La Storia della Matematica

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La Storia
della
Matematic
a
A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't
there.
Charles Darwin
La vera religione è la matematica, il resto è superstizione (detto in altri termini, la
matematica è la religione dei poveri di spirito.
Pitagora
-50.000
Traccia di conteggi da parte dell'uomo di Neanderthal
-25.000
Disegni geometrici primitivi da parte dell'uomo di Cro-Magnon
-15.000
Nell'attuale Libano, si sono trovate ossa di animali, risalenti a questo periodo, che
mostrano intaccature riunite in gruppi di eguale cardinalità.
-4241
Presunta origine del calendario egiziano
-3000
Numeri geroglifici in Egitto
-1850
Papiro di Mosca: notazione posizionale in Mesopotamia
-1700
Papiro di Rhind: rotolo lungo cinque metri, composto da quattordici fogli di papiro,
contiene decine di problemi matematici di vario tipo.
-600
Il greco Talete (624-546 circa) è considerato il fondatore della geometria. Sebbene
non abbiamo nessun documento certo, gli vengono attribuiti i teoremi sulla
similitudine dei triangoli, in particolare quello che porta il suo nome.
-500
Il greco Pitagora (580-497 circa) è il fondatore di una scuola matematica, filosofica
e religiosa con sede a Crotone. Nessun documento scritto ci è pervenuto di questo
pensatore. Gli si attribuisce il famoso teorema sui triangoli rettangoli che porta il
suo nome.
-400
Il greco Ippocrate (460-377) scrive il primo trattato di geometria. Democrito (460370), Eudosso (408-353), Archita di Taranto risolvono importanti problemi di
geometria e aritmetica). Zenone enuncia i famosi paradossi.
-300
Euclide organizza negli Elementi i teoremi di geometria e di teoria dei numeri
ottenuti dalla cultura matematica greca dell'epoca. Procede per definizioni,
postulati e teoremi con una esposizione che è rimasta classica per ogni tempo.
Aristotele codifica le leggi del ragionamento logico.
-200
Archimede di Siracusa (287-212) si occupa di aritmetica, algebra, geometria,
fisica; risolve importanti problemi sulle equazioni cubiche; anticipa il calcolo
logaritmico e il calcolo integrale.
Ipparco (190-125) fonda la trigonometria piana e sferica. Apollonio studia le
coniche. Eratostene effettua la prima misurazione del diametro della Terra.
-100
Erone compie importanti studi di geometria e di fisica
100
Tolomeo nell'Almagesto tratta problemi di trigonometria piana e sferica.
200
Diofanto studia l'aritmetica, usa i simboli algebrici ed enuncia le regole per
risolvere le equazioni di primo e secondo grado
500
Il latino Boezio compie ricerche di logica e geometria.
600
Gli Indiani usano la notazione posizionale e i numeri indù.
I Cinesi introducono l'estrazione di radice quadrata.
800
Gli Arabi diffondono la numerazione posizionale indiana, detta poi arabica.
L'arabo al-Khuwarizmi compone il trattato Al-giabr wa'l mu kabala, da cui deriva il
nome algebra. Dal nome di questo matematico deriva il nome algoritmo.
1000
L'indiano Sridhara dà una chiara esposizione dell'uso del numero 0, affermando
che a+0=a, a-0=a, a·0=0, 0·a=0.
1200
L'italiano Fibonacci di Pisa (1175-1240) nel trattato Liber Abaci introduce in
Europa il sistema di numerazione arabo, nonché i risultati algebrici della cultura
musulmana.
1500
L'italiano Luca Pacioli (1445-1510) scrive il primo trattato generale di aritmetica e
algebra, Summa, con un accenno al calcolo delle probabilità e ai logaritmi.
Gerolamo Cardano tratta le cosiddette grandezze immaginarie. Niccolò Fontana
detto Tartaglia espone la regola per la risoluzione delle equazioni di terzo grado
ridotte. Il francese Viète introduce l'algebra simbolica, che permette di scrivere
lunghe espressioni algebriche, secondo il metodo moderno.
1600
Napier e Buergi inventano, indipendentemente l'uno dall'altro, i logaritmi. Briggs
pubblica le prime tavole dei logaritmi a base 10. Fermat coglie i principi essenziali
della geometria analitica. Cavalieri studia il calcolo infinitesimale.
