RIASSUNTI DI ELETTROMAGNETISMO

RIASSUNTI DI ELETTROMAGNETISMO
di Renato Campus Giraldo, basati sul testo “Introduzione all'elettromagnetismo – Volume II” di R. Marcon
CAP 1: INTRODUZIONE
Massa elettrone
Me = 9,1 . 10­31 kg
Massa protone
Mp = 1836 . Me
Massa neutrone
Mn = 1839 . Me
E si ha per quanto riguarda la carica di un elettrone che qe = 1,6 . 10­19 C.
CAP 2: PROPRIETA' MATEMATICHE DEI CAMPI
•
•
•
•
Si definisce la superficie orientata d S come: d 
S =n⋅dS
 ⋅n dS=F cos  dS quindi il flusso attraverso al superficie S é dato da
Il Flusso attraverso dS é dato da d = F
⋅n dS .
=∮S F
Se =0 allora le linee di forza del campo sono chiuse su se stesse, cioé ciò che entra é uguale a ciò che esce, e quindi il campo é detto solenoidale.
 ⋅d l
 come: =∮C F
Si definisce la Circuitazione di F
Se =0 allora le linee di flusso sono aperte, il campo é detto conservativo.
Data una linea chiusa C = C1 + C2 si ha:
 ∮ F
 ⋅dl 1∮ F
 ⋅dl 2=0
∮C F⋅dl=
C
C

∮C
1
1
2
 ⋅dl 1=∮ F
 ⋅dl

F
C
2
L'integrale di linea non dipende dal percorso ma solo dai suoi estremi A e B
∂V
∂V
∂V
−∂ V
−∂V
−∂V

 ⋅dl=−dV
 F
=−
dx
dy
dz  F x =
; F y=
; F z=
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
dove V viene definito come potenziale scalare.

B

∫A F⋅dl=V
A −V B
CAP 3 : CAMPO ELETTRICO NEL VUOTO
•
La carica elettrica é caratterizzata da:
• QUALITA': può essere neutra, positiva o negativa
• QUANTITA': la carica é misurabile e soggetta a 3 principi generali (quantizzazione, invarianza relativistica e conservazione della carica).
•
La carica può essere puntiforme o distribuita, in questo caso si definisce la DENSITA' DI CARICA: =
dQ
o d
Q=⋅d  e se  é uniforme risulta Q=⋅
•
•
•
2
1 q 1⋅q2
⋅ 2 ⋅r12 dove  0=8,85⋅10−12 Nm2 é la costante 4  0 r 12
C

F
dielettrica nel vuoto, vale per la ij il principio della sovrapposizione degli effetti.
Si ha empiricamente la legge di Coulomb F12=

F
= 1
E=
Si definisce il campo elettrico di cariche in quiete 
con F
4 0
q0
qi
1

E=
⋅r =∑ i Ei
∑
4 0 i ri2 i
∑i
q i⋅q0
r 2i
ri da cui si ha
Data una superficie S dentro un campo elettrico 
E si verifica la LEGGE DI GAUSS:
 ⋅n dS= Q
=∮S E
0
DIMOSTRAZIONE:
Presa dS orientata, 1
q
⋅ 2⋅r cos ⋅dS
4  0 r
⋅n dS= q ∫ d 
⇒ =∮S E
4  0 4 
⋅n dS= E
 dS cos =
d = E
⇒ =∮ 
E⋅n dS=
Q
0
questa é l'espressione della LEGGE DI GAUSS
Nel caso di carica esterna si ha che:
∮S E⋅n dS =12=−=0
Nel caso di carica sulla superficie si ha •
∫2  d =2 
da cui
Q
∮S E⋅n dS = 2 
0
Consideriamo ora la circuitazione di 
E su una qualsiasi linea chiusa C, si ha che:

∮C E⋅dl=0
DIMOSTRAZIONE:

=
E⋅dl

r
q
r⋅dl
q
dr
⋅dl
 = q ⋅∫ dr
⋅ 2 =
⋅ 2 ⇒∮C E
4⋅⋅0 r
4⋅⋅0 r
4⋅⋅ 0 r r 2
0
0
si ottiene cosi la dimostrazione del valore nullo della circuitazione ⋅dl=0

del campo elettrico 
E : ∮C E
La circuitazione di un qualsiasi campo elettrico 
E lungo una qualsiasi traiettoria C è nulla. Il campo elettrico è 
conservativo quindi lo si può esprimere come 
E =−∇⋅V
•
Si ha  ∮ F
 ⋅dl=L=0

∮C q 0⋅E⋅dl=
C
quindi il campo elettrico è caratterizzato da forze conservative e quindi si può scrivere che •
∂V
B
∫A E⋅dl =V A−V B ⇔ E x =− ∂ x
; E y =−
∂V
∂V
; E z =−
∂y
∂z
Si definisce il potenziale a meno di una costante additiva:

∞
∞
∞ dr
q r⋅dl
q
1 q
 ∫
 ⋅dl=
V =∫P E
⋅
=
⋅∫P 2 ⇒ V =
⋅
2
P
4  0 r
4  0
4  0 r
r
Si definisce l'energia potenziale U =q⋅V uguale al lavoro necessario per portare una carica q dall'infinito a P contrastando le forze del campo.
•
Riassumiamo le 2 equazioni integrali che regolano i fenomeni elettrostatici nel vuoto:

⋅n⋅dS =Q LEGGE DI GAUSS
CIRCUITAZIONE DEL C.E. e ∮S ⋅E
∮C E⋅dl=0
CAP. 4: CAMPO ELETTRICO E MATERIA
•
Se consideriamo un corpo di materiale dielettrico polarizzato, il campo di polarizzazione si aggiunge a quello E = E0 EP da cui le due equazioni integrali:
all'origine da cui 

∮S 0 E⋅n dS =QQ 0 e ∮C E⋅dl=0
Si può tenere conto della polarizzazione introducendo la costante dielettrica del mezzo:
∮S k 0 E⋅n dS=∮S  E⋅n dS=Q
Dove si sono definite: =0⋅k costante dielettrica assoluta
=k −1 suscettività elettrica
•
E0
 = 0 k⋅E
 lo spostamento e definito D
k
elettrico, si ha che le equazioni generali dell'elettrostatica si possono scrivere come segue:

∮ D ⋅n dS=Q e ∮ E⋅dl=0
=
Occupiamo lo spazio con un mezzo ILO tale che si abbia E
S
C
•
Consideriamo il modello di gas di elettroni in un corpo di materiale conduttore. Agiscono le forze coulombiane
 = FE  FC =0 , se il corpo è isotropo, lineare e a temperatura FE e quelle chimiche FC . All'equilibrio F
uniforme FC =0 da cui si ha che FE =−FC =0 .
In tal caso il CES è anch'esso nullo all'intorno del conduttore. Quindi se il conduttore è carico, la sua carica viene ripartita sulla superficie.
Ricordando che 
E =−∇ V ne discende che all'interno del conduttore il potenziale V è costante e che la superficie dello stesso coincide con una superficie equipotenziale.
•
Considerato un campo elettrico, alla superficie di un conduttore questo è sempre ortogonale alla stessa e vale
S
E0= n , questo è il TEOREMA DI COULOMB.
0
DIMOSTRAZIONE:
S dS
Calcoliamo il flusso uscente: E2⋅n dS  E1⋅n dS  M =
dove dS è 0
abbastanza piccolo da considerare i campi elettrici E1 e E2 uniformi. Inoltre  M  0 per dh  0 , inoltre all'interno del conduttore il campo S
elettrico E1 è nullo ⇒ E2⋅n = E0⋅n=
e poiché E0∥n si ha che:
0
S
E0= ⋅n TEOREMA DI COULOMB
0
•
Un CE intorno al conduttore cavo si manifesta all'esterno come mostrato in figura:
•
Si definisce la capacità di un condensatore C=
•
Nei condensatori in serie si ha:
Q
=
V
∫S  S dS

