Combinatoria - Matematica e Informatica

Calcolo Combinatorio
Francesca Benanti
Dipartimento di Matematica ed Informatica
Università degli Studi di Palermo,
Via Archirafi 34, 90123 Palermo
Tel.: 091-23891105
E-mail: [email protected]
Web: http://math.unipa.it/~fbenanti/
Significato e origini
Il
calcolo
combinatorio
è
il
termine
che
denota
tradizionalmente la branca della matematica che studia i modi
per raggruppare e/o ordinare secondo date regole gli elementi di
un insieme finito di oggetti. Il calcolo combinatorio si interessa
soprattutto di contare tali modi, ovvero le configurazioni e
solitamente risponde a domande quali "Quanti sono...", "In
quanti modi...", "Quante possibili combinazioni...“
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Qualcuno ha definito il calcolo combinatorio o combinatoria come
"l'arte di contare ... senza contare"
mettendo in evidenza la maggiore importanza che in combinatoria
ha la conoscenza del numero di combinazioni, rispetto alla
conoscenza delle combinazioni stesse.
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Significato e origini
"Quasi tutta la matematica classica, dall'algebra elementare alla
teoria delle equazioni differenziali, è applicabile al mondo reale solo
nell'ipotesi che questo sia costituito di oggetti e di eventi a carattere
continuo. Però, in molte situazioni comuni in fisica e in chimica ed in
altre scienze, si può parlare realisticamente solo di collezione di
oggetti a carattere discreto, i quali agiscono in combinazione, un
passo per volta; la matematica applicata a tali situazioni si chiama
CALCOLO COMBINATORIO
Molti problemi di analisi combinatoria, tra i più interessanti, si
sono presentati nella forma di ingegnosi indovinelli, a sfida di
matematici e non matematici assieme: a prima vista, alcuni di essi
possono sembrare addirittura frivolezze, eppure quasi tutti hanno
delle applicazioni immediate ed importanti a problemi scientifici
concreti"
Gian Carlo Rota (1932-1999)- Analisi combinatoria ( Le Scienze Matematiche -UMIZanichelli, 1973)
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Significato e origini
Gli enigmi creano dipendenza. Uno dei
primi nella storia a essere affetto da
questa dipendenza fu niente meno che
Carlo Magno (742-814), fondatore del
Sacro Romano Impero, il qual sviluppò
una tale mania per gli enigmi da
assumere un esperto perché ne creasse
appositamente per lui. La persona a cui
venne affidato l’incarico fu il celebre
studioso
ed
ecclesiastico
inglese
Alcuino di York.
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Significato e origini
Alcuino di York (735-804) è stato un filosofo,
teologo e beato anglosassone. Alcuino fu uno dei
principali artefici del Rinascimento carolingio:
insegnò soprattutto grammatica e arti liberali.
da wikipedia
Alcuino raccolse cinquantasei degli enigmi inventati
per Carlo Magno in un manuale educativo, dal titolo
“Propositiones ad acuendos juvenes”
(problemi per rendere acuta la mente dei giovani),
con l’intento di stimolare l’interesse per la
matematica nei giovani del suo tempo.
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Significato e origini
Un enigma presente in quell’antologia, noto come
ENIGMA DELL’ATTRAVERSAMENTO DEL FIUME,
rientra tra i dieci più importanti di tutti i tempi. Molti storici
matematici ritengono che lo schema concettuale su cui si basa
sia l’intuizione fondamentale che portò, secoli dopo, alla
nascita del Calcolo combinatorio.
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Enigma dell’attraversamento del fiume
Alcuino di York, circa 735 - 804
“Un viaggiatore si avvicina alla sponda di un fiume con un lupo, una
capra e un cavolo. Con grande disappunto, nota che c’è solo una
barca per attraversare il fiume, sulla quale c’è spazio solo per due: il
viaggiatore e uno dei due animali oppure il cavolo. Come il
viaggiatore ben sa, se li lascia insieme da soli, la capra mangerà il
cavolo e il lupo mangerà la capra. Il lupo però non mangia i cavoli.
Come può il viaggiatore portare tutti gli animali e il cavolo sull’altra
riva, nel minor numero possibile di viaggi avanti e indietro?”
Esercizio 1
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Enigma dell’attraversamento del fiume
Giochi matematici alla corte di
Carlomagno
Problemi per rendere acuta la
mente dei giovani
link
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Enigma dell’attraversamento del fiume
Propositiones ad acuendos juvenes
18. Propositio de lupo et capra et fasciculo cauli
Homo quidam debebat ultra fluvium transferre lupum et capram et
fasciculum cauli, et non potuit aliam navem invenire, nisi quae duos
tantum ex ipsis ferre valebat. Praeceptum itaque ei fuerat, ut omnia
haec ultra omnino illaesa transferret. Dicat, qui potest, quomodo eos
illaesos ultra transferre potuit.