Nel 1636 Descartes pubblica il Discours de la méthode che contiene i fondamenti
della geometria analitica. Pascal dà le basi della geometria proiettiva e del calcolo
delle probabilità. Newton crea il calcolo delle flussioni, poi detto calcolo
infinitesimale. Anche Leibniz crea, indipendentemente da Newton, e con
simbolismi differenti il calcolo differenziale.
1700
Eulero introduce il calcolo delle variazioni, applicando i metodi del calcolo
differenziale alle curve e alle superfici. I Bernoulli e Lagrange sviluppano la teoria
delle equazioni integrali e differenziali applicandola alla geometria e alla meccanica
1800
Gauss dimostra il teorema fondamentale dell'algebra: ogni equazione ha tante
equazioni quanto è il suo grado. Nel campo della geometria introduce lo studio
della curvatura delle superfici e mette in crisi la geometria euclidea. Laplace
introduce in modo rigoroso la teoria della probabilità. Cauchy e Weierstrass
rendono rigoroso il calcolo infinitesimale. Monge e Poncelet fondano la geometria
descrittiva e la geometria proiettiva. Lobacevskij e Bolyai, indipendentemente
l'uno dall'altro, studiano una geometria che contraddice il postulato di Euclide sulle
parallele. Riemann fonda le geometrie euclidee e non sul concetto di metrica.
Boole applica il calcolo algebrico alla logica. Cantor formula la teoria degli insiemi.
Klein dà un quadro completo, attraverso la teoria dei gruppi di trasformazioni delle
varie geometrie sorte nell'Ottocento: proiettiva, metrica, euclidea, ellititica,
iperbolica, topologia. Frege si propone di unificare logica e aritmetica. Peano
costruisce una simbologia per il calcolo logico e per le dimostrazioni matematiche.
Enriquez organizza in modo rigoroso la geometria proiettiva.
1900
Hilbert dà una formulazione puramente assiomatica della geometria. RicciCurbastro e Levi-Civita creano il calcolo differenziale assoluto, strumento
utilizzato da Einstein per formulare la teoria della relatività. Russell cera di
fondare la matematica su basi puramente logiche. Brouwer in contrapposizione
ritiene esclusivamente intuitivi i principi della matematica. Volterra fonda il calcolo
funzionale. von Newmann elabora la teoria dei giochi. Goedel dimostra che nei
sistemi formali è possibile individuare proposizioni indimostrabili, ne consegue che
l'aritmetica non può fondarsi su se stessa. Wiener introduce la cibernetica e la
teoria dell'informazione. Thom intraprende lo studio delle catastrofi o del caos,
ossia delle trasformazioni improvvise. Mandelbrot espone lo studio dei frattali,
forme geometriche irregolari che appaiono simili se osservate su scale diverse.
I matematici di tutti i tempi
LA MATEMATICA GRECA
VI secolo a.C., i fondatori: Talete, geometria; Pitagora, aritmetica.
V secolo a.C., i pitagorici: Filolao (di Crotone), Ippaso di Metaponto,
Ippocrate di Chio, Dernocrito di Abdera (l'atomista), gli eleatici (da Elea, città
dell'Italia meridionale): Parmenide e Zenone. Il sofista Ippia di Elide, studioso
di geometria.
IV secolo a.C. Scuola di Atene. Platone, lavori dell'Accademia; Eudosso di Cnido
(creatore, insieme con Antifonte, del «metodo di esaustione», antenato del
calcolo integrale). Teodoro di Cirene, Teeteto, Archita di Taranto. E poi
Aristotele (logica, ragionamento). Menecmo, Autolico di Pitane. Eudemo di
Rodi, il peripatetico, storico della matematica e dell'astronomia.
III secolo a.C., ovvero l'«età aurea» della matematica greca. Il grande trio:
Euclide e Apollonio di Perge, ad Alessandria, Archimede a Siracusa. Euclide
con i suoi Elementi, Apollonio con le Coniche, e infine Archimede.
A partire dal III secolo avanti Cristo (all'incirca) tutto si concentra ad Alessandria.
Siamo nel cosiddetto periodo ellenistico. La matematica greca, nata dopo i viaggi
di Talete e Pitagora in Egitto, torna alle origini.
III secolo a.C.: Eratostene di Cirene, matematico, astronomo, geografo e
bibliotecario del Museo di Alessandria, effettua la prima misurazione rigorosa della
Terra.
