Equazioni di Maxwell ε ∇ •E= ρ ∇ •B= 0 ∇×E=

Equazioni di Maxwell
∇•B=0
ε0 ∇ • E = ρ
∇×B = μ0 J+ ε0 μ0 ∂E /∂t= μ0 (J+ ε0 ∂E /∂t)
∇×E= - ∂B /∂t
il termine ε0 ∂E /∂t è la corrente di spostamento e fu introdotto da
Maxwell per rendere consistenti le 4 equazioni con la conservazione
della carica (∇ •( ∇×B) = ∇ • ( μ0 J+ ε0 μ0 ∂E /∂t)=0 da cui
∇ • J = - ε0 ∇ • (∂E /∂t) = - ε0 ∂ (∇ • E )/∂t= - ∂ (ρ)/∂t
∇ • J = - ∂ρ/∂t ) ma questo ha un effetto fondamentale infatti in
una regione senza cariche o correnti (sorgenti lontane)
∇×E= - ∂B /∂t
∇×B = ε0 μ0 ∂E /∂t
ε0 ∇ • E =0 ∇ • B = 0
prendendo il rotore delle ultime due equazioni (vedi momenti di inerzia)
si ottiene (lo calcoliamo solo per E ma vale anche per B)
∇× (∇× E)= - ∇× (∂B /∂t) ∇( ∇•E) - (∇• ∇)( E)= - ∂(∇× B) /∂t
-∇2 E= - ∂(ε0 μ0 ∂E /∂t ) /∂ t = ε0 μ0 ∂2E /∂t2 , cioè
∇2 E - ε0 μ0 ∂2E /∂t2=0 eq.delle onde con velocità c2=1/ ε0 μ0 , c=velocità
della luce nel vuoto.
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Dalle eq.di Maxwell si ricava che le onde elettromagnetiche sono
trasversali, infatti derivando un’onda piana (superfici a fase
costante sono piani)
E= Ex sin(kxx- ωt ) î + Ey sin(kyy- ωt ) ĵ + Ez sin(kzz- ωt ) ^k
∇•E = kxEx+kyEy+kzEz =0 quindi il vettor d’onda (direzione di
propagazione) è perpendicolare alla direzione del campo elettricoQuesto vale anche per il campo magnetico.
L’onda in figura
è polarizzata
linearmente, la
direzione di
polarizzazione
è quella data per
convenzione da E
k
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Differenti tipi di polarizzazione
Questa onda ha una polarizzazione circolare (sovrapposizione di due onde
polarizzate linearmente sfasate di 90°), cioè la punta di E descrive una
circonferenza, questo è un caso particolare della polarizzazione ellittica.
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Es. occhiali polaroid: Materiali che hanno differente assorbimento per
luce con differente polarizzazione vengono detti dicroici. Il materiale
delle lenti Polaroid è fortemente dicroico e funge da polarizzatore.
Esso trasmette circa l’80% di luce polarizzata in una direzione e meno
dell’1% nell’altra perpendicolare. Il materiale Polaroid è un polimero
che stirato mentre solidifica
allineando le catene polimeriche. A
queste viene addizionato iodio che
fornisce cariche elettriche. al
polimero: questi elettroni possono
muoversi lungo le catene
dissipando energia mentre non
possono muoversi
perpendicolarmente. Quindi la
direzione di forte assorbimento è
quello di allineamento.
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Luce polarizzata si usa anche per la lettura delle tracce dei CD in cui si usa sia luce
polarizzata linearmente sia circolare.
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Vettore di Poynting
Un’onda elettromagnetica trasporta energia e l’intensità
(energia per unità di tempo). Infatti abbiamo visto che dove sono
presenti un campo E ed un campo B la densità di energia
uE =½ ε0 E2 e uB= ½ B2 / μ0. Poiché l’onda si muove all velocità
c l’energia che attraversa una superficie A nel tempo Δt
c Δt
(piccolo perché i campi varino poco)
ΔU= (uE +uB) A c Δt da cui per unità di superficie
dU/dt= c (uE +uB) .
