elettrostatica

ELETTROSTATICA
1) Tre cariche uguali di 1,2 μC sono poste ai vertici di un triangolo equilatero i cui lati
misurano 5 cm. Calcola intensità direzione e verso della forza che agisce su ciascuna
carica.
La situazione è riportata nello schema, dove per semplicità si è considerata solo la forza agente sulla
carica Q2.
Essendo le cariche tutte uguali fra di loro, e il triangolo equilatero, la forza F12 avrà la stessa
intensità della forza F23 e la risultante R sarà quindi:
R = 2 F12 cos 30°
da cui:
2× Q2
3
×
R=
2
2
4πε 0 × r
Prima di procedere con i calcoli convertiamo le grandezze in unità del S.I.
1,2 μC = 1,2 × 10 −6 C
5 cm = 0,05 m
Si ha quindi:
(
)
2
2 × 8,99 × 10 9 × 1,2 × 10 −6
3
×
= 8,98 N
2
2
0,05
1) Le cariche puntiformi in figura hanno i seguenti valori: q1 = +2,0 μC ; q2 = + 5,9 μC e
q3 = - 0,65 μC; la distanza d è 4,50 cm. Calcola modulo e direzione della forza risultante che
agisce sulla carica q1.
R=
Per risolvere il problema dobbiamo considerare la natura vettoriale delle forze che agiscono sulla
carica q1. A tale scopo osserviamo lo schema seguente (NB: si tratta di uno schema puramente
indicativo, che non rispecchia esattamente i valori dei vettori in gioco) :
Osserviamo che la forza F2 è repulsiva mentre F3 è attrattiva.
Passiamo ora a calcolare il modulo delle forze F2 ed F3:
q1 ⋅ q 2 9 × 10 9 × 2 × 10 −6 × 5,9 × 10 −6
F2 =
⋅
=
= 52 N
2
4πε 0 d 2
4,5 × 10 − 2
1
F3 =
1
4πε 0
(
⋅
)
q1 ⋅ q3 9 × 10 × 2 × 10 × 0,65 × 10 −6
=
= 5,8 N
2
d2
4,5 × 10 − 2
−6
9
(
)
Data la geometria del sistema si possono calcolare facilmente le componenti delle forze:
F2 x = F2 ⋅ cos 240° = −26 N
F2 y = F2 ⋅ sin 240° = −45 N
F3 x = F3 ⋅ cos 0° = 5,8 N
F3 y = F3 ⋅ sin 0° = 0
e da queste ottenere la risultante R
R x = −26 + 5,8 = −20,2
R y = −45
da cui:
(− 20,2)2 + (− 45)2
R =
= 49 N
Per calcolare l’angolo β formato dal vettore R rispetto alla direzione dell’asse x, utilizziamo la
relazione:
⎛ − 45 ⎞
→ β = tan −1 ⎜
⎟ + k180° → β = 66° + 180° = 246°
Rx
⎝ − 20,2 ⎠
1) In ciascun vertice di un triangolo equilatero il cui lato è lungo 15 cm, è posta una carica
puntiforme q = +2,7 µC. Determinare il modulo del campo elettrico nel punto medio di
ciascuno dei lati del triangolo e nel centro del triangolo.
tan β =
Ry
La situazione è schematizzata in figura
Per ovvie considerazioni di simmetria la situazione è identica in ciascun lato del triangolo;
consideriamo allora il punto medio del lato che unisce le cariche q1 e q3. Vediamo che i campi
elettrici prodotti dalle cariche q1 e q3.sono opposti, quindi la loro somma è nulla. Rimane quindi il
solo contributo dovuto alla carica q2. Pertanto si ha:
E2 =
1
4πε 0
⋅
q2
R2
dove risulta:
R = l ⋅ sin 60° = 0,15 × 0,866 = 0,13 m
Si ha quindi:
E2 =
1
4πε 0
⋅
q2
R2
→ E2 =
9 × 10 9 × 2,7 × 10 −6
(0,15 × 0,866)
2
= 1,87 × 10 5 V / m
Per quanto riguarda il centro del triangolo equilatero, per ovvie considerazioni di simmetria si
deduce che il campo elettrico è nullo.
a) Two point charges of +20 µC and –8,0 µC are 2,0 m away from each other. A particle
with mass 2,0 g and charge +7,0 µC is placed in the middle point between the two charges.