∫S  QS  dS
=
se  S e S non S
 S /Q
1
1
⋅∫
dS
⋅∫
dS
4  0 k S r
4  0 k S
r
variano, la capacità del condensatore rimane costante nel tempo.
Q
Più semplicemente C=
e si ha nei casi particolari più diffusi:
∣V 1−V 2∣
S
• condensatore piano C 0=0
d
R 1 R2
• condensatore sferico C 0=4  0⋅
R1−R2
• sfera isolata C 0=4  0 R
V A−V D V D −V B

Q
Q
1 1
e più generalmente ∑ =
Ci C
V A−V B=V A−V D V DV B =
da cui risulta
1 1
1
= 
C C1 C 2
•
Per quanto riguarda i condensatori in parallelo si ha che
Q1
Q2
Q
Q=Q1 Q2 ⇒
=

e quindi C=C 1C 2 , più V A−V B V A−V B V A−V B
generalmente si ha C=∑ i Ci
•
Per quanto riguarda l'energia di un condensatore, considerata una carica q si ha che, definita LOP il lavoro necessario per portare una carica dq dalla piastra negativa a quella positiva si ha:
2
2
2
 =∫ −dq E
 =−dq⋅∫ E
 =dq⋅V 1−V 2 
 ⋅dl
⋅dl
dL op =∫ dF op⋅dl
1
1
1
q
⇒ dL OP= ⋅dq
C
1 Q
1 Q2
⇒ L OP = ⋅∫0 q⋅dq= ⋅
C
2 C
2
1 Q
e quindi si ottiene cosi l'espressione dell'energia del condensatore: U C = ⋅
2 C
CAP 5: LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA
•
Si definisce il campo J come densità di corrente elettrica 
J =⋅v il flusso di 
J attraverso S fornisce l'intensità di corrente i=∫S J n dS e
dq
dQ
J⋅n dS = ⇒ i=∫S J⋅n dS =
dt
dt
•
Il principio di conservazione della carica elettrica per i fenomeni di trasporto si scrive
dQ u
dQ i
d
i=∮S J⋅n dS =
=−
⇒∮S J⋅n dS =− ∫  d 
dt
dt
dt
dQ i
Nel caso di correnti stazionarie
=i=∮S J⋅n dS =0 quindi 
J è solenoidale, cioé le sue linee di forza sono dt
chiuse su se stesse.
•
Nel caso di corrente continua si instaura nel circuito un nuovo equilibrio dinamico, essendoci distribuzione di cariche, ci sarà anche un CES Es , per trasportare le cariche serve quindi una forza F s=q⋅E s . All'interno del F
generatore c'è la Fm , si ha che Em= m è detto il CAMPO ELETTROMOTORE e non è conservativo.
q
•

 . Se F
 ; si definisce la f.e.m f =∮ F ⋅dl
 è proporzionale a q Sia una particella in un campo di forze F
C q
 =q⋅E
 ⇒ f =∮ E
⋅dl

allora si ha che F
C
 = E s Em ⇒ f =∮ E
⋅dl=
 ∮ Es⋅dl
 ∮ Em⋅dl=
 ∮ Em⋅dl
 la f.e.m si calcola solo in base al Consideriamo E
C
C
C
C
c.e.m.
B
 dl=
 ∫ Em⋅dl
 e finalmente
E = E s Em=0 ⇒ Em= Es da cui f =∮ E⋅
Nel generatore a morsetti liberi si ha che 
C
A
B
f =∫ E s⋅dl=V

