Politecnico di Bari Dipartimento di Elettronica ed Elettrotecnica

Politecnico di Bari
Dipartimento di Elettronica ed Elettrotecnica
Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni
Programma del corso di Complementi di Analisi Matematica
Anno Accademico 2014/2015
Dott. Pietro d’Avenia
Successioni e serie di funzioni [4]
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Teoremi sulle successioni di funzioni
uniformemente convergenti.
Serie di funzioni. Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Convergenza totale. Teoremi sulle successioni
di funzioni uniformemente convergenti.
Serie di potenze nel campo reale.
Proprietà della somma di una serie di potenze.
Serie di Taylor.
Funzioni sviluppabili in serie di Taylor.
Svilippo in serie di Taylor di alcune funzioni elementari.
Cenni sulle serie di Fourier. Serie trigonometriche. Serie di Fourier di una funzione. Funzioni sviluppabili in
serie di Fourier. Sviluppi in serie di seni o di coseni. Serie di Fourier con periodo qualsiasi.
Funzioni di variabile complessa [1]
Il campo complesso. Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso. Modulo e argomento di un
numero complesso. Formula di De Moivre. Intorno. Piano complesso esteso.
Funzioni di una variabile complessa. Aperto connesso. Limite. Funzione continua. Funzione argomento
principale. Radice quadrata. Regione fondamentale. Radice n-sima.
Funzioni olomorfe. Derivata. Differenziale. Condizioni di Cauchy–Riemann. Funzione esponenziale. Condizioni
di Cauchy–Riemann in coordinate polari. Funzione logaritmo. Funzione potenza. Funzioni circolari.
Serie di potenze. Definizione. Lemma di Abel. Raggio di convergenza. Teorema di Cauchy–Hadamard.
Derivazione termine a termine.
Integrazione in campo complesso. Curva regolare. Circuito. Poligonale. Integrale. Proprietà dell’integrale.
Primitiva. Esistenza di una primitiva. Aperto semplicemnte connesso. Teorema della divergenza. Teorema di
Cauchy. Formula di Cauchy. Indice di avvolgimento. Funzioni analitiche. Teorema di Morea. Teorema di Goursat.
Proprietà delle funzioni analitiche. Zeri di una funzione analitica. Principio di identità. Prolungamento
analitico. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra.
Punti singolari. Serie bilatere. Punto singolare isoltato. Singolarità eliminabile. Polo. Singolarità essenziale.
Residuo. Corona. Serie bilatera. Parte caratteristica. Parte regolare. Serie di Laurent. Sviluppo in serie di
Laurent di una funzione razionale fratta.
Il teorema dei residui. Teorema dei residui. Teorema dell’indicatore logaritmico. Alcuni lemmi tecnici. Calcolo
di integrali.
Cenni sulle distribuzioni [3]
Distribuzioni.
Derivata nel senso delle distribuzioni.
Trasformata di Fourier delle distribuzioni.
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Elenco dei teoremi dimostrati
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Continuità del limite uniforme di una successione di funzioni continue.
Continuità del limite uniforme di serie di funzioni continue.
Teorema di integrazione termine a termine.
Teorema di derivazione termine a termine.
Regolarità della somma di una serie di potenze.
Continuità delle funzioni complesse di variabile complessa.
Equivalenza tra derivabilità e differenziabilità.
Condizioni di Cauchy-Riemann.
Proprietà della funzione potenza.
Proprietà dell’integrale curvilineo.
Teorema di Cauchy.
Formula di Cauchy.
f olomorfa ⇒ f analitica.
Teorema di Morera.
Teorema di Goursat.
Teorema sugli zeri di funzioni analitiche.
Teorema sull’insieme degli zeri di funzioni analitiche.
Teorema di Liouville (con disuguaglianze di Cauchy).
Teorema fondamentale dell’algebra.
Formula per il calcolo del residuo di un polo di ordine n.
Singolarità isolate e serie di Laurent.
Sviluppo di Laurent di una funzione razionale fratta.
La δ di Dirac non è una distribuzione generata da una funzione misurabile e sommabile sui compatti.
La δ di Dirac come limite di distribuzioni generate da funzioni misurabili e sommabili sui compatti.
Testi di riferimento
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
G.C. Barozzi, Matematica per l’ingegneria dell’informazione, Zanichelli.
M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi 3, Cusl.
Appunti del docente.
R. Fiorenza, D. Greco, Lezioni di Analisi Matematica, volume secondo, Liguori Editore.
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, volume 2, pp. 1 e 2, Liguori Editore.