Solutio
Simili namque tenore ducerem prius capram et dimitterem foris lupum
et caulum. Tum deinde venirem lupumque ultra transferrem, lupoque
foras misso rursus capram navi receptam ultra reducerem, capraque
foras missa caulum transveherem ultra, atque iterum remigassem,
capramque assumptam ultra duxissem. Sicque faciente facta erit
remigatio salubris absque voragine lacerationis.
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Enigma dell’attraversamento del fiume
18. Il lupo, la capra e il cavolo
Un uomo doveva trasportare aldilà di un fiume un lupo, una capra
e un cavolo e non potè trovare altra barca se non una che era in
grado di portare soltanto due di essi. Gli era stato ordinato però di
trasportare tutte queste cose di là senza alcun danno. Chi è in grado
dica in che modo poté trasferirli indenni.
Soluzione
In modo analogo allora io dapprima porterei la capra e lascerei il
lupo e il cavolo. Poi tornerei e trasferirei sull’altra riva il lupo e sbarcato
questo e imbarcata di nuovo la capra ritornerei indietro, e lasciata
la capra trasferirei di là il cavolo, e tornerei di nuovo indietro,
e presa la capra la porterei sull’altra sponda. In questo modo, la
traversata sarà tranquilla senza disastri che incombano.
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Enigma dell’attraversamento del fiume
Riva di partenza
0. L C V U
1. L
V
2. L
V
3.
V
4.
V
5.
C
6.
C
7.
0.
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
0.
Barca
UC
U
UL
UC
UV
U
UC
Riva di arrivo
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
0.
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C
C
L
L
L
V
L
V
L C V U.
Enigma dell’attraversamento del fiume
Anche in questo caso la soluzione
data da Alcuino non è l’unica
possibile, ve ne è anche un’altra
che richiede, comunque, lo stesso
numero di viaggi. Infatti nel primo
viaggio il traghettatore non può
fare altro che portare la capra
sull’altra riva e tornare solo. A
questo punto però egli ha due
possibilità, traghettare il lupo,
come suggerisce Alcuino, oppure
il cavolo. Nel secondo caso dopo
aver trasferito il cavolo egli riporta
indietro la capra, quindi fa
passare il lupo, ritorna solo ed
infine traghetta la capra.
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Enigma dell’attraversamento del fiume
Il problema ebbe grande diffusione nel Medioevo e nel
Rinascimento, ma non se ne conoscono versioni più antiche di
quella di Alcuino. Recentemente però alcuni studiosi di etno
matematica hanno scoperto che questo rompicapo è noto in molte
parti dell’Africa, dove, ovviamente, i protagonisti sono più adeguati
ai luoghi. Così per esempio, in Liberia sono coinvolti un ghepardo,
un pollo e del riso; in Algeria uno sciacallo, una capra e un fascio di
fieno. Allo stato attuale non siamo in grado di stabilire se le versioni
africane sono autoctone oppure se sono adattamenti del problema
europeo portato in Africa dalla cultura coloniale.
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Enigma dell’attraversamento del fiume
Una versione interessante dell’enigma fu
ideata dal matematico italiano Nicolò
Tartaglia nel XVI secolo.
Niccolò Fontana (Brescia, 1499 circa –
Venezia, 13 dicembre 1557) è stato un
matematico italiano. Al suo soprannome
(Tartaglia), dovuto al suo linguaggio
balbettante, è legato il noto triangolo
numerico, detto triangolo di Tartaglia e la
scoperta della risoluzione algebrica delle
equazioni di terzo grado .
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L’enigma delle tre spose
“Tre bellissime spose con i loro mariti giungono nei pressi di
un fiume. La barchetta che li trasporterà sull’altra riva può
ospitare soltanto due persone. Per evitare situazioni
compromettenti, gli attraversamenti devono essere organizzati
in modo tale che nessuna donna venga lasciata sola con un
uomo a meno che non sia presente anche suo marito. Come
si può ottenere questo risultato, sapendo che la barca può
essere condotta da qualsiasi uomo o qualsiasi donna? “
Trattato di Aritmetica
Esercizio 2
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L’enigma delle tre spose
Riva di partenza
0. U1 D1 U2 D2 U3 D3
1.
U2 D2 U3 D3
2.
U2 D2 U3 D3
3.
U2
U3 D3
4.
U2
U3 D3
5.
U3 D3
6.
7.
8.
9.
0.
U3 D3
U3
U3
Barca
0.
1 . U1 D1
2.
3. D1 D2
4.
5. U2 D2
6.