B−V A=V 0
A
B
 e quindi vediamo che la f.e.m è una Nel caso in cui il generatore sia inserito in un circuito si ha f =∫A Em⋅dl
caratteristica intrinseca del generatore e non dipende dalla corrente erogata.
•
Empiricamente risulta che V =U B−U A= f −rI
•
Per un filo conduttore ILO di sezione S in presenza di solo CES si ha la 1 l
LEGGE DI OHM V =V A −V B=r I con R= ⋅
 S
1 dl
J
Consideriamo un tratto infinitesimo di filo, si ha che −dV = ⋅ ⋅JS = dl da cui risulta che
 S

DV J  
1
−
= ⇒ J = E s⋅ che è la LEGGE DI OHM IN FORMA LOCALE dove =
è la RESISTIVITA' dl


LOCALE.
•
 =  Em Es  e poiché
In presenza di CEM si ha J =⋅E
B
 VA−VB
∫A Es⋅dl=
 − Em = J − Em
⇒ Es =E

B
1 B 

⇒V A −V B= ∫A J⋅dl−
Em⋅dl
∫
A


1 B
dl
⇒V A −V B= ∫A J S − f AB

S
1 l
⇒V A −V B=I
− f AB
 S
⇒V A−V B =RI − F AB
LEGGE DI OHM GENERALIZZATA
•
Supponiamo che agisca solo un CES tra A e B, si ha che la carica ha energie dU A=V A⋅I dt e dU B=V B⋅I dt da cui dU =dU B−dU A =V B−V A  I dt=−V A −V B I dt . Questa è l'energia dissipata e perduta per effetto joule, si ha P=V A−V B ⋅I potenza assorbita in [AB].
•
Se ci si riferisse a un tratto elementare: dP=−dVI =−dV⋅JS=−
dP  
dP  
= E s⋅J e se agisce anche un CEM si ha
= E⋅J
d
d
•
•
dV
⋅JSdl ⇒ dP=E s⋅J⋅d  da cui infine dl
Si hanno le equazioni di Kirchoff: • per la maglia ∑k V k =0 • per il nodo ∑k I k =0
Si ha per i resistori in serie V A−V B=V A−V D V D−V B ⇒
l'espressione della resistenza equivalente R= ∑k Rk .
Nel caso di resistori in parallelo si ha I =I 1I 2 ⇒
V A−V B V A−V D V D−V B
e quindi si ottiene =

I
I
I
I1
I2
I
=

da cui la resistenza equivalente
V A−V B V A−V B V A−V B
1
1
=∑k
R
Rk
CAP 6: IL CAMPO MAGNETICO NEL VUOTO
•
•
B . Per il CMS vale il Posta in un punto O una q0 si nota empiricamente che è soggetta a una forza FB=q0 v ∧ 
 =q0  v ∧ B
E

principio di sovrapposizione e quindi se si q0 agisce anche un CE si ha che la forza diventa F
detta FORZA DI LORENTZ.
Un circuito chiuso e orientato in quiete è percorso da corrente I si ha B=
SAVART, con o=4 ⋅10−7 la permeabilità magnetica.
•
Nel caso in cui ci si ponga a una distanza tale che il  =∫ dB
 con
conduttore ci appare filiforme, si ha B
C
 r
0 I dl∧

dB=
⋅ 2
detta FORMULA DI BIOT 4
r
SAVART.
•
Nel caso di percorso rettilineo B=
•
Se consideriamo invece punti interni o troppo vicini non lo si può più considerare filiforme, da cui
dq
 
J⋅n dS = ⇒ dI⋅dl=
J⋅DS⋅dl quindi
dt
 j⋅d  e per la formula di Biot Savart in tal dI⋅dl=
caso risulta
J ∧r
0 J ∧r
0


dB=
⋅ 2 ⋅d  ⇒ B=
⋅∫ 2 ⋅d 
4 r
4
r
•
Si ha la LEGGE DI AMPERE: 0 I
⋅
2 d
∮C B⋅dl =0⋅I
 r
o
I dl∧
la LEGGE DI BIOT ∫
2
C
2
r
DIMOSTRAZIONE:
 I
 I