Find the acceleration (modulus and direction) of the particle ignoring gravity.
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Due cariche puntiformi di +20 µC e –8,0 µC distano 2,0 m una dall’altra. Una particella di
massa 2,0 g e carica +7,0 µC è posta nel punto medio tra le due cariche. Trova l’accelerazione
(modulo e direzione) della particella, ignorando la gravità.”
La situazione è schematizzata in figura:
Nel punto medio i campi elettrici prodotti dalle cariche Q1 e Q2 sono entrambi diretti verso destra
(perché il campo prodotto da Q1 è uscente e quello prodotto da Q2 è entrante) quindi si sommano.
Per determinare l’accelerazione possiamo scrivere:
F = ma
→ a=
F
m
→ a=
E ⋅ Q3
m
Si ha poi:
E = E1 + E 2 =
1 ⎛ Q1 Q2 ⎞
+
⎜
⎟
4πε 0 ⎝ R 2 R 2 ⎠
In definitiva risulta:
a=
(Q1 + Q2 ) ⋅ Q3
4πε 0 R 2 ⋅ m
→ a=
9 × 10 9 × 28 × 10 −6 × 7 × 10 −6
= 882 m / s 2
−3
1 × 2 × 10
L’accelerazione ha direzione lungo la congiungente di Q1 e Q2 e verso da Q1 a Q2
1) Tre cariche, ciascuna pari a + 3,50 μC, sono poste sui vertici di un quadrato di lato 20 cm
come in figura. Determinare intensità, direzione e verso della forza risultante che agisce
sulla carica 1.
Le forze che agiscono sulla carica 1 sono schematizzate nella figura seguente:
Cominciamo a calcolare i moduli di F12 ed F13
Si ha:
F12
(
)
(
)
8,99 × 10 9 × 3,5 × 10 −6
=
(0,2)2
8,99 × 10 9 × 3,5 × 10 −6
F13 =
2
2 × (0,2 )
2
= 2,75 N
2
= 1,38 N
Passiamo ora al calcolo delle componenti:
F12 x = 0
F12 y = −2,75
F13 x = F13 cos 225° = −0,976
F13 y = F13 sin 225° = −0,976
da cui:
R x = −0,976
R y = −3,73
R = 0,976 2 + 3,73 2 = 3,85 N
⎛ − 3,73 ⎞
⎟ = 255°
⎝ − 0,976 ⎠
α = tan −1 ⎜
2) Una pallina di massa 0,05 g e carica + 2,50 μC, è immobile in equilibrio immersa in un
campo elettrico. Stabilisci intensità, direzione e verso del campo elettrico.
Se la pallina, carica positivamente, è in equilibrio, vuol dire che la forza peso è bilanciata dalla
forza elettrica e quindi il campo elettrico è diretto verticalmente verso l’alto.
Per determinare l’intensità del campo elettrico basta porre la condizione di equilibrio tra forza peso
e forza elettrica, cioè:
mg = Eq
→ E=
mg
q
→ E=
5 × 10 −5 × 9,8
= 196 N / C
2,5 × 10 −6
2) Utilizzando il teorema di Gauss per determinare il campo elettrico in un punto esterno ad
una sfera di raggio R all’interno della quale è presente una distribuzione uniforme di
carica avente densità volumica ρ.