II secolo a.C: Ipparco di Nicea, il «padre della trigonometria», e Teodosio di
Bitinia, l'astronomo.
I secolo a.C.: Erone di Alessandria, studioso della meccanica.
II secolo dopo Cristo: Claudio Tolomeo, geografo e astronomo, Nicomaco di
Cerasa, Teone di Smirne (teoria dei numeri), Menelao di Alessandria
(trigonometria sferica).
III secolo: Diofanto di Alessandria, il « padre dell'algebra ».
IV secolo: Pappo di Alessandria, autore di una sintesi della geometria dei secoli
precedenti. Teone di Alessandria, geometria, e sua figlia Ipazia, l'unica donna
che si sia occupata di matematica nell'antichità.
V secolo: i « grandi commentatori » della matematica greca, Proclo, che
commenta Euclide, ed Eutocie di Ascalone, che commenta Apollonio e
Archimede.
VI secolo: Severino Boezio, l'ultimo matematico dell'antichità.
MATEMATICI DEL MONDO ARABO DAL IX AL XV SECOLO
Dopo qualche secolo di torpore, tra il V e il VI secolo dell'era cristiana la scienza
greca fu ripresa dai matematici arabi che, dopo averla assimilata, la misero a
frutto. Grazie al passaggio attraverso la cristiana Bisanzio, la matematica della
pagana Alessandria giunse a Baghdad, capitale dell'Islam.
Gli eruditi arabi, specie quelli del IX e del X secolo, avevano la particolarità di
essere grandi matematici e traduttori sopraffini al contempo. Si lanciarono così in
un'impresa immensa, la traduzione dei testi dei matematici greci: Euclide,
Archimede, Apollonio, Menelao, Diofanto, Tolomeo. Questo lavoro li mise in
condizione di assimilare il sapere matematico dell'antichità e di arricchirlo in
misura considerevole, creando nuovi settori della matematica sconosciuti ai greci.
Tuttavia quegli studiosi attinsero anche ad altre fonti, soprattutto a quella indiana.
Una caratteristica che avevano in comune con i greci era il fatto di essere studiosi
«a 360 gradi»: esperti di matematica, medicina, astronomia, filosofia e fisica. Sono
stati i matematici arabi a creare l'algebra, il calcolo combinatone, la trigonometria.
Inizi del IX secolo. Baghdad, al-Khwàrizmi (algebra, equazioni di primo e secondo
grado a un'incognita). Egitto, Abù-Kàmil, amplia il campo dell'algebra (sistemi di
più equazioni a più incognite). Al-Farisi getta le basi della teoria sulla divisibilità
dei numeri, affermando che: «ogni numero si scompone necessariamente in un
numero definito di fattori primi, dei quali è il prodotto ».
Seconda metà del IX secolo. Geometria, sempre a Baghdad, i tre fratelli Banu
Musa. Poi altri tre saggi, Thabit ibn-Qurra, al-Nayrizi e Abù al-Wafa (calcolo
delle aree; parabola, ellisse, teoria delle frazioni; fondatore della trigonometria
come settore autonomo della matematica).
Fine del X secolo. Due grandi sapienti, il geografo al-Biruni, astronomo e medico,
e Ibn al-Haytham, l'«al-Hazen» degli occidentali (teoria dei numeri, geometria,
metodi infinitesimali, ottica, astronomia. Ma non algebra!)
Ibn al-Khawwàm formula il problema che più tardi diventerà la celebre
congettura di Fermat: un cubo non può essere la somma di due cubi, l'equazione:
x3 + y3 = z3 non ammette soluzioni in termini di numeri interi.
Altri due grandi matematici, al-Karaji, alla fine del X secolo, e al-Samawa'l, nel
XII, che proseguì l'opera del primo. Al-Samawa'l propone un sistema di 210
equazioni con dieci incognite, e lo risolve! Aritmetizzazione dell'algebra.
Aritmetizzazione dell'algebra: applicazioni all'incognita delle operazioni (+, -, x, :,
estrazione delle radici quadrate) che l'aritmetica utilizzava esclusivamente per i
numeri. Estensione del calcolo sui numeri al calcolo algebrico.
Al-Karaji studia le potenze algebriche: xn e 1/xn. Al-Samawa'l utilizza le quantità
negative, dimostrando la regola fondamentale del calcolo sulle potenze: xmxn =
xm+n. È uno dei primi a usare la « dimostrazione per induzione » allo scopo di
verificare risultati matematici, soprattutto nel campo della teoria dei numeri.