Ma è possibile mostrare che in un’onda E= c B. Infatti
∇×B = ε0 μ0 ∂E /∂t= (1/c2) ∂E /∂t ma per un’onda che si propaga nella
direzione z la dipendenza dallo spazio e dal tempo è del tipo
A sin(kz- ωt ) (per es.per il campo elettrico E= Ex sin(kz- ωt ) î
mentre per il campo magnetico B= By sin(kz- ωt ) ĵ )
quindi ∂E /∂t ∝ ω mentre ∇×B ∝ k ma ω/k = c (velocità di fase)
e quindi k By = (1/ c2) ω Ex, By = (1/ c2) (ω/k) Ex, By = (1/ c) Ex,
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quindi i due contributi (uE ed uB) sono uguali ed inoltre
dU/dt=½ ε0 c2 E B+ ½ EB / μ0= EB / μ0. E’ opportuno definire
il vettore di Poynting S= (1/μ0) E × B che ha le seguenti proprietà:
S è nella direzione del vettore d’onda k (vedi oscillazioni e onde)
che fornisce la direzione di propagazione. In modulo S= (1/μ0) E B
ed il flusso di S ci fornisce l’energia che per unità di tempo passa
attraverso una superficie. Il valor medio in un periodo di S è dato
da <S>=½ E2 /(c μ0) che rappresenta l’intensità dell’onda e.m..
Un’onda trasporta anche una quantità di moto. Infatti su una particella
di carica q il vettore campo magnetico determina una forza di Lorentz
pari a F=q v×B che fa variare la quantità di moto della carica
dp/dt= q v×B ma al tempo stesso la carica assorbe energia dall’onda e
quindi l’onda “sparisce”. La variazione dp/dt può essere pensata come
la diminuzione della q.d.m.dell’onda che viene trasferita alla particella,
la q.d.m.dell’onda è pari a P=U/c e la sua variazione nell’unità di tempo
e per unità di superficie è data da (1/A)dP/dt= S/c
(pressione di radiazione).
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Progetto della NASA per una vela solare (dimensione 0.5 km)
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Generazione di onde e.m. e spettro elettromagnetico
Le onde radio hanno lunghezze d’onda maggiori
di 0.1 m e sono generate da circuiti oscillanti
LC.
Le microonde sono generate da cavità risonanti
con dimensioni centimetriche in cui la capacità
e l’induttanza è distribuita su tutta la cavità
L’infrarosso è generato dalle vibrazioni termiche
dei corpi vicini a Temp ambiente. Emettono in
IR anche le molecole che ruotano o vibrano.
Nel visibile emettono corpi a temp. di alcune
migliaia di gradi. Nel visibile o UV:
transizioni elettroniche di atomi o molecole
(elettroni di valenza).
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Transizioni di elettroni molto legati, vicini
al nucleo dell’atomo
Transizioni nucleari e raggi di origine
interstellare (es. esplosioni di supernovae)
Legame tra temperatura di un corpo e spettro e.m. emesso
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Legge del corpo
nero di Planck
Un corpo a una certa temperatura
emette infatti radiazione a varie
lunghezze d’onda ed il massimo
dell’emissione diminuisce con la
temperatura secondo la legge di
Wien
λMaxT=KW con KW=2,898·10-3 m·K.
Ciò permette ad es. di classificare le
stelle e stimare la loro temp.superficiale
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D’altra parte l’atmosfera assorbe in modo non uniforme la radiazione e.m.
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Nella regione attorno al visibile, l’assorbimento è dovuto
essenzialmente alla presenza di acqua
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Bande di assorbimento
nel medio infrarosso che
mostrano la presenza di
anidride carbonica su
Marte, Terra e Venere.
Solo sulla Terra c’è anche
presenza di acqua e
ozono.
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