La situazione è schematizzata in figura:
Il teorema di Gauss afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa
qualunque è:
φ (E ) =
Q
ε0
Data la simmetria radiale del campo elettrico generato dalla sfera carica, conviene considerare una
sfera di raggio r concentrica a quella carica di raggio R. Il flusso di E attraverso la sfera di raggio r è
quindi:
ϕ (E ) = S ⋅ E = 4π r 2 ⋅ E
La quantità di carica Q presente nella sfera più interna dipende dal volume della sfera stessa e dalla
densità di carica, cioè:
4
Q = ρV = ρ ⋅ πR 3
3
Possiamo allora scrivere:
4π r 2 ⋅ E =
4π R 3 ρ
3ε 0
→ E=
R3 ρ
3r 2 ε 0
1) Una carica Q è posta all’interno di una scatola a forma di parallelepipedo. Il flusso del
campo elettrico attraverso ciascuna delle 6 facce (espresso in N⋅m2/C) è:
Φ1=+1500 Φ2=+2200 Φ3=+4600 Φ4= -1800 Φ5= -3500 Φ6= -5400
Determinare la carica Q
Per risolvere il problema basta applicare il teorema di Gauss:
Φ (E ) =
Q
ε0
→ Q = Φ (E ) ⋅ ε 0
Nella precedente espressione, ovviamente, si deve considerare il flusso totale, cioè la somma dei
flussi che attraversano le singole facce del parallelepipedo. Si ha quindi:
Q = (1500 + 2200 + 4600 − 1800 − 3500 − 5400 ) ⋅ 8 ,86 × 10 − 12 = − 2 ,126 × 10 − 8 C
2) Due cariche uguali e di segno opposto sono separate da una distanza d.
a. Rappresentare l’andamento del campo elettrico determinato dalle due cariche in
ciascuna delle regioni A,B e C
b. Stabilire in quale direzione si muoverebbe una particella carica negativamente, posta
rispettivamente nella regione A, B e C
c. Verificare che non esiste alcun punto in cui il campo elettrico si annulla
b) L’andamento del campo elettrico lungo la retta che congiunge le due cariche ha l’andamento
riportato nel seguente schema:
In rosso è indicato il campo prodotto dalla carica positiva, che ha verso uscente, e in blu quello
prodotto dalla carica negativa, che ha verso entrante. In verde invece è rappresentata la somma
dei due campi. Si nota che nella regione A prevale il campo elettrico della carica positiva,
perché quella negativa è più lontana. Nella regione B i due campi si sommano e nella regione C
prevale il campo della carica negativa, perché quella positiva è più lontana.
c) In base allo schema del punto precedente si deduce che una particella negativa, che si muove
sempre in direzione opposta a quella del campo elettrico, nella regione A si muove verso destra;
nella regione B verso sinistra e nella regione C ancora verso destra.
d) Nella regione B certamente non vi sono punti in cui il campo si annulla. Nella regione A (e
simmetricamente nella regione C) i due campi elettrici hanno verso opposto ma la loro somma
non è mai zero. Infatti prevale sempre, in valore assoluto, il campo prodotto dalla carica più
vicina.
1) Water has a mass per mole of 18.0 g/mol and each water molecule (H2O) ha 10 electrons.
How many electrons are there in 10 cm3 of water? What is the charge corresponding to all
these electrons?
Iniziamo con la traduzione del testo:
“L’acqua ha una massa molare di 18.0 g/mol e ogni molecola di acqua (H2O) ha 10 elettroni.
Quanti elettroni sono contenuti in 10 cm3 si acqua? Qual è la carica corrispondente a tutti questi
elettroni?”
Osserviamo preliminarmente che 10 g di acqua corrispondono a 10/18 moli, ossia a
N H 2O =
10
× 6.02 × 10 23 = 3.31 × 10 23
18
Ogni molecola di acqua ha 10 elettroni, quin il numero di elettroni è:
N e = 10 × N H 2O = 3.31 × 10 24
Infine, per ottenere la carica corrispondente a questo numero di elettroni, basta moltiplicare per la
carica di un singolo elettrone:
C = e × N e = 1,6 × 10 −19 × 3.31 × 10 24 = 5.3 × 10 5 C
POTENZIALE ELETTRICO
1) Un fascio di elettroni, con velocità iniziale trascurabile, viene accelerato da una differenza
di potenziale di 25 kV. Trova la velocità finale degli elettroni, trascurando gli effetti
relativistici (me = 9,11×10-31 kg ; e = 1,6 × 10-19 C)
Possiamo risolvere il problema applicando il principio di conservazione dell’energia. Il campo
elettrico, mentre accelera la particella, compie un lavoro che è uguale alla differenza di energia
potenziale. Questo lavoro alla fine dell’accelerazione è uguale all’energia cinetica della particella.