 B⋅dl
 B= 0 ⋅dl B= 0 ⋅d⋅d  e quindi
B⋅dl=
2d
2d
0 I

⋅∮ d  con ∈[0 ;2 ] ⇒
∮C B⋅dl=
2d C
 =0⋅I .
B⋅dl
cui la legge di ampere ∮C 
Se I non si concatena col circuito si ha
0
∮C d =∫0
2
∫0
d =2  da 0
d ∫ d =0
0
•
Sappiamo che le linee del CM sono chiuse si se stesse quindi
∮S B⋅n dS=0 .
•
Possiamo quindi dire che le equazioni integrali che regolano il CMS sono le seguenti:

 n dS =0
∮C B⋅dl=
0⋅I e ∮S B⋅
•
 empiricamente possiamo dire che è Considerato invece un circuito C rigido e vincolato immerso in un CMS B
sottoposto a:
 =I dl∧
 
dF
B
e
FORMULA DI LA PLACE
 
 =∫ I dl∧
F
B
C
FORZA DI LA PLACE
CAP 7: CAMPO MAGNETICO E MATERIA
•
Se immergiamo una sostanza in un CM B0 prodotto da una corrente di conduzione I, si ha che questa sostanza subisce una magnetizzazione; che corrisponde alla nascita nel materiale di correnti di magnetizzazione.
Ad ogni particella microscopica è possibile associare un vettore densità di corrente di magnetizzazione J ' .
 ' B0 e si ha  ' che si sovrappone a B0 , cosicché il CM totale diventa 
B= B
Queste correnti creano un CM B
per quanto riguarda il flusso attraverso una superficie S di contorno C:
∮S B⋅n dS=0 e ∮C B⋅dl =0  I I ' 
con I =∫ J⋅n dS e I '=∫ J '⋅n dS
S
•
S
Consideriamo una costante Km detta permeabilità magnetica,

B
∮C  ⋅k
0
definisce grazie a questa anche la suscettività magnetica =k m−1 .
m
 ∮
⋅dl=
C

B 
⋅dl =I con =o⋅k m . Si 
•
Grazie alla legge di Biot­Savart conosciamo il CM B0 nel vuoto è utile considerare che al riempire lo spazio con  (detto anche Intensità del CM) B=K m⋅B0 . Definiamo cosi il CAMPO MAGNETICO H
un mezzo ILO risulta 

= B
H
trasformando cosi le equazioni integrali del CM in:
o⋅k m
 dl=I

∮ B⋅n dS=0 e ∮ H⋅
S
•
C
Consideriamo due circuiti chiusi, sia r12 la distanza di un punto P∈S 2 dall'elemento generico dl 1 . E' associato alla corrente continua I1 in C1 il CM B1 tale che:
 I
I dl ∧r
B1= 0 ∫C 1 12 12 LEGGE DI BIOT SAVART
4
r 12
1
Si ha anche il flusso concatenato a C2 che ha espressione 12=∫S B1⋅n2 dS 2 da cui possiamo dire che
 ∧r

dl
12=M 12⋅I 1 con M 12= 0 ∫S ∫C 1 2 12 n2⋅dS 2 .
4
r12
Allo scambiare le parti in causa si ha che 12=M 21⋅I 2 e si dimostra che M 12=M 21=M detto coefficiente di 