7. D2 D3
8.
9 . U3 D3
0.
D1
D2
D2
D3
Riva d’arrivo
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
0.
U1
U1
U1 D1
U1 D1
U1 D1 U2
U1 D1 U2
U1 D1 U2 D2
U1 D1 U2 D2
U1 D1 U2 D2 U3 D3
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L’enigma delle tre spose
Un problema basato su un certo ordinamento di oggetti,
siano essi animali, coppie di spose, lettere di alfabeto, può
essere studiato in modo sistematico.
Questa è la lezione principale che possiamo trarre
dall’enigma di Alcuino.
Gli enigmi dell’attraversamento del fiume, delle tre spose
hanno svolto un ruolo importante per gettare le
fondamenta concettuali sulle quali nel XIX secolo è stata
costruita la scienza del Calcolo Combinatorio.
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Oggetti del Calcolo Combinatorio
Tutte le volte che vogliamo mettere in ordine o scegliere degli
elementi appartenenti ad un insieme finito, si pone il problema
di calcolare quanti siano gli ordinamenti o le scelte possibili.
Quanti numeri di telefono di 9
cifre si possono formare?
Quante parole di quattro lettere
si possono formare con 21 lettere
dell’alfabeto?
Quanti sottoinsiemi di 3 elementi
ha un insieme di 10 elementi?
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Oggetti del Calcolo Combinatorio
PERMUTAZIONI
DISPOSIZIONI
COMBINAZIONI
Permutazioni
Problema:
A teatro vogliamo contare in quanti modi
possiamo far sedere due persone su due sedie,
tre persone su tre sedie, quattro persone su
quattro sedie. La prima persona sarà indicata
con A, la seconda con B, la terza con C e la
quarta con D.
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Permutazioni
Problema:
A
teatro
vogliamo
contare in quanti modi
possiamo far sedere
due persone su due
sedie. La prima persona
sarà indicata con A, la
seconda con B.
A
B
AB
Le 2 possibili soluzioni : AB, BA.
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B
A
BA
Permutazioni
Problema:
A
teatro
vogliamo
contare in quanti modi
possiamo far sedere tre
persone su tre sedie. La
prima
persona
sarà
indicata
con
A,
la
seconda con B e la
terza con C.
Le 6 possibili soluzioni : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
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Permutazioni
Problema:
Le 24 possibili soluzioni :
A teatro vogliamo contare in
quanti
modi
possiamo
far
sedere 4 persone su 4 sedie. La
prima persona sarà indicata con
A, la seconda con B, la terza
con C e la quarta con D.
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Permutazioni
Si dice permutazione di n
oggetti un ordinamento degli n
oggetti.
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Permutazioni
Dato un insieme di n oggetti in quanti modi si
possono ordinare i suoi elementi?
n=2:
n=3:
n=4:
2x1
3x2x1
4x3x2x1
In generale: n x (n-1) x … x 2 x 1
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Permutazioni
n! = n x (n-1) x … x 2 x 1
n fattoriale
2!
3!
4!
5!
6!
=
=
=
=
=
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
1= 2
2x1
3x2
4x3
5x4
=6
x 1 = 24
x 2 x 1 = 120
x 3 x 2 x 1 = 720
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Permutazioni
ESERCIZI:
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Disposizioni
Problema:
Un concessionario di automobili vuole esporre nella
vetrina del suo salone quattro vetture tutte dello stesso
tipo ma con 4 colori diversi (blu, grigio, rosso e nero). La
vetrina però dispone di soli due posti: uno fisso e l’altro
fornito di una piattaforma rotante. Il concessionario
desidera sapere in quanti modi diversi è possibile
disporre le auto.
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Disposizioni
Si hanno le seguenti 12 possibilità:
NB, NG, NR, BG, BR, BN, RN, RG, RB, GN, GR, GB
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Disposizioni
Si dice disposizione di n oggetti in
k posti ognuna delle scelte ordinate
di k elementi tra gli n disponibili,
k<=n.
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Disposizioni
Quante sono le disposizioni di n oggetti in k modi?
Esempio: D4,2 = 4 x 3 = 4!/2! = 12
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Disposizioni
ESERCIZI:
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Combinazioni
Problema:
Determinare il numero di
strette di mano che di
scambiano n persone.
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Combinazioni
Se non vi va di fare tanti
conti, disegna alcuni cerchi.
Ad ogni cerchio aggiungi
una lettera
Poi collegate tutte le lettere
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Combinazioni
1, 3, 6, 10, …. Non vi dice niente?
I Numeri Triangolari
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Combinazioni
Come funzionano?
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Combinazioni
Problema:
Quanti gruppi di tre persone
possiamo determinare da
un insieme di n persone?