Si può quindi scrivere:
L=
v=
1
me v 2
2
1
→ ΔU = me v 2
2
→ eΔV =
2 × 1,6 × 10 −19 × 2,5 × 10 4
= 9,37 × 10 7 m / s
−31
9,11 × 10
1
me v 2
2
→ v=
2eΔV
me
2) Due cariche puntiformi di +3,0 μC si trovano a due vertici contigui di un quadrato di lato
50 cm. Calcola il lavoro fatto dalle forze elettriche per spostare uno delle due cariche in
modo che si posizioni sul vertice opposto all’altra carica.
La situazione è schematizzata nella figura seguente:
La carica si trova inizialmente nella posizione A e viene poi spostata nella posizione B. Il lavoro
compiuto dalle forze elettriche è uguale alla differenza di energia potenziale tra il punto A e il punto
B. Ossia:
L AB
q2
= U A −U B =
4πε 0
⎛ 1
1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
−
R
R
B ⎠
⎝ A
(
→ L AB = 8.99 × 10 9 × 3 × 10 −6
)
2
1 ⎞
⎛ 1
−2
−
⎜
⎟ = 4.74 × 10 J
⎝ 0.5 0.707 ⎠
CONDENSATORI
3) Un condensatore a facce piane parallele, è mantenuto a una differenza di potenziale di 200
V e la carica depositata su ciascuna armatura è di 45 nC. Calcola l’intensità del campo
elettrico e la distanza tra le armature sapendo che l’area di ciascuna armatura è 450 cm2.
Per prima cosa esprimiamo le grandezze nelle unità del Sistema Internazionale:
ΔV = 200 V
Q = 45 nC = 45 × 10 −9 C
S = 450 cm 2 = 0,0450 m 2
Per calcolare il campo elettrico tra le armature di un condensatore piano ricordiamo la formula:
E=
dove
σ
ε0
σ=
Q
S
quindi:
45 × 10 −9
Q
E=
=
= 1,13 × 10 5 V / m
−12
Sε 0 0,045 × 8,85 × 10
Per calcolare la distanza tra le armature ricordiamo la definizione di capacità di un condensatore:
C=
Q
ΔV
e la formula per la capacità di un condensatore piano:
C=
ε0S
d
Combinando le due formule si ottiene:
ε S
Q
= 0
ΔV
d
→ d=
ε 0 SΔV
Q
=
8,85 × 10 −12 × 0,045 × 200
= 1,77 × 10 −3 m
−9
45 × 10
2) Un condensatore piano è connesso a una batteria che mantiene una differenza di
potenziale costante fra le armature. Se allontani le armature del condensatore, indica
quali delle seguenti grandezze aumentano, diminuiscono o rimangono costanti, motivando
ciascuna risposta:
a. il campo elettrico tra le armature
b. la carica sulle armature
c. la capacità
d. l’energia immagazzinata nel condensatore
a) Tra il campo elettrico e la differenza di potenziale è definita la relazione:
E=
ΔV
d
pertanto, se viene mantenuta costante la differenza di potenziale ΔV mentre aumenta la
distanza d, il campo elettrico E diminuisce.
b) Per rispondere a questo quesito dobbiamo tenere presente la relazione che definisce la
capacità di un condensatore piano in aria:
C = ε0 ⋅
A
d
se aumentiamo la distanza tra le armature, lasciando inalterata l’area A, la capacità
diminuisce. La carica presente su ciascuna armatura si ottiene dalla definizione di capacità:
C=
Q
ΔV
→ Q = C ⋅ ΔV
Quindi se si mantiene costante la differenza di potenziale tra le armature, all’aumentare
della distanza tra di esse diminuisce la capacità del condensatore e di conseguenza anche la
carica presente su di essa.
c) Abbiamo già visto al punto precedente che la capacità del condensatore diminuisce
aumentando la distanza tra le armature.
d) L’energia immagazzinata in un condensatore è data dalla relazione:
E=
1
CV 2
2
Ancora una volta aumentando la distanza diminuisce la capacità e quindi anche l’energia
immagazzinata nel condensatore.