mutua induttanza, questo coefficiente può essere espresso come M = 12 = 21
I1
I2
2
2
•
1
Allo stesso modo si può definire la auto induttanza 1=L1 I 1 ⇒ L1=
tra loro dalla relazione M =k⋅ L1 L 2 . Se:
∣k∣=0 allora i circuiti sono disaccoppiati
•
∣k∣=1 allora i circuiti sono completamente accoppiati
•
•
1
, risulta cosi che M, L1 e L2 sono legati I1
Considerato il circuito magnetico più semplice, applichiamo alla sua linea media il teorema di Ampère H l=N I
B
Bl
⇒
=N I
ed essendo H =
0⋅k m 0⋅k m
1
l
⋅ si ha ℜ B S =N I ⇒ ℜ⋅=F dove F= N I è la forza Definita la riluttanza come ℜ=
0⋅k m S
magnetomotrice.
CAP 8: INDUZIONE ELETTROMAGNETICA E CORRENTE DI SPOSTAMENTO
•
In condizioni statiche le equazione del CEM sono
I =∫S J⋅n dS .
∮S D ⋅n dS=Q
∮S B⋅n dS=0
e

∮C E⋅dl=0

 dl=I
∮C H⋅
dove Q=∫  d  e

= B
 =k⋅ 0 E
 e H
 e H
 infine hanno espressioni D
I vettori D
, queste sono valide quando i mezzi sono 0⋅k m
ILO e possono valere anche nel caso di mezzi non omogenei nel qual caso k e km dipendono dalla posizione.
•
Con riferimento a un riferimento inerziale Σ si consideri un circuito chiuso C in quiete e sia 
B variabile nel  il circuito C è sede di una corrente indotta tempo, empiricamente vediamo che per effetto della variazione di B
−∂ m
⋅n dS da cui risulta che
provocata da una f.e.m. agente nel circuito, si ha f i=
con  m=∫S B
∂t

−∂ B
f i=∫S
⋅n dS .
∂t

 ∫ −∂ B⋅n dS .
Essendo la f.e.m la circuitazione di un CEM risulta ∮C Ei⋅dl=
S ∂t

−∂ B
 = Ei  E s . ⋅n dS con E
∂t
Questa equazione può sostituire l'equazione della circuitazione del CE, si hanno quindi le seguenti:
Nel frequente caso in cui il CEM sia sovrapposto a un altro CE si ha
∮S D ⋅n dS=Q

 ∫ −∂ B⋅n dS
∮C E⋅dl=
S ∂t
∮S B⋅n dS=0
•
 ∫
∮C E⋅dl=
S
Ia EQUAZIONE FONDAMENTALE DEL CEM
IIa EQUAZIONE FONDAMENTALE DEL CEM
IIIa EQUAZIONE FONDAMENTALE DEL CEM
 ; si ha che si può considerare istante Consideriamo un circuito aperto C di estremi P e Q immerso in un CM B
per istante il conduttore in equilibrio elettrostatico. Quindi si ha che la forza agente sulla carica sarà nulla 
F
= Ei E s=0 essendo inoltre la circuitazione di Es nulla si ha:
q
Q
Q
Q
Q
 ∫ E s⋅dl=V

 
 
