ipotesi, che dato
x
può inoltre supporre a (V) = V e
sia il coniugio in GN : allora se
G11
di
definizione V
tutte le
analitico
g1, di cui sopra, il
(go m) è l’immagine
Sia B’ e.B
il fatto
come
e
una
la
sua
di ~F in
inversa
e
in X
una
tale
e
palla
propria.
che l’antiinvoluzione indotta da o
Y (go , m) se
jacobiano di 6~
segue: x E
rango
in V dell’insieme dei
quindi Y (go ,
ogni prolunga-
per
è C
punti
è
m.
che go
o
ha
un
un
prolungamento
tali che
seguente: l’insieme delle
lungamento olomorfo ’G su B di rango jacobiano
= ’ G (z), è aperto e denso in.9Îa (X).
Per
di B in cui
sottoinsieme
palla aperta concentrica tale che B’ cB e sia
(X)
iniet-
Sia per
Gi hanno rango jacobiano ~ m :
complesso di V.
Sia x E U
con
olomorfa tale che
hinsieme definito
mento
un’applicazione
sia
olomorfa
un’applicazione
V di x
E X esistono un intorno
tali che
Si
sono
(X).
e
aperta
che
v.
di rango
jaco-
~’ o g-1 abbia un proin 9 (x) e ’G (z) =
596
Infatti sia ~ : ~ 2013~ d
tale che
-
h
o
(G, H)
H o g
ha un
;-1
funzione olomorfa tale che
una
abbia rango
in
jacobiano i- -~-1
g (x).
H (z) =H
Sia h
(z)
e
tale che
Allora, per quanto detto all’inizio della dimostrazione,
prolungamento olomorfo ’H su B tale che ’H (z) = ’H (z) e
8.
Sia ’ll
il H - ’H IIB’
11 B,
un
Me. Poichè
prolungamento olomorfo di h o g su B tale
h o g-~1 e a (B’)
(h
B’, H = FR è
o
=
=
prolungamento olomorfo di h o g-1 tale che ’H(z)=’H(z) e
opportuno, per la proposizione 8 (G, ’H) ha rango r + 1 in
e quindi ha la proprietà richiesta : ciò prova che l’insieme delle
di cui sopra è aperto.
Proviamo che è denso. Sia e :;;1 un prolungamento olomorfo
su B : allora se (G,
rango r-1 in g (x) e
(G,
ha rango r + 1
(x) e questo prova l’asserzione.
e sia Il (g~) l’insieme delle componenti irriducibili
(3)
dell’insieme analitico complesso ((x, y) E
X-: 9-9 (x) = ’~J (y j; ~ che non sono
contenute nella diagonale di X X X. Supponiamo che
ak) le componenti irriducibili di 3f($) che incontrano K X K abbia.
no dimensione complessa C 2n - k.
le componenti irriducibili di V (y, 1n) che incontrano U= 9-1 (B’) n V,
un
Se E &#x3E; 0 è
~
N
N
N
N
N
N
N
o
abbiano dimensione
-j-
N.
1n, per
N
N
N
tali che
Allora l’insieme delle
N
h)
soddisfi
OCk+,)
è
e
(X).
denso in sfla
La dimostrazione è analoga
Poichè le condizioni ao) e
a
quella della proposizione
sono
vuote
ne
7.
segue che 1’insieme delle
tali che
è denso in
La tesi segue allora dal fatto che la condizione
golare in ogni punto di U.
Possiamo dimostrare i teoremi
TEOREMA 3.
un’*antiinvoluzione.
spazio
Su . o
che
ii) implica
che 7 è
re-
seguenti.
Stein di di»ie&#x3E;isione n,
sia didi
tipo tipo N&#x3E;
N&#x3E; nn _petto
ris
di
i
" : i---&#x3E; :
a
a a.
o.
Allora
597
l’insieme delle
applicazioni
iniettive
proprie
e
regolacri
X è
su
denso in
DIMOS1.’RAZIONE.
Sia Kc X
compatto
un
e
(K) l’insieme delle
sia A
che sono iniettive e regolari su un intorno di K.
applicazioni
Dall’ultimo corollario e dalla proposizione 9 segue che A (K) soddisfa
le condizioni della proposizione 5. Siano
2n
+ 1
sistemi a-ammissibili tali che
Poichè
ogni
Uj A è relativamente
compatto esistono dei compatti _
tali che
successione associata al sistema
Sia
sia
e
poi Cc X un compatto ed E &#x3E; 0. Si può supporre Oc B1
Per la proposizione 5 esistono .N -~- n funzioni olomorfe su
per
ogni ~.
tali che
Per le
iniettiva
e
proposizioni 9 e 5 esiste
regolare su ogni compatto
L’insieme dei
di
X,
e
quindi-
su
è con-
tali che
punti
tenuto in C U
e
qúindi
è compatto.
X uno spazio analitico
TEOREMA 4.
localmente di tipo
X
sia
che
Supponiamo
un sottoinsieme analitico di 1RN+n.
DIMOSTRAZioNF,. Esistono
uno
spazio
reale, coerente, di diiiiensione n.
N&#x3E; n. Allora X è isomorfo ad
di Stein
X
cli dimensione
À - X tali che X 1 x E X : a (x) x)
N rispetto a o. Siano infatti X un complessificato di X e a :
involuzione tale che X
(x E X : a (x) xl.
un’antiinvoluzione
~2
che è
inoltre se
=
6 :
=
=
=
ed
X sia
di
n
ed
tipo
un’anti.
598
Sia x E X :
U, tale che
xE
per
su
o
l’osservazione del § 1 esiste una
U si esprime con equazioni del tipo
Esistono N funzioni olomorfe
coincidono
con
è
regolare
in x
e
regolare
su
su
X, f1, ... , f~
questo prova
Per il teorema 3 esiste
è allora
che lÉ
un
-ol,
i cui differenziali in x
( fN)R) di ..fin CN
rispetto a o.
tipo
propria iniettiva
sottoinsieme analitico complesso di
dz1, ... , dzN. L’applicazione F =
e
carta locale
è di
... ,
_Y
risulta
cp è
ull
cioè 99 (x) è un sottoinsieme analitico reale di
isomorfismo c~i X su 99 (X).
mN+n
e
Univer8ità di Pisa
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