Fascio di antenna, spettro di corpo
nero, temperatura di brillanza e
temperatura di antenna
Aniello Mennella
Università degli Studi di Milano
Dipartimento di Fisica
10 ottobre 2012
Laboratorio di strumentazione spaziale I
Lezione 03
Cosa trattiamo oggi
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Fascio di antenna, angolo solido di antenna, direttività
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Lo spettro di corpo nero
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La temperatura di brillanza. Definizione e suo utilizzo come misura di
intensità
La temperatura di antenna. Differenza e conversione fra temperatura
termodinamica e temperatura di antenna
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Lezione 03
Il fascio di antenna
Un'antenna puntata in una certa direzione nel cielo riceve (o trasmette)
radiazione anche da direzioni diverse dalla direzione di puntamento.
La funzione che esprime la potenza ricevuta (o trasmessa) in funzione
degli angoli (θ,φ) si chiama fascio di antenna o beam pattern.
Intensità relativa (decimale)
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Intensità relativa (decibel)
Fascio di antenna normalizzato in dB
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Direttività e dBi
Direttività =
Potenza per unitá di angolo solido lungo (θ,φ)
Potenza media per unitá di angolo solido
Ovviamente è immediato
verificare che
Definiamo la direttività in
dBi come
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Angolo solido di antenna, FWHM
L'angolo solido di antenna è l'integrale su 4π del fascio di antenna
normalizzato
Il fascio principale, o main beam, è la porzione del fascio di antenna
ove
. Se il fascio è simmetrico l'angolo che definisce il
fascio principale si indica con
oppure con
FWHM: full width at half maximum
HPBW: half power beam width
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Direttività massima
La direttività massima e' definita come
Angolo solido del main beam
Relazione fra angolo solido e
area efficace:
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La radiazione di corpo nero
(definizione)
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Un corpo nero è un oggetto che assorbe tutta la radiazione
elettromagnetica incidente (e quindi non ne riflette).
Per la conservazione dell'energia, tutta la radiazione assorbita viene
re-irradiata con uno spettro che dipende dalla temperatura assoluta
del corpo ed è indipendente dalle caratteristiche della radiazione
assorbita.
Qualunque corpo a temperatura T è sorgente di radiazione
elettromagnetica dovuta al moto degli atomi che lo compongono. Se T
è costante (equilibrio termodinamico) allora lo spettro della radiazione
è di corpo nero.
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La radiazione di corpo nero
(formula e unità)
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La potenza per unità di superficie, unità di banda ed unità di angolo
solido (ovvero la brillanza) di un corpo nero è data da:
Le unità di misura sono, ovviamente,
Per convertire B(λ) in B(ν) non basta semplicemente sostituire ν = c / λ
nell'equazione. Dobbiamo invece uguagliare la potenza emessa in un
intervallo di lunghezze d'onda [λ, λ+δλ] con la potenza emessa in un
intervallo di frequenze [ν, ν+δν]
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La radiazione di corpo nero
(rappresentazione in frequenza e lunghezza d'onda)
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Sostituendo e
si ottiene
Lo spettro della radiazione di corpo nero è parametrizzato unicamente
in funzione della temperatura.
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La radiazione di corpo nero
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La radiazione di corpo nero
(approssimazioni)
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A bassa frequenza, se h << KT, si ha che:
Da qui l'approssimazione di Rayleigh-Jeans della brillanza di un corpo
nero:
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La radiazione di corpo nero
(approssimazioni)
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Ad alta frequenza, se hν >> KT, si ha che:
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Da qui l'approssimazione di Wien della brillanza di un corpo nero:
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La radiazione di corpo nero
(approssimazioni)
Approssimazione di
Rayleigh-Jeans
Approssimazione
di Wien
Valida oltre i
200 GHz
Valida al di sotto
dei 5 GHz
T = 2:73K
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La radiazione di corpo nero
(il massimo)
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Scriviamo lo spettro di corpo nero con
Calcoliamo ora la derivata di B(x) e poniamola a zero per trovare il
massimo
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La radiazione di corpo nero
(il massimo)
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Ponendo la derivata a zero si ha:
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L'energia totale
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Se integriamo lo spettro di corpo nero su tutto l'intervallo di frequenze
otteniamo
σ è la costante di Stefan Boltzmann data da 1.80 x 10-8 W m-2 K-4.
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Temperatura di brillanza
(definizione)
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Consideriamo un emettitore di brillanza superficiale B e definiamo la
seguente quantità che chiamiamo temperatura di brillanza
Se l'emettitore è un corpo nero e la frequenza è abbastanza bassa (h
<< kT) allora la temperatura di brillanza corrisponde alla temperatura
fisica dell'oggetto ed è indipendente dalla frequenza
Se l'emettitore è un corpo nero e la frequenza è elevata allora la
temperatura di brillanza dipende dalla frequenza
Anche nei casi in cui l'emettitore non sia un corpo nero si ha che la
temperatura di brillanza dipende dalla frequenza.
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Temperatura di brillanza
(relazione con temperatura termodinamica)
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Nel caso generale si ha che:
In sostanza la relazione fra temperatura di brillanza e temperatura
termodinamica nel caso generale è:
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Temperatura di antenna
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Consideriamo un ricevitore accoppiato con un'antenna che osserva
una sorgente di corpo nero ad una temperatura T
Definiamo la temperatura di antenna, TA la convoluzione della
temperatura di brillanza con il pattern di antenna, ovvero:
Vediamo ora come la temperatura di antenna sia legata alla potenza
ricevuta dal ricevitore. La potenza W ricevuta è data dalla
convoluzione della brillanza con il pattern di antenna
Il termine ½ dipende dal fatto che i ricevitori a microonde sono sensibili ad una
polarizzazione
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Temperatura di antenna
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Poiché la brillanza superficiale può essere scritta in funzione della
temperatura di brillanza come:
Si ha che la potenza ricevuta, W, è data da:
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Poiché abbiamo che la potenza ricevuta è data da
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Temperatura di antenna
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Se assumiamo che la dipendenza di Ae, TB e Pn da n sia debole,
otteniamo che
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