UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI GENOVA
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale
Corso di Ricerca Operativa 2 (CD) – codice 60204
A.A. 2011/2012
Docente: Mauro Gaggero
___________
PROGRAMMA DEL CORSO
1.
Introduzione al corso e definizioni preliminari
1.1.
1.2.
1.3.
Problema di programmazione non lineare in forma standard libero e vincolato
Definizioni di punti di minimo e massimo locali e globali
Esempi di problemi formulabili come problemi di programmazione non lineare
2.
Condizioni di esistenza della soluzione
2.1.
Teorema di Weirstrass e funzioni coercive
1
2.2.
2.3.
3.
Problemi di ottimizzazione convessi
3.1.
3.2.
3.3.
4.
Forme e funzioni quadratiche
Gradiente, Hessiana, matrici simmetriche, matrici definite positive e negative
Definizione e proprietà di funzioni convesse
Definizione e proprietà di insiemi convessi
Definizione e proprietà di problemi di programmazione non lineare convessi
Programmazione matematica non vincolata
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
Condizioni necessarie di ottimalità e condizioni sufficienti di ottimalità
Condizioni di ottimalità per funzioni quadratiche
Utilizzo delle condizioni di ottimalità per la ricerca di soluzioni
Esempi di applicazione delle condizioni di ottimalità per la risoluzione di semplici
problemi di ottimizzazione
4.5. Algoritmi iterativi e algoritmi di discesa
4.6. Proprietà di convergenza finita e convergenza asintotica
4.7. Proprietà di convergenza locale e globale
4.8. Concetti generali circa gli algoritmi di discesa: definizione di direzione di discesa e
algoritmo di discesa
4.9. Discussione dei principali punti che costituiscono un algoritmo di discesa: scelta del
punto iniziale, criteri di arresto, scelta della direzione di discesa, scelta del passo di
discesa
4.10. Principali situazioni in cui ci si può trovare durante l’utilizzo di un metodo di
discesa: minimi locali e fenomeno dello zig-zag.
5.
Algoritmo del gradiente
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
6.
Definizione dell’algoritmo e principali proprietà
Teorema di convergenza dell’algoritmo del gradiente a passo fisso
Definizione della velocità di convergenza di un algoritmo di discesa
Esempi di applicazione dell’algoritmo del gradiente a funzioni di prova
Varianti dell’algoritmo del gradiente: algoritmo del gradiente a passo non costante
Metodi di ricerca di linea esatta (caso quadratico e non) e inesatta (metodo di Armijo
e del passo decrescente)
Applicazione del metodo del gradiente per la minimizzazione di funzioni quadratiche
Algoritmo di Newton
6.1.
6.2.
Definizione dell’algoritmo e principali proprietà
Confronto con il metodo del gradiente
2
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
7.
Metodi delle direzioni coniugate
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
8.
Approssimazione delle derivate con differenze finite negli algoritmi di discesa
Algoritmo delle discese coordinate
Algoritmo di Powell
Algoritmo delle tangenti parallele (Partan)
Algoritmi esplorativi basati su campionamenti dell’insieme ammissibile
Metodi di Line Search
9.1.
9.2.
10.
Introduzione ai metodi delle direzioni coniugate
Concetto di direzioni coniugate
Metodo del gradiente coniugato per la minimizzazione di funzioni quadratiche
Proprietà di convergenza finita dell’algoritmo
Metodo del gradiente coniugato per funzioni non quadratiche: metodi di PolakRibiere e Fletcher-Reeves
Esempi di applicazione dell’algoritmo a funzioni di prova
Metodi non derivativi
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
9.
Confronto con il metodo di Newton per la ricerca degli zeri di una funzione
Teorema di convergenza dell’algoritmo di Newton
Esempi di applicazione dell’algoritmo a funzioni di prova
Convergenza locale e globale dell’algoritmo
Varianti dell’algoritmo di Newton: metodi quasi-Newton e metodi per ridurre l’onere
computazionale
Algoritmo di Fibonacci e della sezione aurea
Algoritmi basati su interpolazioni quadratiche e cubiche
Introduzione alla programmazione matematica non lineare vincolata
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
Caso particolare di problemi di ottimizzazione su insiemi convessi
Condizioni di ottimalità
Algoritmi delle direzioni ammissibili
Algoritmo del gradiente proiettato
11. Approccio Lagrangiano per problemi di programmazione matematica non lineare
vincolata
11.1. Definizioni di funzione Lagrangiana, vincoli attivi e vincoli regolari
3
11.2. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti di ottimalità per problemi di
programmazione non lineare vincolata con soli vincoli di uguaglianza
11.3. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti di ottimalità per problemi di
programmazione non lineare vincolata con soli vincoli di disuguaglianza: condizioni
di Karush-Kuhn-Tucker (KKT)
11.4. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti di ottimalità per problemi di
programmazione non lineare vincolata con vincoli sia di uguaglianza sia di
disuguaglianza
11.5. Utilizzo delle condizioni di ottimalità per la ricerca di soluzioni
11.6. Esempi di applicazione delle condizioni di ottimalità per la risoluzione di semplici
problemi
12.
Metodi delle funzioni di penalità e funzioni barriera
12.1.
12.2.
12.3.
12.4.
12.5.
13.
Definizione di metodo delle funzioni di penalità
Illustrazione del metodo e proprietà di convergenza
Definizione di metodo delle funzioni barriera
Illustrazione del metodo e proprietà di convergenza
Metodo del punto interno per la soluzione di problemi di programmazione lineare
Attività di laboratorio
13.1. Introduzione all’uso di Matlab. Presentazione dei principali comandi tramite esempi
ed esercitazioni guidate al calcolatore.
13.2. Esercitazione: programmazione in Matlab dell’algoritmo del gradiente a passo
costante per la risoluzione di semplici problemi di programmazione non lineare
libera.
13.3. Esercitazione: utilizzo delle funzioni di libreria di Matlab per la risoluzione di
problemi di programmazione non lineare libera.
13.4. Esercitazione: utilizzo delle funzioni di libreria di Matlab per la risoluzione di
problemi di programmazione non lineare vincolata.
14.
Approfondimenti e seminari
14.1. Esempi di problemi di interesse per un ingegnere gestionale formulabili come
problemi di programmazione non lineare.
14.2. Esempio: allocazione ottima delle risorse di movimentazione all’interno di un
terminale intermodale portuale.
14.3. Esempio: pianificazione ottima a livello strategico e tattico della movimentazione
delle merci all’interno di catene di distribuzione.
4
Riferimenti bibliografici
[1] D. Bertsekas – Nonlinear Programming. Athena Scientific, 1999.
[2] D. Luenberger, Y. Ye – Linear and nonlinear programming. Springer, 2008.
[3] Materiale fornito dal docente.
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