3) La membrana di un certo tipo di cellula ha una superficie di 5,0 × 10-9 m2 e uno spessore
di 100 μm. Assumi che la membrana si comporti come un condensatore piano con costante
dielettrica relativa εr = 5. Il potenziale sulla superficie esterna della membrana è
superiore di 60 mV rispetto alla superficie interna. Calcolare la carica presente sulla
superficie.
Ricordiamo la relazione che esprime la capacità di un condensatore piano:
C=
ε 0ε r ⋅ A
d
Da cui, applicando i dati del problema, si ottiene subito:
C=
8.85 × 10 −12 × 5 × 5 × 10 −9
= 2.21 × 10 −15 F
−6
100 × 10
Possiamo ora calcolare la carica presente su ciascuna superficie del condensatore:
Q = C ⋅ ΔV
→ Q = 2.21 × 10 −15 × 60 × 10 −3 = 1.32 × 10 −16 C
3) What plate area is required if an air-filled, parallel plate capacitor with plate separation of
2,0 mm is to have a capacitance of 15 pF ?
Iniziamo con la traduzione del quesito:
“Quale superficie della piastra è richiesta se un condensatore a piastre piane parallele, in aria, con
separazione delle piastre di 2,0 mm deve avere una capacità di 15 pF?”
Ricordiamo che la capacità di un condensatore a piastre piane e parallele, nel vuoto (o in aria, che è
quasi la stessa cosa), è data dalla relazione:
C = ε0
A
d
da cui:
A=
C ⋅d
ε0
→
A=
15 × 10 −12 × 2 × 10 −3
= 3,4 × 10 −3 m 2 = 34 cm 2
8,86 × 10 −12
3) La figura mostra due condensatori che sono stati caricati indipendentemente, mantenendo
aperto l’interruttore. Inizialmente si ha C1=2,00 μF, q1= 6,00 μC, C2=8,00 μF, q2=12,0 μC.
Successivamente l’interruttore viene chiuso e la carica scorre fino a quando si stabilisce
l’equilibrio, cioè fino a quando i condensatori hanno la stessa differenza di potenziale tra le
armature. Calcola VF.
Osserviamo innanzi tutto che i due condensatori sono in parallelo, in quanto all’equilibrio hanno ai
loro capi la stessa differenza di potenziale.
Teniamo poi presente che la quantità di carica che è stata immagazzinata inizialmente da ciascun
condensatore, deve essere la stessa che si ritrova complessivamente quando i due condensatori
vengono collegati tra di loro.
Si può quindi scrivere:
VF =
Q
C
→ VF =
Q1 + Q2
CE
→ VF =
(6 + 12) × 10 −6
= 1,8 V
(2 + 8) × 10 −6
11) I condensatori nella rete riprodotta in figura hanno i seguenti valori: C1=350 pF; C2=520
pF;
C3=230 pF. La differenza di potenziale tra i punti A eB è di 1,50 kV. Calcolare:
a) la capacità equivalente della rete
b) la carica complessivamente immagazzinata nei condensatori
c) la carica presente sul condensatore C3
a) Osserviamo innanzitutto che i condensatori C1 e C2 sono in parallelo, quindi la loro capacità
si somma. Indichiamo con C1,2 il condensatore equivalente alla somma dei due. A questo
punto la rete può essere ridisegnata come in figura:
A questo punto i due condensatori risultano collegati in serie e la capacità equivalente risulta:
CE =
C1,2 C3
C1,2 + C3
=
( 350 + 520 ) × 230
= 182
( 350 + 520 ) + 230
pF
b) Ricordiamo che quando abbiamo più condensatori collegati in serie, la carica presente su
ciascuna armatura, a parte il segno, è la stessa, ed è data dalla relazione:
Q = CE ⋅ V = 182 × 10−12 × 1,5 × 103 = 2, 73 × 10−7 C
c) La differenza di potenziale ai capi di C3è data dalla relazione:
V3 =
Q 2, 73 × 10−7
=
= 1190 V
C3 230 × 10−12
CIRCUITI ELETTRICI
1) Calcolare la resistenza equivalente del seguente circuito:
Dall’esame del circuito si deduce che la resistenza equivalente del circuito è:
R E = R20 || (R10 + R30 || R60 )
30 × 60 ⎞
⎛
→ RE = 20 || ⎜10 +
⎟
30 + 60 ⎠
⎝
→ RE = 20 || 30 = 12 Ω
2) Determina l’intensità della corrente nel circuito, la potenza dissipata e la differenza di
potenziale tra i punti A e B
Per calcolare la corrente applichiamo la seconda legge di Kirchhoff (legge delle maglie) al circuito.