Il calcolo della somma di n numeri primi interi,
della somma del loro quadrato,
di quella del loro cubo.
Fine del XI secolo. Omar al-Khayyam, poeta e matematico, grande studioso di
algebra.
Fine del XII secolo. Sharaf ai-Din al-Tùsi, anche lui grande studioso di algebra.
Cinquecento anni prima dei matematici occidentali, utilizza procedimenti che
prefigurano la nozione di derivata.
XIII secolo. Nasir ai-Din al-Tùsi (astronomo, riformatore del sistema tolemaico).
Inizi del XV secolo. Piena maturità della matematica araba; al-Kashi, direttore
dell'osservatorio di Samarcanda, realizza una sintesi della matematica araba degli
ultimi sette secoli: rapporti tra l'algebra e la geometria, rapporti tra l'algebra e la
teoria dei numeri; trigonometria e «analisi combinatoria» (studio dei vari modi per
combinare tra loro gli elementi di un insieme); «soluzione di equazioni per radicali»
(calcolo delle soluzioni delle equazioni utilizzando soltanto le quattro operazioni e
le radici quadrate, cubiche, eccetera).
MATEMATICA IN OCCIDENTE A PARTIRE DAL 1400
XVI secolo. Il grande secolo dell'algebra elementare. Scuola italiana di Bologna,
(equazioni di terzo e quarto grado): Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano,
Ludovico Ferrari, Raffaele Bombelli. Scoperta dei numeri complessi. Grandi
progressi delle notazioni simboliche, Francois Viète, Simon Stevin.
XVII secolo. Invenzione dei logaritmi: John Napier. La matematica barocca.
Algebra: Albert Girard, Thomas Harriot, William Oughtred. Geometria
analitica (che stabilisce un nesso tra numeri e spazio per mezzo dell'algebra):
Pierre de Fermat, Rene Descartes (Cartesio). Geometria degli indivisibili:
Bonaventura Cavalieri, Gilles Personne de Roberval, Pierre de Fermat,
Grégoire de Saint-Vincent. Calcolo infinitesimale (calcolo differenziale, calcolo
integrale): Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz, Jacques e Jean
Bernoulli, Brook Taylor, Colin MacLaurin. Teoria dei numeri: Pierre de
Fermat. Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio: Blaise Pascal, Pierre
de Fermat, Jacques Bernoulli. Geometria: Gerard Desargues, Blaise Pascal,
Philippe de la Hire...
XVIII secolo. L'epoca classica, l'età d'oro dell'« analisi ». Dopo i numeri e le figure,
oggetto privilegiato della matematica diventano le funzioni. Equazioni differenziali,
studio delle curve, numeri complessi, teoria delle equazioni, calcolo delle
variazioni, trigonometria sferica, calcolo delle probabilità, meccanica; Jacques
Bernoulli, Leonhard Euler, Jean Le Rond d'Alembert, Alexis Claude
Clairaut, Abraham de Moivre, Gabriel Cramer, Gaspard Monge, JosephLouis Lagrange, Pierre-Simon de Laplace, Adrian-Marie Legendre. La
soluzione di problemi posti all'inizio del secolo da Leibniz e Newton, quadrature,
integrazione di equazioni differenziali, ha fatto grandi passi avanti.
XIX secolo. Apertura di nuovi campi matematici, invenzione di nuovi strumenti (i
gruppi, le matrici...) L'inizio del secolo è dominato dalla teoria delle funzioni di una
variabile immaginaria: Augustin Cauchy, Georg Friedrich Bernhard Riemann,
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass. L'algebra con Niels Henrik Abel, Evariste
Galois, Karl Gustav Jacobi, Ernst Eduard Kummer. La geometria con JeanVictor Poncelet, Michel Chasles, Félix Klein. E Karl Friedrich Gauss, è
chiaro, presente ovunque.
Le geometrie non euclidee: Gauss, Nikolaj Ivanovic Lobacevskij, Janos
Bolyai, Georg Friedrich Bernhard Riemann. Il calcolo matriciale: Arthur
Cayley. L'algebra booleana (da George Boole). La teoria degli insiemi: Georg
Cantor, Richard Dedekind, David Hilbert
(Tratto da "Il teorema del Pappagallo - Denis Guedj - 2003 TEA)
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