∮ E s⋅dl=∫ E s⋅dl
Q −V P ∫ E s⋅dl=V Q−V P −∫ E i⋅dl=0
C
P
P
P
P
Q

⇒ ∫P E ⋅
i dl=V Q−V P= f PQ
Se invece facciamo tendere P a Q (riducendo quindi lo spazio tra i due estremi a una grandezza infinitesimale), si  = f i .Il tratto di conduttore C si comporta come generatore di tensione di f.e.m f PQ .
ha che V Q−V P =∮ E i⋅dl
•
Per calcolare la corrente indotta ci poniamo nelle condizioni di primo ordine che sono qui elencate:
•
•
I CM sono generati da magneti permanenti e circuiti chiusi con esclusione dei campo prodotti a singole cariche in moto.
La corrente nel circuito C, non potendo variare nel tempo è a singolo valore. Istante per istante ha lo stesso valore in tutte le sezioni di C
Nel caso più semplice se la f.e.m indotta fi è costante anche la corrente indotta i è costante e si ha Ri= f i . Se la corrente i varia allora alla variazione di  m si aggiunge la variazione del flusso autoindotto, si ha cosi
∂
Ri= f i f a= f ⇒ Ri= f i − a essendo, come abbiamo visto prima  a=L⋅i si rimpiazza nell'espressione di ∂t
di
prima ottenendo R⋅i= f i−L
.
dt
Se nel circuito inseriamo un generatore di tensione di f.e.m f g risulta Ri= f i f a f g e se R è la resistenza f
totale si può sempre scrivere che i=
.
R
•
•
Consideriamo un circuito con generatore ideale di tensione e un induttore di induttanza L e resistenza interna RL. di
di
Si ha RL⋅i= f g  f a da cui RL⋅i=V A −V C  f a =V A−V C −L
e finalmente V A−V C =R L⋅i L
.
dt
dt
Da cui V A−V C ⋅idt=R L⋅i 2 dtL⋅i di ; vediamo che una parte dell'energia sarà dissipata nel resistore, il resto verrà immagazzinato nell'induttore. Possiamo cosi ottenere l'espressione dell'energia dell'induttore:
i
i
1
2
U C =∫0 Li di=L⋅∫0 di e quindi U C = L⋅i è L'ENERGIA DELL'INDUTTORE.
2
d m
Studiamo l'induzione EM di movimento ora, C per effetto del moto è sede di una forza f i=−
con
dt

⋅n dS , per definizione si ha f =∮ F ⋅dl
 e poiché le cariche mobili di C hanno velocità v sono  m=∫S B
i
C q
 ⋅dl
 .
 =q 
 e quindi f i=∮C  v ∧B
sottoposte alla forza di Lorentz data da F
v ∧B
Q
 dl=
 f PQ
Nel caso di circuito aperto si ha V Q−V P =∫P v ∧ B⋅
•
Nel caso generale di f.e.m indotta si ha sovrapposizione f i=∫S −
DI FARADAY NEUMANN LENS (o di FARADAY­HENRY).
•

∂B
 questa è la LEGGE ⋅n dS∮C v ∧ 
B ⋅dl
∂t
Ora vogliamo vedere se un CE variabile è accompagnato da un CM, si ha
 dl=I

∮C H⋅
da cui

∂D

∂D
è il TERMINE DI MAXWELL. ⋅n dS =i T dove Js=
∂t


 ∮ B ⋅dl=
 ∫ ∂0⋅E ⋅n dS . Vediamo che la  dl=
Consideriamo il caso per cui J =0 , si ha nel vuoto che ∮C H⋅
S
0
∂t
 dl=
 f m una forza magnetomotrice si ha una f.m.m indotta di variazione di CE produce un CM e definito ∮C H⋅
 ∫ 
 dl=
J
∮C H⋅
S
∂t
espressione:

B
 ∮ H⋅

 dl
⋅dl=
C
0
Il termine di Maxwell ha le dimensioni di una densità di corrente e viene definita DENSITA' DI CORRENTE DI 
∂D
SPOSTAMENTO J ' S . Si definisce la CORRENTE DI SPOSTAMENTO iS =∫S
⋅n dS da cui possiamo ∂t
esprimere la corrente totale come i=ii s .
f mi=∮C
•
Si possono scrivere le LEGGI GENERALI DELL'ELETTROMAGNETISMO PER I MEZZI IN QUIETE:

∮S D ⋅n dS=∫ ⋅d =Q
 ∫ − ∂ B⋅n dS
∮C E⋅dl=
S
∂t

∮S B⋅n dS=0
 ∫  J  ∂ J ⋅n dS=i
 dl=
∮C H⋅
T
S
∂t
 =q⋅ F
 v ∧ 
I campi sono definiti tramite la FORZA DI LORENTZ F
B  e con riferimento alle sostanze isotrope e lineari si hanno le EQUAZIONI DI COSTITUZIONE DEI MEZZI:

= B
 = 0⋅k⋅
D
E e H
0⋅k m