Assegniamo arbitrariamente un verso di percorrenza orario e un verso della corrente anch’esso
orario, procedendo dal punto A e applicando le solite convenzioni, ossia:
•
•
quando si attraversa un generatore di tensione dal polo negativo al positivo si assume una
differenza di potenziale positiva (e vice versa)
quando si attraversa una resistenza nel verso della corrente si ha una differenza di potenziale
negativa
30 − 20 I − 6 − 12 I − 8 I − 10 I = 0
→ 50 I = 24
→ I = 0,48 A
Per calcolare la potenza dissipata sul circuito occorre determinare la resistenza equivalente, che in
questo caso è semplicemente la somma delle resistenze:
R E = 20 + 12 + 8 + 10 = 50 Ω
Si ha quindi:
P = R ⋅ I 2 = 50 × 0,48 2 = 11,5 W
Per determinare la differenza di potenziale tra il punto A e il punto B possiamo procedere
assegnando ad A il potenziale 0 e considerando le differenze di potenziale che si incontrano
procedendo da A a B, applicando le solite convenzioni:
V B _ V A = +30 − 20 I = +30 − 20 × 0,48 = 20,4 V
1)
Nel circuito in figura si ha: R1 = 5,4 Ω, R2 = 1,0 Ω, R3 = 2,0 Ω, R4 = 8,2 Ω, R5 = 2,3 Ω
e V = 12 V. Calcolare la corrente in R2
Osservando il circuito notiamo che si può facilmente calcolare la sua resistenza equivalente e da
essa, essendo nota la f.e.m. del generatore, possiamo calcolare la corrente totale erogata dal
generatore. Vediamo inoltre che essendo la resistenza R2 in serie al generatore, la corrente erogata
dal generatore è la stessa che attraversa R2. Procediamo dunque al calcolo della resistenza
equivalente. Si ha:
R E = R1 + R 2 + (R5 // (R3 + R 4 ))
R E = 5,4 + 1 + (2,3 //( 2 + 8,2))
R E = 6,4 + (2,3 // 10,2)
→
→
→ RE = 6,4 +
2,3 × 10,2
2,3 + 10,2
→ R E = 6,4 + 1,9 = 8,3 Ω
A questo punto possiamo calcolare la corrente:
V
12
=
= 1,4 A
RE 8,3
1) Posto che sia V = 14 V; R1 = R2 = R3 = 8 Ω; R4 = R5 = 12 Ω; R6 =10 Ω, calcolare la
differenza di potenziale ai capi di R2
I=
Per calcolare la differenza di potenziale ai capi di R2 occorre determinare la corrente che la
attraversa. Osservando il circuito notiamo che la resistenza R2 è in serie al generatore, quindi la
corrente che la attraversa è la corrente totale erogata dal generatore. Possiamo allora calcolare tale
corrente considerando la resistenza equivalente vista dal generatore.