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Combinazioni
1, 4, 10, 20, ….
Confrontiamo questa successione con la successione dei
numeri triangolari
1, 3, 6, 10, ….
1, 4, 10, 20, ….
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Combinazioni
Si dice combinazione di n
elementi di classe k ognuna
delle scelte di k elementi tra gli
n (senza che interessi l’ordine in
cui sono disposti).
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Combinazioni
Quante sono le combinazioni di n oggetti in k modi?
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Coefficienti binomiali
e potenza di un binomio
Il numero delle combinazioni semplici è spesso indicato con
il simbolo seguente:
che si legge « n su k » e viene detto
coefficiente binomiale
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Coefficienti binomiali
e potenza di un binomio
Proprietà:
1.
2.
3.
Formula di Stifel
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Coefficienti binomiali
e potenza di un binomio
Il coefficiente binomiale è detto tale perché se ne fa uso nello
sviluppo della potenza di un binomio. Consideriamo due numeri
reali qualunque a e b. Sono note le formule:
Lo sviluppo della potenza del binomio con il metodo di Newton
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Problema:
Quanti numeri a 5 cifre si
possono formare usando
le cifre 1,1,2,3 e 4?
Alcuni numeri sono indistinguibili:
1121254=12154
1221154=12154
In generale:
Saranno
5!/2!=120/2=60
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Problema:
Quanti
sono
gli
anagrammi della parola
MAMMA?
Risposta:
5!/3!2!=
120/12=10
Indicando dunque con k1, k2 il numero di volte che si
ripetono rispettivamente gli elementi 1, 2 le
permutazioni con ripetizione divengono:
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In generale, dato un insieme di n elementi dei quali α uguali
fra loro, β uguali fra loro, ecc., il numero delle
permutazioni distinte con elementi ripetuti che si
possono ottenere è dato da
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Disposizioni con ripetizioni
Problema:
Consideriamo l'insieme:
A = {1,3,5,8}
vogliamo determinare quanti numeri a due cifre si possono
scrivere con gli elementi di A, considerando che sono ammesse
le ripetizioni.
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Disposizioni con ripetizioni
Riferendoci anche alla solita rappresentazione ad albero, si intuisce
facilmente che si hanno n possibilità per scegliere il primo
componente, n per il secondo ed altrettante per il terzo e così via
sino al k - esimo che completa la configurazione.
Il numero cercato è pertanto:
n×n×n×…×n
k volte, ossia nk , in formula
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Combinazioni con ripetizioni
Problema:
Dato l’insieme:
A = {a, b, c}
Determinare i ‘sottoinsiemi’ di A
con 1, 2 e 3 elementi, con
ripetizione.
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Combinazioni con ripetizioni
Le combinazioni di classe 1, con ripetizione, sono tre :
(a)(b) (c)
Le combinazioni di classe 2, con ripetizione, sono sei :
(a, a) (a, b) (a, c) (b, b) (b, c) (c, c)
Le combinazioni di classe 3, con ripetizione, sono dieci :
(a, a, a) (a, a, b) (a, a, c) (a, b, b) (a, b, c)
(a, c, c) (b, b, b) (b, b, c) (b, c, c) (a, c, c)
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Combinazioni con ripetizioni
La formula che dà il numero delle combinazioni con
ripetizione di n elementi di classe k è:
Nell’esempio precedente:
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Riassumendo
Permutazioni semplici di n elementi
n!
Disposizioni semplici di n elementi di
classe k
Combinazioni semplici di n elementi
di classe k
Permutazioni di n elementi, con
ripetizioni assegnate di α, β ..
Disposizioni con ripetizione di n
elementi di classe k
Combinazioni con ripetizione di n
elementi di classe k
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Riassumendo
Esercizi
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Triangolo di Tartaglia
Scriviamo i coefficienti binomiali disponendoli in un triangolo illimitato,
Triangolo di Tartaglia o di Pascal, nel modo seguente
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Triangolo di Tartaglia
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Triangolo di Tartaglia
Proprietà
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Triangolo di Tartaglia
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Triangolo di Tartaglia
1+1=2
1+2+1=4=22
1+3+3+1=8=23
1+4+6+4+1=16=24
1+5+10+10+5+1=32=25
1+6+15+20+15+6+1=64=26
Per a=b=1:
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Triangolo di Tartaglia
1, 3, 6, 10, ….
1, 4, 10, 20, ….
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Triangolo di Tartaglia
Link:
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/
ParoleMate/Nov_07/TriangoloTartaglia.htm
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/
APPUNTI/TESTI/Feb_02/APPUNTI.HTM
Vedi Slides 2 - Idro 2008
LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017
Triangolo di Tartaglia
LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a. 2016-2017