Si ha:
R E = R1 + R 2 + R 4 || (R3 + R5 + R 6)
R E = 16 + 12 || 30 = 16 +
→ RE = 8 + 8 + 12 || (8 + 12 + 10)
12 × 30
= 24,6 Ω
12 + 30
La corrente erogata da generatore è quindi:
I=
V
14
=
= 0,57 A
R E 24,6
Per quanto detto sopra, la differenza di potenziale ai capi di R2 è allora:
V2 = R 2 × I = 8 × 0,57 = 4,6 V
2) Posto che sia V1 = 12 V; V2 = 6 V R1 = R2 = R3 = 8 Ω; R4 = R5 = 12 Ω; calcolare la
corrente in R2
Possiamo risolvere il problema utilizzando le leggi di Kirchhoff. Osserviamo preliminarmente che
le resistenze R3 ed R4 sono in parallelo, quindi lo studio può essere semplificato considerando al
loro posto la resistenza equivalente:
8 × 12
= 4,8 Ω
8 + 12
Nello schema seguente è riportato il circuito semplificato con l’indicazione delle correnti al nodo e i
versi di percorrenza delle maglie:
R E = R3 || R 4 =
Possiamo quindi scrivere l’equazione al nodo:
I1 = I 2 + I 3
e le equazioni alle maglie:
V1 − I 1 ⋅ R1 − V2 − I 1 ⋅ R5
V 2 − I 2 ⋅ R 2 − I 2 ⋅ Re
Notiamo che la corrente I2 compare solo nella seconda equazione, quindi si può scrivere:
I 2 ( R 2 + Re ) = V 2
2)
→ I2 =
6
= 0,47 A
(8 + 4,8)
Nel circuito in figura si ha: R1 = R2 = R6 = 5,0 Ω, R3 = R4 = R5 = 10 Ω e V = 9 V.
Calcolare la corrente erogata dal generatore
Per calcolare la corrente erogata dal generatore, anche in questo caso dobbiamo calcolare la
resistenza equivalente del circuito. Si ha:
R E = R1 // R 2 //(( R3 // R 4 // R5) + R6)
R E = 5 // 5 //((10 // 10 // 10) + 5)
→
→
⎛⎛
10 × 10 × 10
⎞ ⎞
R E = 5 // 5 // ⎜⎜ ⎜
→
⎟ + 5 ⎟⎟
⎝ ⎝ 10 × 10 + 10 × 10 + 10 × 10 ⎠ ⎠
5 × 5 × 8,3
R E = 5 // 5 // (3,33 + 5) = 5 // 5 // 8,3 =
= 1,9 Ω
5 × 5 + 5 × 8,3 + 5 × 8,3
A questo punto possiamo calcolare la corrente:
I=
3)
V
9
=
= 4,7 A
RE 1,9
Nel circuito in figura si ha: R1 = 2,0 Ω; R2 = 4,0 Ω; R3 = 5,0 Ω; V1 = 6 V e V2 = 9V.
Calcolare la corrente in R2.
Per risolvere questo circuito dobbiamo ricorrere alle leggi di Kirchhoff.
Per prima cosa stabiliamo arbitrariamente il verso delle correnti nel nodo (in rosso) e il verso di
percorrenza delle maglie (in blu).
L’equazione al nodo è:
i1 + i2 = i3
L’equazione alla prima maglia è:
V 1 − V 2 + R 2 ⋅ i 2 − R1 ⋅ i1 = 0
L’equazione alla seconda maglia è:
V 2 − R 2 ⋅ i 2 − R 3 ⋅ i3 = 0
Ponendo a sistema si ha:
⎧i1 + i2 − i3 = 0
⎪
⎨V 1 − V 2 + R 2 ⋅ i2 − R1 ⋅ i1 = 0
⎪V 2 − R 2 ⋅ i − R3 ⋅ i = 0
2
3
⎩
⎧i3 = i1 + i2
⎪
→ ⎨− 3 + 4i2 − 2i1 = 0
⎪9 − 4i − 5i = 0
2
3
⎩
risolvendo il sistema si ottiene i2 = 0,87 A
4) Supponi di dover misurare sperimentalmente la corrente e la differenza di potenziale ai
capi del resistore R1 del circuito precedente. Che strumenti utilizzeresti e come li inseriresti
nel circuito?
Per effettuare una misura di corrente si utilizza un amperometro, che deve essere collegato in serie
al resistore; per la misura di tensione occorre un voltmetro, che va inserito in parallelo.
Lo schema circuitale per le misure è il seguente:
4) Nel circuito rappresentato in figura si ha: R1 = R2 = R3 = R4 = 15 Ω ; V1 = 15 V ; V2 =
20 V
Calcola la corrente in R3.
Da un esame preliminare osserviamo che il circuito presenta un nodo e due maglie indipendenti;
procediamo pertanto a definire arbitrariamente i versi delle correnti nel nodo e i versi di percorrenza
delle maglie, come nello schema seguente:
A questo punto possiamo applicare le leggi di Kirchhoff e scrivere il seguente sistema:
⎧i1 − i2 − i3 = 0
⎪
⎨V1 − i1 R4 − V2 − i2 R2 − i1 R1 = 0
⎪V − i R + i R = 0
⎩ 2 3 3 2 2
Sostituendo i valori assegnati si ha:
⎧i1 = i2 + i3
⎪
⎨15 − 15i1 − 20 − 15i2 − 15i1 = 0
⎪20 − 15i + 15i = 0
3
2
⎩
⎧i1 = i2 + i3
⎪
→ ⎨− 5 − 30i1 − 15i2 = 0
⎪20 + 15i − 15i = 0
2
3
⎩
E’ richiesto di calcolare solo la corrente i3, quindi possiamo procedere speditamente sostituendo i1
nella seconda e terza equazione:
⎧− 5 − 30i2 − 30i3 − 15i2 = 0
⎨
⎩20 + 15i2 − 15i3 = 0
⎧45i2 − 30i3 = −5
→ ⎨
⎩15i2 − 15i3 = −20
possiamo risolvere il sistema con il metodo di riduzione:
⎧45i2 − 30i3 = −5
⎨
⎩− 45i2 + 45i3 = 60
→ 15i3 = 55
→ i3 =
55
= 3,67 A
15
5) Nel circuito rappresentato in figura si ha: R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω ; V1 = 15 V
a. calcola la corrente in R1
b. calcola la corrente in R2
a) La corrente che attraversa R1 è l’intera corrente erogata dal generatore. Il modo più spedito per
ottenerla consiste nel calcolare la resistenza equivalente del circuito. Si ha:
R E = R4 + R2 // R3 + R1 = 10 +
10 × 10
+ 10 = 25 Ω
10 + 10
Applicando la legge di Ohm si ottiene:
I=
V
15
=
= 0,6 A
R E 25
b) Per calcolare la corrente in R2 dobbiamo determinare la differenza di potenziale ai suoi capi, che
chiameremo V2. Applicando la seconda legge di Kirchhoff alla maglia di sinistra, si ha:
V 1 − I ⋅ R 4 − V 2 − I ⋅ R1 = 0
→ V 2 = V 1 − I ⋅ (R1 + R 4 )
Osserviamo che I è la corrente che abbiamo calcolato sopra, cioè 0,6 A
Sostituendo i valori nell’espressione precedente si ottiene:
V 2 = 15 − 0,6 × 20 = 3 V
Possiamo ora calcolare la corrente come al solito utilizzando la legge di Ohm:
I=
V2 3
=
= 0,3 A
R 10
Allo stesso risultato si poteva giungere immediatamente osservando che le resistenze R2 ed R3 sono
identiche, quindi la corrente totale che attraversa il circuito si divide in due parti uguali e quindi la
corrente che attraversa R2 è semplicemente la metà di 0,6 A, cioè 0,3 A.
6) Two resistances, one of 20 Ω, and the other, R, unknown, are connected in parallel to a 18
V battery. Find the value of resistance R knowing that the total current flowing in the
circuit is 4.0 A.
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Due resistenze, una di 20 Ω e l’altra, R, incognita, sono connesse in parallelo a una batteria da
18 V. determina il valore della resistenza R sapendo che la corrente totale che fluisce nel circuito è
di 4,0 A”
Lo schema del circuito è rappresentato in figura:
Si ha:
V = RE I
→ 18 =
20 R
×4
20 + R
→ R = 5,8 Ω